【动脑筋】数学魔术

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昨天在天才帮出了一道题。既然天才帮声势浩大，帮众日多，我以为在那里出题就等于在版面出题了。
不料还是有很多人没看见这题，就是说还应该发在版面才能给更多的人看到。
可是，找来找去，不知道发在哪个版面合适。有心发在研究生院，但一看规矩，得有论文水平才行。俺还是别捣乱了。
就这儿吧，日志随笔，谁都能看见了，是吧？现在出题。

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本题还是取自七旬老人发明"数学魔术" 5秒猜出你心里想的数

请你想一个四位的自然数abcd，把它乘以8889，告诉我乘积的4位尾数ABCD，我就能知道你想的是什么数。
例如：
如果你告诉我尾数是9026，则我知道你原来想的那个数是1234；
如果你告诉我尾数是7421，则我知道你原来想的那个数是6789；
如果你告诉我尾数是5679，则我知道你原来想的那个数是1111；
……


本题有几重玩法。

第一重：请大家出题，我来给出答案。
即，你来给出尾数ABCD，我来给出原数abcd。
例：你说“ABCD=9026”，我说：“abcd=1234”。——这就是那七旬老者的玩法，即所谓“数学魔术”。很神奇？

第二重：我来出题，参与者给出答案。
1，ABCD=9369
2，ABCD=2412
3，ABCD=7889
4，ABCD=9160
5，ABCD=0668
6，ABCD=8059
7，ABCD=8002
8，ABCD=2908
9，ABCD=5094
10，ABCD=5992
这些是原数乘以8889之后的末尾四位，你能给出10个原数其中一个也行，我会给你评分～

第三重：打擂——参与者给出算法。
注意，我的算法都不是从网上找来的，而是自己推理演算得出的。也请你注明你的算法是找来的还是算出来的。——我都会给你评分～

第四重：揭榜——参与者推演出算法的原理。
我就是为了寻求这个算法并推演严格的逻辑，而花了大半天的时间！
你若能给出清晰无误的推演过程，你就是俺的知音！俺的偶像！以后就有人跟俺一起玩了～

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昨天出完这题后。我把这题给了某聪明的朋友。
只肖几分钟，朋友就给出了一个算法，比俺的算法更简单易记——而且我相信这就是那老者的算法。
因为我的算法推演过程比较复杂，算法相对而言不大容易记住，算的过程也需小心谨慎，稍不留神就容易出错。

不过，凭心而论，我的算法也不是不可取，因为某种意义上讲，俺的算法还是更容易心算出来的。没有经过心算训练的人用我的算法能更快给出答案呢！

所以，无论你推演出了哪种算法，你都是好样的！



（嗯？还可以选来自哪个群组？选了天才帮，看看有个什么效果。）来自群组: 天才帮

沉宝

很简单，8889=10000-1111。

没时间了，回头再写。

仁

个位数是0:         D+d=10 or 0
十位数是0：        C+c+d=0, 10, 9 or 19  (如果 D+d =0 , 可能的结果是0或10，如果D+d=10, 可能的结果是9或19）
...


（10000 - 1000 -100 - 10 -1 ）* abcd = 10000 * x  + ABCD
也就是说 abcd000 + abcd00 + abcd0 + abcd + ABCD 的结果一定是可以被10000整除，也就是说从个位到千位都是0。

牛腰

abcd X 8889 = abcd X (1,0000 - 1111) = abcd,0000 - aaaa000 - bbbb00 - cccc0 - dddd

只算最后四位数的话，那就是 (1),0000 - a000 - bb00 - ccc0 - dddd

如果ABCD=9369。能决定个位数的只有d，所以d=10-9=1

十位数 = 9 - 6 - c - d, 那么 c = 9 - 6 - 1 = 2

百位数 = 9(或19) - 3 - b - c - d，b = 9 - 3 - 1 - 2 = 3

千位数 = 9(或19) - 9 - a - b - c - d，a = 19 - 9 - 1 - 2 - 3 = 4

验算：4321 X 8889 = 3840,9369

上面如果ABCD的个位数是0，那么十位数就从10而不是9开始减起。再往后推也是一样，后面的借位决定每一位数的开始值是10，9还是8。

自己想出来的。

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牛腰 发表于 2014-8-26 14:48
abcd X 8889 = abcd X (1,0000 - 1111) = abcd,0000 - aaaa000 - bbbb00 - cccc0 - dddd

只算最后四位数的 ...

用你的方法试试我出的10道题？如果没时间就只试最后两道吧～

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仁 发表于 2014-8-26 13:59
个位数是0:         D+d=10 or 0
十位数是0：        C+c+d=0, 10, 9 or 19  (如果 D+d =0 , 可能的结果是0或10，如果D+d ...

也就是说 abcd000 + abcd00 + abcd0 + abcd + ABCD 的结果一定是可以被10000整除

这句话似乎不是你本来想表达的意思？再仔细看看？

牛腰

喜欢 发表于 2014-8-27 03:59
用你的方法试试我出的10道题？如果没时间就只试最后两道吧～

ABCD = 5094

d = 10 - 4 = 6
c = 19 - 9 - 6 = 4
b = 18 - 0 - 6 - 4 = 8
a = 28 - 5 - 6 - 4 - 8 = 5
验算：5846 X 8889 = 5196,5094


ABCD = 5992
d = 10 - 2 = 8
c = 19 - 9 - 8 = 2
b = 28 - 9 - 2 - 8 = 9
a = 27 - 5 - 8 - 2 - 9 = 3
验算：3928 X 8889 = 3491,5992

上面没说清楚的是（１）如果一位数的减法得了负数，就加１０的倍数，直到得出一个个位正数，（２）上一位数的起始值向上round到最小的１０的倍数，１０减去它的十位数就是下一位数起始值的个位数。

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牛腰 发表于 2014-8-26 15:08
ABCD = 5094

d = 10 - 4 = 6

你如何确定那里是19或18或28或27的？
每道题都做减法大竖式吗？

牛腰

喜欢 发表于 2014-8-27 04:12
你如何确定那里是19或18或28或27的？
每道题都做减法大竖式吗？

补充了我上面的回复。

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牛腰 发表于 2014-8-26 15:14
补充了我上面的回复。

能不能再说明白点儿？因为这魔术弄好了应该人人会玩呢。
你能用实例（我的10道题就行）把玩的过程解释清楚、教会旁人么？

牛腰

喜欢 发表于 2014-8-27 04:12
你如何确定那里是19或18或28或27的？
每道题都做减法大竖式吗？

以ＡＢＣＤ＝５９９２为例

ｄ:　１０－２＝８

ｃ:　起始值个位数是１０－１＝９，９＋８＝１７大于１０，所以起始值是１９，　１９－９－８＝２

ｂ:　起始值个位数是１０－２　（１９变２０)　＝　８，９＋８＋２＝１９，起始值就是２８才能得到一个个位数：２８－９－２－８＝９

ａ:　起始值个位数是１０－３（２８变３０）＝７，　５＋８＋２＋９＝２４，起始值必须是２７，２７－５－８－２－９＝３。

想着容易，解释起来挺饶的

仁

喜欢 发表于 2014-8-27 04:02
这句话似乎不是你本来想表达的意思？再仔细看看？

要想严谨地说明还必叫麻烦，但是思路在那里，实际操作很简单。ABCD=9026

D+d= 0 or 10 >>>> d=4
C+c+d=9 or 19 >>>> c=3
B+b+c+d=9 or 19 or 29 >>> b=2
A+a+b+c+d =0 or 10 or 20or 30 >>>> a=1

最后四位数字都是0：
1234000 + 123400 + 12340 + 1234 + 9026=1380000

黑洞的颜色

有趣
我自己的解法如下
1. 令 MNOP=10000-ABCD
2. 为了方便说明，
定义一个数X的各位和为 sum.dig(X).
定义mod10(Y): (i) Y>0，则为Y的个位数字
(i)
则
1. d=P
2. O-

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牛腰 发表于 2014-8-26 15:22
以ＡＢＣＤ＝５９９２为例

ｄ:　１０－２＝８

我觉得做起来也很绕啊，这样的算法，能在5秒内就把任何一题心算出来么？

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仁 发表于 2014-8-26 15:27
要想严谨地说明还必叫麻烦，但是思路在那里，实际操作很简单。ABCD=9026

D+d= 0 or 10 >>>> d=4

B+b+c+d=9 or 19 or 29 >>> b=2
A+a+b+c+d =0 or 10 or 20or 30 >>>> a=1

两个式子中，前一个一定是9/19/29之一吗？
后一个，怎么会是0/10/20/30之一呢？

你换个例子试试看，比如用我出的10题中后面两个。

黑洞的颜色

有趣
我自己的解法如下
1. 令 MNOP=10000-ABCD
2. 为了方便说明，
定义一个数X的各位和为 sum.dig(X).
定义mod(Y): (i) Y>=0，则为Y的个位数字 (ii) Y<0, 则为 10 - Y的个位数字
如 mod(3)=7, mod(-2)=8

那么
1. d=P
2. c=mod(O-d)
3. b=mod(N-sum.dig(c+d))
4. a=mod(M-sum.dig(c+c+d))

即先得到10000-ABCD，再从后向前找，减去前面已经找到的数字的和的各位和，如果是负数则加10。

比如
ABCD=7421，
得到2579，
d=9;
c=mod(7-9)=mod(-2)=8;
c+d=17, sum.dig=1+7=8,  b=mod(5-8)=mod(-3)=7
b+c+d=24, sum.dig=2+4=6, a=mod(2-6)=6
得 abcd=6789
  
想明白了算得非常快。

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黑洞的颜色 发表于 2014-8-26 15:31
有趣
我自己的解法如下
1. 令 MNOP=10000-ABCD

您这是用电脑算呢还是人脑算呢？

俺们的目的是要用人脑算，5秒钟就出结果。

牛腰

喜欢 发表于 2014-8-27 04:36
我觉得做起来也很绕啊，这样的算法，能在5秒内就把任何一题心算出来么？ ...

刚试了一下第８题，ＡＢＣＤ＝２９０８，心算出６１７２，可以做到。练习一下应该可以做得更快。

黑洞的颜色

喜欢 发表于 2014-8-27 04:43
您这是用电脑算呢还是人脑算呢？

俺们的目的是要用人脑算，5秒钟就出结果。 ...

仔细看看就发觉不过是先做一个10000减法，然后不断加减个位数字而已。

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黑洞的颜色 发表于 2014-8-26 15:42
有趣
我自己的解法如下
1. 令 MNOP=10000-ABCD

哎哟，你这个我已经判断不能了！

貌似是对的？你自己用我那十题把这算法验算一下（十遍）好吗？