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[经济] 数学在经济学中的意义(已更新)

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楼主
发表于 2014-1-9 08:04:00 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 $ V+ B! O7 s1 D9 M  x
+ ?/ s' M! k! \$ Z
经济学与数学的关系,是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济,需要数学好。而数学在经济学中的意义,是我直到念了博士,才一点点理解。
/ ^% {4 Y# v" q% r大松鼠感觉,经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱,还可以用作在微博上大骂国家政策。7 n/ ]5 y5 u2 R0 _% t5 g6 T

. L  |6 e3 R/ J% k" @+ Y0 h不过,经济学本身的研究,与这些人的区别,据大松鼠体会,大抵有两个不同。, Z* g- B* P7 _) r+ `, t
0 L$ J/ E( r4 X  c' D3 `
一是,在理论问题上更加抽象,二是,在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词,都和数学有着紧密的联系,但是也不尽其然。
9 c# l' z( C& i3 Y
. O0 I- w0 a% O, i这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。(量化在第13楼)7 `1 B8 N) s$ c2 c

" {5 F. A6 O/ I5 w- G  N- i$ q9 D* T所谓抽象,是指把很多具体的例子,总结成一个例子。而这“一个”例子,必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子,必须是可以解的。否则,问题放在那里,也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程,实际上是一个由繁至简的过程。这个过程,不一定需要高深的数学。举个经典的例子,乔治安科洛夫1970年的著作:《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》,这篇开启整个不对称信息研究,也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章,就没用任何超出高一上学期数学的知识,最难的数学知识,是分段函数。
9 o7 G0 V: A# B8 q! w; A1 N
5 A8 ]+ X: @! R# `& S3 S; |; I那么,高端的数学用在了哪里了?在理论问题的研究上,高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设,是假设一个人choice,是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系,就非用数学而说不清了。首先,人的选择,可以用通过分析函数的最值来分析么,这个函数是连续可导的么,人的选择的空间,是稠密的么?这个函数,是凹函数还是凸函数?! A0 _. {6 f* e! e: G% F+ B
) y0 Z: m3 P8 W: l. k
问题接踵而至。大松鼠在这里,当然不是为了要讲解这些数学问题,只是认为,其实越是简单的问题,越需要深入到最根本假设上的思考,越需要严谨,越困难。8 O/ A' |: C. n8 j! w: Q0 l
5 T5 b: d. O  J2 g

& ^9 L# u% W- e8 L  ]+ Y2 z& H量化在第13楼~~

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2019-2-3 22:30
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    [LV.4]金丹

    沙发
    发表于 2014-1-9 08:16:51 | 只看该作者
    牛啊。高中就开始思考了

    点评

    高中的时候是觉得自己数学不好,怕学不了经济。。。  发表于 2014-1-9 09:00
  • TA的每日心情
    开心
    2016-3-6 10:27
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    [LV.1]炼气

    板凳
    发表于 2014-1-9 09:09:27 | 只看该作者
    本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
    % X" B' ?' m% e6 i" m1 d
    ' d0 W+ Z/ F# M经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱
    0 d% S8 n& i# e* W2 n9 Z8 V& I4 ~
    经济学又有点像理论物理,总是自己在创造理论,呵呵
    $ {% w; F( ?3 m" ~" P' O
    - ^$ ~8 F) D4 Q) @6 e! p" x理论有点像货币,可以流通和实物进行交换,但理论又不是实物,它是一种指代关系
    ' O  `' z$ Y. S% v' c6 a' k
    8 A! m% H0 Z# U! F+ w9 u外行人瞎说的,别当真
    - M5 Q+ M2 X, P7 M/ ^7 a5 d* S$ S. K" n0 \/ f2 X! c2 Z
    7 a8 y+ Z7 D) J8 L! l$ B5 S

    点评

    真正的经济学家其实就是物理学家,收入不会太高。  发表于 2014-1-12 17:07

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    地板
    发表于 2014-1-9 10:25:31 | 只看该作者
    这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的?

    该用户从未签到

    5#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:44:02 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
    * _3 Q8 o# M) `# \* n: G这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的? ...

    ' p6 g( r1 c: ?( B0 N% l收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。# k5 I5 f0 y, p! e: U
    效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~0 ], @' o$ A% t/ D& b
    你的意思是marginal utility不同是么?大概是一个函数从左边求导不等于右边求导?
    : W4 Y1 ~4 k0 \/ q: T% t! m只要是不连续的函数,都是不可导的~~

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    6#
    发表于 2014-1-9 10:46:49 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
    - j2 t! a2 z* o% y+ O' c  c收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。
    : X! L8 t9 A& T3 g8 S效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
    4 C- W" l4 h; K; F6 y你的意思是marginal ...
    , G- f9 h- G. H$ X% O0 T
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。( H2 W; R* ~8 g( y3 _) l
    ) U& p/ V# H8 M; H3 E* \* u/ L
    这种处处不可导的utility function真的用的多么?

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    7#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:47:08 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-8 20:09 , N  e; m, H& B. Q4 j5 {
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱' `+ U% q& A" P; C2 p8 l
    - H, f; c9 I# j- ~4 A% ~" O6 I6 {
    经济学又有点像理论物理 ...
    * l5 {' y5 \9 w9 E1 o$ Q: w
    嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币,是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的,都是人创造出来一个概念,然后去研究它。不像物理化学生物,研究的都以自然界的物体为基础的。
    9 N. W/ m4 L* L( j: G不过经济需要数学,数学不需要经济~~嘿嘿~~

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    8#
     楼主| 发表于 2014-1-9 11:13:11 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
    4 V: N- v) r$ {( Q, e  l# _就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    2 l6 B" X6 U5 r' m" v6 V+ }
    ! I* t8 z9 [) w! E1 t  |/ y# W这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...

    7 K& a, \4 c7 B: g3 ^# K- W9 ~  C几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了,就把这些特例扔掉了。
      @5 f; P& \$ }6 o3 o, C因为应用这些理论,来解决实际问题的时候,绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导,那么求不了边际效用,那么什么都解不下去了~~

    该用户从未签到

    9#
    发表于 2014-1-9 11:14:32 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
    & c7 ~+ K9 A& g2 `# O7 j  H2 }+ Y几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
    + n9 P$ W. e3 f
    ! m1 X; y, m) @
    所以行为经济学离实用还有挺长的路要走,可以这样说吗?
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    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    10#
    发表于 2014-1-9 12:57:13 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-9 10:46 + T# C6 S! s# ]1 G* P: m4 j
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    ! _7 F" S1 I* ]5 {9 w3 k7 j! T* h# M
    这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...
    ( K2 d  e) J% ]
    你说的是loss aversion,比如投资,损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小,在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里,人是风险中性,对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型,我对这个领域了解的不是很多,不多写了,这是Wikipedia上的简单介绍。2 W$ S2 p+ ^2 d$ U! m- Y

    ! |. ?' T$ @4 Z  K0 uhttp://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory/ Y  Z- w: `2 K! o: G) N* ?5 T
    2 e7 o% N, `* }3 Q8 s" |4 G
    经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似,里面肯定有很多假设同现实相违背,需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题,效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导,推不出漂亮的数学定理,但是对结果并没有太大的影响,比如解出的函数不是单调增加,而是在绝大多数点上增加,对实际应用没有太大影响。# t3 T6 Z% @  E1 k+ h
    8 [5 L. o# y, @+ g

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    11#
    发表于 2014-1-9 14:20:52 | 只看该作者
    不好意思打岔了。。。松鼠继续,花等下文

    该用户从未签到

    12#
    发表于 2014-1-11 16:24:53 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-9 09:09 : Z% R: H1 J4 K& }
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱
    3 O- k' }, u( w' _" a  t: Z8 f3 O5 d
    经济学又有点像理论物理 ...
    - G! M: r4 [- {/ {
    经济学还能挣钱的。
    ) S1 i) ]$ A$ l
    , @# u* {- K' m" R( ^7 e0 j7 x, U# u8 m/ _# m) v4 d
    理论物理真中枪,只能当作修身养性

    该用户从未签到

    13#
     楼主| 发表于 2014-1-12 10:32:13 | 只看该作者
    下面就要来说说“量化”了~~
    / n9 H9 f& ]% ]. _对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模型而来。之前说过了,大体上,理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后,量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的,就是找到这个特定的参数。1 E# z' S  b/ C1 p2 c% J% `
    术语上来讲,叫calibration。
    " |7 i/ q4 X  h怎么找呢?基本上就是来match empirical data。5 [6 _: q" R- o+ W

    # n! v- k7 N7 D/ N+ o. D2 d上面这种方法,大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
    - i: [$ S& Q- ]- E' \+ I- g" b那么还有一种方法,是从外部入手解决量化问题。
    % z, r/ t( j! V- Q4 p——计量的方法。
    + a) W9 Q, ]6 q5 u# A2 Q' l+ L1 k5 Z4 q3 k# B
    计量,可以用来检验一个理论模型是否符合实际,也可以直接作为研究问题的方法。  \' `" E7 Q. m, H

    - R' K1 b. F* ?* S" D2 P* t下面我提几个问题,
      @1 F) H: z5 M. w比如,大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响?
    ( Y6 ^2 _: a% g& }0 l( u' n再比如,一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
    $ J% I4 @$ R5 t1 D+ h$ l再再比如,如果多看电视的话,会不会容易引起儿童患自闭症?3 Z1 H0 Q# q% s3 q
    这些问题,不太容易从建模的角度去分析,因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢?我们从外部,不用参数模型,而直接用数据本身,得出答案。
    : H3 i& M+ U# y, Y( P术语上叫做regression。; O2 L) Q& D2 i
    而这里,就会遇到一定难度的数学问题了。基本上,是统计学的问题。
    - T8 g( L: J! O( S+ m3 E( ~, b1 i2 G+ a2 j7 F. S+ ?2 y2 h1 s$ \
    最先遇到的问题,是统计学上的大数定理,是否可以应用。
    4 V3 X, J0 T9 m5 L, M, B每个观测到的数据之间是否是独立的。
    ) m5 y& l' a1 O8 Q& R比如时间序列函数,每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了,明年的GDP很可能也是高的。2 h9 P/ b1 b* Z. j/ }
    这个数据本身,是连续的数值么?还是1或0呢?还是0或连续正数呢?(比如工资)4 I! b8 c. n0 _% ?( _! j4 A4 f
    这一系列的问题,都跟统计学有极强的联系。1 i2 P4 `& A6 a$ W6 [, _3 Z8 p4 Z3 e( @  S/ r
    / B+ j+ {( z% b/ `; d; v
    于是统计学分出来,与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起,出来了计量经济学。/ C# F$ ?, \0 ^; G- W( i
    这个计量经济学,又深入到其他社会学学科领域,
    ' _9 {. Y2 ]* H) Y; ^$ j至少我知道的,政治学和社会学,前沿的研究,都与计量经济学有关。
    ' X0 ], }5 Q9 k% N: [# G5 R5 Y8 |+ v
    3 |3 a, W9 ~8 j) B& v7 x1 V: t经济学用它独特的量化分析,统领着整个社会科学研究。

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  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41
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    [LV.3]辟谷

    14#
    发表于 2014-1-12 17:06:38 | 只看该作者
    效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41
  • 签到天数: 13 天

    [LV.3]辟谷

    15#
    发表于 2014-1-12 17:38:31 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
    5 P1 v& E$ [5 R0 V( i6 I& y* l4 ~下面就要来说说“量化”了~~5 O- k2 l0 G8 q. g8 g2 c
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...
    & ^. L: Q+ c0 G# ?
    所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用,可以为其他学科服务。同样,其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域,只要他们的技术足够强。

    该用户从未签到

    16#
    发表于 2014-1-12 18:15:39 | 只看该作者
    万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
    + m' G3 Z# r6 o/ |2 m效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。

    ! y/ t% n# m% P" q7 Q5 L这个我有个模模糊糊想到的问题。
    , {1 j' J6 F* s6 Q9 w% j- Z7 [2 s) Y, y+ w7 P
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏好,是不是在某种程度上就是风险中性概率?这个也是从个人的估计到市场的估计。
    , h5 V4 t4 f* J) [
    7 t/ ?' t, c: V这样从单个个体到集体的归纳,好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括,因为彼此有扩散的作用,还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的?agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了?

    点评

    有,以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的,这是一个大流派。我不是搞这个的,只能做经验统计。  发表于 2014-1-12 21:58

    该用户从未签到

    17#
    发表于 2014-1-12 22:07:30 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
    + q: b, w* |; L" Q" F$ g+ R; M这个我有个模模糊糊想到的问题。
    8 T2 N* F- S) K; b0 a; a( P9 J- l! D% D  k, d6 R% \  \
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...

    % e4 ?$ O' P. y: o/ F. @万里风中虎  有,以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的,这是一个大流派。我不是搞这个的,只能做经验统计。
    4 I$ M1 n8 m' E" |' V
    # ~7 y2 D9 c& q& x多谢老虎,这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
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    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    18#
    发表于 2014-1-14 07:15:37 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 9 T# m, O, ~5 w
    下面就要来说说“量化”了~~
    ) `7 f2 Y9 P8 d! O& A对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...

    2 W' L  h7 J/ o5 h$ jCabibration其实做的就是moment matching,可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信,不做Goodness of Fit的检测。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    19#
    发表于 2014-1-14 07:33:15 | 只看该作者
    本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
    % n. D! a& c% S3 Y
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 / Q; B! u4 j( ~3 q4 x
    这个我有个模模糊糊想到的问题。
    5 E: w: S$ a. R; I  v) m1 i, k  C6 |4 j0 f9 A! ~4 J. N+ H
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...
      j8 }) m8 u; C+ @8 |5 G

    . }  h3 u. \( F% Z6 g由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现,这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现,MWG的教科书里专门有一章,你可以找来研究一下。7 T' U. m8 l6 K) r; V- L! R/ K7 C
    + e  W) k; g. f) t2 V
    金融经济学里假设的representative agent,也是在这些限制条件都满足的条件下,才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键,我不太清楚。( y; Z/ `# `( c  ~
    0 q/ F0 e; l7 M% M. F- C/ o
    金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架,一般假设每个人是risk-averse(我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果),因此有risk premium,风险高的资产预期收益必须高,以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability,涉及的数学有点高深,说的是存在着一个新的probability measure,在这个新的measure下,资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
    8 c( B7 b( {8 {( N2 u. J. ]4 X/ d. S: f: E. }4 T

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