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爱吱声»广场 › 研究生院 › 经管智库 › 数学在经济学中的意义（已更新）
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[经济] 数学在经济学中的意义（已更新）

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贾大松鼠

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楼主
发表于 2014-1-9 08:04:00 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 + s& F; n7 F6 O6 J7 e! U* D

5 ?2 O  N$ }; ]1 w  B# Y经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
9 y4 m& T, I5 Y* r+ I) ~大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
+ F1 j# `( h( x- E* t3 \' R- a; T" X& v& O# I
不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
; F* [( S9 r$ ]2 |! |$ R/ _+ U9 W9 z0 E8 t% }$ N- ^" t
一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
# J) }& I! O! o" t  A/ r) @, \, R/ s+ G/ v5 I0 ^1 O
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）
5 a0 d& S+ J: e7 ~. ^( Z! ]/ Z
- @. K; U: [" D! X  F! `所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。% E" u. g4 Z! }( c# P

0 ~3 ^, \) u3 a. R8 ~3 |那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
/ g# L( H) K6 S& p/ A' S5 t2 |- R7 t4 t! ^
问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。
4 w2 L8 W" @. F0 r4 H' Q7 @' D- j! D" }) k; w, P5 C
" T, L2 g& K( e$ z# A
量化在第13楼~~
经济学, 数学

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人在江湖
  • TA的每日心情
    奋斗
    2019-2-3 22:30

    • 签到天数: 17 天

    [LV.4]金丹
    沙发
    发表于 2014-1-9 08:16:51 | 只看该作者
    牛啊。高中就开始思考了

    点评

    贾大松鼠
    高中的时候是觉得自己数学不好，怕学不了经济。。。  发表于 2014-1-9 09:00
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    gordon
  • TA的每日心情
    开心
    2016-3-6 10:27

    • 签到天数: 1 天

    [LV.1]炼气
    板凳
    发表于 2014-1-9 09:09:27 | 只看该作者
    本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
    ( O; J( B1 Q1 ], d& g& [3 P" w) N' `1 V& M/ b% C1 Z/ Q
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱0 i. S" K& R- y

    + B% C+ m" h* z经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
    1 `- i- w6 g, C, l& h, l: T# u6 g- g7 g9 n, H
    理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系: u& T; u* J/ `0 ~' s1 i! u

    ) n9 X) q/ T: W' Y- {外行人瞎说的，别当真
    / A+ ]' b2 N$ v6 i5 s7 n; C& M: T, j2 ?5 O* V( O+ d
    % c. N/ v* v, |- o5 E+ z

    点评

    万里风中虎
    真正的经济学家其实就是物理学家，收入不会太高。  发表于 2014-1-12 17:07
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    假如十八

    该用户从未签到
    地板
    发表于 2014-1-9 10:25:31 | 只看该作者
    这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
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    贾大松鼠

    该用户从未签到
    5#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:44:02 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 : n! A. y3 r5 O$ W! O% |
    这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...
    ; ~  F5 c; n9 R% u8 h- J
    收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。9 O! P) }8 k4 M9 Y3 j2 {* d3 I! W
    效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~8 V# S5 i/ C; E' t( h8 l
    你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？; M: V. O, Q: t. |5 t% E: G9 ?, b
    只要是不连续的函数，都是不可导的~~
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    假如十八

    该用户从未签到
    6#
    发表于 2014-1-9 10:46:49 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
    ) }$ r+ A# H4 r* b# O% \收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。8 t* V9 ]( |; V$ ~1 v
    效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
    0 d4 z* o4 B3 Y: V: G8 N你的意思是marginal ...
    % v- C* R6 `& ?4 i9 @
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。9 K) K. R3 W$ X7 y) E
    1 `& J6 J# m% w0 U) p# S4 _
    这种处处不可导的utility function真的用的多么？
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    贾大松鼠

    该用户从未签到
    7#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:47:08 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-8 20:09
    % g% v* E  L7 F6 s  y经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
    ( h# d) m  ]1 |! b) i$ `! L
    + X% A5 N$ B+ L0 d( X+ s2 W/ j经济学又有点像理论物理 ...

    ' |$ T) f( T4 l嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。' J$ h) f3 Y, X- i* v
    不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
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    贾大松鼠

    该用户从未签到
    8#
     楼主| 发表于 2014-1-9 11:13:11 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:46 2 P( U6 P2 ]8 j) q0 |3 N8 f2 a
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。4 F' c3 N7 x' s* ?1 m

    $ ~0 z$ b# Z$ p% ?# i$ F这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

    5 x* `' s- ~2 U8 `/ t# }3 Q几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。) S* v6 {# m6 l2 G& z8 N3 j
    因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
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    假如十八

    该用户从未签到
    9#
    发表于 2014-1-9 11:14:32 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
    7 c# Y$ n9 `5 p4 `* {几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
    3 r# ]/ w. q1 c. f9 [

    ; Q# X) p# ^8 U$ n# _) G所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
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    Dracula
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11

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    [LV.10]大乘
    10#
    发表于 2014-1-9 12:57:13 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-9 10:46 # k, H2 z# L& @! ^  G
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    # l0 n" r6 w8 e$ A3 {5 T* v! q# t$ j2 Z- N' ?6 S' T: Z
    这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
    + `: J! i! p. W8 _
    你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
    ) b# s! H, U; y: j  D1 }, z( i) A: S* \: W% Z! G+ T
    http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
    8 Q( r- H4 J& u3 x
    , r8 l1 P+ H: q3 r5 P经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。! l% G2 f6 l+ ^, q9 V3 s7 @( C
    ; p3 S3 @- ]0 h7 T$ Q+ b

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    假如十八

    该用户从未签到
    11#
    发表于 2014-1-9 14:20:52 | 只看该作者
    不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
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    天马行空

    该用户从未签到
    12#
    发表于 2014-1-11 16:24:53 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-9 09:09 & O5 C1 B& ^; s" q+ e; R' s
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱; G  I4 F7 N6 R, k
    * T5 e- y) b$ {; A' F: ]
    经济学又有点像理论物理 ...

    1 K; j8 F3 N4 ?# o! V+ V经济学还能挣钱的。
    $ m$ @. z) p, k3 L/ t5 {* b9 V) t6 b
    3 G5 N6 m, z6 {1 c6 i( N
    . ?8 K# Q9 K# H: L; t0 W$ m理论物理真中枪，只能当作修身养性
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    贾大松鼠

    该用户从未签到
    13#
     楼主| 发表于 2014-1-12 10:32:13 | 只看该作者
    下面就要来说说“量化”了~~
    $ d* `) [# M& n9 _  v对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
    % H+ D: F; V% ~- e术语上来讲，叫calibration。3 Z1 g- Z4 M1 o8 j
    怎么找呢？基本上就是来match empirical data。; H/ F- ]2 a, i. T
    6 ^+ `3 [) N/ n) M9 a. _
    上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
    + b  Q9 w0 t: O! }- g9 ~8 r' r那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。* t8 ?6 j6 p' h* B+ \! x
    ——计量的方法。! E+ w' Q, Z9 H0 \( x

    ! a; l' a3 e( C0 V0 _计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。+ D: q5 ~) n2 N: Z# ?0 G
    ! U2 [1 B' |# {
    下面我提几个问题，- }# F! O6 P! W' Y. W  T, B
    比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
    ! P, P2 n' [, I0 ?再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
      M8 U3 f+ B5 W/ j# H再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？+ E- ]# X& ~0 d9 t6 H7 J8 o" Q: L* f
    这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。& ^/ ^! v( r0 d2 [/ d9 x! F
    术语上叫做regression。! ?3 Y2 m: v) y! S* }1 t: R
    而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
    9 j9 V+ V& z1 M2 U* ~& u9 B) V9 l( p+ G5 t& I6 b! o
    最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
    ! F; E! ?6 U+ P* q& W' R每个观测到的数据之间是否是独立的。' Z; e0 ?6 R  ?/ ^( i1 k
    比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
    & R, T/ u4 p- m. \这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
    & f+ \8 M  @% @2 c这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。- ]$ r4 s# U. d* u4 w$ q

    1 O6 f/ X2 J4 K( Y于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
    ; g" G+ L2 }7 W这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，" \0 O" y3 E+ M) \, u# a
    至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。
    8 l' b+ W4 _' O% Q8 u6 A3 B. i0 r" V5 m2 e% s' ?
    经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。

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    万里风中虎
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41

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    [LV.3]辟谷
    14#
    发表于 2014-1-12 17:06:38 | 只看该作者
    效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
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    万里风中虎
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41

    • 签到天数: 13 天

    [LV.3]辟谷
    15#
    发表于 2014-1-12 17:38:31 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32   B* m- t/ M! v* k/ A' u$ J) D* Q* W
    下面就要来说说“量化”了~~
    ; W" t# o, f' T* `6 a- H; v; I对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
    / w( f% z, J/ i
    所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
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    假如十八

    该用户从未签到
    16#
    发表于 2014-1-12 18:15:39 | 只看该作者
    万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06 * V$ `* y' j: `" d5 }$ d
    效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

    0 b+ u& A9 o6 w/ J. T这个我有个模模糊糊想到的问题。
    , L' B& R: _5 U6 q0 |! g8 P' z$ u5 v% r, A# h% Y& a: y; B) U! D
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。- ?5 W5 i4 ~1 W! ^0 S

    + X7 j! s1 b5 k5 ?0 r4 T这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？

    点评

    万里风中虎
    有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。  发表于 2014-1-12 21:58
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    假如十八

    该用户从未签到
    17#
    发表于 2014-1-12 22:07:30 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 2 I0 T0 ]$ `: ]8 [
    这个我有个模模糊糊想到的问题。
      W" U/ r! w$ @) }  T1 y) t- _. q& `. O. \6 K4 N2 i
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
    ; C5 V, `2 ~5 l
    万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。; l4 o+ T, v. R' f5 }

    , x$ f: E# X4 o多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
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    Dracula
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11

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    [LV.10]大乘
    18#
    发表于 2014-1-14 07:15:37 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
    " p. }4 L6 {# Q下面就要来说说“量化”了~~& R1 [' N( T4 }; ?# E9 f
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

    ( W8 ?: i) y* H! D$ F5 w% T2 L0 ZCabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
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    Dracula
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11

    • 签到天数: 1017 天

    [LV.10]大乘
    19#
    发表于 2014-1-14 07:33:15 | 只看该作者
    本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
    7 o0 ?! [) m- H3 O+ p
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
    2 I5 ]; q$ \# B8 ~这个我有个模模糊糊想到的问题。
    5 j; K4 u4 b5 X0 }* D2 I% l8 \8 _, d
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
    / d: X: f& s% D( T
    ) W8 u/ n' m' ^2 q& N! j, i
    由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。6 |: c! b' _  I0 u  }9 m0 D

    $ \9 h2 `& }: L. M' o6 y3 X  n金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。4 }( }6 d/ |" E: c! ?

    ; F4 p+ D; y. p) P9 ?8 D$ F4 T金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
    & \; q& j0 W* i
    ' m3 F! y/ \# g* ^: X% ]1 I

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