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[经济] 数学在经济学中的意义(已更新)

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楼主
发表于 2014-1-9 08:04:00 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 + @% b9 g; L; \. K: s
+ h' a! k% o: E$ h8 L: I5 `; v
经济学与数学的关系,是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济,需要数学好。而数学在经济学中的意义,是我直到念了博士,才一点点理解。  F4 j7 V2 q* z: f+ B
大松鼠感觉,经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱,还可以用作在微博上大骂国家政策。) n$ J3 ]5 N: q
9 H/ P* J6 r$ E& R+ P
不过,经济学本身的研究,与这些人的区别,据大松鼠体会,大抵有两个不同。
0 L( B5 p7 b; k$ }; x
" v/ H) B6 I" O一是,在理论问题上更加抽象,二是,在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词,都和数学有着紧密的联系,但是也不尽其然。
0 Z  W  C, U0 h1 W( ~; N2 J$ q% q) @; ]: p3 b; a' J, k
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。(量化在第13楼)
( X" {8 n1 k: y/ Q& K: h5 Y- M% t, E' r- {% P  X
所谓抽象,是指把很多具体的例子,总结成一个例子。而这“一个”例子,必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子,必须是可以解的。否则,问题放在那里,也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程,实际上是一个由繁至简的过程。这个过程,不一定需要高深的数学。举个经典的例子,乔治安科洛夫1970年的著作:《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》,这篇开启整个不对称信息研究,也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章,就没用任何超出高一上学期数学的知识,最难的数学知识,是分段函数。
7 }" ~6 k2 P9 a: d( `
3 x5 d- E) O+ S, g那么,高端的数学用在了哪里了?在理论问题的研究上,高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设,是假设一个人choice,是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系,就非用数学而说不清了。首先,人的选择,可以用通过分析函数的最值来分析么,这个函数是连续可导的么,人的选择的空间,是稠密的么?这个函数,是凹函数还是凸函数?
8 ]. K4 Z; k) \: Q9 G" P
/ x9 c) f" a, [+ |! V- k问题接踵而至。大松鼠在这里,当然不是为了要讲解这些数学问题,只是认为,其实越是简单的问题,越需要深入到最根本假设上的思考,越需要严谨,越困难。
0 I' G: \: v7 n: m7 r4 E, C$ i
3 t9 q' z! z6 X1 l' ?/ t( V% a
+ W* m7 ?9 w, `% W
量化在第13楼~~

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2019-2-3 22:30
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    [LV.4]金丹

    沙发
    发表于 2014-1-9 08:16:51 | 只看该作者
    牛啊。高中就开始思考了

    点评

    高中的时候是觉得自己数学不好,怕学不了经济。。。  发表于 2014-1-9 09:00
  • TA的每日心情
    开心
    2016-3-6 10:27
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    [LV.1]炼气

    板凳
    发表于 2014-1-9 09:09:27 | 只看该作者
    本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 ) L/ Z7 @  J- B- V' V7 T

    % c" h  o5 B: H0 N经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱
    5 ~( p" H7 L! C6 i. P
    & I! }1 h. X4 `0 l7 R9 t4 ?. t; N$ {经济学又有点像理论物理,总是自己在创造理论,呵呵- H  b! r4 v) c& m2 I
    : P* @6 A7 b: R2 {0 r- ^" S
    理论有点像货币,可以流通和实物进行交换,但理论又不是实物,它是一种指代关系
    9 V9 h. D* v+ }0 q- \! V
    4 y& i/ e9 i" h( y4 ~8 h6 Y外行人瞎说的,别当真
    ( _' O2 T% }* T% d2 ~& y: ]+ V  K
    ! z6 x: y* `6 Z, ?$ |, F
    3 t4 _- C  D2 Q9 Z9 P# Z

    点评

    真正的经济学家其实就是物理学家,收入不会太高。  发表于 2014-1-12 17:07

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    地板
    发表于 2014-1-9 10:25:31 | 只看该作者
    这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的?

    该用户从未签到

    5#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:44:02 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
    % e; l" I3 ]) N+ r* X( t6 y. M" ~5 [- X% Q( j这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的? ...

    3 i! K. {3 s% p4 l7 F收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。1 n9 C& e- Z/ |3 e% ~
    效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
    + O4 r! u* l: E) l% l5 t你的意思是marginal utility不同是么?大概是一个函数从左边求导不等于右边求导?
    6 y  z) @% f% m5 v+ x) F只要是不连续的函数,都是不可导的~~

    该用户从未签到

    6#
    发表于 2014-1-9 10:46:49 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
    * x* \* g7 @5 C7 Y$ o8 P收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。
    3 V- ]" g2 T& ^; ?  F6 L+ X$ z# B效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
    / o: j  j2 l# o3 q- |0 D# M你的意思是marginal ...

    8 o' q! {: M7 d) Q4 w就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    7 p8 y/ x3 R& a( V; u8 r6 L4 O  M7 U2 t% Q
    这种处处不可导的utility function真的用的多么?

    该用户从未签到

    7#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:47:08 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-8 20:09
    + b* C( Z0 E  ]经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱7 y* _2 R# U( E' r
    # V) t6 f; V+ z% M* K, E- ?
    经济学又有点像理论物理 ...

    , R/ ]6 D/ }- P: N% V1 E9 G. q# T嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币,是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的,都是人创造出来一个概念,然后去研究它。不像物理化学生物,研究的都以自然界的物体为基础的。7 ^& k, ]/ v( m, ~* u& g/ [
    不过经济需要数学,数学不需要经济~~嘿嘿~~

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    8#
     楼主| 发表于 2014-1-9 11:13:11 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:46 $ r% D& E/ K! c/ ?" W. h# s/ H
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。# r" R5 ]4 P1 O/ V" U

    0 C2 y: i9 W# L& D这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...

    3 W( V/ |* ^- K: r" M5 c/ D3 n几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了,就把这些特例扔掉了。
      ^1 ^3 v- n3 v/ [因为应用这些理论,来解决实际问题的时候,绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导,那么求不了边际效用,那么什么都解不下去了~~

    该用户从未签到

    9#
    发表于 2014-1-9 11:14:32 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 8 j3 p5 ~7 A7 {/ Y
    几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
    $ C5 O" c' ~0 R) i5 ^3 H

    9 {2 t  W. m( n. x9 ?* {2 `: O所以行为经济学离实用还有挺长的路要走,可以这样说吗?
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    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    10#
    发表于 2014-1-9 12:57:13 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
    . H0 q- }- U1 p1 s, |- B0 z就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。8 u$ l/ j0 c& Q, {; k! b: X/ R* \
    * s+ j: m" R  _" {" q, H
    这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...
    7 D+ b3 C2 y& S
    你说的是loss aversion,比如投资,损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小,在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里,人是风险中性,对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型,我对这个领域了解的不是很多,不多写了,这是Wikipedia上的简单介绍。$ x3 O" u9 _+ @6 }1 J

    , f+ f) i, q" L& A* U; dhttp://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
    . z9 A& r1 L! E3 o
    3 @/ X) k  I( G2 b经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似,里面肯定有很多假设同现实相违背,需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题,效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导,推不出漂亮的数学定理,但是对结果并没有太大的影响,比如解出的函数不是单调增加,而是在绝大多数点上增加,对实际应用没有太大影响。! }2 t9 w1 n# M1 S; p" t) k3 y
    7 n3 \2 @0 W- M& _

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    11#
    发表于 2014-1-9 14:20:52 | 只看该作者
    不好意思打岔了。。。松鼠继续,花等下文

    该用户从未签到

    12#
    发表于 2014-1-11 16:24:53 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-9 09:09
    7 G7 ^% X" a& _2 S- N4 S+ ^! R1 f4 z3 o经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱
    5 Q9 \0 Q: k, i( Y% V. ?. z( V. C" M# `0 M
    经济学又有点像理论物理 ...

    & k8 L' b" J9 K经济学还能挣钱的。
    - a# [& q0 {9 K1 F% g
    $ E* O6 |7 S6 \! {' Y8 k# P
    ' z1 }+ G2 a& l7 s( E% M) }理论物理真中枪,只能当作修身养性

    该用户从未签到

    13#
     楼主| 发表于 2014-1-12 10:32:13 | 只看该作者
    下面就要来说说“量化”了~~
    ' L+ r/ S: K( Y) S对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模型而来。之前说过了,大体上,理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后,量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的,就是找到这个特定的参数。% |# U/ h* E; _* |5 w4 B& P5 x5 p
    术语上来讲,叫calibration。
    ) j" p& q' q9 z3 j& l, d怎么找呢?基本上就是来match empirical data。
    - u% `7 F0 y1 d6 j$ o( B0 H: y& Z' C# d( r
    上面这种方法,大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
    9 Y/ S* k8 Z$ K- L2 d5 R那么还有一种方法,是从外部入手解决量化问题。) L( D" I$ c% s+ @. e1 h
    ——计量的方法。
    $ C3 m1 S9 l+ M7 ]8 `1 z; w9 K0 I
    ' U! Z: ~# F& v6 |计量,可以用来检验一个理论模型是否符合实际,也可以直接作为研究问题的方法。0 J; x9 S8 Z, G' C4 Q" c
    # B+ ^* ?* `2 a9 Z" {
    下面我提几个问题,
    ! x! n  ]0 `7 _! Y" z比如,大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响?
    * `4 {- s: L  M1 V5 [再比如,一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响4 g, l: C' b0 `3 h, |
    再再比如,如果多看电视的话,会不会容易引起儿童患自闭症?
    4 Y; _1 U/ G& Q9 W% v1 N- j" M这些问题,不太容易从建模的角度去分析,因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢?我们从外部,不用参数模型,而直接用数据本身,得出答案。  i) F! B8 g3 k! J
    术语上叫做regression。7 a! n- z# S+ v2 ?, C
    而这里,就会遇到一定难度的数学问题了。基本上,是统计学的问题。) d" c+ _9 Q2 l2 C  w; n5 m0 o

    5 B7 h; ?! M- A; |; r! B- d( ~最先遇到的问题,是统计学上的大数定理,是否可以应用。
    4 k" g, |2 |3 y1 l7 @每个观测到的数据之间是否是独立的。" u" Y- b9 q  g2 O: c
    比如时间序列函数,每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了,明年的GDP很可能也是高的。+ z0 L8 O3 w2 G. Z% t% H' j
    这个数据本身,是连续的数值么?还是1或0呢?还是0或连续正数呢?(比如工资)
    3 W( Q, ~4 ^2 Q* h0 X这一系列的问题,都跟统计学有极强的联系。/ K0 R4 t2 F* d$ m
    + }/ ?$ |0 U( d) `6 L! y7 p% B
    于是统计学分出来,与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起,出来了计量经济学。" d9 S9 q3 P* H
    这个计量经济学,又深入到其他社会学学科领域,
    & p6 j) Z9 w, {; n至少我知道的,政治学和社会学,前沿的研究,都与计量经济学有关。
    + w1 |# b- P  X  l4 C# U( P# `% c+ E) r3 L8 \+ v( N0 n  u* n* _
    经济学用它独特的量化分析,统领着整个社会科学研究。

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    开心
    2018-6-27 14:41
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    [LV.3]辟谷

    14#
    发表于 2014-1-12 17:06:38 | 只看该作者
    效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41
  • 签到天数: 13 天

    [LV.3]辟谷

    15#
    发表于 2014-1-12 17:38:31 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
    ) q1 i9 ^1 k& D9 B) D下面就要来说说“量化”了~~8 g4 {# ^$ N8 Z, q0 `: e3 A
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...

    $ e. m  }, a- _9 ?! ?, G+ W; y所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用,可以为其他学科服务。同样,其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域,只要他们的技术足够强。

    该用户从未签到

    16#
    发表于 2014-1-12 18:15:39 | 只看该作者
    万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
    ' j( m% n! f  s" R4 i$ t4 q7 M2 J: ]效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。
    * C* D6 C9 n4 O9 q. a. R
    这个我有个模模糊糊想到的问题。+ C2 S. C# {7 i: |( R; ]5 R

    " A) v' S+ l, I比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏好,是不是在某种程度上就是风险中性概率?这个也是从个人的估计到市场的估计。. L4 R( Z0 B2 [
    * ~* r, x: ?0 _% L. @0 |: P; h
    这样从单个个体到集体的归纳,好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括,因为彼此有扩散的作用,还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的?agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了?

    点评

    有,以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的,这是一个大流派。我不是搞这个的,只能做经验统计。  发表于 2014-1-12 21:58

    该用户从未签到

    17#
    发表于 2014-1-12 22:07:30 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
    7 P2 w. _# F2 V- a& t9 T这个我有个模模糊糊想到的问题。8 I# @" u' S% o5 H9 b1 D  Q

    4 T3 `) Y; r$ C9 f. n$ s) a2 P比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...

    - H; l" R. n* b$ m$ I万里风中虎  有,以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的,这是一个大流派。我不是搞这个的,只能做经验统计。
    ) W. B' y+ I/ `6 q$ F
    + m8 p. r* H/ Y) v* V, b- Q2 v多谢老虎,这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11
  • 签到天数: 1017 天

    [LV.10]大乘

    18#
    发表于 2014-1-14 07:15:37 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
    # F. n/ V- N6 d5 T! F下面就要来说说“量化”了~~
      c  i# ?0 c  G6 @7 @4 {. `对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...
    ) C, P  X- ]* i1 U4 n6 o
    Cabibration其实做的就是moment matching,可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信,不做Goodness of Fit的检测。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    19#
    发表于 2014-1-14 07:33:15 | 只看该作者
    本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 & ~: e7 C5 e5 R2 V4 ]+ \
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15   c& c" J% n1 c- \( |+ s6 l! Z4 F# `0 M
    这个我有个模模糊糊想到的问题。1 G5 j3 q& a/ ?0 Z# |

    3 e. a' a8 n1 L: V& k9 M比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...

    1 d& c# V' z5 o2 r2 f& U- |. D
    ) d6 w8 f7 m: p) k. {- S* Z) R由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现,这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现,MWG的教科书里专门有一章,你可以找来研究一下。
    " \5 J* }/ Z' H" J3 D: Q) T3 b
    7 A# W% a3 E) I+ v+ |金融经济学里假设的representative agent,也是在这些限制条件都满足的条件下,才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键,我不太清楚。
    1 P: ?5 Q, R8 l& S) r/ L' _. E% z; }: N1 t0 V) D
    金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架,一般假设每个人是risk-averse(我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果),因此有risk premium,风险高的资产预期收益必须高,以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability,涉及的数学有点高深,说的是存在着一个新的probability measure,在这个新的measure下,资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
    % Y0 i% ]2 U" d+ n- l& [& ^5 a/ ^1 W  s: x2 N0 V. x5 y

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    参与人数 1爱元 +6 收起 理由
    假如十八 + 6

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