TA的每日心情 | 衰 10 小时前 |
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本帖最后由 数值分析 于 2020-11-5 17:56 编辑 * v/ A+ k4 `: W, V* u$ [' e h3 }; ]5 _
l9 j( g6 E+ O下面继续." U, T1 U, A8 z( b1 M: T
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说到哪里了,哦,公平赌局.在一个公平赌局里,所有输家的赌资都由赢家按比例瓜分.我们这里简化一下模型,假设一个公平赌局中只有两个选项,当前押在选项1的独资为a元,押在选项2上的赌资为b元,按照赌场的切口,赔率为1赔(a+b)/a和1赔(a+b)/b.然后我们现在要下注了.不失一般性,我们假设我们押一块钱.设我们下在1选项上的赌资是x,则押在2选项上的赌资为(1-x).那么我们怎么评估我们的得失损益呢,这就回到了决策效用函数上了.
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3 X8 i$ M2 C# K. k; ^通常在概率论里我们优化的对象是数学期望.计算数学期望需要关于赌局的信息:1赢的概率,p,(或者2赢的概率1-p).如果我们知道p,或者对其有一个估计,则我们获利的数学期望是
4 J" A2 {% W/ f4 A4 q; t4 I$ tx*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p).) u6 P) r) H" [' Y2 F: K. Y
: u# y" H" I5 P$ o0 T
现在我们来看一个有意思的情况,假设这个赌局是一个信息充分透明,而赌客绝对理性的赌局,既每个赌客都知道p,而且都用一致的决策策略(极大化数学期望),则p应该等于a/(a+b).! V6 K, k/ ^1 J3 j4 ^) j( b
9 z) a5 {" A" g在这种情况下,有意思的结论来了,: u& ~) m& R" \1 [ J: @; Z
x*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p)=1,( x+ L; }. Z/ w' [
x在式中完全消掉了,也即无论我们怎么下注,我们都将得到本金返还1,no more no less% J5 P! W- U/ s: E9 d2 K! C' e; w; Z
( ~ V4 q! |" s& q [我们立刻得出两条推论:* @9 [) T( J2 I* q7 ?7 w8 j2 @
1.完全透明的赌局是boring的,没有风险,也没有收益,因而是没有意义的(或者数学上说是平凡的).
Y# t: Y ^- ^ Z$ o2.公平的赌局中收益与风险相伴,没有风险的策略收益也是1,没赚头.
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继续待续中.... |
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