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[经济] 数学在经济学中的意义(已更新)

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楼主
发表于 2014-1-9 08:04:00 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 5 f; B8 I% d# H2 y# n# u: O" n
8 F8 w* S+ i  C. u
经济学与数学的关系,是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济,需要数学好。而数学在经济学中的意义,是我直到念了博士,才一点点理解。. F: u1 }! G* l: P/ Y' r
大松鼠感觉,经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱,还可以用作在微博上大骂国家政策。1 W! c: J, p; E( B( v# T
8 Y7 Q, l3 |1 l+ I: |3 m
不过,经济学本身的研究,与这些人的区别,据大松鼠体会,大抵有两个不同。
; A" e' T0 H7 R2 @% b9 r6 S  R
7 [  L: w9 T" ?一是,在理论问题上更加抽象,二是,在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词,都和数学有着紧密的联系,但是也不尽其然。$ }2 G8 k: C; b' h' L; o, t
; S  r' P4 Y) l9 }) A
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。(量化在第13楼)
+ b! ~  X9 a7 B9 s* I8 H
8 F5 K9 z; A; Z; C) o* _所谓抽象,是指把很多具体的例子,总结成一个例子。而这“一个”例子,必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子,必须是可以解的。否则,问题放在那里,也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程,实际上是一个由繁至简的过程。这个过程,不一定需要高深的数学。举个经典的例子,乔治安科洛夫1970年的著作:《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》,这篇开启整个不对称信息研究,也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章,就没用任何超出高一上学期数学的知识,最难的数学知识,是分段函数。
% ?3 m' o- Z# a% ~3 Y& h
; @/ ^1 E1 ~3 t5 N; J那么,高端的数学用在了哪里了?在理论问题的研究上,高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设,是假设一个人choice,是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系,就非用数学而说不清了。首先,人的选择,可以用通过分析函数的最值来分析么,这个函数是连续可导的么,人的选择的空间,是稠密的么?这个函数,是凹函数还是凸函数?
$ K0 {$ R8 a# n  D  X/ X6 `5 ^6 f# x# }+ _" A, v% j% G, S, j) ^4 H
问题接踵而至。大松鼠在这里,当然不是为了要讲解这些数学问题,只是认为,其实越是简单的问题,越需要深入到最根本假设上的思考,越需要严谨,越困难。# ?- p6 w, a7 E+ V/ _

+ l: t4 l2 e2 C8 m( W
: g1 ~/ m' I3 K, i: J( y量化在第13楼~~

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    奋斗
    2019-2-3 22:30
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    [LV.4]金丹

    沙发
    发表于 2014-1-9 08:16:51 | 只看该作者
    牛啊。高中就开始思考了

    点评

    高中的时候是觉得自己数学不好,怕学不了经济。。。  发表于 2014-1-9 09:00
  • TA的每日心情
    开心
    2016-3-6 10:27
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    [LV.1]炼气

    板凳
    发表于 2014-1-9 09:09:27 | 只看该作者
    本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
    ! J7 e7 C. I" `  `) @: L/ ^0 i) Q% j, U. ^* c, Z8 x: j
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱5 C  _. T. c4 U9 S& R

    + R4 f, i& ^. `) g! ]1 q  V经济学又有点像理论物理,总是自己在创造理论,呵呵, j) S7 w) G+ ~) B3 o: t4 [1 g
    & w, A+ {0 Q/ M4 b& @, a
    理论有点像货币,可以流通和实物进行交换,但理论又不是实物,它是一种指代关系
    ) t/ o1 V! f% O0 z" s3 y* J; F! Y
    外行人瞎说的,别当真
    8 W% e  p8 w; z/ O$ \; A. [) ]: F4 N
    - q3 Y, E3 l: R: @5 z/ t4 `9 T: b1 M- T

    点评

    真正的经济学家其实就是物理学家,收入不会太高。  发表于 2014-1-12 17:07

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    地板
    发表于 2014-1-9 10:25:31 | 只看该作者
    这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的?

    该用户从未签到

    5#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:44:02 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
    5 Q3 {+ @! @% m1 d; n2 k" k7 ~这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的? ...

    6 R1 a( G/ o/ B. O收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。5 V. ]$ e7 K  v* E9 f! b
    效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
    " Z( N: o1 x( Q' W% \你的意思是marginal utility不同是么?大概是一个函数从左边求导不等于右边求导?
    / J( o* T: v* X0 D' M, T$ e只要是不连续的函数,都是不可导的~~

    该用户从未签到

    6#
    发表于 2014-1-9 10:46:49 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 . S$ c  D) d3 e+ q$ U/ f% m$ k2 a
    收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。2 ]8 @+ Q& }9 q- }" {
    效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~) B9 L: ]6 r1 X/ Y
    你的意思是marginal ...
    * a" m! [& t) F3 t
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    & Z7 s5 ]. n' \  U% E8 C5 T+ b% c) v/ ~' Y
    这种处处不可导的utility function真的用的多么?

    该用户从未签到

    7#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:47:08 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-8 20:09 * d8 H+ m1 G& y9 P; g. u& W( Y* a
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱; R" q* t9 E0 v+ `, L

    ( f. C: }, b$ X3 ^* u, Q7 R经济学又有点像理论物理 ...

    * v  F- G8 A0 \3 @6 }嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币,是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的,都是人创造出来一个概念,然后去研究它。不像物理化学生物,研究的都以自然界的物体为基础的。
      U4 ?# J8 e: B6 v不过经济需要数学,数学不需要经济~~嘿嘿~~

    该用户从未签到

    8#
     楼主| 发表于 2014-1-9 11:13:11 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
    / H/ B6 u5 O9 F" C! r  X  J! U就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    4 d# i% J( h' |0 d' [
    * Y8 v' I  q/ Q, ]6 x4 M这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...

    7 M1 u: |- v. ]' T* N几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了,就把这些特例扔掉了。
    0 U, ]! j) }0 H, s+ ^0 n& I因为应用这些理论,来解决实际问题的时候,绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导,那么求不了边际效用,那么什么都解不下去了~~

    该用户从未签到

    9#
    发表于 2014-1-9 11:14:32 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
    $ I6 F3 u8 A& x& r! D0 }) q几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

    4 }( Q5 U9 s3 j" g! ^. j: v$ C7 i6 N: J5 s
    所以行为经济学离实用还有挺长的路要走,可以这样说吗?
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    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    10#
    发表于 2014-1-9 12:57:13 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-9 10:46 & x8 _# O2 P  v/ C' J
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。* _3 W4 ]4 r6 d, c  }* P$ e
      C  \* u  J+ G" v
    这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...

    * j: z3 q6 m8 D: I1 S  O6 x你说的是loss aversion,比如投资,损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小,在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里,人是风险中性,对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型,我对这个领域了解的不是很多,不多写了,这是Wikipedia上的简单介绍。
    0 o/ Z! g( s; m2 r- l  ~% Z- M9 m" m6 D9 c
    http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory& z1 J! [9 j" w6 o6 f
    ( t7 L9 b; N: V$ E: r  X8 V& s
    经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似,里面肯定有很多假设同现实相违背,需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题,效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导,推不出漂亮的数学定理,但是对结果并没有太大的影响,比如解出的函数不是单调增加,而是在绝大多数点上增加,对实际应用没有太大影响。  u5 A. K" k% f+ Z
    4 I" `7 b. a0 e5 |

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    11#
    发表于 2014-1-9 14:20:52 | 只看该作者
    不好意思打岔了。。。松鼠继续,花等下文

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    12#
    发表于 2014-1-11 16:24:53 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-9 09:09
    ( ^- X% e3 t0 o! ^" v' x3 E经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱
    0 ]  I$ |- n- _% W  W' I9 M5 U
    4 l/ F( \7 K  u( o" M经济学又有点像理论物理 ...
    " W1 Q3 M3 S1 f% @- b5 S. b
    经济学还能挣钱的。
    4 i3 O, M. H; e3 x0 V& D9 s$ g4 L  d0 `7 o
    " D. c5 Z! |/ A0 r5 H
    理论物理真中枪,只能当作修身养性

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    13#
     楼主| 发表于 2014-1-12 10:32:13 | 只看该作者
    下面就要来说说“量化”了~~
    5 \: `: l/ X" N# H2 u, X* _7 Y对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模型而来。之前说过了,大体上,理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后,量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的,就是找到这个特定的参数。1 q: G1 g+ H( D" E
    术语上来讲,叫calibration。# z8 X, \+ |0 r3 T5 ^) Q
    怎么找呢?基本上就是来match empirical data。* L8 u, M9 t/ m+ {% F- X

    8 C7 i; B) D7 R上面这种方法,大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。4 c0 j! G: O4 v2 v2 K
    那么还有一种方法,是从外部入手解决量化问题。1 U" P$ U9 Q1 J) ~
    ——计量的方法。
    $ i& R  s! @) G2 y1 C( [! ?4 M; M# U  p
    计量,可以用来检验一个理论模型是否符合实际,也可以直接作为研究问题的方法。
    & @# G6 d# C9 a/ R1 L. k! o" @- ^1 ^2 h
    下面我提几个问题,
    , s$ J) J) f+ o3 @比如,大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响?: d1 p. S7 K( I# s+ @* f- e
    再比如,一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响+ A, D7 y( b" b6 E- K' W. f
    再再比如,如果多看电视的话,会不会容易引起儿童患自闭症?2 V& Q: c4 v* X. g  }
    这些问题,不太容易从建模的角度去分析,因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢?我们从外部,不用参数模型,而直接用数据本身,得出答案。
    % K% \5 p% W" w. S1 `2 ~术语上叫做regression。
    + s4 z% K3 T: K% f- Y而这里,就会遇到一定难度的数学问题了。基本上,是统计学的问题。
    8 N0 }$ |* N( u1 d. H2 k8 }: j9 ]) g1 d# @7 t2 o) [7 Q
    最先遇到的问题,是统计学上的大数定理,是否可以应用。$ h$ N# ?" a% k- w1 H1 q  A/ p5 }
    每个观测到的数据之间是否是独立的。0 R# d5 M( D4 ?0 `
    比如时间序列函数,每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了,明年的GDP很可能也是高的。
    $ n0 K# b1 p! S' f) L1 _0 r这个数据本身,是连续的数值么?还是1或0呢?还是0或连续正数呢?(比如工资)4 e- R8 s3 C) k* P& X
    这一系列的问题,都跟统计学有极强的联系。" `; O+ W6 j3 D3 W2 V( u5 d5 \
    - \) v. X) H. Q
    于是统计学分出来,与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起,出来了计量经济学。& C( H4 i9 a; y4 n
    这个计量经济学,又深入到其他社会学学科领域,
    0 G4 \: j+ V' Y5 @至少我知道的,政治学和社会学,前沿的研究,都与计量经济学有关。1 n6 a) ?+ \" b  z+ `3 l" U% u

    + |! y- E- L* ?经济学用它独特的量化分析,统领着整个社会科学研究。

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    开心
    2018-6-27 14:41
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    [LV.3]辟谷

    14#
    发表于 2014-1-12 17:06:38 | 只看该作者
    效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。
  • TA的每日心情
    开心
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    [LV.3]辟谷

    15#
    发表于 2014-1-12 17:38:31 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 / V5 [  n! [' [
    下面就要来说说“量化”了~~6 w  m9 P) j1 H" y/ w) b
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...

    8 Z! |; W9 u$ g% P( k所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用,可以为其他学科服务。同样,其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域,只要他们的技术足够强。

    该用户从未签到

    16#
    发表于 2014-1-12 18:15:39 | 只看该作者
    万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
    : Z2 C) S; M( k. g6 h  M" T' N效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。
    ' X) k, i$ j# C  L3 p, a& W% ~
    这个我有个模模糊糊想到的问题。2 ?% o' k3 d1 g9 q  }
    $ p% S4 v2 o! F
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏好,是不是在某种程度上就是风险中性概率?这个也是从个人的估计到市场的估计。
    # K8 t; d7 Q" P5 d5 ?$ @
    # {" Y; b2 M8 ~' e- K这样从单个个体到集体的归纳,好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括,因为彼此有扩散的作用,还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的?agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了?

    点评

    有,以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的,这是一个大流派。我不是搞这个的,只能做经验统计。  发表于 2014-1-12 21:58

    该用户从未签到

    17#
    发表于 2014-1-12 22:07:30 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
    8 E# y! `: f8 U* y/ B/ G这个我有个模模糊糊想到的问题。* W8 [2 t4 g) a+ C* [8 U+ b

    / V5 n  \0 ~" u* S) K1 J$ B1 L9 m比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...

    4 G$ p& n$ `; K8 ]& {# e万里风中虎  有,以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的,这是一个大流派。我不是搞这个的,只能做经验统计。
    + s# X0 F0 y; R$ M! V9 J. F7 \  b$ L
    多谢老虎,这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
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    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    18#
    发表于 2014-1-14 07:15:37 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
    4 i) G, g. r% A* X下面就要来说说“量化”了~~. F$ s) M9 O. h: P! L% q0 O+ [2 F5 x
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...

    7 P' c+ b% u! WCabibration其实做的就是moment matching,可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信,不做Goodness of Fit的检测。
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    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    19#
    发表于 2014-1-14 07:33:15 | 只看该作者
    本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
    & K* r5 W$ V. `7 ?/ a: Z
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 " }; L# ]0 c1 z, q" {* s
    这个我有个模模糊糊想到的问题。
    ( Y/ Z! K. V3 \9 l% r1 q3 C: `& `. {+ `1 X; b# Q
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...

    ' V# V; `' ]- o- J+ K$ F7 \- Y
    - o( o3 D. Q7 y3 ~6 y, q( s. A/ w- f- z由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现,这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现,MWG的教科书里专门有一章,你可以找来研究一下。
    & U+ A: j: i1 u. c+ G. r  H5 O$ \3 z2 c, G& ~- p
    金融经济学里假设的representative agent,也是在这些限制条件都满足的条件下,才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键,我不太清楚。
    + Z$ C/ P5 q3 \$ Q# T2 O1 A& j
    # ]3 P+ a; I; u, N/ H8 `" e金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架,一般假设每个人是risk-averse(我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果),因此有risk premium,风险高的资产预期收益必须高,以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability,涉及的数学有点高深,说的是存在着一个新的probability measure,在这个新的measure下,资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。+ {: }0 f+ D0 ~; J4 v! ~

    ( B! H( C: n$ a9 B

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