TA的每日心情 | 开心
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本帖最后由 数值分析 于 2020-11-5 17:56 编辑
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$ U3 A" z8 p0 f# D$ |4 ~2 b1 u4 D下面继续.; H8 j& Q' v. p1 H* W, Y
# m+ v; w- S* W. C
说到哪里了,哦,公平赌局.在一个公平赌局里,所有输家的赌资都由赢家按比例瓜分.我们这里简化一下模型,假设一个公平赌局中只有两个选项,当前押在选项1的独资为a元,押在选项2上的赌资为b元,按照赌场的切口,赔率为1赔(a+b)/a和1赔(a+b)/b.然后我们现在要下注了.不失一般性,我们假设我们押一块钱.设我们下在1选项上的赌资是x,则押在2选项上的赌资为(1-x).那么我们怎么评估我们的得失损益呢,这就回到了决策效用函数上了.
; u5 Y$ ^' w- Y( ]0 F* r) N. J
! n. P, ?" n. E7 h q通常在概率论里我们优化的对象是数学期望.计算数学期望需要关于赌局的信息:1赢的概率,p,(或者2赢的概率1-p).如果我们知道p,或者对其有一个估计,则我们获利的数学期望是) |8 y* i4 g6 @1 {3 Z
x*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p).
9 R, G; c6 N m) w# l. Q( C4 T7 E$ F$ S) |$ I: @4 Q0 ~( O
现在我们来看一个有意思的情况,假设这个赌局是一个信息充分透明,而赌客绝对理性的赌局,既每个赌客都知道p,而且都用一致的决策策略(极大化数学期望),则p应该等于a/(a+b).
, f. w7 j* {6 W, k! G9 b( l6 G7 |- J: v) g
在这种情况下,有意思的结论来了,
4 v$ ?% F5 E% V8 w/ f" x1 yx*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p)=1,
) x; X# T0 ~' a9 `5 n1 i! L& Wx在式中完全消掉了,也即无论我们怎么下注,我们都将得到本金返还1,no more no less
) i9 q; k$ T- r8 e* o- l! b5 _/ p7 f8 N7 u9 V' A
我们立刻得出两条推论:
, x9 {( H* Q6 [! B) U Y% s' {1.完全透明的赌局是boring的,没有风险,也没有收益,因而是没有意义的(或者数学上说是平凡的).$ ?7 n4 M% A/ Y+ i+ j, x3 z3 r
2.公平的赌局中收益与风险相伴,没有风险的策略收益也是1,没赚头.
5 n% R* _6 I i) Y* j( _( m7 v0 g6 X& ?5 }" X
继续待续中.... |
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发表于 2020-11-4 15:13:04
