TA的每日心情 | 衰 9 小时前 |
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本帖最后由 数值分析 于 2020-11-5 17:56 编辑 3 `6 L% \2 z( T
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下面继续.6 H, h6 O: s: i: A- o
3 l% ~% X! w) k* ~ G9 D说到哪里了,哦,公平赌局.在一个公平赌局里,所有输家的赌资都由赢家按比例瓜分.我们这里简化一下模型,假设一个公平赌局中只有两个选项,当前押在选项1的独资为a元,押在选项2上的赌资为b元,按照赌场的切口,赔率为1赔(a+b)/a和1赔(a+b)/b.然后我们现在要下注了.不失一般性,我们假设我们押一块钱.设我们下在1选项上的赌资是x,则押在2选项上的赌资为(1-x).那么我们怎么评估我们的得失损益呢,这就回到了决策效用函数上了.
# v% h' n& \4 n/ P4 Q' f
) M1 l. s- k# r' A; c, j通常在概率论里我们优化的对象是数学期望.计算数学期望需要关于赌局的信息:1赢的概率,p,(或者2赢的概率1-p).如果我们知道p,或者对其有一个估计,则我们获利的数学期望是
0 C5 c8 m3 V& }$ S2 l2 t( Ax*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p).
3 G8 g' J: l p: V: u4 e0 q
, \$ G/ v' G8 Y' T1 a( o现在我们来看一个有意思的情况,假设这个赌局是一个信息充分透明,而赌客绝对理性的赌局,既每个赌客都知道p,而且都用一致的决策策略(极大化数学期望),则p应该等于a/(a+b)." G( Q) a: r3 F
. F0 y2 @& y* j0 M在这种情况下,有意思的结论来了,5 t1 P7 _+ x# e* S" F
x*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p)=1,# Z1 M' r" p( I0 P3 p0 A7 }
x在式中完全消掉了,也即无论我们怎么下注,我们都将得到本金返还1,no more no less& W8 y* f% }! e/ \ K0 N- N
$ j: U) i0 Y! F! ?/ m/ a( g8 z% b% x我们立刻得出两条推论:+ r6 b8 x1 u2 d7 {
1.完全透明的赌局是boring的,没有风险,也没有收益,因而是没有意义的(或者数学上说是平凡的).
. `3 z6 K, \$ P2.公平的赌局中收益与风险相伴,没有风险的策略收益也是1,没赚头.
2 A/ i8 m* X# ~( }- r) U
0 w `% \# Y2 i$ Z继续待续中.... |
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