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[经济] 数学在经济学中的意义(已更新)

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楼主
发表于 2014-1-9 08:04:00 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 5 U6 I  Z1 J+ v( c; }; [
9 v+ k/ x0 C+ y; ~8 [  o
经济学与数学的关系,是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济,需要数学好。而数学在经济学中的意义,是我直到念了博士,才一点点理解。# }% W9 N2 B$ \( k  u/ [
大松鼠感觉,经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱,还可以用作在微博上大骂国家政策。4 [4 K9 d' }( v/ m$ O  d- V

  P# S: x4 f0 u不过,经济学本身的研究,与这些人的区别,据大松鼠体会,大抵有两个不同。& L* I2 d' A! L6 U
+ ~3 k( L! |6 A
一是,在理论问题上更加抽象,二是,在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词,都和数学有着紧密的联系,但是也不尽其然。* Y4 k# s% ?+ M  J5 M5 H2 W

  [! `% A' z5 }5 ?8 X6 Q这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。(量化在第13楼)
4 k4 a) o4 ~* A& n( {) C
% c' v1 I# n% }" S: n所谓抽象,是指把很多具体的例子,总结成一个例子。而这“一个”例子,必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子,必须是可以解的。否则,问题放在那里,也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程,实际上是一个由繁至简的过程。这个过程,不一定需要高深的数学。举个经典的例子,乔治安科洛夫1970年的著作:《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》,这篇开启整个不对称信息研究,也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章,就没用任何超出高一上学期数学的知识,最难的数学知识,是分段函数。
( D) H8 Y7 s/ x# J) m! Y7 Q0 C
那么,高端的数学用在了哪里了?在理论问题的研究上,高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设,是假设一个人choice,是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系,就非用数学而说不清了。首先,人的选择,可以用通过分析函数的最值来分析么,这个函数是连续可导的么,人的选择的空间,是稠密的么?这个函数,是凹函数还是凸函数?' a' z2 Q% D- Q& y* V5 c4 m
0 S$ i: x3 _9 ~/ T+ |: \. \
问题接踵而至。大松鼠在这里,当然不是为了要讲解这些数学问题,只是认为,其实越是简单的问题,越需要深入到最根本假设上的思考,越需要严谨,越困难。
7 x4 P* t5 o7 t8 D+ u! y- L
" F( v# d  @/ w$ r
9 \9 d$ ~4 U' m  h! j. k
量化在第13楼~~

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2019-2-3 22:30
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    [LV.4]金丹

    沙发
    发表于 2014-1-9 08:16:51 | 只看该作者
    牛啊。高中就开始思考了

    点评

    高中的时候是觉得自己数学不好,怕学不了经济。。。  发表于 2014-1-9 09:00
  • TA的每日心情
    开心
    2016-3-6 10:27
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    [LV.1]炼气

    板凳
    发表于 2014-1-9 09:09:27 | 只看该作者
    本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
    # P: l$ j3 @$ `- a6 o$ B- n, Z, e5 @% b0 ^- U' q# T6 p
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱, k/ \5 |! Y' T- H: i
    ( g3 w6 r0 e- `+ V3 {
    经济学又有点像理论物理,总是自己在创造理论,呵呵* p9 I6 k. |: ?' D8 O

    , J# }0 M- m2 ?. {4 |/ E# x理论有点像货币,可以流通和实物进行交换,但理论又不是实物,它是一种指代关系' k' t7 `1 G( R& u
    3 x, s1 d* Q- O1 `8 O
    外行人瞎说的,别当真7 G. U+ U$ L" K9 h. v

    $ o$ W' A" ~) G( h4 D" d% ?" B3 s
    ( J& E) h' n/ g' X# F

    点评

    真正的经济学家其实就是物理学家,收入不会太高。  发表于 2014-1-12 17:07

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    地板
    发表于 2014-1-9 10:25:31 | 只看该作者
    这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的?

    该用户从未签到

    5#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:44:02 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 + H7 `+ N) @7 \5 {3 z
    这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的? ...
    . D" g. X8 f4 T" S* d" O) a& Z  [
    收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。
    " D9 Y" E% p5 X% @, x效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~! s  J! H6 u+ `% e+ }. w
    你的意思是marginal utility不同是么?大概是一个函数从左边求导不等于右边求导?4 b8 ?- U% C: \4 g
    只要是不连续的函数,都是不可导的~~

    该用户从未签到

    6#
    发表于 2014-1-9 10:46:49 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 1 {: q" x8 a* `! D# r
    收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。& q  W5 n5 X) A9 C- L/ [
    效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~, v* A) B! J' V( m
    你的意思是marginal ...

    1 i' g5 @/ G& M8 ~5 \1 {: N就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。4 ]- A; }# l( J: K0 P
    . P! A- K- k2 ]4 \0 z
    这种处处不可导的utility function真的用的多么?

    该用户从未签到

    7#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:47:08 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-8 20:09
    . R$ I9 Q1 u* B) g" }7 \经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱$ X, y' I3 t" V* y! ?

    + A. j( Y5 j  l, L7 Q6 g经济学又有点像理论物理 ...

      }3 {+ }/ H+ l8 E- Q0 H) N嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币,是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的,都是人创造出来一个概念,然后去研究它。不像物理化学生物,研究的都以自然界的物体为基础的。' h4 O+ ~* X4 N% O- |
    不过经济需要数学,数学不需要经济~~嘿嘿~~

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    8#
     楼主| 发表于 2014-1-9 11:13:11 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
    / m/ D5 h7 Q7 d5 A就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    ' O' F# M. B9 d# n! h0 d
    / i' _) G4 C$ a这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...
    * B+ w; f( }. ^$ m# ]5 I
    几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了,就把这些特例扔掉了。3 A, c9 b/ s/ E0 Q3 m$ j: K1 N, p
    因为应用这些理论,来解决实际问题的时候,绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导,那么求不了边际效用,那么什么都解不下去了~~

    该用户从未签到

    9#
    发表于 2014-1-9 11:14:32 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
    ) q# C- H) \7 f6 b9 ?几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
    + |7 ^4 L! T9 c. k1 N

    6 Q9 Y, `; M5 v$ ^所以行为经济学离实用还有挺长的路要走,可以这样说吗?
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    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    10#
    发表于 2014-1-9 12:57:13 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-9 10:46 # ]# l, |, Y. e& F2 y
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    - W  {9 \! z1 P8 q  r# i2 l! ~( L1 i4 D" P0 X
    这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...

      h9 r# q2 h0 y- b$ D1 m$ f5 Z$ V你说的是loss aversion,比如投资,损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小,在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里,人是风险中性,对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型,我对这个领域了解的不是很多,不多写了,这是Wikipedia上的简单介绍。, {( Q) S# u" }

    # E6 w" v, L6 {( hhttp://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory/ Y1 v0 K, a! n: `* n" V
    9 ]$ b6 i7 f2 M; V* ?
    经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似,里面肯定有很多假设同现实相违背,需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题,效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导,推不出漂亮的数学定理,但是对结果并没有太大的影响,比如解出的函数不是单调增加,而是在绝大多数点上增加,对实际应用没有太大影响。
      u8 P# K. O1 F/ ~
      S. I7 c! y. ^* }

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    该用户从未签到

    11#
    发表于 2014-1-9 14:20:52 | 只看该作者
    不好意思打岔了。。。松鼠继续,花等下文

    该用户从未签到

    12#
    发表于 2014-1-11 16:24:53 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-9 09:09
    : K! ~) t- k9 p  W- Y  \3 q1 S( c, B1 n经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱/ A; O4 ]( U) x
    8 c+ w" k3 {, {6 Q( f1 w
    经济学又有点像理论物理 ...

    : k: V% c: v6 z" r经济学还能挣钱的。
    2 R/ Q% }% c% l6 G. o, P; m8 j; R6 G3 v6 m( \% i
    9 U: }6 r0 K6 {4 I2 Q$ Y' _
    理论物理真中枪,只能当作修身养性

    该用户从未签到

    13#
     楼主| 发表于 2014-1-12 10:32:13 | 只看该作者
    下面就要来说说“量化”了~~
    % o7 U; t) Z8 w对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模型而来。之前说过了,大体上,理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后,量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的,就是找到这个特定的参数。
    5 X( d8 I. v7 C  U9 p) f术语上来讲,叫calibration。
    + t  t, M- l. a2 Z1 U怎么找呢?基本上就是来match empirical data。4 z6 N' {9 b  W7 Y
    ; w" [# z6 N" e" d3 i6 B
    上面这种方法,大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
    : h+ m7 z2 B0 x, p那么还有一种方法,是从外部入手解决量化问题。
    7 W4 Q( i) g3 X) E2 A——计量的方法。- x: @, @+ h4 _

    7 V& ^+ |/ Y9 n: Y8 N& z4 |/ L计量,可以用来检验一个理论模型是否符合实际,也可以直接作为研究问题的方法。
    4 K3 T: _" G# W( [4 R8 ]0 T; i# j0 L; Y6 U2 t9 r* _
    下面我提几个问题,' [# H1 R# }/ m( [* Z  q  A
    比如,大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响?
    : B/ T2 u3 a( |) V再比如,一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响$ I$ N+ b+ D3 W/ Y  Q
    再再比如,如果多看电视的话,会不会容易引起儿童患自闭症?. C/ B' U5 J( T5 Y4 K1 p/ e
    这些问题,不太容易从建模的角度去分析,因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢?我们从外部,不用参数模型,而直接用数据本身,得出答案。) e. [, ]  o( ~: K3 C, _# ]; t3 l
    术语上叫做regression。2 U/ J' A1 p8 {$ R8 x' i3 d  Z8 @
    而这里,就会遇到一定难度的数学问题了。基本上,是统计学的问题。
    . _5 |4 x+ c& t9 {1 t6 ~' u  W0 u: m' P: b. B
    最先遇到的问题,是统计学上的大数定理,是否可以应用。
    3 H/ _6 E7 _* }每个观测到的数据之间是否是独立的。
    : F. j* A, @' E- c& T3 Q比如时间序列函数,每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了,明年的GDP很可能也是高的。
    % C" v9 p1 B* B& f* Y0 ?- b这个数据本身,是连续的数值么?还是1或0呢?还是0或连续正数呢?(比如工资)4 L# |- t5 t6 T/ l, r
    这一系列的问题,都跟统计学有极强的联系。- |1 R3 Z+ |! ~" b2 j& k
    + ~; s/ U: o& o7 O1 l3 o( b
    于是统计学分出来,与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起,出来了计量经济学。
    8 b9 r, S/ q; ]1 P5 ]0 M这个计量经济学,又深入到其他社会学学科领域,3 y4 l1 A4 u2 S( H" G
    至少我知道的,政治学和社会学,前沿的研究,都与计量经济学有关。% j  l6 I' j" e

    + C& d/ n4 ]7 C9 J% v; C经济学用它独特的量化分析,统领着整个社会科学研究。

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    四处张望 + 2 谢谢分享
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  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41
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    [LV.3]辟谷

    14#
    发表于 2014-1-12 17:06:38 | 只看该作者
    效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41
  • 签到天数: 13 天

    [LV.3]辟谷

    15#
    发表于 2014-1-12 17:38:31 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
    8 k9 f& v+ p; D$ v5 ?下面就要来说说“量化”了~~0 F$ S) r- v2 s- ?
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...

    0 t9 \4 M# W7 v所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用,可以为其他学科服务。同样,其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域,只要他们的技术足够强。

    该用户从未签到

    16#
    发表于 2014-1-12 18:15:39 | 只看该作者
    万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06 7 f% T+ Y9 g* W4 q
    效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。
    $ h$ g  H5 A- k+ y( G! {& |
    这个我有个模模糊糊想到的问题。
    1 @, {$ N: i7 F5 m
    * i) a0 c4 k1 G3 e1 L比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏好,是不是在某种程度上就是风险中性概率?这个也是从个人的估计到市场的估计。+ ~- p: S1 a- p7 j3 O

    ( E2 m$ V  y$ _. h这样从单个个体到集体的归纳,好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括,因为彼此有扩散的作用,还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的?agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了?

    点评

    有,以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的,这是一个大流派。我不是搞这个的,只能做经验统计。  发表于 2014-1-12 21:58

    该用户从未签到

    17#
    发表于 2014-1-12 22:07:30 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
    # o, _) K; D0 T6 U$ r2 M这个我有个模模糊糊想到的问题。
    + ?& x% S0 [) ~8 p& @
    0 j: r# i4 H# e$ }  ^1 \7 ~3 x比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...

    $ z" Q8 b4 m0 v) X2 |- o万里风中虎  有,以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的,这是一个大流派。我不是搞这个的,只能做经验统计。
    0 F0 S- E" S2 f% C' |) c+ C2 g# ~2 W. c0 t3 H
    多谢老虎,这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11
  • 签到天数: 1017 天

    [LV.10]大乘

    18#
    发表于 2014-1-14 07:15:37 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
    - [8 c! e% c4 M下面就要来说说“量化”了~~
    3 k+ c/ y5 Y( d对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...

      V( B  i, q% a6 OCabibration其实做的就是moment matching,可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信,不做Goodness of Fit的检测。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11
  • 签到天数: 1017 天

    [LV.10]大乘

    19#
    发表于 2014-1-14 07:33:15 | 只看该作者
    本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 ( b1 j1 E) U( ]# s3 c3 l' a
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
    * Z6 ~  o" x& ^2 N1 F6 e1 o这个我有个模模糊糊想到的问题。
    8 X$ U2 i, n/ ~( D- }5 y1 C
    7 A+ N/ l5 X, D  c! F# V6 S( `比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...

    2 _/ |* f* d# D+ C9 S  E& I4 I1 }# e* z2 p+ T
    由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现,这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现,MWG的教科书里专门有一章,你可以找来研究一下。
    / p/ _6 t. S1 s8 q) N% h* e4 c
    * X$ @: _. u) ?5 L金融经济学里假设的representative agent,也是在这些限制条件都满足的条件下,才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键,我不太清楚。/ k: p: Z: o" [* j1 M- k6 L
    & H6 ]' b$ \, {, w, A0 [" k
    金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架,一般假设每个人是risk-averse(我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果),因此有risk premium,风险高的资产预期收益必须高,以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability,涉及的数学有点高深,说的是存在着一个新的probability measure,在这个新的measure下,资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。, l6 g- c9 L+ M& r6 L

    9 Z1 E9 C4 t) J" B0 ^

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