数学在经济学中的意义（已更新）

贾大松鼠

经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
7 ~8 E+ ?0 A. q) ~' B& d
) C$ R9 Y4 h& |+ A1 b" G2 Z; P. k不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
( x1 |9 O/ z" B; W+ c
一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。

这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）

所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。

0 I1 {! g9 I/ Z6 Q9 r那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？

问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。
4 f: I. u/ s$ `6 C! w3 C4 }) W, f, ^
7 u; B0 Y( @% e" @
  H0 T' |9 p, V8 m# ?' t8 M" P+ O量化在第13楼~~

人在江湖

牛啊。高中就开始思考了

gordon

6 d9 D) y: E# M7 t( I" ]
8 }- X) [! U. Q# T9 s0 d& }经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱

  f; U2 o7 s- E经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
/ K' |. y2 l4 M( h
理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系

* P3 w/ I$ Q; ]9 N( W- Q) g; M外行人瞎说的，别当真
/ _; K" M* _/ U/ J. O& p8 D2 E

假如十八

这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？

贾大松鼠

假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

( Z3 \* a9 V6 i2 C7 V, b8 j0 |; ~收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
+ G+ r! P2 a5 N' _只要是不连续的函数，都是不可导的~~

假如十八

贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
  l/ W/ a* L  I, i9 L$ X' S效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
你的意思是marginal ...

  D4 ^" B1 P  e9 N. J就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。

' ^+ e$ v. I, S' q& e这种处处不可导的utility function真的用的多么？

贾大松鼠

gordon 发表于 2014-1-8 20:09
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
: t  G/ w; P) S! R4 }
9 R2 o# U! u3 B, U3 [& o经济学又有点像理论物理 ...

嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~

贾大松鼠

假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。

% q' Z( e* E0 [! S这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
; `' h. h* Y& `$ `) m因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~

假如十八

贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

) ]3 x: m2 u) }; j1 d所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？

Dracula

假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。

这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
# Z; S5 Q% X* [' K* C
' \, _% t  a5 d0 m# zhttp://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
; z$ m5 {; t$ W8 i
3 H+ z( |: q! n( m) F经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。

假如十八

不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文

天马行空

gordon 发表于 2014-1-9 09:09
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱

经济学又有点像理论物理 ...

经济学还能挣钱的。

( b- j, h+ S8 M
. \8 W+ r9 {+ w$ C! C1 V  K理论物理真中枪，只能当作修身养性

贾大松鼠

下面就要来说说“量化”了~~
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
术语上来讲，叫calibration。
; [3 ~3 o3 A' g怎么找呢？基本上就是来match empirical data。

' z+ d* u" K& O+ A上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
7 s5 f4 u. {, }1 N# ^那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。
6 \2 L) _# a3 ]+ \——计量的方法。
1 j7 _7 h% m6 H; ~/ a
, X& H7 _  \" _8 m计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。
$ O7 h" K3 D3 ~) }: X
下面我提几个问题，
2 A% F1 A6 U6 Z9 \' _比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
% N/ L  ^$ x/ y$ w. }1 R再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
. O9 i4 j1 Y$ Z1 A4 S! r" p这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
术语上叫做regression。
而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。

1 k, b0 Z/ K& h, Z' ]+ ]4 L$ v最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
& w: G8 |3 S* f+ ~1 F每个观测到的数据之间是否是独立的。
/ ~* M  G+ }( ]# n3 i% t  F比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
# z7 N6 @8 M4 X& z这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。

于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
" Z% K" v+ O, V% l至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。
7 x% a5 Q4 Q7 _- ]) ^
经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。

万里风中虎

效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

万里风中虎

贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
6 \4 ]% s! k; i0 N$ Q. Y2 F对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

( I2 ]+ [( _" y/ S' \7 p所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。

假如十八

万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

这个我有个模模糊糊想到的问题。
2 [$ c4 |! Z/ r5 H) E; O8 v
6 J) X! F0 X$ H  Z/ A1 w比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。

/ o3 S& ?1 C; b/ @2 o9 w- b5 M7 |这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？

假如十八

假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
这个我有个模模糊糊想到的问题。
% `6 Z3 j; H/ q
! S2 H( J& `, |1 s比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。
  |" F, w5 a$ w  l$ p
多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。

Dracula

贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
# ~7 k8 [9 T' M) e. R  |; ^$ F5 b对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。

Dracula

假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
这个我有个模模糊糊想到的问题。
1 {1 p- P3 g( g+ g
5 ~3 ]8 e/ u, y2 r5 v5 R比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

9 |) y# E% \, M" J. e+ [, C4 j/ x5 S
; k1 s0 }3 h) \0 {6 ?8 \$ r由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。

金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。
8 w/ t5 X4 o$ V2 Q
金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。