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[经济] 数学在经济学中的意义(已更新)

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楼主
发表于 2014-1-9 08:04:00 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
2 Q' a% c: a4 \3 V9 E+ i4 e- V% y$ ~9 N* ]1 \- b, `2 M
经济学与数学的关系,是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济,需要数学好。而数学在经济学中的意义,是我直到念了博士,才一点点理解。
3 l" H9 h; x7 L1 ~* L5 r大松鼠感觉,经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱,还可以用作在微博上大骂国家政策。
, _0 K3 ~+ S% ?+ I: e4 q
$ X6 E* U9 \( M  X1 v0 U4 U不过,经济学本身的研究,与这些人的区别,据大松鼠体会,大抵有两个不同。
6 M, C; f; ?' S6 r6 A- M' G* S
一是,在理论问题上更加抽象,二是,在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词,都和数学有着紧密的联系,但是也不尽其然。" b+ \7 x2 R9 Q
1 G! ]) Q& b0 R  S6 {; H
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。(量化在第13楼)
. k$ m# I( V. w4 F; M
' n8 R% Q& L7 Q# ]0 A2 L! h所谓抽象,是指把很多具体的例子,总结成一个例子。而这“一个”例子,必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子,必须是可以解的。否则,问题放在那里,也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程,实际上是一个由繁至简的过程。这个过程,不一定需要高深的数学。举个经典的例子,乔治安科洛夫1970年的著作:《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》,这篇开启整个不对称信息研究,也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章,就没用任何超出高一上学期数学的知识,最难的数学知识,是分段函数。
$ F1 q0 e2 i- n2 v2 g
' B3 D6 v: L, z5 o那么,高端的数学用在了哪里了?在理论问题的研究上,高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设,是假设一个人choice,是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系,就非用数学而说不清了。首先,人的选择,可以用通过分析函数的最值来分析么,这个函数是连续可导的么,人的选择的空间,是稠密的么?这个函数,是凹函数还是凸函数?
/ |. P! E* H# d, A. `5 p7 j4 g
5 b2 q( u8 t3 G9 d问题接踵而至。大松鼠在这里,当然不是为了要讲解这些数学问题,只是认为,其实越是简单的问题,越需要深入到最根本假设上的思考,越需要严谨,越困难。
0 }- u" S$ M6 _2 R. @
) N1 D7 `) M5 i5 r4 P) e5 ~1 W

+ ]/ U6 ]3 |- i量化在第13楼~~

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2019-2-3 22:30
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    [LV.4]金丹

    沙发
    发表于 2014-1-9 08:16:51 | 只看该作者
    牛啊。高中就开始思考了

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    高中的时候是觉得自己数学不好,怕学不了经济。。。  发表于 2014-1-9 09:00
  • TA的每日心情
    开心
    2016-3-6 10:27
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    [LV.1]炼气

    板凳
    发表于 2014-1-9 09:09:27 | 只看该作者
    本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 - s# R7 a6 @6 U

    $ v$ I$ |2 x9 Y! ~经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱
    ) u, ~/ g; B$ v, `
    . L. H* D( N4 X0 b6 [: f4 j经济学又有点像理论物理,总是自己在创造理论,呵呵
    2 V. ~0 B. K6 }$ s# g5 @- _' G2 |5 K8 j  @( f
    理论有点像货币,可以流通和实物进行交换,但理论又不是实物,它是一种指代关系
    - T6 [9 E' T1 S' ~0 C' o, c# j+ S- P4 {% H* q, o, A8 k/ x
    外行人瞎说的,别当真1 Y! h7 i0 c( |' V# K. a( J

    7 K7 ]1 b0 R* p
    0 K8 O: D" r0 e8 Y+ Q. m$ G

    点评

    真正的经济学家其实就是物理学家,收入不会太高。  发表于 2014-1-12 17:07

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    地板
    发表于 2014-1-9 10:25:31 | 只看该作者
    这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的?

    该用户从未签到

    5#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:44:02 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
    8 H& B; `5 \% n- ?2 M% ^1 h, x9 [这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的? ...
    4 ?: y$ n6 V9 m4 c# q. ]
    收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。
    ; H/ A, b+ T: @  p效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
    2 q& f& m4 f$ i5 A9 v你的意思是marginal utility不同是么?大概是一个函数从左边求导不等于右边求导?" ?& @: K' v; p; U; ?2 j7 Y! J
    只要是不连续的函数,都是不可导的~~

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    6#
    发表于 2014-1-9 10:46:49 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 8 B3 u$ F- C/ e* g8 U' \% [3 f
    收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。" K3 L$ }% W' h0 d
    效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
    . j! ~) \7 H, U" d你的意思是marginal ...

    * b' t. `; g7 q$ X就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    : k/ E% j9 B; c5 c% ^
    + i# n4 m2 Y' O, P: a' I这种处处不可导的utility function真的用的多么?

    该用户从未签到

    7#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:47:08 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-8 20:09
    4 ?9 \: d) ?1 _( l3 Z经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱+ x: v% t: x' c+ x9 [' e
    3 a. L/ e7 y# s( K$ Q: ~+ G4 F2 R7 {
    经济学又有点像理论物理 ...

    . z8 T* o- [5 u( n* A9 \& X* z6 s嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币,是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的,都是人创造出来一个概念,然后去研究它。不像物理化学生物,研究的都以自然界的物体为基础的。
    ) F) j* T( ?/ X5 F1 C2 ^& W, I; M, X不过经济需要数学,数学不需要经济~~嘿嘿~~

    该用户从未签到

    8#
     楼主| 发表于 2014-1-9 11:13:11 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
    ; q8 |- d4 N9 V, e就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    / u$ ?+ [0 I; u8 K
    9 D+ \; u( ]8 z! G这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...
    1 t6 Q% V$ B/ _0 S* o
    几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了,就把这些特例扔掉了。5 V8 f1 c& Q: j. K  I
    因为应用这些理论,来解决实际问题的时候,绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导,那么求不了边际效用,那么什么都解不下去了~~

    该用户从未签到

    9#
    发表于 2014-1-9 11:14:32 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
    8 X$ {3 m- ^1 x/ k几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
    9 G; _, z) ~# E. g
    . h5 z- Q2 F. ]5 O+ C: P4 v4 W
    所以行为经济学离实用还有挺长的路要走,可以这样说吗?
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    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    10#
    发表于 2014-1-9 12:57:13 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
    9 I. H$ k* G% g8 I" X8 R就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    3 z; [$ d7 H. K! e6 n. a  @! q8 m% `  ^4 F7 K! W
    这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...

    $ _  g: Y7 h, C+ |1 \) L你说的是loss aversion,比如投资,损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小,在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里,人是风险中性,对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型,我对这个领域了解的不是很多,不多写了,这是Wikipedia上的简单介绍。/ y3 ]; l; z8 A) G, y! w

    , E5 T  w+ C& `http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
    + h) Q3 C) d' Y( _4 P2 {% }7 ]* B& ?5 G7 C, S4 Y9 |3 q2 r# S! @3 Y/ D
    经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似,里面肯定有很多假设同现实相违背,需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题,效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导,推不出漂亮的数学定理,但是对结果并没有太大的影响,比如解出的函数不是单调增加,而是在绝大多数点上增加,对实际应用没有太大影响。( Y4 S3 l$ i! O6 Z- ^

    ! q% H" K( \  e$ H2 _  A

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    该用户从未签到

    11#
    发表于 2014-1-9 14:20:52 | 只看该作者
    不好意思打岔了。。。松鼠继续,花等下文

    该用户从未签到

    12#
    发表于 2014-1-11 16:24:53 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-9 09:09
    ; `! m- z$ m! a2 [! @- [+ d经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱
    7 t, O5 q7 R) J4 ~; B! y
    ' O5 `' k( W0 _5 X经济学又有点像理论物理 ...

    , w7 u2 K& a. L: W- ^' Q经济学还能挣钱的。* r( T$ R+ M# G; k
    * D# l& t7 ~, T& m6 m
    ) K2 Y& ~% \* Q: d' \6 \& m
    理论物理真中枪,只能当作修身养性

    该用户从未签到

    13#
     楼主| 发表于 2014-1-12 10:32:13 | 只看该作者
    下面就要来说说“量化”了~~
    : d: Y$ c2 l7 J5 e对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模型而来。之前说过了,大体上,理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后,量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的,就是找到这个特定的参数。' t) _  j+ l3 M" @6 V1 }5 D
    术语上来讲,叫calibration。1 t% }; n0 h5 u: w
    怎么找呢?基本上就是来match empirical data。
    2 Z) z# ?& o2 P4 A' }
    9 @3 T( ~! d6 M5 V7 K上面这种方法,大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。+ z+ B& i; K8 h9 M0 Q
    那么还有一种方法,是从外部入手解决量化问题。
    9 z: z+ r- c3 ~5 l. q2 O6 {——计量的方法。
    1 t- T7 E4 S7 e8 D6 F  O! k" f/ E0 W3 H9 S0 L* |" o6 t
    计量,可以用来检验一个理论模型是否符合实际,也可以直接作为研究问题的方法。4 V& y. N$ W5 M
    5 l8 _9 d& M& J. S: ?7 O9 m
    下面我提几个问题,
    " d4 C2 {  L$ ^比如,大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响?
    9 s( C3 G+ {$ g3 T再比如,一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
    1 w1 o' ?( O2 F) h再再比如,如果多看电视的话,会不会容易引起儿童患自闭症?) L; m- m6 ]+ w4 g% `
    这些问题,不太容易从建模的角度去分析,因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢?我们从外部,不用参数模型,而直接用数据本身,得出答案。+ S) Z2 ?6 G6 ^
    术语上叫做regression。
    : i* @# m, [" H. B+ D而这里,就会遇到一定难度的数学问题了。基本上,是统计学的问题。
    / j, R6 N4 n# x3 A6 m1 ~) f. W" F6 Y
    最先遇到的问题,是统计学上的大数定理,是否可以应用。% d' g6 y3 C1 p6 Z( M& \7 n0 }" m
    每个观测到的数据之间是否是独立的。
    ( n3 ]3 H0 I# k; w: v& [比如时间序列函数,每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了,明年的GDP很可能也是高的。( ?2 t2 @+ a0 u
    这个数据本身,是连续的数值么?还是1或0呢?还是0或连续正数呢?(比如工资)
    " n6 k2 c6 u; x- n% ]这一系列的问题,都跟统计学有极强的联系。$ p! _% }$ G0 S5 j8 Z& R9 D  ~' n: ?

    3 q1 L( P, i, \4 M) D于是统计学分出来,与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起,出来了计量经济学。& X/ f- l: Y% {7 }8 D: P7 W
    这个计量经济学,又深入到其他社会学学科领域,
    / S) |. j4 M( P. x3 R. z至少我知道的,政治学和社会学,前沿的研究,都与计量经济学有关。
    / }% X0 ~+ M" A4 B; K: g* \  X7 S+ U9 x5 V
    经济学用它独特的量化分析,统领着整个社会科学研究。

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    2018-6-27 14:41
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    [LV.3]辟谷

    14#
    发表于 2014-1-12 17:06:38 | 只看该作者
    效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41
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    [LV.3]辟谷

    15#
    发表于 2014-1-12 17:38:31 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 # ]3 r) U- h9 h0 U9 P
    下面就要来说说“量化”了~~. ^4 h9 V* b! J' S& c
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...

    2 @( |+ g" M/ R/ ~% c4 Z所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用,可以为其他学科服务。同样,其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域,只要他们的技术足够强。

    该用户从未签到

    16#
    发表于 2014-1-12 18:15:39 | 只看该作者
    万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
    , q: n& r. @: ]: k+ t效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。

    # F+ y0 x& w( ^0 ~9 W这个我有个模模糊糊想到的问题。
      X7 [/ y: V! Q- r! T4 C# y; A- v0 L2 ]8 s& l: M5 {5 h6 q
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏好,是不是在某种程度上就是风险中性概率?这个也是从个人的估计到市场的估计。# I- C& K0 t/ R7 N! A

    # l6 X2 X1 C4 p3 N& s4 \这样从单个个体到集体的归纳,好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括,因为彼此有扩散的作用,还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的?agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了?

    点评

    有,以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的,这是一个大流派。我不是搞这个的,只能做经验统计。  发表于 2014-1-12 21:58

    该用户从未签到

    17#
    发表于 2014-1-12 22:07:30 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 6 A* q  R% {6 M/ F
    这个我有个模模糊糊想到的问题。
    % s! I$ q" s9 c/ g1 K' C, y% e; p- Y; ~" v$ K
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...

    . F1 h* B9 a) i/ Z( G万里风中虎  有,以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的,这是一个大流派。我不是搞这个的,只能做经验统计。
    + d) b) w5 a- o! `% b: t* H
    . w# X4 ~; t/ v多谢老虎,这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
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    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    18#
    发表于 2014-1-14 07:15:37 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
    . {9 f8 a( {  x( ?% i下面就要来说说“量化”了~~/ t3 G# W/ y- r% S0 }( Y+ ?$ L
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...

    $ \- t" e2 I% E6 x3 R) BCabibration其实做的就是moment matching,可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信,不做Goodness of Fit的检测。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    19#
    发表于 2014-1-14 07:33:15 | 只看该作者
    本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
    1 C# p+ ?# y( E% G  p6 C
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15   T+ z: {* p& C- K, ~" {% m" G
    这个我有个模模糊糊想到的问题。8 ?1 p$ l; U# ]* V, Y# }

    % b1 l$ T6 l# M0 u$ J/ o比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...
    2 K( q/ q" W5 E# y
    7 C+ ?4 R; f/ M* l# V# Y% [' f
    由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现,这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现,MWG的教科书里专门有一章,你可以找来研究一下。! v7 K$ S& N% L$ Z

    8 |6 \5 u3 B, e# A5 O金融经济学里假设的representative agent,也是在这些限制条件都满足的条件下,才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键,我不太清楚。
      o- p3 X" W# i+ u' i$ m
    ! M! l4 n! q1 b4 G$ u1 }! R金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架,一般假设每个人是risk-averse(我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果),因此有risk premium,风险高的资产预期收益必须高,以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability,涉及的数学有点高深,说的是存在着一个新的probability measure,在这个新的measure下,资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
    % ~# S, d$ D4 s& z7 \3 V' Z
    $ d0 w- @: K/ _- f0 A8 L7 w

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