数学在经济学中的意义（已更新）

贾大松鼠

$ D, u% {  x; h6 ~4 p) p经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
! T4 T8 [* O; }2 f( d+ `% J0 R大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。

不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。

! Y  ]5 v7 k6 K# B一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
  w3 j3 q2 u" L. ~$ }) i
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）
# q& f/ {8 @3 o, J
所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
' p0 P2 c& G. c/ m; l
那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？

问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。
* c+ T0 H& O* t2 K
. R( e" b7 k$ ~1 P; g
4 y" I+ q' ]5 ]量化在第13楼~~

人在江湖

牛啊。高中就开始思考了

gordon

! O' X0 y( P( Q
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
1 J3 O0 K1 k' @  U& q5 v+ Q
, z, l. |3 ~' G5 v  q8 c经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
$ G2 S- ]9 C' a5 k0 ]) n  I, E
& S, N4 A' {# U" }5 R理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
6 g: ~# V7 p) S7 z2 G" x$ F3 p; o" ~
$ t* p" `3 |& C$ y( N8 }0 _; g  ^+ u外行人瞎说的，别当真
  V' g, N2 _1 j+ Q2 c/ r) W

4 F( ?, @5 R) [: ?

假如十八

这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？

贾大松鼠

假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
6 A- N% r# B) q& Z, z这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
* ^1 M1 \, ^2 ^, i/ K7 z2 _效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
" t  O% ~6 D1 p4 X& y% l* P# z只要是不连续的函数，都是不可导的~~

假如十八

贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
6 K) S2 H2 z/ h* ~你的意思是marginal ...

就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。

这种处处不可导的utility function真的用的多么？

贾大松鼠

gordon 发表于 2014-1-8 20:09
$ [1 q* [: b  ~* u& W! X# X, L8 Y  v; C经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱

% d$ Z$ h7 f8 F$ v( |经济学又有点像理论物理 ...

嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~

贾大松鼠

假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
2 ~) |+ F3 a9 p" M! G+ S8 L就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
. ]- m; x$ T3 s8 H
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
* A3 q0 E$ k/ [因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~

假如十八

贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
( b+ b3 M& T# P几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

0 K3 S6 a0 @1 a+ U& u0 r
所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？

Dracula

假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
* }$ r! w+ @2 A/ t- x0 J8 z就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
' J" l$ |. X% S; F
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

. e: S& ]8 F; c, h7 U) a3 k你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
* q( u& t, G+ P" R
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory

3 _% C/ a1 f6 G经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
! B/ }/ F; q- E3 _
! k2 R' U9 [" v/ [4 A  `

假如十八

不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文

天马行空

gordon 发表于 2014-1-9 09:09
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱

经济学又有点像理论物理 ...

经济学还能挣钱的。
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! L: u1 N5 \# T, ^1 u
理论物理真中枪，只能当作修身养性

贾大松鼠

下面就要来说说“量化”了~~
% H6 V) @' R  G; L0 f/ m对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
/ b$ |. R! p, i! F术语上来讲，叫calibration。
& ?' ]* D  A4 {- X6 h* J' y怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
9 b* M+ E" W& H; o4 |
5 _0 d- ]8 a% p, D/ S上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。
——计量的方法。
5 B" H$ ^( {/ Z6 t( U5 |* X: |# [
计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。
5 W1 B: x9 z% q: i! M+ c  X
下面我提几个问题，
比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
$ G8 E* q& q* }4 Y0 @$ u再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
' d5 Z' x% ?: F" g. w再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
术语上叫做regression。
2 H1 P) L1 `$ p* e* X6 N; d& g而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
8 y* `% Y9 l& O; M
) c8 w+ ]+ \6 G3 J最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
每个观测到的数据之间是否是独立的。
" h! e7 g& l: D0 F) w比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
5 }2 D- n; ], l+ G( C# K" s8 ~8 R这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。
, X( M* T+ K) V8 y
9 \# N6 w+ _1 H: o- c, }2 n于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
% W0 o( S: a" L9 G2 N; g, W这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
. _( S: g5 Z  ~1 }+ L1 {, o至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。

. l# j! L9 @& q+ P# K) L! L, l经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。

万里风中虎

效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

万里风中虎

贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

$ w: I5 I3 Q6 i所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。

假如十八

万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

这个我有个模模糊糊想到的问题。

比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。

4 O$ t+ a( v/ y7 L这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？

假如十八

假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
' V. D0 o8 s9 H0 N8 @这个我有个模模糊糊想到的问题。
# }2 H  G( o( E7 w
2 x" d" I3 ~) h! Y比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。

; k1 A1 C3 x3 x9 P多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。

Dracula

贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

- i* w$ ~! ~- p) B# B3 tCabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。

Dracula

假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
这个我有个模模糊糊想到的问题。
) C" \8 _. I' w3 N& Y7 `4 G: E
% S5 }2 o, k5 w! w6 u; h+ D. ~比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

4 w' }( v6 T2 A) T- h7 T
由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。

金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。
: D, D) O1 K/ ^6 K; r
% s+ {  n2 y  ~9 z$ l4 K, i金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
/ A! [. Z" ]+ O' _/ b& h) P
% G5 r* N" Q& \; S2 R' T" d; C: [