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[经济] 数学在经济学中的意义(已更新)

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楼主
发表于 2014-1-9 08:04:00 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
( a. ~+ U/ Z  u/ x* [# o
8 j7 O0 s2 t$ Q% n. ?经济学与数学的关系,是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济,需要数学好。而数学在经济学中的意义,是我直到念了博士,才一点点理解。
1 i* ^# v. Y% I) t/ k& i7 k1 I1 }大松鼠感觉,经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱,还可以用作在微博上大骂国家政策。
; y. k4 o6 k, K& Z4 ]# D4 x" t. Q( D$ b+ Q5 o# B
不过,经济学本身的研究,与这些人的区别,据大松鼠体会,大抵有两个不同。( L: l0 ]) b' t
  g/ @% c9 c" y
一是,在理论问题上更加抽象,二是,在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词,都和数学有着紧密的联系,但是也不尽其然。
0 P/ `$ D1 B* t3 [. P+ B# q7 e# P0 R8 {  N6 ]- Z% f
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。(量化在第13楼)
/ C' X& H7 T4 v' p" p" {1 U
: ?" X& x  j8 Q7 M: w5 l* v所谓抽象,是指把很多具体的例子,总结成一个例子。而这“一个”例子,必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子,必须是可以解的。否则,问题放在那里,也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程,实际上是一个由繁至简的过程。这个过程,不一定需要高深的数学。举个经典的例子,乔治安科洛夫1970年的著作:《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》,这篇开启整个不对称信息研究,也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章,就没用任何超出高一上学期数学的知识,最难的数学知识,是分段函数。- F( ~8 {( l( `1 F

6 x& C5 S1 D) N$ M1 p那么,高端的数学用在了哪里了?在理论问题的研究上,高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设,是假设一个人choice,是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系,就非用数学而说不清了。首先,人的选择,可以用通过分析函数的最值来分析么,这个函数是连续可导的么,人的选择的空间,是稠密的么?这个函数,是凹函数还是凸函数?
1 `' `# x4 ]9 |3 ]+ F2 z% u% \
4 j* ]% H' L! k& k1 M问题接踵而至。大松鼠在这里,当然不是为了要讲解这些数学问题,只是认为,其实越是简单的问题,越需要深入到最根本假设上的思考,越需要严谨,越困难。
) t( I. k% i/ ]6 F7 @, h/ [
9 h, S# Q- j! y% f

  K! s) ?+ Z% [& P- `# m+ L' O8 N量化在第13楼~~

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    奋斗
    2019-2-3 22:30
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    [LV.4]金丹

    沙发
    发表于 2014-1-9 08:16:51 | 只看该作者
    牛啊。高中就开始思考了

    点评

    高中的时候是觉得自己数学不好,怕学不了经济。。。  发表于 2014-1-9 09:00
  • TA的每日心情
    开心
    2016-3-6 10:27
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    [LV.1]炼气

    板凳
    发表于 2014-1-9 09:09:27 | 只看该作者
    本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
    , X* g* o- Z. X6 j8 C$ D  |* N8 d* W9 I5 A- c1 H- G
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱* _9 s* T! X# K7 \

    9 F4 W0 l) b/ H6 o经济学又有点像理论物理,总是自己在创造理论,呵呵; g. H! ]  g& w0 F
    ) H! N  x5 p1 @$ j2 B5 y
    理论有点像货币,可以流通和实物进行交换,但理论又不是实物,它是一种指代关系
    ! }5 L  K% W$ O( @1 R0 R
    ' [/ i5 v: f1 K& \( d外行人瞎说的,别当真
    6 c# P0 E, R8 f' F* e; C9 k  O! A' J+ h+ `* L8 {
    : y% t6 `, t; B

    点评

    真正的经济学家其实就是物理学家,收入不会太高。  发表于 2014-1-12 17:07

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    地板
    发表于 2014-1-9 10:25:31 | 只看该作者
    这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的?

    该用户从未签到

    5#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:44:02 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 + K8 C  i% w0 L. [) l  ^! H6 B
    这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的? ...

    , {$ q- w; ~; N( _9 U, v7 \收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。
    9 Z* D& O% @8 i6 P4 x- l1 c, R效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
    / L# h: K( n& o2 _# x9 y你的意思是marginal utility不同是么?大概是一个函数从左边求导不等于右边求导?& f, `# ?- j) p5 h, v
    只要是不连续的函数,都是不可导的~~

    该用户从未签到

    6#
    发表于 2014-1-9 10:46:49 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
    8 u4 y# Y/ r% z# C3 g3 ?6 c6 c5 R收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。
    ) j1 s: k9 v5 U) l! ]# w' z# b效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~* A- C3 c; e" h- d; ?
    你的意思是marginal ...
    + A8 c- r! z* h+ k
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    1 Y9 U' x3 i+ _( ~( s3 x9 ?
    6 [$ W9 k0 K( E8 C3 H这种处处不可导的utility function真的用的多么?

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    7#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:47:08 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-8 20:09 % N" i1 z2 I. t& j% G% ]# {8 T3 d
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱+ o) V' x6 @7 H' F, p

    8 C& `- {  G  Z! A/ C3 @% z6 r$ L经济学又有点像理论物理 ...

    9 K" B/ N$ f) Z8 @9 {: |3 {嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币,是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的,都是人创造出来一个概念,然后去研究它。不像物理化学生物,研究的都以自然界的物体为基础的。
    . W" E* ?  l: E  j5 v. y4 c不过经济需要数学,数学不需要经济~~嘿嘿~~

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    8#
     楼主| 发表于 2014-1-9 11:13:11 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:46 % V+ U- @, v& n
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。- E9 V4 [# s# L" q: C. V
    - Y) G  y0 r( i6 J! y
    这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...
    $ |( t5 M" S3 \1 b1 h, o4 A
    几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了,就把这些特例扔掉了。
    ! N( b$ ?7 j" C" J因为应用这些理论,来解决实际问题的时候,绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导,那么求不了边际效用,那么什么都解不下去了~~

    该用户从未签到

    9#
    发表于 2014-1-9 11:14:32 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 8 M* y- Z% [; L: Y5 J  ?
    几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
    7 }$ F0 A$ X) N, P. _2 T) R. z

    + J$ _* S! G* o9 U" `6 U* m所以行为经济学离实用还有挺长的路要走,可以这样说吗?
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    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    10#
    发表于 2014-1-9 12:57:13 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
    ; M( S1 _2 F9 r1 O1 I+ V8 h就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    ) n- E/ [4 p* ?! ^) k
    + S  ~: h  L  x- w0 i6 ~  e这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...
    3 ?& _( R  i1 f- T. G+ h. o+ Z
    你说的是loss aversion,比如投资,损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小,在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里,人是风险中性,对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型,我对这个领域了解的不是很多,不多写了,这是Wikipedia上的简单介绍。
    6 X' _/ _8 [) C8 ]: ^3 [- H3 [! {0 S' L5 T8 P* m. \' o" P; b# k/ b
    http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory7 [' ]% k, Z  |2 b- R& t

    ; f+ O$ U4 ?9 }3 {# W经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似,里面肯定有很多假设同现实相违背,需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题,效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导,推不出漂亮的数学定理,但是对结果并没有太大的影响,比如解出的函数不是单调增加,而是在绝大多数点上增加,对实际应用没有太大影响。
    : {- d+ t, i% S. q6 x  m# j7 g! _

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    11#
    发表于 2014-1-9 14:20:52 | 只看该作者
    不好意思打岔了。。。松鼠继续,花等下文

    该用户从未签到

    12#
    发表于 2014-1-11 16:24:53 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-9 09:09 ' _- p" A) U# Z7 ^3 X9 `! Z( z
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱* y% O; z- h) X/ \: ^- z0 h
    ; u' }; j* U8 q/ g# N2 r" z. _# l
    经济学又有点像理论物理 ...
    * l! ~! [4 I7 K  |
    经济学还能挣钱的。
    ' \, ]7 }7 v. ^$ Q1 `- A/ y" O( J1 A7 g# X% y+ w. c
    ( m8 A$ I9 Q6 _( s! ?) ~
    理论物理真中枪,只能当作修身养性

    该用户从未签到

    13#
     楼主| 发表于 2014-1-12 10:32:13 | 只看该作者
    下面就要来说说“量化”了~~+ h) Q; H; N( Q4 {) Q; I3 b
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模型而来。之前说过了,大体上,理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后,量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的,就是找到这个特定的参数。+ F3 f6 m% _, `8 E
    术语上来讲,叫calibration。
    ) b% M# ^$ n" w3 q: V' M7 Y, v  q怎么找呢?基本上就是来match empirical data。
    7 i1 J& }5 F% F4 d( V& l3 W; t0 [
    上面这种方法,大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。! T( Y5 l) W, y$ Q: e& f
    那么还有一种方法,是从外部入手解决量化问题。: x, e/ T- g( Y6 i/ |( p( s- V0 p2 H& h( i
    ——计量的方法。$ A. F6 l9 v8 V0 |9 \

    6 Z9 n" D3 T5 e; f1 B! O计量,可以用来检验一个理论模型是否符合实际,也可以直接作为研究问题的方法。
    ' h' F7 |6 v+ R% s1 D7 _# N, \4 v  x$ K7 j* M6 k
    下面我提几个问题,$ m+ b; }/ O0 T2 ?" e: h* R
    比如,大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响?
    ' W+ q9 k2 I* i3 m6 x再比如,一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
    : x4 j: l  g! }再再比如,如果多看电视的话,会不会容易引起儿童患自闭症?' j* Z1 S+ U7 _2 `: Y+ k$ L, B
    这些问题,不太容易从建模的角度去分析,因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢?我们从外部,不用参数模型,而直接用数据本身,得出答案。
    3 A* z9 }2 W; p# ]4 k' V( ]/ p( C术语上叫做regression。
    ! @& P& ~( `9 G% ?( z  p6 m, T而这里,就会遇到一定难度的数学问题了。基本上,是统计学的问题。
    ! n6 @, f0 ^' @. O! l3 R1 L( x/ P1 [" z: `( X9 d$ J, A
    最先遇到的问题,是统计学上的大数定理,是否可以应用。- e% S& y0 q) Y. X1 M/ s& I
    每个观测到的数据之间是否是独立的。" A2 o1 u1 e! m; H+ Q: u
    比如时间序列函数,每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了,明年的GDP很可能也是高的。: u' H9 D! b* J: _  {1 l8 D) F
    这个数据本身,是连续的数值么?还是1或0呢?还是0或连续正数呢?(比如工资)! l6 A, F6 }3 k) Z5 [  z: ]- a
    这一系列的问题,都跟统计学有极强的联系。8 M5 W1 f; L" K3 m$ b6 v

    2 ?* H: {( [3 n% e4 L# W$ J于是统计学分出来,与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起,出来了计量经济学。% [$ h; Z" p3 P. O9 w, r9 o+ z
    这个计量经济学,又深入到其他社会学学科领域,5 x5 e6 s* P1 S0 C, }' X. o
    至少我知道的,政治学和社会学,前沿的研究,都与计量经济学有关。
    8 ], a: T3 U& Q8 U4 g; D! y" }; K& a
    3 o4 R( n$ Q" g. A! w1 y# H经济学用它独特的量化分析,统领着整个社会科学研究。

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  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41
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    [LV.3]辟谷

    14#
    发表于 2014-1-12 17:06:38 | 只看该作者
    效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41
  • 签到天数: 13 天

    [LV.3]辟谷

    15#
    发表于 2014-1-12 17:38:31 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
    ) y2 @+ E0 V- a0 X+ D下面就要来说说“量化”了~~+ a: U7 ~( r6 h% _+ q( C
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...
    + D6 u; w+ C- I2 @- z: ?* M
    所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用,可以为其他学科服务。同样,其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域,只要他们的技术足够强。

    该用户从未签到

    16#
    发表于 2014-1-12 18:15:39 | 只看该作者
    万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06 & H8 }; t* i! V. q0 R1 p% g
    效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。
    $ v  x& }' Q! p
    这个我有个模模糊糊想到的问题。
    * ]/ x1 L2 t4 `4 `8 @- D  t4 x
    4 g* V' Q1 f' R8 H比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏好,是不是在某种程度上就是风险中性概率?这个也是从个人的估计到市场的估计。
    + Z) N  n( N0 Z% ~" F) ]
    . \& @( o8 O$ W6 U( H这样从单个个体到集体的归纳,好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括,因为彼此有扩散的作用,还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的?agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了?

    点评

    有,以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的,这是一个大流派。我不是搞这个的,只能做经验统计。  发表于 2014-1-12 21:58

    该用户从未签到

    17#
    发表于 2014-1-12 22:07:30 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
    5 {3 e; |1 [9 o5 q这个我有个模模糊糊想到的问题。/ L4 \3 o+ @8 F, v, n$ P0 t* W
    $ u; a7 n! q) J; z
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...
    1 H- N, u. V% a9 e  V& y
    万里风中虎  有,以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的,这是一个大流派。我不是搞这个的,只能做经验统计。7 D7 P$ V0 D+ F1 ~, Q
    + @1 T/ t% n) ]. j" z0 Y3 d8 w
    多谢老虎,这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
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    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    18#
    发表于 2014-1-14 07:15:37 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
    5 F9 B$ n# ~8 r5 q* e8 a下面就要来说说“量化”了~~0 G) x7 T$ n6 ]4 B! J! O* _
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...

    4 x# y" x) R& z) B# C) KCabibration其实做的就是moment matching,可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信,不做Goodness of Fit的检测。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11
  • 签到天数: 1017 天

    [LV.10]大乘

    19#
    发表于 2014-1-14 07:33:15 | 只看该作者
    本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 $ v" y& ~. A3 M$ T# M1 x! y( j2 p
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
    1 N2 k9 K; F. M2 }8 l这个我有个模模糊糊想到的问题。7 \2 c3 w) [8 L

    3 N3 M9 l! d& v3 b9 [比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...
    ; e8 \' R/ @: e* H  N6 i' P
      P4 e) a1 |0 B# v* ?8 t
    由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现,这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现,MWG的教科书里专门有一章,你可以找来研究一下。
    0 `( y" f$ d% a2 |
    7 n; G, Y* q4 Q* h金融经济学里假设的representative agent,也是在这些限制条件都满足的条件下,才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键,我不太清楚。
    & Z$ }1 C6 r4 }2 G  m; C# @: _% Q" p1 f8 ^! f
    金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架,一般假设每个人是risk-averse(我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果),因此有risk premium,风险高的资产预期收益必须高,以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability,涉及的数学有点高深,说的是存在着一个新的probability measure,在这个新的measure下,资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。* B5 X# W. \; c7 V- i
    2 T' R% \- T! u) H! B

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