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[经济] 数学在经济学中的意义(已更新)

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楼主
发表于 2014-1-9 08:04:00 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
& O) k& X$ I- E  U/ S; R# X5 F( v$ w' b3 @- E
经济学与数学的关系,是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济,需要数学好。而数学在经济学中的意义,是我直到念了博士,才一点点理解。" e4 [8 S3 [, ^/ F
大松鼠感觉,经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱,还可以用作在微博上大骂国家政策。
; k7 n; C- T( T, t! W- `- U: {( y! X1 p" F" @
不过,经济学本身的研究,与这些人的区别,据大松鼠体会,大抵有两个不同。
# E& D& v% N$ N  d8 i. K
5 ^2 t+ l; V4 {8 F一是,在理论问题上更加抽象,二是,在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词,都和数学有着紧密的联系,但是也不尽其然。
1 c" K4 _4 [6 i6 F. d
) T, V0 Q' Y% x$ g9 \2 B- v4 y* L这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。(量化在第13楼)
( Y6 z6 T( d% J! r' _8 a" L6 h& P! I, X2 B" x9 Q
所谓抽象,是指把很多具体的例子,总结成一个例子。而这“一个”例子,必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子,必须是可以解的。否则,问题放在那里,也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程,实际上是一个由繁至简的过程。这个过程,不一定需要高深的数学。举个经典的例子,乔治安科洛夫1970年的著作:《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》,这篇开启整个不对称信息研究,也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章,就没用任何超出高一上学期数学的知识,最难的数学知识,是分段函数。
! x# r( N: }+ N% K- ?2 p5 B& t# v. J5 T) t, G( K7 ~
那么,高端的数学用在了哪里了?在理论问题的研究上,高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设,是假设一个人choice,是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系,就非用数学而说不清了。首先,人的选择,可以用通过分析函数的最值来分析么,这个函数是连续可导的么,人的选择的空间,是稠密的么?这个函数,是凹函数还是凸函数?6 y; q. d! d2 K

4 `' r; X' t& S1 o4 E: Q. ?/ k8 R5 X问题接踵而至。大松鼠在这里,当然不是为了要讲解这些数学问题,只是认为,其实越是简单的问题,越需要深入到最根本假设上的思考,越需要严谨,越困难。
; H1 u+ u; I$ c( T4 g. c
( `! D6 t) F9 v$ T2 e

2 u3 B) ^* D  ]$ \$ ]  V7 M量化在第13楼~~

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    奋斗
    2019-2-3 22:30
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    [LV.4]金丹

    沙发
    发表于 2014-1-9 08:16:51 | 只看该作者
    牛啊。高中就开始思考了

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    高中的时候是觉得自己数学不好,怕学不了经济。。。  发表于 2014-1-9 09:00
  • TA的每日心情
    开心
    2016-3-6 10:27
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    [LV.1]炼气

    板凳
    发表于 2014-1-9 09:09:27 | 只看该作者
    本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 3 M  P1 i. p3 J. r

    5 g3 u. u$ J: i4 X4 @1 w0 Z/ {9 f经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱% Y5 u8 j: ~' k9 N

    9 U1 y+ N% k% w! g; Y/ b经济学又有点像理论物理,总是自己在创造理论,呵呵/ o1 y, |& f' T$ x% Z
    ) R" L9 q' A- m. w
    理论有点像货币,可以流通和实物进行交换,但理论又不是实物,它是一种指代关系* Q  C* C/ z6 W+ B- z" `
    ; C! Y8 Q* [! D) K8 R
    外行人瞎说的,别当真: j! |5 S  H+ K  I. K7 H. ]2 F  `; {
    1 T/ u' \4 I' k; v' ?7 ^, E2 w8 [5 o

    ! f! u5 {- J& X) a0 o. t6 r

    点评

    真正的经济学家其实就是物理学家,收入不会太高。  发表于 2014-1-12 17:07

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    地板
    发表于 2014-1-9 10:25:31 | 只看该作者
    这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的?

    该用户从未签到

    5#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:44:02 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
    . C9 |; l2 A# a2 ~: y这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的? ...
    * t; Y3 d  q: O1 u5 h% ?  U/ X
    收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。, z4 f- F3 ~) i: L* R# R
    效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
    0 M+ H2 Q% d. `你的意思是marginal utility不同是么?大概是一个函数从左边求导不等于右边求导?  p* N' t& g. L! {/ X- `
    只要是不连续的函数,都是不可导的~~

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    6#
    发表于 2014-1-9 10:46:49 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 4 p4 A5 X3 S0 i4 w
    收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。0 G6 h( l. e- n9 ~  w
    效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
    . k0 I" i) T0 ?0 k& E! v你的意思是marginal ...
    $ ~. `0 A: `$ F- n3 R
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。1 T3 r+ @; }$ A- r
    $ v+ K) z" M9 f
    这种处处不可导的utility function真的用的多么?

    该用户从未签到

    7#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:47:08 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-8 20:09
    , t3 O1 r) A( t' v$ v# D8 }3 B经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱
    $ k. `7 t/ u1 i" E( s+ y+ ^+ U' i4 z
    经济学又有点像理论物理 ...
    3 w% y2 v4 w* L) {  }$ o! L
    嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币,是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的,都是人创造出来一个概念,然后去研究它。不像物理化学生物,研究的都以自然界的物体为基础的。
    5 T8 C& p# J8 i! i% f: T3 A不过经济需要数学,数学不需要经济~~嘿嘿~~

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    8#
     楼主| 发表于 2014-1-9 11:13:11 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
    8 l' i6 u7 A7 h/ Z, c' \就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。( i* m  ~. G+ S2 Q
    # y4 H0 @, g( S7 j% K
    这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...
    ) g9 c2 [( I8 p1 w
    几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了,就把这些特例扔掉了。& a8 S+ ?9 @" u
    因为应用这些理论,来解决实际问题的时候,绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导,那么求不了边际效用,那么什么都解不下去了~~

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    9#
    发表于 2014-1-9 11:14:32 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 ( Y8 _# D; s* P
    几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
    5 a5 r5 c1 Z7 U- l( |$ B8 O+ a0 o

    6 N- O4 ^+ f% ^# c所以行为经济学离实用还有挺长的路要走,可以这样说吗?
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    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    10#
    发表于 2014-1-9 12:57:13 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-9 10:46 + l# }+ {2 u; }9 a) l: o# q
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。7 ~, @5 l1 s$ t4 m$ U& H3 Y6 N

    , ~6 H( d, G% V  H- @' y& @' h这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...

    0 e3 S! n+ `' |7 S  ?你说的是loss aversion,比如投资,损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小,在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里,人是风险中性,对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型,我对这个领域了解的不是很多,不多写了,这是Wikipedia上的简单介绍。
    & B$ s3 I" C8 O/ u, X& _
    . B3 x6 F4 W/ g' }: x  o# Y2 mhttp://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory; V( a4 o3 U$ m0 d$ y
    # l" d2 a5 f: c1 l% W, ?; I
    经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似,里面肯定有很多假设同现实相违背,需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题,效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导,推不出漂亮的数学定理,但是对结果并没有太大的影响,比如解出的函数不是单调增加,而是在绝大多数点上增加,对实际应用没有太大影响。
    8 \. z6 `- k8 y6 J% C% h  c0 A
    ) g" i" @% ~3 u5 K

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    11#
    发表于 2014-1-9 14:20:52 | 只看该作者
    不好意思打岔了。。。松鼠继续,花等下文

    该用户从未签到

    12#
    发表于 2014-1-11 16:24:53 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-9 09:09 3 C* d7 O8 D$ h4 T/ T. A! z: O
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱* h& w, t9 R* h! o
    5 v! }% R2 P" F- ^& d; s
    经济学又有点像理论物理 ...

    , u7 @! v! Y; H) q经济学还能挣钱的。: h5 x! ]; X: y) R3 i1 H
    $ j: \9 s* x. r) d2 `
    ' M( i* p, c4 K4 _. n, [; e9 g
    理论物理真中枪,只能当作修身养性

    该用户从未签到

    13#
     楼主| 发表于 2014-1-12 10:32:13 | 只看该作者
    下面就要来说说“量化”了~~$ q  }& P! j7 W$ i% t7 c' h
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模型而来。之前说过了,大体上,理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后,量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的,就是找到这个特定的参数。
    7 f- w- E0 T' d7 R  I' b* y8 D术语上来讲,叫calibration。& C7 B5 n7 U. a" h
    怎么找呢?基本上就是来match empirical data。
    + Z& `8 i! f9 q. W
    ) _. s) V) A$ _" Y2 Q4 x2 n上面这种方法,大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
    & T% Z1 e' p" _7 s: z那么还有一种方法,是从外部入手解决量化问题。
    6 e- n( z7 t4 n, M5 |——计量的方法。
    ! g: v' X$ x. D- P, `
    # m* t+ I- L% g: e4 b3 W$ x+ }# Y( ^计量,可以用来检验一个理论模型是否符合实际,也可以直接作为研究问题的方法。8 y7 q+ g1 {3 P! n0 y

    - [  w/ T$ h) K6 g* X下面我提几个问题,
    ' p) {' ~* _/ `比如,大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响?! e( U( D+ ?2 W3 k
    再比如,一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响" {1 x5 S) g9 E, |" c, e3 ?
    再再比如,如果多看电视的话,会不会容易引起儿童患自闭症?6 S3 N9 Y* a+ H; T& C- k/ @
    这些问题,不太容易从建模的角度去分析,因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢?我们从外部,不用参数模型,而直接用数据本身,得出答案。
      _6 ^  r- s! n5 `' o术语上叫做regression。
    ) q( V! _4 @: r! V. s& A$ P而这里,就会遇到一定难度的数学问题了。基本上,是统计学的问题。+ D# P& v- k1 R; w! H: v9 O

    1 B1 n8 ^$ X1 h最先遇到的问题,是统计学上的大数定理,是否可以应用。
    7 {: ^: k0 ^  \7 k5 N1 u: i! t每个观测到的数据之间是否是独立的。8 c* T( {4 X3 X! z, V4 i
    比如时间序列函数,每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了,明年的GDP很可能也是高的。
    ! P& M" x( {# ]4 ^2 L这个数据本身,是连续的数值么?还是1或0呢?还是0或连续正数呢?(比如工资)# w- O( K7 V+ D' T4 u8 b
    这一系列的问题,都跟统计学有极强的联系。
    ) h- y; P! l: o0 t. i+ h! k+ T0 G8 v- P6 _5 l
    于是统计学分出来,与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起,出来了计量经济学。. F+ {% _& g# A) p' N5 e* J
    这个计量经济学,又深入到其他社会学学科领域,0 O7 _9 C4 ]  t, |2 e) y! R1 q
    至少我知道的,政治学和社会学,前沿的研究,都与计量经济学有关。6 F8 L% h, H2 _& g7 B2 h* \

    - g. z+ t' f8 ~& h! G经济学用它独特的量化分析,统领着整个社会科学研究。

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  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41
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    [LV.3]辟谷

    14#
    发表于 2014-1-12 17:06:38 | 只看该作者
    效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41
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    [LV.3]辟谷

    15#
    发表于 2014-1-12 17:38:31 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
    0 w: X- a- d0 Q, k  q' e$ a0 r0 b下面就要来说说“量化”了~~: P% I6 K- u( f* m. s9 Q$ e+ l% O
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...

    6 T3 T6 T; ]4 f# k' N  P所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用,可以为其他学科服务。同样,其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域,只要他们的技术足够强。

    该用户从未签到

    16#
    发表于 2014-1-12 18:15:39 | 只看该作者
    万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
    6 N  Z7 y5 |- }/ O% ^4 M/ j% T效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。

    $ q% m* b4 ]% t' [( F这个我有个模模糊糊想到的问题。
    9 P7 }% G! P& a  n* c6 o) m& k9 L: O1 a
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏好,是不是在某种程度上就是风险中性概率?这个也是从个人的估计到市场的估计。
    4 D2 c9 m) a& y) D( [+ ^& Z
    6 D* Q+ E4 J8 G' P这样从单个个体到集体的归纳,好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括,因为彼此有扩散的作用,还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的?agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了?

    点评

    有,以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的,这是一个大流派。我不是搞这个的,只能做经验统计。  发表于 2014-1-12 21:58

    该用户从未签到

    17#
    发表于 2014-1-12 22:07:30 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 ( ?; v; X4 I; C1 J& g
    这个我有个模模糊糊想到的问题。
    * ~; Z9 s, m6 Z, j: \* ^3 @6 I3 Q  S
    # k8 ]! Z4 E0 z' ?: [  S比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...
    ! J* J( R3 }& c/ n7 s* b" w5 x; j
    万里风中虎  有,以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的,这是一个大流派。我不是搞这个的,只能做经验统计。# |  q" V2 z5 y" E# L  K3 n

    6 {+ v& B. B+ k多谢老虎,这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
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    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    18#
    发表于 2014-1-14 07:15:37 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
    ) o/ C4 q4 I9 C/ B+ s: I下面就要来说说“量化”了~~
    - k" @2 L% N& a1 t- _+ a对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...
    + J$ o& P7 G, {' r; d8 `8 t' V! |
    Cabibration其实做的就是moment matching,可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信,不做Goodness of Fit的检测。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    19#
    发表于 2014-1-14 07:33:15 | 只看该作者
    本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 9 z4 h0 M. z  J- r
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
    / F1 i8 c7 T/ G/ \这个我有个模模糊糊想到的问题。
    0 U- C+ \4 e1 ?% i* u* S2 x2 o( r$ C7 H! c1 [: N
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...

    ; D5 j0 A3 ?8 J8 ^. E
    ! ^  R8 i9 b  C) Z0 W" _6 z由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现,这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现,MWG的教科书里专门有一章,你可以找来研究一下。
    : ~/ n' D* t- ]6 ]$ p7 o
    ! Z2 x# a8 i8 Y- F- E金融经济学里假设的representative agent,也是在这些限制条件都满足的条件下,才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键,我不太清楚。! r/ U! u0 E+ z( d
    5 N& j7 ]8 E( d' X% X- J; e/ c
    金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架,一般假设每个人是risk-averse(我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果),因此有risk premium,风险高的资产预期收益必须高,以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability,涉及的数学有点高深,说的是存在着一个新的probability measure,在这个新的measure下,资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
    5 D: R- \& ?' s) y, ^/ k- ~, K) d0 I4 S) L

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