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[经济] 数学在经济学中的意义(已更新)

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楼主
发表于 2014-1-9 08:04:00 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
9 X, T. L2 X; R! L$ b# T# s- M; K6 |2 B7 J
经济学与数学的关系,是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济,需要数学好。而数学在经济学中的意义,是我直到念了博士,才一点点理解。
/ K2 A5 r" u; u7 m: |# x大松鼠感觉,经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱,还可以用作在微博上大骂国家政策。6 L" @. w" B  e! p' ?8 ?
- j% @, m* l3 H$ L, J5 R
不过,经济学本身的研究,与这些人的区别,据大松鼠体会,大抵有两个不同。
, Q' ?) a' V) L, @) m
/ v' I# \. i5 L! y一是,在理论问题上更加抽象,二是,在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词,都和数学有着紧密的联系,但是也不尽其然。+ U* [$ X. {5 @; t, |8 O$ \# `

" [3 d% x1 b0 l这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。(量化在第13楼)* p/ s0 X- s4 e( ~4 k/ [9 U/ o

" Z2 d7 \! ]- l: D9 c所谓抽象,是指把很多具体的例子,总结成一个例子。而这“一个”例子,必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子,必须是可以解的。否则,问题放在那里,也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程,实际上是一个由繁至简的过程。这个过程,不一定需要高深的数学。举个经典的例子,乔治安科洛夫1970年的著作:《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》,这篇开启整个不对称信息研究,也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章,就没用任何超出高一上学期数学的知识,最难的数学知识,是分段函数。
* h) P8 o- U, `% D
4 b# u0 Q  G8 v5 T+ v% q那么,高端的数学用在了哪里了?在理论问题的研究上,高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设,是假设一个人choice,是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系,就非用数学而说不清了。首先,人的选择,可以用通过分析函数的最值来分析么,这个函数是连续可导的么,人的选择的空间,是稠密的么?这个函数,是凹函数还是凸函数?
$ Y$ ^$ z  v2 X+ h5 X+ I8 q
# }' L& c  C, d: O2 P问题接踵而至。大松鼠在这里,当然不是为了要讲解这些数学问题,只是认为,其实越是简单的问题,越需要深入到最根本假设上的思考,越需要严谨,越困难。
6 O" M, T9 |% z6 ~
  c. x% N3 O+ v; Z
7 q8 p) n8 n' o& v3 O: t
量化在第13楼~~

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2019-2-3 22:30
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    [LV.4]金丹

    沙发
    发表于 2014-1-9 08:16:51 | 只看该作者
    牛啊。高中就开始思考了

    点评

    高中的时候是觉得自己数学不好,怕学不了经济。。。  发表于 2014-1-9 09:00
  • TA的每日心情
    开心
    2016-3-6 10:27
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    [LV.1]炼气

    板凳
    发表于 2014-1-9 09:09:27 | 只看该作者
    本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 6 G! O5 y# V6 L6 T0 e; v# ~
    " P% z0 B5 L' l, P9 l0 _
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱
    1 g% _' X9 z# D9 _, s( c* i/ i/ x( c7 e  o0 N2 V; E5 k
    经济学又有点像理论物理,总是自己在创造理论,呵呵
    ' x, }4 L; C5 z  w+ @& `0 E  R7 Z8 A1 d/ K
    理论有点像货币,可以流通和实物进行交换,但理论又不是实物,它是一种指代关系: @- \9 A% T3 a8 c0 m
    + P8 |) R( q$ a) f" a- I
    外行人瞎说的,别当真+ x$ q; ~3 h1 d# }3 w9 G
    + K- K7 Q; x3 t; [

    8 n: U% [4 d( j% B6 `% d0 m

    点评

    真正的经济学家其实就是物理学家,收入不会太高。  发表于 2014-1-12 17:07

    该用户从未签到

    地板
    发表于 2014-1-9 10:25:31 | 只看该作者
    这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的?

    该用户从未签到

    5#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:44:02 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 * w7 f6 A4 q, \' l  T% k- x
    这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的? ...

    . I1 v" _3 J' J# ?, d收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。% t& q8 D1 u% d) @2 Z( ~
    效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~. F7 [; H& Q: G5 d! H& @# n$ c
    你的意思是marginal utility不同是么?大概是一个函数从左边求导不等于右边求导?( r* E$ ^6 s) b
    只要是不连续的函数,都是不可导的~~

    该用户从未签到

    6#
    发表于 2014-1-9 10:46:49 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 ( w, F0 [+ h5 H/ z
    收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。
    - N! g0 K- B2 ]4 O1 R! ?效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~- d8 l2 d4 d& r" |) H$ K  W' E* ?
    你的意思是marginal ...
    - q7 Y7 V( k3 q" s3 C( e* ]: o9 F
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    6 x( X# `$ G! }2 v3 H/ a- y- ^3 ~" E# j
    这种处处不可导的utility function真的用的多么?

    该用户从未签到

    7#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:47:08 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-8 20:09
    : b% B3 {8 D; O/ d1 Y0 {, v& {0 V- X4 H经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱) E$ S( E, A, {; ^! E, Y6 Y& L

    2 Y( n. v2 g! V5 E2 p经济学又有点像理论物理 ...

    / h0 m. j# c" Q. K3 q嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币,是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的,都是人创造出来一个概念,然后去研究它。不像物理化学生物,研究的都以自然界的物体为基础的。
    & r, ]8 K- ~/ w* Z  Y6 F9 H( k1 D不过经济需要数学,数学不需要经济~~嘿嘿~~

    该用户从未签到

    8#
     楼主| 发表于 2014-1-9 11:13:11 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
    - \6 X0 j, a2 R. Z# Y就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    0 }9 F% `" {% q& ^) t% ~9 W% A) @$ p+ M
    这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...

    ! s0 r# l# h# O5 h3 J0 ?几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了,就把这些特例扔掉了。
    7 v* j" z$ v) n因为应用这些理论,来解决实际问题的时候,绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导,那么求不了边际效用,那么什么都解不下去了~~

    该用户从未签到

    9#
    发表于 2014-1-9 11:14:32 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
    ( R8 F0 n5 t8 f6 f8 K几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

    & f' w: I4 }. B% w* h. P
      B0 U0 |$ A, h( y+ o  g所以行为经济学离实用还有挺长的路要走,可以这样说吗?
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    10#
    发表于 2014-1-9 12:57:13 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
    ) [9 c- @4 e! @. @2 U就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。! T+ q! b% W, b- R; [' O

    ' ?& m' |& m; |这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...

    4 g. Z. t$ P6 W1 J# u你说的是loss aversion,比如投资,损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小,在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里,人是风险中性,对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型,我对这个领域了解的不是很多,不多写了,这是Wikipedia上的简单介绍。, p) y/ K+ o+ S
    " r" l! ]" v4 e% w' w: Y7 U
    http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
    ; J" z3 U5 s4 y' q  o6 f% {# l
    ; I1 e: N  H! \, _" w* g经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似,里面肯定有很多假设同现实相违背,需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题,效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导,推不出漂亮的数学定理,但是对结果并没有太大的影响,比如解出的函数不是单调增加,而是在绝大多数点上增加,对实际应用没有太大影响。
    ; C5 }6 K1 |: G
    1 z& D! X  m  t6 a

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    该用户从未签到

    11#
    发表于 2014-1-9 14:20:52 | 只看该作者
    不好意思打岔了。。。松鼠继续,花等下文

    该用户从未签到

    12#
    发表于 2014-1-11 16:24:53 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-9 09:09 3 X* g* x+ T3 v1 G3 j! `. @
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱
    7 _/ u& {/ n& ?/ g: m9 r# O
    : d9 O. D: U" j4 g经济学又有点像理论物理 ...
    % M. c5 C7 M  X' L( z
    经济学还能挣钱的。
    5 Y# U+ U6 S6 P$ O& [# ?, l
    8 V$ w# l! J- ?/ S! w5 o' N5 n* ?, k9 g; V
    理论物理真中枪,只能当作修身养性

    该用户从未签到

    13#
     楼主| 发表于 2014-1-12 10:32:13 | 只看该作者
    下面就要来说说“量化”了~~" e. G' k& r8 B; |
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模型而来。之前说过了,大体上,理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后,量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的,就是找到这个特定的参数。
    : s; c7 N) L" L8 Q术语上来讲,叫calibration。, i6 }1 d" Y* E- d
    怎么找呢?基本上就是来match empirical data。
    " h1 {' A6 b7 k+ ^- w+ x  D
    : }  p: a, g5 h4 x8 q上面这种方法,大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。( n% i' w7 `) z: _4 m
    那么还有一种方法,是从外部入手解决量化问题。, R, W9 g; r3 ~3 [
    ——计量的方法。
    ' K. ^( }' C. c! u9 r' `
    , x' @! v& I7 }计量,可以用来检验一个理论模型是否符合实际,也可以直接作为研究问题的方法。
    5 R; f( R  K, k; @* q2 R6 _  p7 w7 U' [: f1 s# a- u
    下面我提几个问题,# Y) V0 q5 q# D$ p' F% C
    比如,大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响?
    * a+ \1 K& j! `再比如,一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响% p; P+ Y# C: m$ u# p
    再再比如,如果多看电视的话,会不会容易引起儿童患自闭症?
    / e) J& k2 Q) x这些问题,不太容易从建模的角度去分析,因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢?我们从外部,不用参数模型,而直接用数据本身,得出答案。( \. N( S3 I: u( t( ]0 d
    术语上叫做regression。: {! G- I1 {% W3 `6 `
    而这里,就会遇到一定难度的数学问题了。基本上,是统计学的问题。
    1 l' e( W# d9 p$ e' {( r
    ' w1 T3 w# H; R# ^3 r8 @最先遇到的问题,是统计学上的大数定理,是否可以应用。( {3 A. D1 @+ X) b  E8 i
    每个观测到的数据之间是否是独立的。  [! Y: t1 w% @
    比如时间序列函数,每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了,明年的GDP很可能也是高的。& O1 q1 ]* [6 R
    这个数据本身,是连续的数值么?还是1或0呢?还是0或连续正数呢?(比如工资)
    8 H  y  h+ J* V: `' P! a6 o& `这一系列的问题,都跟统计学有极强的联系。  V. w, Z* D) A
    , L; W/ e; @8 S/ C! m' [5 L1 K: y% S
    于是统计学分出来,与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起,出来了计量经济学。
    + Z& c  w  r) m) o. n( X这个计量经济学,又深入到其他社会学学科领域,
    " H% W3 t: {! q- u; z" c至少我知道的,政治学和社会学,前沿的研究,都与计量经济学有关。( Z& g  q7 R. L5 v0 x4 K

    5 B( u+ [0 \7 ?: Z' H经济学用它独特的量化分析,统领着整个社会科学研究。

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  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41
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    [LV.3]辟谷

    14#
    发表于 2014-1-12 17:06:38 | 只看该作者
    效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41
  • 签到天数: 13 天

    [LV.3]辟谷

    15#
    发表于 2014-1-12 17:38:31 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
    ) }2 d( M; z1 S2 x5 M; ?下面就要来说说“量化”了~~! h/ H. e4 {0 R
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...

    * i7 F& n. o+ k( U" A' Z4 \1 `所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用,可以为其他学科服务。同样,其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域,只要他们的技术足够强。

    该用户从未签到

    16#
    发表于 2014-1-12 18:15:39 | 只看该作者
    万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
    $ K/ P5 u* e, e效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。

    $ @6 `! h  u# B1 M这个我有个模模糊糊想到的问题。! a. {+ f* S" \5 n
    : F0 k, m- @' H2 u& u
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏好,是不是在某种程度上就是风险中性概率?这个也是从个人的估计到市场的估计。
    ; }  ^# ]- q* V
    # Y- j2 c/ G) A2 x* `0 B" R这样从单个个体到集体的归纳,好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括,因为彼此有扩散的作用,还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的?agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了?

    点评

    有,以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的,这是一个大流派。我不是搞这个的,只能做经验统计。  发表于 2014-1-12 21:58

    该用户从未签到

    17#
    发表于 2014-1-12 22:07:30 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
    3 M0 B* |8 z' ~% Q这个我有个模模糊糊想到的问题。- P- J! A6 N" u: y& l( a5 h

    / p% c% }* {* a& z' u比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...
    8 R0 k8 m+ ^, c: J& ?# v, d
    万里风中虎  有,以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的,这是一个大流派。我不是搞这个的,只能做经验统计。& m' q9 I. Y+ @, S
    & s9 o- D( v: R3 I3 I1 P
    多谢老虎,这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    18#
    发表于 2014-1-14 07:15:37 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 5 M. R' g& n2 \+ K1 ?5 f9 R. {, M
    下面就要来说说“量化”了~~% o  t' X. S. @: ^
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...

    1 @. e" O+ ^) T% l5 J% h" _Cabibration其实做的就是moment matching,可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信,不做Goodness of Fit的检测。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11
  • 签到天数: 1017 天

    [LV.10]大乘

    19#
    发表于 2014-1-14 07:33:15 | 只看该作者
    本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
    ' b7 i7 O7 l4 v% g- D$ H1 Q
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
    5 L, ]! x/ o* h- ?; v这个我有个模模糊糊想到的问题。
      e8 j- C" o3 u+ l6 P" o! m+ l; t, h# K* i
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...

    ' Q4 Y  T% E! u+ [" b- }8 ?  h/ Y+ ^9 h
    由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现,这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现,MWG的教科书里专门有一章,你可以找来研究一下。
    ; i: T3 J' `7 j* W! r+ g# R  L! b4 }# I# i2 a
    金融经济学里假设的representative agent,也是在这些限制条件都满足的条件下,才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键,我不太清楚。
    " x/ W9 w, ]7 e1 q" P# B4 _
    ; Q2 _' e2 b0 t' b& I" N金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架,一般假设每个人是risk-averse(我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果),因此有risk premium,风险高的资产预期收益必须高,以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability,涉及的数学有点高深,说的是存在着一个新的probability measure,在这个新的measure下,资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
    5 c5 E- [8 M. |4 v. Q7 a
    . X& K5 J* l( }6 H

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