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[经济] 数学在经济学中的意义(已更新)

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楼主
发表于 2014-1-9 08:04:00 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 3 I6 w) A% ?8 k! {! u" y% k

  M1 g2 V; N9 }8 t1 Z6 J7 V3 q经济学与数学的关系,是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济,需要数学好。而数学在经济学中的意义,是我直到念了博士,才一点点理解。
. C" F# y9 Z4 J, @3 l$ ~大松鼠感觉,经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱,还可以用作在微博上大骂国家政策。" t; d1 _; g0 B: b( N% |+ h
  E3 w* ^, q4 \1 e# i! g: f
不过,经济学本身的研究,与这些人的区别,据大松鼠体会,大抵有两个不同。
/ Z) x& S- o: U8 ^% [5 C
9 n. U# w2 Z! C7 I6 ~7 R7 R一是,在理论问题上更加抽象,二是,在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词,都和数学有着紧密的联系,但是也不尽其然。
3 a  x& |  ~6 P% i: ?
, R) S' w4 M9 Q! S8 d* D8 D这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。(量化在第13楼)
/ P; K) o$ M0 z* w8 ]/ p
) o; p) s7 q! `) a9 k" J6 d7 f7 _; Z所谓抽象,是指把很多具体的例子,总结成一个例子。而这“一个”例子,必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子,必须是可以解的。否则,问题放在那里,也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程,实际上是一个由繁至简的过程。这个过程,不一定需要高深的数学。举个经典的例子,乔治安科洛夫1970年的著作:《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》,这篇开启整个不对称信息研究,也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章,就没用任何超出高一上学期数学的知识,最难的数学知识,是分段函数。' n& A3 r5 }; f) Z$ Z
* K9 N8 n6 R6 o9 g
那么,高端的数学用在了哪里了?在理论问题的研究上,高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设,是假设一个人choice,是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系,就非用数学而说不清了。首先,人的选择,可以用通过分析函数的最值来分析么,这个函数是连续可导的么,人的选择的空间,是稠密的么?这个函数,是凹函数还是凸函数?
; j; }3 D# B! H# b) o9 V2 Q4 n
+ o* t! y" t4 V- m* t1 Y% V问题接踵而至。大松鼠在这里,当然不是为了要讲解这些数学问题,只是认为,其实越是简单的问题,越需要深入到最根本假设上的思考,越需要严谨,越困难。: ]# z# f; v* j9 I. G' L2 ~

0 i; g9 q1 u5 u3 v5 k' e( @. i
量化在第13楼~~

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    奋斗
    2019-2-3 22:30
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    [LV.4]金丹

    沙发
    发表于 2014-1-9 08:16:51 | 只看该作者
    牛啊。高中就开始思考了

    点评

    高中的时候是觉得自己数学不好,怕学不了经济。。。  发表于 2014-1-9 09:00
  • TA的每日心情
    开心
    2016-3-6 10:27
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    [LV.1]炼气

    板凳
    发表于 2014-1-9 09:09:27 | 只看该作者
    本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
    : j3 n( B4 U7 P% U' J- q5 X& E. H+ A. l$ a$ {$ ]: z7 a
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱
    $ h) h7 \2 Z$ i; [% E+ K0 N
    # n+ K- n  j- q% C, y经济学又有点像理论物理,总是自己在创造理论,呵呵
    6 V+ Q3 G, U9 j3 E$ i5 v0 v; h3 A5 I3 Y/ k) J# [: C$ v. F
    理论有点像货币,可以流通和实物进行交换,但理论又不是实物,它是一种指代关系- \1 T  T# C  s* K+ y

    + X) u7 j' Q, F& z, z外行人瞎说的,别当真
    8 Q( \; s" O. ]1 X# K- }* H
    ( w1 i5 a; I! O7 m; n4 G2 w" [0 u' [
    - C5 u: l, d6 I# c+ A; L) @

    点评

    真正的经济学家其实就是物理学家,收入不会太高。  发表于 2014-1-12 17:07

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    地板
    发表于 2014-1-9 10:25:31 | 只看该作者
    这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的?

    该用户从未签到

    5#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:44:02 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 8 n: A" ]5 f' e5 g* P. I
    这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的? ...

    3 F+ M& u/ z6 ~% F, N7 ~+ y收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。
    / q' D: J7 o3 O效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
    ) t2 x- f" T* e4 r# x你的意思是marginal utility不同是么?大概是一个函数从左边求导不等于右边求导?
    3 L  N0 O! l7 U3 b9 G只要是不连续的函数,都是不可导的~~

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    6#
    发表于 2014-1-9 10:46:49 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
    % R7 T& F* f" f收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。0 ?+ d( d4 p6 t( x) [
    效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~. ~1 F" o6 R% s9 U3 a
    你的意思是marginal ...
    2 B$ Q  M- d# t% i
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。7 e; `0 C6 }& D) \4 I

    $ o8 A* N, W% b+ E* ^3 _1 @) r这种处处不可导的utility function真的用的多么?

    该用户从未签到

    7#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:47:08 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-8 20:09 + k' _5 q% ^! X: c. s* [* I& S7 N
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱
    - a. r0 Z# g2 q2 F. B8 D$ l" `3 m/ Q# `" ^
    经济学又有点像理论物理 ...

    ; D% i) }3 |( ~: z; N) g嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币,是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的,都是人创造出来一个概念,然后去研究它。不像物理化学生物,研究的都以自然界的物体为基础的。
    7 O. G% f( n2 H不过经济需要数学,数学不需要经济~~嘿嘿~~

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    8#
     楼主| 发表于 2014-1-9 11:13:11 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:46 3 S: Y  \# }2 ^; t
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。9 N  g5 @; `4 c  K' a# P* a6 N3 T( b
      }0 J0 I4 m( H' @% ~5 f
    这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...

    3 k1 s3 r4 e2 j5 l( N几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了,就把这些特例扔掉了。: C# r0 P% O7 k  k. z
    因为应用这些理论,来解决实际问题的时候,绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导,那么求不了边际效用,那么什么都解不下去了~~

    该用户从未签到

    9#
    发表于 2014-1-9 11:14:32 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 / {4 a' r! Q) e
    几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

    . d6 S( h3 {/ @7 h
    1 |+ f& e4 g" o- L: W所以行为经济学离实用还有挺长的路要走,可以这样说吗?
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    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    10#
    发表于 2014-1-9 12:57:13 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
    " x, J1 M3 Y8 Z) l: l就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。& N7 C1 f: u  y" t4 d

    1 g6 ~- l) N2 ~" }. t' z+ y; u这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...
    6 D0 f3 r. R& k  g2 v& m
    你说的是loss aversion,比如投资,损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小,在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里,人是风险中性,对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型,我对这个领域了解的不是很多,不多写了,这是Wikipedia上的简单介绍。! ~& D/ t% V5 f
    , _7 W8 B) q% y: R* e
    http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
    - [% x2 o8 c# r  V; w* i. U4 R& K% c) B
    经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似,里面肯定有很多假设同现实相违背,需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题,效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导,推不出漂亮的数学定理,但是对结果并没有太大的影响,比如解出的函数不是单调增加,而是在绝大多数点上增加,对实际应用没有太大影响。
    5 R" Z, f# G  P: Y7 d
    9 t0 G& p+ q" r# }3 J

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    11#
    发表于 2014-1-9 14:20:52 | 只看该作者
    不好意思打岔了。。。松鼠继续,花等下文

    该用户从未签到

    12#
    发表于 2014-1-11 16:24:53 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-9 09:09 6 J# h0 h* k$ o' j
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱" {- Z  M; G5 c# k) s+ G- N& h
    - Q# A8 T9 ?) t+ }8 S
    经济学又有点像理论物理 ...
    # n8 w$ c$ I4 f8 k, }
    经济学还能挣钱的。
    1 [6 l$ w- Q$ Y% i6 Q4 t4 D! ^2 E# B4 F0 q( l3 s5 [+ v
    ; b$ j: d7 ^) k- V, ]
    理论物理真中枪,只能当作修身养性

    该用户从未签到

    13#
     楼主| 发表于 2014-1-12 10:32:13 | 只看该作者
    下面就要来说说“量化”了~~2 P7 m1 T' q3 t" G$ E3 M  Z! r. C0 B
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模型而来。之前说过了,大体上,理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后,量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的,就是找到这个特定的参数。- T1 Y9 ?- ^' X5 a
    术语上来讲,叫calibration。0 b# T/ ]  |9 n' Q6 ]) x/ u
    怎么找呢?基本上就是来match empirical data。
    ! Z# t( L4 k0 N  t: G' ]4 P* e" C, z" J5 E
    上面这种方法,大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。7 m  q' V4 @! i, `( t8 u* Q
    那么还有一种方法,是从外部入手解决量化问题。( M/ ~9 N  x0 `% J) a
    ——计量的方法。; G* ~) J3 x' v: k. y# d" @9 V
      G+ y; z1 n8 m# N9 y  b
    计量,可以用来检验一个理论模型是否符合实际,也可以直接作为研究问题的方法。7 |1 o" x& S+ L

    . P$ a$ F/ K5 t8 W下面我提几个问题,
    1 U2 x. D0 M1 K1 q比如,大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响?
    ; [- ^( `+ C2 s6 x: e. n2 `# \0 E1 l再比如,一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
    / U4 l# K3 F: S$ j. ~再再比如,如果多看电视的话,会不会容易引起儿童患自闭症?
    % U. c/ i& f0 @# H这些问题,不太容易从建模的角度去分析,因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢?我们从外部,不用参数模型,而直接用数据本身,得出答案。
    ) z3 M9 X$ K( Z4 x) K# o- v0 E术语上叫做regression。
    0 Q8 Z- [, A  v2 s2 X) J0 @而这里,就会遇到一定难度的数学问题了。基本上,是统计学的问题。+ x6 d* E0 R: p3 O6 r5 |
    7 x, k7 \2 v$ p7 o
    最先遇到的问题,是统计学上的大数定理,是否可以应用。9 z' B5 }+ Q: @& O: h4 E
    每个观测到的数据之间是否是独立的。
    7 i  J5 a1 B9 _4 K1 n6 Z% _4 J比如时间序列函数,每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了,明年的GDP很可能也是高的。( ~6 U1 j* ]% }/ N6 o- E) u! L
    这个数据本身,是连续的数值么?还是1或0呢?还是0或连续正数呢?(比如工资)
    ( _5 |/ y8 W3 J这一系列的问题,都跟统计学有极强的联系。" |5 f7 X3 |" O4 N  Z/ i

    + Z) _& I! s! {0 q9 w6 o: H& r3 b于是统计学分出来,与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起,出来了计量经济学。* i" P" d+ G0 H/ |. C# e3 z6 z
    这个计量经济学,又深入到其他社会学学科领域,/ Q  t1 b' e1 A8 {" n
    至少我知道的,政治学和社会学,前沿的研究,都与计量经济学有关。
    , b  Q; F: N2 \6 b- H& K8 m8 S3 w' c& @3 e9 H9 x
    经济学用它独特的量化分析,统领着整个社会科学研究。

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  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41
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    [LV.3]辟谷

    14#
    发表于 2014-1-12 17:06:38 | 只看该作者
    效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41
  • 签到天数: 13 天

    [LV.3]辟谷

    15#
    发表于 2014-1-12 17:38:31 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
    ' y1 z0 Y$ m6 t* s下面就要来说说“量化”了~~5 H# R" s& a6 H: V0 m  ]4 E- ]; ^
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...
    ( R2 i1 A% T( \; o0 \
    所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用,可以为其他学科服务。同样,其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域,只要他们的技术足够强。

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    16#
    发表于 2014-1-12 18:15:39 | 只看该作者
    万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06 # x: q' }) w5 t" g" q
    效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。

    " m$ R# d$ W7 L4 a0 m这个我有个模模糊糊想到的问题。$ Q8 ?  h3 k+ Y1 E1 O

    ; L0 B5 u/ U/ |9 p比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏好,是不是在某种程度上就是风险中性概率?这个也是从个人的估计到市场的估计。9 o# N" |* I4 X& }
    - [. r' T, o; ]. H+ R2 I! j* b6 M/ g
    这样从单个个体到集体的归纳,好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括,因为彼此有扩散的作用,还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的?agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了?

    点评

    有,以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的,这是一个大流派。我不是搞这个的,只能做经验统计。  发表于 2014-1-12 21:58

    该用户从未签到

    17#
    发表于 2014-1-12 22:07:30 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 " Y0 Q# q) b4 J& |, N! a) L4 ~
    这个我有个模模糊糊想到的问题。
    % T) i, }, m8 _( j: \
    4 N/ B( d4 ~" S7 F" f比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...
    ' ~0 r  t0 a! y
    万里风中虎  有,以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的,这是一个大流派。我不是搞这个的,只能做经验统计。
    ) ?# V( x% e0 P7 {0 o- |
    % I, Z) ^, y- F8 `) C) P9 c多谢老虎,这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    18#
    发表于 2014-1-14 07:15:37 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
    ; y: p  b' P2 U9 q2 @下面就要来说说“量化”了~~$ @: e: O) m& \2 ^
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...
    5 S% F) K1 j& V2 m! E6 u2 w9 J9 f
    Cabibration其实做的就是moment matching,可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信,不做Goodness of Fit的检测。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    19#
    发表于 2014-1-14 07:33:15 | 只看该作者
    本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
    . ^' j4 \# M1 j  U/ X0 O
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
    8 a8 q; T2 c9 z$ S% a0 I- r这个我有个模模糊糊想到的问题。) n* h4 H  e! |: y. j

    " m2 u# A+ B2 ^- j$ \, N2 h: C比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...

    # J" G7 |' R% [" z+ K* Z1 d% u) O
    由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现,这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现,MWG的教科书里专门有一章,你可以找来研究一下。% ~( l! U, R. u6 B) S5 G

    3 ]" @6 n  K7 J# m金融经济学里假设的representative agent,也是在这些限制条件都满足的条件下,才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键,我不太清楚。
      o4 F  w- T5 R8 v' j# s, _! J8 f
    % _. y; x8 O8 q3 D& a金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架,一般假设每个人是risk-averse(我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果),因此有risk premium,风险高的资产预期收益必须高,以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability,涉及的数学有点高深,说的是存在着一个新的probability measure,在这个新的measure下,资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
    # [- ?% m: M  C* r
    4 b. g6 A& K# a; l3 P, Y; a

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