【动脑筋】数学魔术

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独角兽 发表于 2014-8-27 02:52
0， 9， 18， 27， 36， 45， 54， 63， 72， 81

1) ABCD＝9369: abcd=4321

独角兽  喜欢gg，我这是很严格的，呵呵。。。

那你把你的推理过程写出来？就当给学生上课，要能把不懂的人教懂哦。

独角兽

独角兽 发表于 2014-8-27 15:52
0， 9， 18， 27， 36， 45， 54， 63， 72， 81

1) ABCD＝9369: abcd=4321

喜欢gg喜欢我，我就接着写了。

最近电脑上爱坛少了，一般就是手机扫一眼，所以错过了好些帖子，日志什么的。评论和回复更是少了。昨晚才看见喜欢gg的这个帖子。看了题目，我确定一定以及肯定自己是一定会做的，可是写起来应该怪麻烦的，我就没算，然后就该干啥干啥去了。

可是，俺这一颗热爱趣味数学的真心呀，准备睡觉的时候突然又忍不住想把这题作出来。再后来觉得自己的算法还是有特别之处的，就忍不住写出来显摆了。

第一段：

俺觉得吧，这题的正道是逆向思维，也就是发现8889＝10000－1111. 然后顺着这个思路下去，从后往前一位一位的推，把借位搞清楚了，就没问题了。同学们纷纷顺着这个思路给出了算法，有些表述的简洁一些，有些啰嗦一些，有些还有点儿小疏漏，但基本上都算是答出来了。

第二段：

给大家介绍一下独角兽的正向思维，邪派招术吧。

从8889到1111是此题的关键，但我当时第一感觉是8889会变成9999。9 为什么好呢？9乘以任何一个各位的数字尾数各不相同。是一一对应的关系。换句话说，任何一个ABCD我都能张口说出d的值来。正是因为想把8889变成9999，我一下困意全无，拿出纸笔就开练了。

我在解题的第一行给出了0到9与9的乘积就是想看看有没有人能够跟我想到同一个方向上去。

假如不考虑进位， abcd×8889
个位＝9×d
十位＝9×c+8×d
百位＝9×b+8×c+8×d
千位＝9×a+8×b+8×c+8d

这时候个位数乘9的另一个伟大的特性派上了用场，那就是乘积的十位数其实是比它本身小1. （注意0还是0）
这个数就是进位的。

考虑进位后：十位＝9×c+8×d+（d－1）＝9×（c+d）－1  （这个1就是我前面计算过程提示中的+1），然后又可以用乘9的尾数定位出c+d的尾数了。

百位＝9×b+8×c+8×d + （c+d－1）＝9×（b+c+d）－1  （到了这里停一下，如果上面(c+d)已经不是个位数字了，咋办？直觉告诉我，把10位再加上去就行了。于是，我用abcd＝9999这个极限值验证了一下，果然如此。）

剩下的就是心算九九表和加减法了。5秒钟一个题没问题，但会出错，因为乘法的这个对应关系还是没有加法的直接。

算完了以后回帖，写答案之前心里没底，excel验算了一下，发现第10题居然错了。于是猜（+2）不是从20开始的，而是从19开始的。分别验算了18，19，20的情况，发现确实如此。猜测如果（+3)应该是从28开始，可惜只有(b+c+d)最大27，没法验算了。

以上，从9的乘法出发找出了这个所谓魔术的解法，心满意足的睡觉去了。。。

独角兽

独角兽 发表于 2014-8-28 04:25
喜欢gg习惯我，我就接着写了。

最近电脑上爱坛少了，一般就是手机扫一眼，所以错过了好些帖子，日志什么 ...

另外，我之所以第一反应会做，但懒得做，有一个原因是我前一段看了一本编程的书想拓展自己的思维方式。所以，我其实想用编程的方法做这个题。

int a=b=c=d=0, M=ABCD, N=8889

while (d*9)%10 != M%10
{
d++;
if d ==10
输出：搞错了，无解！换个数再试试？
end; //记不清是不是用end了，反正就是程序结束，收工了
}
while ((10*c+d)*89)%100 !=M%100
{
c++;
if c ==10
输出：搞错了，无解！换个数再试试？
end; //记不清是不是用end了，反正就是程序结束，收工了
}

while ((100*b+10*c+d)*889)%1000 !=M%1000
{
b++;
if b ==10
输出：搞错了，无解！换个数再试试？
end; //记不清是不是用end了，反正就是程序结束，收工了
}
while ((1000*a+100*b+10*c+d)*8889)%10000 != M
｛
a++;
if a ==10
输出：搞错了，无解！换个数再试试？
end; //记不清是不是用end了，反正就是程序结束，收工了
}

最后输出 abcd=1000*a+100*b+10*c+d Oh yeah!

The end!

出错信息是后来想起来加上去的。具体编程的语言我记不太清楚，但思路是前两个月看编程书的收获。感觉自己很帅。哈哈。@holycow 神牛师傅来鉴定一下，这个程序编得够简洁吧

黑洞的颜色

喜欢 发表于 2014-8-27 05:03
可是您这算法的原理何在呢？能解释到俺（们？）能听懂的程度么？

看来脑袋瓜好使的人真不少啊！这么绕的 ...

抱歉，文笔不好，写算法用的时间比想出来的时间还长，也没说明白。好像匆忙中也没有贴全。

步骤为
0）        得到四位数MNOP=10000-ABCD
例如以上部分题目
1，ABCD=9369得 MNOP=0631
2，ABCD=2412得 MNOP=7588
3，ABCD=7889得 MNOP=2111
10，ABCD=5992得 MNOP=4008

1）        d=P：
1，ABCD=9369得 MNOP=0631; d=1;
2，ABCD=2412得 MNOP=7588; d=8;
3，ABCD=7889得 MNOP=2111; d=1;
10，ABCD=5992得 MNOP=4008;d=8;

2）        c=O-d, 如c小于0则加上10:  
1，ABCD=9369得 MNOP=0631;d=1;  c=3-1=2;
2，ABCD=2412得 MNOP=7588;d=8;  c=8-8=0;
3，ABCD=7889得 MNOP=2111;d=1;  c=1-1=0;
10，ABCD=5992得 MNOP=4008;d=8;c=0-8+10=2;

3）        b=N-n, 其中n 是c+d的各位数字之和。如b小于0则加上10:  
     例如 c=7, d=8 则c+d=15,其各位数字之和 n=1+5=6; 如c=8,d=2, c+d=10, n=1
1，ABCD=9369得 MNOP=0631;d=1; c=2; n=3, b=6-3=3
2，ABCD=2412得 MNOP=7588;d=8; c=0; n=8, b=5-8+10=7
3，ABCD=7889得 MNOP=2111;d=1; c=0; n=1, b=1-1=0
10，ABCD=5992得 MNOP=4008;d=8;c=2;n=1,b=0-1+10=9
4）        a=M-m, 其中m 是b+c+d的各位数字之和。如a小于0则加上10:  
1，ABCD=9369得 MNOP=0631;d=1; c=2; b=3; m=0-6+10=4, 最后 abcd=4321
2，ABCD=2412得 MNOP=7588;d=8; c=0; b=7; m=6,a=1，abcd=1708
3，ABCD=7889得 MNOP=2111;d=1; c=0; b=0; m=1,a=1，abcd=1001
10，ABCD=5992得 MNOP=4008;d=8;c=2;b=9, m=1, a=3, abcd=3928

注：d=8;c=2;b=9， 其各位数字之和要反复加到只剩一位： 8+2+9=19 =》10 =》1

上面36楼似乎有点typo.
6) ABCD=8059,应为abcd=2531.
7) ABCD=8002, abcd=2018

回头写原理

不爱吱声

算法：
如果 D 等于 0:
    d = 0
    c = D-C
如果 D 不等于 0:
   d = 10-D
   c = D-C-1

如果 c 小于 0：
   b = C-B-1
   同时更新 c: c = c+10
如果 c 大于 0：
   b = C-B
   c 不变

如果  b 小于 0:
   a = B-A-1
   同时更新 b: b = b+10
如果 b 大于 0：
   a = B-A
   b 不变

如果 a 小于 0:
   更新 a: a = a+10
====================== 下面使用python实现上面算法，以及运行结果 ==============
def multiply8889(digits):
    A,B,C,D = int(digits[0]),int(digits[1]),int(digits[2]),int(digits[3])
    if D!= 0:
        d = 10-D
        c = D-C-1
    else:
        d = 0
        c = -C

    if c <0:
        c = c+10
        b = C-B-1
    else:
        b = C-B

    if b <0:
        b = b+10
        a = B-A-1
    else:
        a = B-A
        
    if a<0:
        a = a+10

    number = a*1000+b*100+c*10+d
    print 'answer:'+digits+'=>'+str(number)
    print 'check:'+'8889''*'+str(number)+'='+str(8889*number)
    return
   
multiply8889('9369')
multiply8889('2412')
multiply8889('7889')
multiply8889('9160')
multiply8889('0668')
multiply8889('8059')
multiply8889('8002')
multiply8889('2908')
multiply8889('5094')
multiply8889('5992')


======== 运行结果 =======================
answer:9369=>4321
check:8889*4321=38409369

answer:2412=>1708
check:8889*1708=15182412

answer:7889=>1001
check:8889*1001=8897889

answer:9160=>2440
check:8889*2440=21689160

answer:0668=>6012
check:8889*6012=53440668

answer:8059=>2531
check:8889*2531=22498059

answer:8002=>2018
check:8889*2018=17938002

answer:2908=>6172
check:8889*6172=54862908

answer:5094=>5846
check:8889*5846=51965094

answer:5992=>3928
check:8889*3928=34915992

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不爱吱声 发表于 2014-8-27 18:36
算法：
if D 等于 0:
    d = 0

耶！你是俺滴知音～俺基本上就是这么做的。

不过，你是否需要阐明一下你的算法呢？如果有人说不懂，你怎么办？

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黑洞的颜色 发表于 2014-8-27 16:57
抱歉，文笔不好，写算法用的时间比想出来的时间还长，也没说明白。好像匆忙中也没有贴全。

步骤为

你这个好复杂，需要慢慢消化。尤其不明觉厉的是
其各位数字之和要反复加到只剩一位： 8+2+9=19 =》10 =》1
这部分是怎么来的？做什么用的？

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独角兽 发表于 2014-8-27 15:25
喜欢gg喜欢我，我就接着写了。

最近电脑上爱坛少了，一般就是手机扫一眼，所以错过了好些帖子，日志什么 ...

你这个我也得慢慢消化～

不爱吱声

喜欢 发表于 2014-8-27 19:50
耶！你是俺滴知音～俺基本上就是这么做的。

不过，你是否需要阐明一下你的算法呢？如果有人说不 ...

简单说一下，

abcd*8889 = abcd*10000-abcd*1111
不考虑借位的话
（1）D = 10-d => d=10-D
（2）C = 10-d-c
         （1）-（2）=> c=D-C
（3）B = 10-d-c-b
        （2）-（3）=> b=C-B
（4）A = 10-d-c-b-a
         （3）-（4）=> a=B-A

然后考虑借位，就是最后的算法。

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不爱吱声 发表于 2014-8-27 21:23
简单说一下，

abcd*8889 = abcd*10000-abcd*1111

行，有你说的垫底，我可以不说什么了！
花哦！

独角兽

不爱吱声 发表于 2014-8-28 10:23
简单说一下，

abcd*8889 = abcd*10000-abcd*1111

二当家的厉害，觉得这就是正道终极解法了。

有一点说得不太准确，10－x不是不考虑借位，是考虑了最正常的只借一位的情况。然后对特殊情况进行修改，比如 D=0， d＝0，不需借位；x>=10，多借一位。但是，是不是漏掉了x>=20的修正呀？

二当家的用你的程序算一下ABCD＝1111，看看答案是多少？

另外，都算到这份上了，不用编程，口算就行了。编程最大的优势就是傻骡子计算机不怕累，让它去排除去吧。咱们就不用动脑筋推导了

不爱吱声

独角兽 发表于 2014-8-27 21:39
二当家的厉害，觉得这就是正道终极解法了。

有一点说得不太准确，10－x不是不考虑借位，是考虑了最正常 ...

不考虑借位的意思是不用考虑借位的不同情况,不是不借位,呵呵,写得着急了点.

编这种小程序也就是一两分钟的事儿,当时原本正在编其他的程序,随手就写了,这也是为什么我喜欢python的原因.

程序是为了比较方便地验证算法,省得还得自己算,10个还容易,成百上千的验算就不容易了,好处是可以一劳永逸地把所有的数都验证了,而不仅仅局限于这10个,总的来说还是程序更方便啊.

你可能想多了,用这种递进似算法不会出现借2位的情况阿,因为后一个与前一个只差一个数位.

我刚刚用我的算法程序遍历了所有的可能的数,全部都计算正确了.(程序见下面)

=======================遍历程序=====================
def multiply8889(digits):
    A,B,C,D = int(digits[0]),int(digits[1]),int(digits[2]),int(digits[3])
    if D!= 0:
        d = 10-D
        c = D-C-1
    else:
        d = 0
        c = -C

    if c <0:
        c = c+10
        b = C-B-1
    else:
        b = C-B

    if b <0:
        b = b+10
        a = B-A-1
    else:
        a = B-A
        
    if a<0:
        a = a+10

    number = a*1000+b*100+c*10+d
    return number

def check(digits):
    number = multiply8889(digits)
    if digits != str(8889*number)[-4:]: # last four digits
        return False
    else:
        return True

def print_result(digits):
    number = multiply8889(digits)
    print 'answer:'+digits+'=>'+str(number)
    print 'check:'+'8889''*'+str(number)+'='+str(8889*number)
   
anywrong = False
for i0 in range(1,10):
  for i1 in range(10):
    for i2 in range(10):
      for i3 in range(10):
           digits = str(i0)+str(i1)+str(i2)+str(i3)
           if not check(digits):
               anywrong = True
               break

if not anywrong:
    print "The algorithm is correct!"
else:
    print "The algorithm is incorrect!"


print_result('1111')
=======================最后结果=========================
The algorithm is correct!


answer:1111=>9999
check:8889*9999=88881111

独角兽

不爱吱声 发表于 2014-8-28 13:05
不考虑借位的意思是不用考虑借位的不同情况,不是不借位,呵呵,写得着急了点.

编这种小程序也就是一两分钟 ...

呵呵，牛！

我没用你的算法算，所以看下来觉得好像少了一种情况似的。如果没少的话，我还得再去想为啥20多也不例外。我估摸着是每次10啊10的补上了，就没20啥事了。

我不会编程，所以觉得编程麻烦。但是现在觉得用程序算胜在思路简单，步骤麻烦点其实没啥。思路复杂了，更容易想错，或者想不出来。还似乎计算机厉害，跟少林寺罗汉拳似的。

不爱吱声

独角兽 发表于 2014-8-27 23:35
呵呵，牛！

我没用你的算法算，所以看下来觉得好像少了一种情况似的。如果没少的话，我还得再去想为啥20 ...

如果你想学习一门编程语言就推荐你学python,是最接近自然语言的,而且数据结构丰富,有丰富的库,我现在工作中编程序基本全靠python搞定,可以实现非常复杂的功能,不管是科学计算,还是用户接口界面都可以.而且完全免费哦.

放弃你学的 C 吧,python 走起.https://www.python.org/

我使用pythonxy package写工作上用的软件:
http://code.google.com/p/pythonxy/

独角兽

不爱吱声 发表于 2014-8-28 13:45
如果你想学习一门编程语言就推荐你学python,是最接近自然语言的,而且数据结构丰富,有丰富的库,我现在工作 ...

嘿嘿，其实我是看了一本java教程。当然，记住多少我就不知道了。就是觉得我怎么能不会编程呢，感觉像是放弃了很大一片天空似的。下面有空我再想看编程的东西就看这个蟒蛇。你和轧叔都这么喜欢蟒蛇呢。

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不爱吱声 发表于 2014-8-28 00:05
不考虑借位的意思是不用考虑借位的不同情况,不是不借位,呵呵,写得着急了点.

编这种小程序也就是一两分钟 ...

这个太棒了！
（等我有分额了再评分～）
本来我还想写个程序呢（好久没写了，若写还得费点儿工夫），这下也不用写了。

最喜欢这样严格的思路了，滴水不漏，童叟无欺，久经考验！

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独角兽 发表于 2014-8-27 22:39
二当家的厉害，觉得这就是正道终极解法了。

有一点说得不太准确，10－x不是不考虑借位，是考虑了最正常 ...

二当家的编程，一是为了严格——电脑不允许手误、口误之类，你说的每一个字都必须对，它才认可；二是为了遍历——所有可能的题都对了，你出题的还有什么说的？那算法是肯定对了！

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我来说说我做这题的答案吧。那天折腾了半天，不让它见见天日它也难受！

先说算法，即第三重玩法——掌握了这方法，即使是一年级的小朋友也可以去变这个魔术了！

已知某数abcd乘以8889所得尾数为ABCD，求abcd。

拿来一道题，基本上眼睛盯着那ABCD四个数字就能把答案abcd说出来了。因为只要做这四个数字间的20以内的减法。只不过要从最后一位往前算起，按照d、c、b、a的次序。
比如第1题，ABCD＝9026
d=10-D=10-6=4
c=D-C-1=6-2-1=3
b=C-B=2-0=2
a=B-A=0-9=1
咦？0-9不够减怎么办？你就+10，当它是10-9就行了！

简单吗？会了吗？

拿第2题试试手：ABCD=2412
你的答案是多少？
8，1，7，2？——第二个数字忘记-1了吧？记住，（答案中倒数）第二个数字c必须有“－1”才对！
8，0，7，2？——嗯，这是你找答案的次序，答案只要反过来就行了；
2708？——这次对啦！
不错，你连中间那个“1-4”不够减都知道当成“11-4”去做了，很好！


嗯？你要去找小伙伴变魔术了？等等，先别走。这里还有绝招呢。不是所有的题都那么简单。事实上有很多题需要用绝招来对付！
什么样的题呢？就是答案abcd里面，后两位相加超过9的数，和后三位相加超过9的数，还有后三位相加超过18的数。

刚才我讲算法的时候就有小朋友问为什么要从后往前算，直接从前往后算不是更直接吗？等我讲完绝招你就知道为什么啦。

注意我刚才教的四个算式：
1，d=10-D
2，c=D-C-1
3，b=C-B
4，a=B-A

第一个比较特殊，是每次都用10做被减数，要单独记住；
第二个也比较特殊，它每次都要做完相邻两数的减法后再-1，也要记牢；
那么后面的两个算式就永远不用-1吗？
不是的！它们有的时候也要-1！——这就是绝招。什么时候用绝招呢？你会做超过10的加法吗？（会做30以内的加法就行。）
要把答案里面的数字相加，d+c的结果决定第三个算式要不要-1；d+c+b的结果决定第四个算式要不要-1。
这就是说你要先知道d和c才能知道b；要先知道d、c和b才能知道a——所以我们得反着找答案。

好，现在就是对付那一大堆“难题”的绝招：

绝招1

当(d+c)>9，b=C-B-1；——此时后位减前位需再减1，才得出b；
这个时候你还要注意这个：当(d+c+b)>18，a=B-A-1——即此时后位减前位需再减1，才得出a。

举个例子：
ABCD=5992，
d=10-D＝10-2＝8
c=D-C-1＝12-9-1＝2（注意，2-9不够减了，自动变成12-9）
上面这两个算式永远这样，不会变；
下来两个算式就要用到绝招了，因为我们发现，已经算出来的两个数字(8+2)＝10>9了！那么就要多-1：
b＝9-9-1＝9（——注意，9-9＝0，后面又不够减了，那就+10再减，10-1＝9。）
这里有了-1就要注意后面一个数字a的算法了，果然(d+c+b)=(8+2+9)=19>18，那么算a的时候也要-1：
a=B-A-1=9-5-1=3
答案是，abcd=3928

再举一个例子巩固一下：
ABCD=5094
d=10-D=10-4=6
c=D-C-1=14-9-1=4
b=C-B-1=9-0-1=8——为什么这里要-1呢？因为(d+c)=10>9
a=B-A=9-3=6——咦，这里不需要-1吗？不需要！因为(d+c+b)=6+4+8=18——没有大于18就不要用绝招！

绝招2
当(d+c)<=9，算b的时候不用绝招。那么算a的时候还需要小心吗？需要！这时需要判断(d+c+b)是否大于9——注意这时用9判断，而不是18（实际上不可能大于18）。
当(d+c)<=9, 且(d+c+b)>9时，a=B-A-1——这个时候算a就要用到“-1绝招”！

例：
ABCD=3904
d=10-4=6
c=4-0-1=3
b=10-9=1——即使(d+c)＝6+3=9，也无需使用绝招
a=B-A-1=9-3-1=5——要用绝招了，因为(d+c+b)=6+3+1=10>9

至此，算法全部教完。

现在你可以做主帖里面的10道题了，并对照一下答案，看看你能不能做对。

题目：
1，ABCD=9369；
2，ABCD=2412；
3，ABCD=7889；
4，ABCD=9160；
5，ABCD=0668；
6，ABCD=8059；
7，ABCD=8002；
8，ABCD=2908；
9，ABCD=5094；
10，ABCD=5992；


答案：
1，ABCD=9369；abcd=4321
2，ABCD=2412；abcd=1708
3，ABCD=7889；abcd=1001
4，ABCD=9160；abcd=2440
5，ABCD=0668；abcd=6012
6，ABCD=8059；abcd=2531
7，ABCD=8002；abcd=2018
8，ABCD=2908；abcd=6172
9，ABCD=5094；abcd=5846
10，ABCD=5992；abcd=3928


＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

下面是给大人看的算法。呵呵。

1，从最后一位d算起，依次向左，求出c、b、a。

2，d＝“D对10求补”。例：D=3，则d=7。

3，c＝D-C-1，不够减时+10再减（下同）。

例：D=5，C=2，则c=5-2=3；
       D=4，C=6，则c=10+D-C-1=10+4-6-1=7；
       D=C，则c=10+D-C-1=9。

4，b分两种情况，

4.1 当(d+c)<=9，b=C-B；此时只管后位减前位，即得出b；
4.2 当(d+c)>9，b=C-B-1；此时后位减前位需再减1，才得出b。

5，a分四种情况，

当b无需－1，则此时用9做关键数，决定是否－1：
5.1 当(d+c)<=9，且当(d+c+b)<=9，a=B-A，即此时只管后位减前位，即得出a；例5：ABCD=8002，则abcd=2018
（——b、a都直接相减得出）
5.2 当(d+c)<=9，且当(d+c+b)>9，a=B-A-1，即此时后位减前位需再减1，才得出a；例6：ABCD=2908，则abcd=6172
（——b直接得出、a需－1）

当b已经－1，则此时用18做关键数，决定是否－1：
5.3 当(d+c)>9，且当(d+c+b)<=18，a=B-A，即此时只管后位减前位，即得出a；例7：ABCD=5094，则abcd=5846
（——b需－1、a直接得出）
5.4 当(d+c)>9，且当(d+c+b)>18，a=B-A-1，即此时后位减前位需再减1，才得出a；例8：ABCD=5992，则abcd=3928
（——b、a都需－1）

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解释一下我那算法的推理过程——第四重玩法。

原理如下：

设有四位正整数形如abcd，将其乘以8889，则有

abcd*8889=abcd*(10000-1000-100-10-1)=
abcd0000
- abcd000
-   abcd00
-     abcd0
-       abcd
-------------------
       ABCD

设其结果的末尾4位形如ABCD，我们只看后面黑体字部分的四位数，其每一列的减法。则有

最初，十位、百位、千位肯定都被借位1，变成9，而个位得到10，因此，

D这里的被减数肯定是10，
D=(10-d)
=>d=10-D

C这里的被减数肯定是9，
当(d+c)<=9，
C=9-d-c=(10-1)-d-c=(10-1)-(10-D)-c=D-c-1
=>c=D-C-1
当(d+c)>9，向前借位，+10再减，（+10或-10只影响前面一位，不影响本位的数字。我们称为“公理1”。）
C=10+9-d-c=10+(10-1)-(10-D)-c=D-c-1+10
=>c=(D-C-1)+10＝D-C-1（公理1）
=>c=D-C-1

B这里的被减数，当(d+c)<=9，是9；当(d+c)>9，是8（因为又被借过1），
当(d+c)<=9,
B=9-d-c-b=(10-1)-d-c-b=(10-1)-(10-D)-(D-C-1)-b=C-b
=>b=C-B
当(d+c)>9,
B=8-d-c-b=(10-1-1)-d-c-b=(10-1-1)-(10-D)-(D-C+9)-b=C-b-11
=>b=C-B-1-10＝C-B-1（公理1）
=>b=C-B-1

万位，A这里，被减数-d-c-b-a=A，

● 当(d+c)<=9，关键数是9，
当(d+c+b)<=9，被减数保持为9；当(d+c+b)>9，被减数是8（又被借过1），

· 当(d+c)<=9且(d+c+b)<=9，
A=9-d-c-b-a=(10-1)-d-c-b-a=(10-1)-(10-D)-(D-C-1)-(C-B)-a=B-a
=>a=B-A
例1：ABCD=8059，则abcd=2531——(d+c)<=9, (d+c+b)<=9

· 当(d+c)<=9且(d+c+b)>9，
A=8-d-c-b-a=(10-1-1)-d-c-b-a=(10-1-1)-(10-D)-(D-C-1)-(C-B)-a=B-a-1
=>a=B-A-1
例2：ABCD=3904，则abcd=5136——(d+c)<=9, (d+c+b)>9

● 当(d+c)>9，因为(d+c+b)肯定>9，故万位至少曾再被借位1，即A这里的被减数，至多是8，也许是7。所以，此时用来判断的关键数是18，
当(d+c+b)<=18（肯定>9），被减数是8（仅被借位1）；当(d+c+b)>18，被减数是7（曾被借位2），

· 当(d+c)>9且(d+c+b)<=18
A=8-d-c-b-a=(10-1-1)-d-c-b-a=(10-1-1)-(10-D)-(D-C-1)-(C-B-1)-a=B-a
=>a=B-A
例3：ABCD=6091，则abcd=4819——(d+c)>9, (d+c+b)<=18

· 当(d+c)>9且(d+c+b)>18，
A=7-d-c-b-a=(10-1-2)-d-c-b-a=(10-1-2)-(10-D)-(D-C-1)-(C-B-1)-a=B-a-2+1
=>a=B-A-1
例4：ABCD=1994，则abcd=7946——(d+c)>9, (d+c+b)>18


证明完毕。

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接着来。这次是爆炸性的答案！

俺说过，俺把这题目给了一个朋友——一直被我奉为聪明人的朋友。果然不负我望。不到十分钟，答案回来了，就两句话：

把ABCD乘以9；

8889x9=80001。

我告诉ta我的算法后，又给我一句话，长一点的：

你用竖式做“ABCD0-ABCD”，看看跟你那算法一样不一样？

我傻了，我服了！

我知道什么叫巧劲，什么叫窍门，什么叫题眼了！

我知道什么叫豁然开朗了！

我知道世界上真的存在聪明人了！


于是我的算法被简化了，直接就减了啊，从前往后就能说出答案了啊！（只要看后一位是否够减/是否借1就行了！）不用管什么(d+c)、(d+c+b)的值了！

即使最极端的ABCD=5992，也能立刻算出ABCD=3928来！