问题：如何从数据里估算普瓦松分布的均值？

数值分析

数值分析 发表于 2019-2-5 01:07
* V( H/ ~% e/ ~! y* u8 A你可以试试,平移没有问题的.你把他想象成求重心问题,曲线平移x,重心也平移x.. ...

0 Z+ O* }+ \8 L! e  H3 }+ p& zintegral f(x)* x*dx=lambda右平移a个单位,则新重心位置integral f(x-a)*x*dx. 设t=x-a, integral f(t)* (t+a)*d(t+a)=integral f(t)* (t+a)* dt=integral f(t)* t* dt+integral f(t)* a* dt=lambda+a (因为integral f(t)*a *dt=a*integral f(t)* dt=a,而 integral f(t)* t* dt=lambda)
# i3 \& U1 c1 `% }9 z; ~形状右平移a个单位,重心也右平移a个单位

数值分析

数值分析 发表于 2019-2-5 01:17
integral f(x)* x*dx=lambda右平移a个单位,则新重心位置integral f(x-a)*x*dx. 设t=x-a, integral f(t)*  ...

, X& w% A" I( j5 g# W- o" Z当然,前提是integral f(x)* dx=1,所以我跟晨风说要归一,否则确实不灵.

Dracula

晨枫 发表于 2019-2-5 01:06
呵呵，好久没见Melissa了。她笑起来还是很charming的！少了点妖气，这是她的长处，还是缺点。Too well ro ...

: u; H/ g! x) E2 h7 L2 b看来你不去我的那个Superhero电视剧美女贴，那儿我最近一个月基本上每隔几天就会贴几张的。昨天庆祝CW宣布Supergirl会有第五季，我刚贴了16张Melissa Benoist的照片。而且那里除了Melissa Benoist以外，别的美女我也经常会贴几张，象最近有Katie McGrath，Emma Watson，Virginia Gardner和Elizabeth Laith。欢迎常去那儿，观看加分。

Dracula

数值分析 发表于 2019-2-5 01:20
7 E5 v* r' g% _* A. j  D当然,前提是integral f(x)* dx=1,所以我跟晨风说要归一,否则确实不灵.

曲线下面的面积等于1，这个条件肯定不满足。因为这本来就不是个概率论的问题。
% A0 ~, N$ o; j. ?
那个公式是sum(xi * yi) / sum (yi), 如果纵坐标的零点移动，就是说yi' = yi + t, 你再算 sum(xi * yi) / sum (yi)不等于sum(xi * yi') / sum (yi')
: i5 w" y: t6 i$ C
  [. e# e) j( E

数值分析

Dracula 发表于 2019-2-5 01:37
) W( B5 b" e5 L& a曲线下面的面积等于1，这个条件肯定不满足。因为这本来就不是个概率论的问题。

那个公式是sum(xi * yi)  ...

所以我和晨风说要归一么.用histogram 面积归一以后,没问题.这实际是个加权平均问题,加权平均要求所以权重加起来和是1.即integral f(x)* dx=1,现在权重是温度,加起来肯定不是1.但只要除以总面积,(这里就是总温度),就还是满足这个关系的.不影响结果.晨风只关心最高点出现的位置,而不关心最高点是多少,这是关键.

晨枫

Dracula 发表于 2019-2-4 11:21
看来你不去我的那个Superhero电视剧美女贴，那儿我最近一个月基本上每隔几天就会贴几张的。昨天庆祝CW宣 ...

2 `+ M2 F% M( A! G4 N这等好地方怎么错过了？赶紧去看！

晨枫

数值分析 发表于 2019-2-4 11:41
, Y* I! H2 w$ w# G0 W7 J. N0 N2 w所以我和晨风说要归一么.用histogram 面积归一以后,没问题.这实际是个加权平均问题,加权平均要求所以权重 ...

) I5 c" E2 C3 M0 j话说，如果选“爱坛最学术贴”，这个贴有没有希望当选？我肯定投一票！

, k/ g0 H* x. a7 \' ?多谢各位老大帮忙、指点。正在用Excel抓历史数据验算，看看这办法灵不灵验！

数值分析

晨枫 发表于 2019-2-5 01:49
0 K; C% n6 O" X话说，如果选“爱坛最学术贴”，这个贴有没有希望当选？我肯定投一票！

/ a- E" p1 H8 i$ Q) O4 j; n多谢各位老大帮忙、指点。正在用 ...

如果不灵就是你那个偏态曲线和博松分布曲线实际上并不像,即重心和最高点不重合.不过有的修.如果到那一步咱们再谈怎么修.

数值分析

晨枫 发表于 2019-2-5 01:49
话说，如果选“爱坛最学术贴”，这个贴有没有希望当选？我肯定投一票！
  |* l( A" m7 {8 {
8 j3 i, x  x3 o1 }8 A多谢各位老大帮忙、指点。正在用 ...

) f7 S/ B, o) j- q+ ?不过不管灵不灵,晨大可以帮我验证这样一个事儿,即把整个曲线平移n个单位,用同样的算法算完,结果应该是老结果平移n个单位.这个不管是不是博松,只要面积归一一定都灵.

Dracula

数值分析 发表于 2019-2-5 01:41
所以我和晨风说要归一么.用histogram 面积归一以后,没问题.这实际是个加权平均问题,加权平均要求所以权重 ...

8 j2 G9 h, [# w8 j+ B假设一个最简单的情况吧。只有两个点，y1和y2，y1<y2，如果你把零点设在y1, 那么y2的权重是1，y1的权重是0，只有第二个点的值决定结果。但是如果零点设在接近于负无穷，那么不管y1, y2的值是多少，都接近相当于两个点的权重都是0.5。零点的选择肯定是对结果有影响的。但是因为零点的选择是arbitrary的，这种情况不应该出现，因此我认为这个算法有问题。
  `8 k2 U* d( |" x1 B/ k0 d
7 e- u( i9 H$ b5 ?; B+ u* `

晨枫

数值分析 发表于 2019-2-4 11:54
! Z4 e$ F7 ^( I+ a. x( O/ S. N不过不管灵不灵,晨大可以帮我验证这样一个事儿,即把整个曲线平移n个单位,用同样的算法算完,结果应该是老 ...

, y8 W0 L" b: T2 f/ M* [我用“掐尾”正态分布已经试过了，不归一都精度不错。我再归一试试看！

晨枫

数值分析 发表于 2019-2-4 11:51
- m$ n7 ?+ D+ N8 i% U8 D如果不灵就是你那个偏态曲线和博松分布曲线实际上并不像,即重心和最高点不重合.不过有的修.如果到那一步 ...

9 y* y7 y8 v1 _% f多谢！will report back!

holycow

数值分析 发表于 2019-2-4 09:41
" a  q% |2 x) P; f) u9 G9 U所以我和晨风说要归一么.用histogram 面积归一以后,没问题.这实际是个加权平均问题,加权平均要求所以权重 ...

% w* [# }. v+ J! M9 o0 ^伯爵的意思是说，总温度凭什么以零摄氏度做原点？如果零度不是原点，则和原点的相对温度差之和完全是主观确定的，就不能拿来当scaling的分母

数值分析

( D6 T6 n* L5 O) y- b5 G

holycow 发表于 2019-2-5 02:15
, o: d6 O. }/ a% r伯爵的意思是说，总温度凭什么以零摄氏度做原点？如果零度不是原点，则和原点的相对温度差之和完全是主观 ...

* m: P2 X  z1 J, X4 k2 s- P' \这个答案很简单,因为用零度才像泊松分布,如果上下平移的话,重心还是存在的,只是和最高点不再重合.你可以试想一下把泊松分布加上一,然后重新归一,也能得一个新的分布,这个分布也有期望,但期望很可能就不是最高点了. 不过单峰分布,只要不是骨骼轻奇(偏度skewness特别大),基本上最高点和重心差不太远.

数值分析

holycow 发表于 2019-2-5 02:15
伯爵的意思是说，总温度凭什么以零摄氏度做原点？如果零度不是原点，则和原点的相对温度差之和完全是主观 ...

顺便说一下,如果是对称的单峰分布的话,就没有这个问题,随便上下平移,只要归一就可以.

holycow

数值分析 发表于 2019-2-4 10:32
% p4 q3 p7 R$ r2 |1 D顺便说一下,如果是对称的单峰分布的话,就没有这个问题,随便上下平移,只要归一就可以. ...

/ w4 U  }3 X4 G( a  R6 T3 ]8 ^# l1. 极值出在哪里，只要估计出lambda即可
9 r7 l2 n( [0 ]1 f, ]6 b" ^" G2. Lambda的估计需要依赖于归一
3 ~; k9 k) ^8 R# c8 q1 j3. 归一的分母是可以主观确定的 (导致曲线下面积变动)
$ v1 ?8 F# _6 ]- ]: m
- G, f1 K1 G8 h$ U就算是对称单峰分布，也要先解决这个峰的陡峭程度才知道这个峰在哪里，恰恰是峰的陡峭程度依赖于归一的分母...

tanis

数值分析 发表于 2019-2-5 02:23
6 w" `7 ^2 q* q8 [这个答案很简单,因为用零度才像泊松分布,如果上下平移的话,重心还是存在的,只是和最高点不再重合.你可以 ...

冒昧的问一句，你搞过竞赛么~
: k6 v8 s3 H2 z# Z( j- D1 E; f
思维方式挺像的~

Dracula

数值分析 发表于 2019-2-5 02:23
这个答案很简单,因为用零度才像泊松分布,如果上下平移的话,重心还是存在的,只是和最高点不再重合.你可以 ...

* ?& r# B" @$ q* `% I4 Q. Z问题就是这个0度在哪儿你并不知道。至于曲线下的面积必须是1这一点，只要各个点同乘或同除一个数就都可以做到，这个条件并不能提供任何额外的约束来确定零度这个参数。
# q/ `# F7 c; v- G1 \" I

木不铎

不麻烦啊。查一下维基百科上关于“泊松分布”的页面嘛。

泊松分布的概率密度函数为
  b2 x  E; h* D( x/ `3 J
6 {/ H; n+ l; B' w/ O其中λ是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生率，k代表发生某类事件的次数。
这里有一个很好的例子如下：
" l( T! C+ H' ?0 r! H9 k
1 v+ [% ?3 n  _' Q5 Z
2 N- L0 M% g# P  E! B, V: @, B

对某公共汽车站的客流做调查，统计了某天上午10:30到11:47来到候车的乘客情况。假定来到候车的乘客各批（每批可以是1人也可以是多人）是互相独立发生的。观察每20秒区间来到候车的乘客批次，共观察77分钟*3=231次，共得到230个观察记录。其中来到0批、1批、2批、3批、4批及4批以上的观察记录分别是100次、81次、34次、9次、6次。使用极大似真估计（MLE），得到 的估计为λ=（81*1+34*2+9*3+6*4）/231=0.8658。

0 j) P. b+ o1 v6 z7 o
) R1 F( _% H: H/ ~8 }5 _5 m  L也就是说20秒之内平均有0.8658批客人。

这个例子应该和斯基的问题很类似。根据统计数字，用这个MLE方法，就能得到你的均值λ

晨枫

木不铎 发表于 2019-2-4 15:31
8 b3 L4 B# s3 e* z* P2 t& j$ v8 Y不麻烦啊。查一下维基百科上关于“泊松分布”的页面嘛。
. W# z2 K- y6 F, H& y: e
泊松分布的概率密度函数为

2 ]9 b' I- Q8 b/ N! \谢谢。这和42楼“数值分析”的方法是一样的。