数学在经济学中的意义（已更新）

贾大松鼠

1 p8 U' i" U$ D* V
7 l3 N0 _) G! E( g3 z7 B2 l经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。

: P; \, ~  t( ]! g! F不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。

一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。

这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）
0 g9 z+ Q+ A3 l. U
所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。

那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？

问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。
, q( G& a3 c. Y& b8 P( H
0 A1 N) z, H9 s' P" l. v1 {6 }
量化在第13楼~~

人在江湖

牛啊。高中就开始思考了

gordon

: T( \4 \  B/ d  Y6 A经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
8 [  w2 W! ~$ Q) f
经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵

! u# y+ y$ h' C' L4 a8 o2 I) u5 W理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
$ n8 ^( m1 B! r1 m
% V) w! I: N+ v' C& l外行人瞎说的，别当真

0 O$ Y# I  r3 J6 j, K

假如十八

这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？

贾大松鼠

假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
" u- [' R/ L4 w: H; q# W效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
* ^& Q& d- k) ^: p, s只要是不连续的函数，都是不可导的~~

假如十八

贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
3 H  J, q% b6 T% [1 Y  A. |8 b效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
% U, y7 P7 V- A6 R* x6 J, f: y, U. |0 g你的意思是marginal ...

就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
3 Y2 @5 T/ Z% m; H4 I
这种处处不可导的utility function真的用的多么？

贾大松鼠

gordon 发表于 2014-1-8 20:09
) n3 t2 m, i- J! [, D6 c经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱

. s. I8 {. n& S4 C9 g- H经济学又有点像理论物理 ...

* c- |6 d5 x$ [5 y& a1 J$ `. h嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~

贾大松鼠

假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
, f; B9 R, _' T+ T* [! T就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
& X6 j4 {2 X/ M$ L0 g4 S
! i0 I" x, f9 c( j/ V  H7 s这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
/ U0 I. J5 g# B因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~

假如十八

贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

! ]6 j& j$ _* {! v  `( f5 s
% j5 b: v, k8 t$ v所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？

Dracula

假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
5 s+ z5 A$ g5 O% b" \/ C就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。

9 I# E5 c1 w% ^# h; Z" `" \, R这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

+ `3 e, P0 ?; @你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。

. k0 ^7 k% U2 F0 B0 r; I6 ]http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
0 U1 T8 n/ V4 d& B
3 }) J- t8 ?$ e  c+ z经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
- v9 I( ]) k" h" ?* E
! g* P4 Y7 W$ ?: D: [

假如十八

不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文

天马行空

gordon 发表于 2014-1-9 09:09
! W8 k! n5 W4 j  P0 i' p经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱

, n* h$ U  u1 C; R1 Z经济学又有点像理论物理 ...

1 T0 P2 n, t: g# a' N; w: t1 C6 O经济学还能挣钱的。
; H/ y; i0 g  z6 e( e
4 ?$ y% R/ f7 f. j7 C
3 L" q7 Q: {+ T# N  Z理论物理真中枪，只能当作修身养性

贾大松鼠

下面就要来说说“量化”了~~
3 |$ `0 F4 Q6 g2 k) e( T- k' U对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
; I! E# D" F* `+ C; ], z1 z# A, A" ]术语上来讲，叫calibration。
怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
7 e1 q/ _9 D# i; O
上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
; ?1 N( |0 Z6 R+ i4 `. F那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。
0 I: A" ~/ |. n0 U: ]9 l+ v- t——计量的方法。
9 j, J8 j" ~" q" a3 k% d
8 k; `, o& [9 {5 m3 w8 n计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。

& R' E% W* H7 w6 G2 F, S6 ]0 Z9 e2 p下面我提几个问题，
3 n9 T0 b. N3 E比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
1 m$ A4 `, x1 V) A. G+ F; Y) S再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
' t8 d1 K1 f" R8 @再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
9 {& `2 h# p4 G8 E% I1 Y! I2 r这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
( z! G$ ?, x! _) d( l! ~术语上叫做regression。
. H/ l- \% @* f- a6 p' `而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
9 f* B1 [( |9 ~
& r1 g$ _" D/ j1 u# ~最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
每个观测到的数据之间是否是独立的。
比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
) `8 B" g9 {# ~0 v  S, D, E这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。
  \* t5 ]3 C8 @& C
- U6 A! @- K1 b1 Z# |0 I于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
6 p: X& V4 T( V% r这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
6 F/ p& T, t' }* W2 o$ g7 o3 I3 C至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。

经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。

万里风中虎

效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

万里风中虎

贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
- `6 m$ B! h: k; }下面就要来说说“量化”了~~
9 Y  _; c5 m$ M, e9 W, q9 ]对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

# k% W+ N. T1 I6 g2 C8 `! d所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。

假如十八

万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
: b  q6 m  d' e效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

这个我有个模模糊糊想到的问题。
; {# }: L7 `" d" E# _$ S6 @
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。

这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？

假如十八

假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
9 M% l1 |  ^: e, X8 j0 S- j这个我有个模模糊糊想到的问题。
% l4 W0 T: y6 b$ T' n
! h+ c0 o4 f9 ]' Q比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。

多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。

Dracula

贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

5 o% k- |0 d& h' ?, [Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。

Dracula

假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
这个我有个模模糊糊想到的问题。

比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

5 F1 x8 O! X* m) f由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
$ D( U2 G  ~$ d) \* M' \
! L+ K. G, m9 O7 t& r6 N, M8 C% V金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。

5 }5 f) r$ o3 V金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
' S# o2 c" V  @+ |& }