TA的每日心情 | 开心 2025-10-27 04:12 |
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本帖最后由 数值分析 于 2020-11-5 17:56 编辑 : [* q9 z- T% J* b4 R9 k4 n' R
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下面继续.1 Q3 [2 \0 j- I0 J& d4 u
7 f" O/ h5 w2 u9 r, `4 L. |0 [
说到哪里了,哦,公平赌局.在一个公平赌局里,所有输家的赌资都由赢家按比例瓜分.我们这里简化一下模型,假设一个公平赌局中只有两个选项,当前押在选项1的独资为a元,押在选项2上的赌资为b元,按照赌场的切口,赔率为1赔(a+b)/a和1赔(a+b)/b.然后我们现在要下注了.不失一般性,我们假设我们押一块钱.设我们下在1选项上的赌资是x,则押在2选项上的赌资为(1-x).那么我们怎么评估我们的得失损益呢,这就回到了决策效用函数上了.
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/ |8 D" o1 K- k6 Y# R通常在概率论里我们优化的对象是数学期望.计算数学期望需要关于赌局的信息:1赢的概率,p,(或者2赢的概率1-p).如果我们知道p,或者对其有一个估计,则我们获利的数学期望是7 A; E# K/ s0 {. T7 Z" b
x*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p).
& K1 S) Z+ h1 m* h9 f$ c% N- o" Q, u; p7 A* A
现在我们来看一个有意思的情况,假设这个赌局是一个信息充分透明,而赌客绝对理性的赌局,既每个赌客都知道p,而且都用一致的决策策略(极大化数学期望),则p应该等于a/(a+b).
1 R8 {# N9 z8 P- Y' x9 ~2 l q% J) N* n, G# u u
在这种情况下,有意思的结论来了,
. \4 F4 K$ m7 f L9 a0 ux*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p)=1,
( X! O X& C' k/ mx在式中完全消掉了,也即无论我们怎么下注,我们都将得到本金返还1,no more no less
2 r, h0 h' w) z" q0 t) B" D9 }1 x. r+ w) W1 e$ S
我们立刻得出两条推论:
' N( K& @. s1 F4 X- W1.完全透明的赌局是boring的,没有风险,也没有收益,因而是没有意义的(或者数学上说是平凡的).! @: ^# ?7 D# {: s5 O/ F
2.公平的赌局中收益与风险相伴,没有风险的策略收益也是1,没赚头.% |- V& ^8 ?0 ]3 x Q, @
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继续待续中.... |
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