TA的每日心情 | 开心
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本帖最后由 数值分析 于 2020-11-5 17:56 编辑 # h3 K7 Z5 n, |2 |
; O2 g4 p, Z6 ]* a下面继续.
! \! J r; k7 w& s: D+ Z+ |* N* L" b/ \) t4 K r) L8 ]' ~) A1 J: K
说到哪里了,哦,公平赌局.在一个公平赌局里,所有输家的赌资都由赢家按比例瓜分.我们这里简化一下模型,假设一个公平赌局中只有两个选项,当前押在选项1的独资为a元,押在选项2上的赌资为b元,按照赌场的切口,赔率为1赔(a+b)/a和1赔(a+b)/b.然后我们现在要下注了.不失一般性,我们假设我们押一块钱.设我们下在1选项上的赌资是x,则押在2选项上的赌资为(1-x).那么我们怎么评估我们的得失损益呢,这就回到了决策效用函数上了.
: N' h, U+ Y7 V& B/ N' N* U8 `2 U
! L$ q1 X% o. G通常在概率论里我们优化的对象是数学期望.计算数学期望需要关于赌局的信息:1赢的概率,p,(或者2赢的概率1-p).如果我们知道p,或者对其有一个估计,则我们获利的数学期望是
+ }* s& H2 Y4 O& i+ N9 H' x7 @x*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p).
# p# R7 u: S2 ^: J5 y1 d9 b0 u# |4 n% o& T
现在我们来看一个有意思的情况,假设这个赌局是一个信息充分透明,而赌客绝对理性的赌局,既每个赌客都知道p,而且都用一致的决策策略(极大化数学期望),则p应该等于a/(a+b).
6 x2 d2 h! {; E. ?. x2 |
9 W6 b# M( `8 v在这种情况下,有意思的结论来了,+ {" A* N# S1 M8 `4 C. ^
x*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p)=1,
( g6 L X8 Q' p# Q* b) w0 Fx在式中完全消掉了,也即无论我们怎么下注,我们都将得到本金返还1,no more no less5 u% s! K" l$ S# v. Q4 M- V
) `4 _. c- l2 U/ n& K
我们立刻得出两条推论:
; v; Z. _9 q+ w! Y5 A# v7 Q- g1.完全透明的赌局是boring的,没有风险,也没有收益,因而是没有意义的(或者数学上说是平凡的).
! S2 I& ^0 L; H! y1 \9 T: j2.公平的赌局中收益与风险相伴,没有风险的策略收益也是1,没赚头.# g x3 c D# U2 a( B1 X8 H; N
V. Z3 o$ l6 ^2 M; B3 k
继续待续中.... |
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发表于 2020-11-4 15:13:04
