数学在经济学中的意义（已更新）

贾大松鼠

7 S- }. V" I, L6 w; U( Q) g( i
经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
5 B- F& q3 P* A4 O6 {' z& T大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
( M3 o1 {9 p7 \+ V" I/ S/ S2 M
! P% p9 K9 x2 p1 |- }不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。

: d- y8 k) d) H* Q3 _7 a4 Z+ \; j$ o一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。

这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）
+ q' p) G1 b  f, R
7 W4 `! e( V# \$ @& L  c0 ]所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
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那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
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8 Q, g' o. R9 P1 T4 l问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。


3 H8 w( v9 a# T: N; t- G量化在第13楼~~

人在江湖

牛啊。高中就开始思考了

gordon

+ K# t9 o6 S3 T2 ]经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
$ [% z3 a) E% G8 F& a
经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
" j8 X9 i% W' C
! k# c; R! L. \( H7 k/ H0 N8 G2 N- ]理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
  ^- Y! C- M% H; ]- c
外行人瞎说的，别当真

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假如十八

这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？

贾大松鼠

假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
8 ^! |1 y1 e+ ^: p" d2 p这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

: P/ r1 V/ ^1 A8 ^( D$ |收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
! t3 d3 Q* P) D6 {% ~效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
只要是不连续的函数，都是不可导的~~

假如十八

贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
$ f0 D0 s4 E) M6 V4 d8 F效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
你的意思是marginal ...

就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。

这种处处不可导的utility function真的用的多么？

贾大松鼠

gordon 发表于 2014-1-8 20:09
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱

' u9 N$ t( K- d3 e经济学又有点像理论物理 ...

+ `3 a# C' U! M嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~

贾大松鼠

假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。

0 Q$ F* t: s+ w/ ]$ x" k4 z0 X1 j这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~

假如十八

贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
7 l8 H: t' \0 r, i+ P+ {# p7 l几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

) M& A* t0 J$ C( L! G所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？

Dracula

假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
4 c6 i' O' b0 \就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
" z+ K8 R- K# S6 }( ^3 k
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

  v) \  Z: Y2 Q/ ~3 C你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
: [; c* p" `8 q( h
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
. f" R; i+ b' L) T/ F$ w$ H
9 @3 s5 s# c* I  k; ?  }% ]经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
: b, ~8 D; i1 a+ i# h* ?
' g+ u! T" W8 N* w  |

假如十八

不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文

天马行空

gordon 发表于 2014-1-9 09:09
0 I1 J0 H/ u" }& y2 e1 H经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
- C. |+ ^, N# t1 A
经济学又有点像理论物理 ...

经济学还能挣钱的。

3 p8 ^. ]7 i* P
# C) U$ b3 s' ?# x  Y; Q理论物理真中枪，只能当作修身养性

贾大松鼠

下面就要来说说“量化”了~~
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
术语上来讲，叫calibration。
0 w% C9 X/ ~+ x# T怎么找呢？基本上就是来match empirical data。

上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
, ^( O: K4 H5 z. V/ b3 V& B. i那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。
" Q. P& |7 u/ ~4 L——计量的方法。
. t$ `. q  @$ d5 w( [% ^4 M
计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。

下面我提几个问题，
比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
8 y7 w% g, X: a$ q4 G再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
术语上叫做regression。
而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
; R, F1 S/ p) A9 [1 u
最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
, j% ?( f7 b4 o0 z2 I: ]每个观测到的数据之间是否是独立的。
, s+ |/ P! `3 w- c6 B比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
/ m! Q$ f5 }4 v% f) y这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
8 @5 L7 E% e# `  d( A0 d& v这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。
) N6 m* b, a- `- {
于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
$ M9 T8 j; p, o' m至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。
' B/ V' U* N, x& Q7 i5 s/ u# I; |. I
: U0 w- ^# Z0 u经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。

万里风中虎

效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

万里风中虎

贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
, e) V6 C/ N/ L& Q0 p* U' A0 v对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。

假如十八

万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
4 i3 k2 y* @$ g6 o2 ^* ~效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

$ n1 {! ]1 E# T$ h7 C, v" q这个我有个模模糊糊想到的问题。

! s9 z, N- }# w7 O比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。

0 }  V; x( k1 G/ [0 ~3 g& i这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？

假如十八

假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
这个我有个模模糊糊想到的问题。
/ {! L6 D* z8 S1 T
: o. m4 A/ H+ c( V+ U) W比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

! t0 L# b1 V* X2 v  |万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。

多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。

Dracula

贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
7 E5 e5 ?8 \5 s8 r2 Q: j( k对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。

Dracula

假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
+ p$ n- k" J& T: k: Q/ W这个我有个模模糊糊想到的问题。
& }; q# s$ ]6 o6 V
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
2 J; F' D' s$ n8 s- C4 g& i
金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。
+ k* U, R& {$ T/ _0 F( p
金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。