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[经济] 数学在经济学中的意义(已更新)

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楼主
发表于 2014-1-9 08:04:00 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 * d6 _* z( `; t! J7 F
* X4 P  j) w3 F" c
经济学与数学的关系,是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济,需要数学好。而数学在经济学中的意义,是我直到念了博士,才一点点理解。
$ {( W+ y, d4 K+ M" ^% o5 T大松鼠感觉,经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱,还可以用作在微博上大骂国家政策。
: ~+ b4 L$ |# V  M8 {& w' g$ c) S! J
不过,经济学本身的研究,与这些人的区别,据大松鼠体会,大抵有两个不同。. A! }8 A1 @- j, J% ~( g1 \
9 g, l( j( M% C' q* D3 f& o
一是,在理论问题上更加抽象,二是,在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词,都和数学有着紧密的联系,但是也不尽其然。0 C# U  Z0 B4 s

% [* p, w# R2 E, `这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。(量化在第13楼)
# y1 w% l7 \6 @+ A$ ~* r  U& i" S8 ^: [1 E* y9 q1 E% _
所谓抽象,是指把很多具体的例子,总结成一个例子。而这“一个”例子,必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子,必须是可以解的。否则,问题放在那里,也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程,实际上是一个由繁至简的过程。这个过程,不一定需要高深的数学。举个经典的例子,乔治安科洛夫1970年的著作:《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》,这篇开启整个不对称信息研究,也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章,就没用任何超出高一上学期数学的知识,最难的数学知识,是分段函数。
( \. S" B: S" V( D' J( D# H6 Z# G* @3 f  ]* J' I! G" y
那么,高端的数学用在了哪里了?在理论问题的研究上,高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设,是假设一个人choice,是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系,就非用数学而说不清了。首先,人的选择,可以用通过分析函数的最值来分析么,这个函数是连续可导的么,人的选择的空间,是稠密的么?这个函数,是凹函数还是凸函数?
5 [' s/ l) ]5 z4 s" \3 w/ }2 d* u/ S1 m3 }2 S
问题接踵而至。大松鼠在这里,当然不是为了要讲解这些数学问题,只是认为,其实越是简单的问题,越需要深入到最根本假设上的思考,越需要严谨,越困难。2 k9 N  y  _8 {

$ ^2 \- B9 ~+ C( \" u6 j! w( ]& X# A0 @, l, y
量化在第13楼~~

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2019-2-3 22:30
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    [LV.4]金丹

    沙发
    发表于 2014-1-9 08:16:51 | 只看该作者
    牛啊。高中就开始思考了

    点评

    高中的时候是觉得自己数学不好,怕学不了经济。。。  发表于 2014-1-9 09:00
  • TA的每日心情
    开心
    2016-3-6 10:27
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    [LV.1]炼气

    板凳
    发表于 2014-1-9 09:09:27 | 只看该作者
    本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
    ! m7 i: c4 h8 H+ D
    9 B% T! N% a$ [+ Q. J经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱
    ! q+ B4 Q5 L$ ^, r  g. A$ G+ d! c% F! h% o& g  N
    经济学又有点像理论物理,总是自己在创造理论,呵呵
    & B# ~- F% |4 _, E6 B
    6 Y" W7 c/ |8 R2 _理论有点像货币,可以流通和实物进行交换,但理论又不是实物,它是一种指代关系. b  a4 |' [- R

    ! U' z4 D2 b, \- j外行人瞎说的,别当真9 w. Z+ ]- E  S' _% |3 Q0 l

    - e* l9 @( T- c6 y1 p  ?$ j2 ~/ u; j& V  h2 d

    点评

    真正的经济学家其实就是物理学家,收入不会太高。  发表于 2014-1-12 17:07

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    地板
    发表于 2014-1-9 10:25:31 | 只看该作者
    这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的?

    该用户从未签到

    5#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:44:02 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 9 M" G0 L" K' c# {
    这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的? ...

    + ?7 ?9 a3 Y( f5 ^/ c收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。/ E7 {! p0 x7 N5 R+ S8 U; Q
    效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
    ( G9 ^2 x: j' |, U你的意思是marginal utility不同是么?大概是一个函数从左边求导不等于右边求导?
    . o2 m8 i7 ~3 t, _0 @# o只要是不连续的函数,都是不可导的~~

    该用户从未签到

    6#
    发表于 2014-1-9 10:46:49 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 1 j! F: {/ H8 t1 n# q6 l: H! M
    收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。
    ' K9 I7 Z$ m# j6 ^7 S; K0 g+ N8 X效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
    ' [  n7 R8 b8 v: [: s- k  W+ g你的意思是marginal ...
    4 G0 S$ {+ M1 j7 }) ~! q$ m
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    % S0 F, r; X2 _3 x9 m: w
    $ |0 @! S+ I% u8 D$ `这种处处不可导的utility function真的用的多么?

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    7#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:47:08 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-8 20:09
    " k# J, N0 `( S( X3 n$ K经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱) V; K4 E; A# l* S) {( G# m! B

    ! v# H2 G( y8 c1 S" K" i5 ^经济学又有点像理论物理 ...

    # F* p0 N- z2 B+ M嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币,是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的,都是人创造出来一个概念,然后去研究它。不像物理化学生物,研究的都以自然界的物体为基础的。7 ?. w+ s/ t, h% L1 O8 S: g
    不过经济需要数学,数学不需要经济~~嘿嘿~~

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    8#
     楼主| 发表于 2014-1-9 11:13:11 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:46 ' w, F5 n  b* V9 k5 v4 u  C5 e
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。* ]. _/ g3 x2 C- A  C5 j" J

    * T4 }: _+ _/ M" l+ i, N2 a2 u这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...

    " v0 ]4 J/ j2 G几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了,就把这些特例扔掉了。
    , T, ?6 o; P- V0 W# [, ]% |+ |因为应用这些理论,来解决实际问题的时候,绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导,那么求不了边际效用,那么什么都解不下去了~~

    该用户从未签到

    9#
    发表于 2014-1-9 11:14:32 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 # [; t/ p3 D/ A9 ?
    几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
    8 E/ m0 U2 J8 y. C3 S
    % d) r  g$ a) k+ [& j
    所以行为经济学离实用还有挺长的路要走,可以这样说吗?
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    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    10#
    发表于 2014-1-9 12:57:13 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-9 10:46 8 c9 k0 @  `- q6 n
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。0 M1 `% P2 o. `  O* A/ Q0 u2 M

    ( U/ i4 E9 i% D' J1 i这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...

    ; W' ~0 {' t% v4 \( ]( a6 j& Y你说的是loss aversion,比如投资,损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小,在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里,人是风险中性,对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型,我对这个领域了解的不是很多,不多写了,这是Wikipedia上的简单介绍。
    ; \& E4 h! }3 j& f4 F
    3 A, m8 d! a. Y; L$ B! Z2 @9 Ihttp://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory: R( o4 k  B8 C

    7 e( r& q. C! ]' I1 U% N: L经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似,里面肯定有很多假设同现实相违背,需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题,效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导,推不出漂亮的数学定理,但是对结果并没有太大的影响,比如解出的函数不是单调增加,而是在绝大多数点上增加,对实际应用没有太大影响。
    ( B# `, X( u3 p9 ]3 {
    7 P. ~8 H# y  _+ S$ Y/ p

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    11#
    发表于 2014-1-9 14:20:52 | 只看该作者
    不好意思打岔了。。。松鼠继续,花等下文

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    12#
    发表于 2014-1-11 16:24:53 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-9 09:09
    % ]9 B7 u0 x( B3 n# b7 ^2 n3 M经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱
    * Z. z; Z  O3 R  z( b% i3 P7 F3 V: d- E$ N4 P! L
    经济学又有点像理论物理 ...
    6 z+ \& v0 V( ?% I% _
    经济学还能挣钱的。
    ( f! ]) {* [2 o9 i" ]+ X1 y: k" {" d4 G3 p, o3 B

    ( g. U4 M. O2 r/ U) k理论物理真中枪,只能当作修身养性

    该用户从未签到

    13#
     楼主| 发表于 2014-1-12 10:32:13 | 只看该作者
    下面就要来说说“量化”了~~$ r6 s" ^7 I" }9 S! Z3 D
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模型而来。之前说过了,大体上,理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后,量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的,就是找到这个特定的参数。' Q  F  w% ^) G2 ~
    术语上来讲,叫calibration。" R6 v/ Z# b8 p; s- r; e5 t
    怎么找呢?基本上就是来match empirical data。, \% D! [1 V8 ^+ ~
    : \0 t3 Q! E; e1 w; d; _) V+ v: [
    上面这种方法,大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。. t& |$ {' W1 v! b
    那么还有一种方法,是从外部入手解决量化问题。- n$ \. u9 ]0 Y1 i" |" U% F
    ——计量的方法。
      N7 _) J; [: }, d  J
    , V$ {% b/ w5 F9 [% p8 M& `3 b+ {计量,可以用来检验一个理论模型是否符合实际,也可以直接作为研究问题的方法。' i* H" g2 \) v0 w8 l
    # H6 W$ u; H4 I$ p
    下面我提几个问题,1 [. j5 A/ Y: |: F/ S2 \7 ~* E0 a
    比如,大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响?
    % Z" K2 d2 x) S9 v* F4 x- H再比如,一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
    ) D' X) d+ a% \  k, d* m' r再再比如,如果多看电视的话,会不会容易引起儿童患自闭症?9 a. y  R; b$ J6 k
    这些问题,不太容易从建模的角度去分析,因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢?我们从外部,不用参数模型,而直接用数据本身,得出答案。* z: A# k; }! R9 x
    术语上叫做regression。
    $ E1 g0 E, Q6 Z1 F0 Q6 d( D3 ^/ X7 ]' c而这里,就会遇到一定难度的数学问题了。基本上,是统计学的问题。
    , p6 o2 F" Z7 D- h* Q, j: t' y$ [/ R1 n. o: a/ ]' W4 D7 o
    最先遇到的问题,是统计学上的大数定理,是否可以应用。9 q( ^1 t+ s6 N" O
    每个观测到的数据之间是否是独立的。
    6 W; J: }5 x) L0 P  S! N比如时间序列函数,每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了,明年的GDP很可能也是高的。6 K0 A# O$ H. ~1 p0 g- F, ~
    这个数据本身,是连续的数值么?还是1或0呢?还是0或连续正数呢?(比如工资)
    : T$ K$ u+ z' m( L, Q0 G' j+ s这一系列的问题,都跟统计学有极强的联系。
    # T3 R) \! Z$ @- \! _* t/ w- Z3 ?( o2 `# X4 i/ |; _4 Y
    于是统计学分出来,与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起,出来了计量经济学。
    ( i6 c$ b2 N! c& b5 m$ f% v* ^这个计量经济学,又深入到其他社会学学科领域,
    ; |: [3 B* u& X- x. |5 D" l8 F至少我知道的,政治学和社会学,前沿的研究,都与计量经济学有关。1 }( Z5 Z3 L# q

    ' U( f/ ?4 K' J+ `. G$ m" X$ }经济学用它独特的量化分析,统领着整个社会科学研究。

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  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41
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    [LV.3]辟谷

    14#
    发表于 2014-1-12 17:06:38 | 只看该作者
    效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41
  • 签到天数: 13 天

    [LV.3]辟谷

    15#
    发表于 2014-1-12 17:38:31 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
      g# b2 y0 G8 B0 l4 @1 ~. V下面就要来说说“量化”了~~
    ( p3 w) b! J1 J0 p3 X对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...

    4 m3 R0 [5 n6 k0 J0 `所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用,可以为其他学科服务。同样,其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域,只要他们的技术足够强。

    该用户从未签到

    16#
    发表于 2014-1-12 18:15:39 | 只看该作者
    万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06 + J5 R2 w) B& E! x# R
    效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。
    ; a6 R; ^) [. O# H; H8 H4 {% C
    这个我有个模模糊糊想到的问题。
    3 n- t$ q5 I3 H) a5 }+ X/ O4 v1 o/ k8 R
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏好,是不是在某种程度上就是风险中性概率?这个也是从个人的估计到市场的估计。
    1 a, r0 L8 X1 q) Y  x* x3 `
    4 ~" E) D; X8 R9 B- }这样从单个个体到集体的归纳,好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括,因为彼此有扩散的作用,还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的?agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了?

    点评

    有,以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的,这是一个大流派。我不是搞这个的,只能做经验统计。  发表于 2014-1-12 21:58

    该用户从未签到

    17#
    发表于 2014-1-12 22:07:30 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 2 l, s% M0 i# o1 r" C
    这个我有个模模糊糊想到的问题。/ B3 a# F2 F( j; j

    7 F0 S* `+ l* r比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...
    5 v$ A4 E/ s6 X3 ^
    万里风中虎  有,以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的,这是一个大流派。我不是搞这个的,只能做经验统计。
    ( l. m! G6 R$ V5 N( ^2 R' U
    7 X' T) I7 J+ ~' {多谢老虎,这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
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    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    18#
    发表于 2014-1-14 07:15:37 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
    3 y! j: h  \% w& J  f& E3 y2 @下面就要来说说“量化”了~~
    4 m+ \# @. d. d& I! n对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...

    $ E4 r- }2 b6 N! O- uCabibration其实做的就是moment matching,可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信,不做Goodness of Fit的检测。
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    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    19#
    发表于 2014-1-14 07:33:15 | 只看该作者
    本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 0 f6 b% U9 F  H9 |5 w
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
      {% _2 [) ?8 S! Y2 w5 ^这个我有个模模糊糊想到的问题。
      ^3 ~& r5 o2 ]4 L# s4 K3 E8 |+ b3 o5 [# [
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...

    ! u; @8 D- y( ], n+ M, Q) m/ H; G+ Y4 y! E
    由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现,这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现,MWG的教科书里专门有一章,你可以找来研究一下。
    5 z; P- z9 ~5 i- e% ]# ]' m2 q4 z( e+ G& |& \; M1 R, W6 c
    金融经济学里假设的representative agent,也是在这些限制条件都满足的条件下,才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键,我不太清楚。
    1 ?7 W( i& B( K) g, T' D; w( ~8 @
    9 h7 b9 X3 p6 U; d  E金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架,一般假设每个人是risk-averse(我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果),因此有risk premium,风险高的资产预期收益必须高,以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability,涉及的数学有点高深,说的是存在着一个新的probability measure,在这个新的measure下,资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。$ J/ F7 B2 I4 j
    - M9 |( E9 H) ^: I

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