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爱吱声»广场 › 研究生院 › 经管智库 › 数学在经济学中的意义（已更新）
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[经济] 数学在经济学中的意义（已更新）

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贾大松鼠

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楼主
发表于 2014-1-9 08:04:00 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 $ A5 y# b  O" ~

# v" d# R3 {' r: ~经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
- E( ?9 d4 l$ N! A大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。/ [) X4 ]% F5 f/ K% K! ]

+ s( T! L, d8 b6 ~不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。0 B3 K- f6 L# O

$ `4 Q2 Q4 ]; L2 }) b5 D一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
4 d4 b. K: `) m4 }$ _9 V
( u" E  m/ J( z这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）) l6 i9 m# F: o4 O. f
, k+ o+ M% B9 c
所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
. ^6 R1 M. \. R
8 L! c* z8 R1 w4 p那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
) y3 M! l! z0 A. W2 P, t/ K8 t' _' }9 F) A0 Q
问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。, x4 T" s! [- q6 Q4 \& g" G+ T8 r
. N$ H. G- C' p+ S

! g! W8 p. s) p& G. o% b5 y量化在第13楼~~
经济学, 数学

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人在江湖
  • TA的每日心情
    奋斗
    2019-2-3 22:30

    • 签到天数: 17 天

    [LV.4]金丹
    沙发
    发表于 2014-1-9 08:16:51 | 只看该作者
    牛啊。高中就开始思考了

    点评

    贾大松鼠
    高中的时候是觉得自己数学不好，怕学不了经济。。。  发表于 2014-1-9 09:00
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    gordon
  • TA的每日心情
    开心
    2016-3-6 10:27

    • 签到天数: 1 天

    [LV.1]炼气
    板凳
    发表于 2014-1-9 09:09:27 | 只看该作者
    本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
    # A# }% o9 h  h$ o' K# }( o# F0 C& v* j5 z; e/ \
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
    - T- l& i: T" J$ c  w% L
    9 W3 t; ?7 T# R1 R. S; K: G经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
    ; `1 O0 B. Z7 k7 ]/ F8 f; h0 v, _+ M9 Q8 v& P) J+ C, m, m
    理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系( |4 J7 ^9 R* o. K& {' Z6 N- [

    / k: O7 g" Z. L1 R0 P1 r外行人瞎说的，别当真+ B+ P! F/ |$ H: W( o
    & w$ a0 B) M- [  ~- z/ `

    ( W7 Y( z. q" |, V' c

    点评

    万里风中虎
    真正的经济学家其实就是物理学家，收入不会太高。  发表于 2014-1-12 17:07
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    假如十八

    该用户从未签到
    地板
    发表于 2014-1-9 10:25:31 | 只看该作者
    这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
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    贾大松鼠

    该用户从未签到
    5#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:44:02 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
    : F1 T  B. ]. d# {' e7 o这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...
    ' x! {" Q4 R0 L; m) ?
    收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。6 U9 i. m3 D+ u$ c, P
    效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~* Y9 t. p' Y8 @9 H
    你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？2 I( S$ F) |8 B& x8 P. b: [5 X
    只要是不连续的函数，都是不可导的~~
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    假如十八

    该用户从未签到
    6#
    发表于 2014-1-9 10:46:49 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
    5 C: h% R' M! s- W: F6 K5 `收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。( a3 Y4 ?2 z! r0 B
    效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~- k( F- {5 K- e8 N. I
    你的意思是marginal ...

    3 c4 ?( w5 D/ _# d; I; V$ G% O就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。$ ?' r. l! D  [5 d% o* {

    0 K0 |- a* y. V这种处处不可导的utility function真的用的多么？
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    贾大松鼠

    该用户从未签到
    7#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:47:08 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-8 20:09 # n  m0 _( @4 d+ `5 Y" c6 j
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
    % s, H; H* }( X. _6 ~1 E: W& @
    ( m0 m: ?2 l, v* [) U# @经济学又有点像理论物理 ...
    ! h% K# E; [6 F' X- W
    嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
    ; h7 E- L% X1 Z; D/ I不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
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    贾大松鼠

    该用户从未签到
    8#
     楼主| 发表于 2014-1-9 11:13:11 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
    - L- }5 H, @5 }0 Q3 D! o就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。3 G7 J% `. F, ]0 `
    6 _- L$ ]( ^( v4 T  ~- D
    这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
    / D8 c- c. P: j1 d1 i; S
    几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。3 `6 [& ~3 Y9 w3 C
    因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
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    假如十八

    该用户从未签到
    9#
    发表于 2014-1-9 11:14:32 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 . p+ x9 I. c& W
    几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
    3 M: w" o  H! X9 G3 m* J5 @
    ; w- g# Q5 s  x5 }; v9 {$ B
    所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
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    Dracula
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11

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    [LV.10]大乘
    10#
    发表于 2014-1-9 12:57:13 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
    $ j! `& h( p4 }4 R0 a. ~7 |就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。) s; H+ E1 j7 v0 v7 k3 K7 r0 v

    2 T. |0 |& ^" Z% h6 `% u9 l; U这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
    : ]& h+ G+ q6 V6 ~$ h. i; X
    你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。+ D! q( j: E& {4 K7 s/ V$ E

    + v+ g$ y* w# t- ahttp://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
    7 r8 |, L# Z' u& z# l4 h
    ! \7 |. a; G5 S经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
    6 N1 C& R5 C; x8 |+ C) f  C4 M. {* o% w9 G- p

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    假如十八

    该用户从未签到
    11#
    发表于 2014-1-9 14:20:52 | 只看该作者
    不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
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    天马行空

    该用户从未签到
    12#
    发表于 2014-1-11 16:24:53 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-9 09:09
    # ~. i! j! l8 y# N" [$ @/ w经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
    - Y0 B  C2 w5 ^8 Y- a6 c' \% ^; ]5 {. f4 Z5 b' O0 f6 T1 v
    经济学又有点像理论物理 ...
    # \% q' L6 K% g, G
    经济学还能挣钱的。; f3 ]4 ?! Z' U9 a
    ( y2 V* g& p$ {0 Q( q% S3 \9 ~

    & T1 \; ?7 O2 d- A理论物理真中枪，只能当作修身养性
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    贾大松鼠

    该用户从未签到
    13#
     楼主| 发表于 2014-1-12 10:32:13 | 只看该作者
    下面就要来说说“量化”了~~
    , U9 D: U* [# k对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。9 M5 ~8 o; p3 F# x9 g# k
    术语上来讲，叫calibration。
    # g4 f$ U3 O& N怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
    # u  F: N- B3 a. ]
    $ e2 U. [4 I# v/ C! N. ~上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。" R3 s. z& A, w3 D. G
    那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。) p7 N. A7 ]( @8 D
    ——计量的方法。
    % b% B" h' N/ ?' `3 L( x. m  x4 Q; s. z4 s, N" M1 }& n7 _
    计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。$ O* K# {, u: p2 I) n: Y2 Y

    + @/ e( N9 b6 j* I: d. {  K下面我提几个问题，! D0 m+ R5 E9 Q, J. ?
    比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？% {* Z* K: v3 c* H5 P0 u
    再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响% x- x2 Z0 `% d
    再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？  Y& M3 A+ v0 Z/ c. |2 H5 U5 z
    这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
    + b( A- `7 A7 Z, E8 u术语上叫做regression。
    # k: f1 B  ^) |8 t而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
    * U% ]/ q) g! y$ ~8 v2 `0 [
    / q+ r7 s# {+ _9 I8 E最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。. x! W6 U4 ~' J) P/ j# V
    每个观测到的数据之间是否是独立的。
    ' E& H: z& F7 w7 k: O  V$ R比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。, @3 ]) r5 x& b/ t+ c  Q
    这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）& P7 J! j" D4 T
    这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。( v( _/ }, m) B
    3 N) S/ W' O6 r! ~, q
    于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。# B7 L# h& D4 i9 ~0 R4 y
    这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
    $ T. w" j0 }7 D1 l: s: P% b至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。4 t% J  q3 ?; w. E6 r1 d$ t

    ) o( o6 @) h& K# F经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。

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    万里风中虎
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41

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    [LV.3]辟谷
    14#
    发表于 2014-1-12 17:06:38 | 只看该作者
    效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
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    万里风中虎
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41

    • 签到天数: 13 天

    [LV.3]辟谷
    15#
    发表于 2014-1-12 17:38:31 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 / J( K) P; ]4 y' S8 b8 g# C
    下面就要来说说“量化”了~~7 v6 U2 e0 W# y$ d( _
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
    9 W$ @& q% b; s; g
    所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
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    假如十八

    该用户从未签到
    16#
    发表于 2014-1-12 18:15:39 | 只看该作者
    万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06 # S- N6 ~' ]/ _' }- U
    效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
    $ C! T" I/ k3 ]/ x. `
    这个我有个模模糊糊想到的问题。
    1 N& ]( @2 i9 g' I# Q- V) x8 ~- b; B& f4 }
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。
    9 L8 I2 }3 F( r  O9 R- n# ]. {6 t! T( k- m7 J/ N2 V& p
    这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？

    点评

    万里风中虎
    有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。  发表于 2014-1-12 21:58
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    假如十八

    该用户从未签到
    17#
    发表于 2014-1-12 22:07:30 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
    1 W) W+ p% o' ^, W3 g' g7 @这个我有个模模糊糊想到的问题。+ R/ m; ^- Z9 g; i  B0 r! z. m* C
    8 l: B$ U: B% D+ N5 n, c* t3 D* ^
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

    4 O4 i; a* v) ?' c9 J$ e万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。: B4 O7 D; \" G$ t( g3 v

    ! c' e; z' e. }5 O+ E# p* x6 ^5 n# @多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
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    Dracula
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11

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    [LV.10]大乘
    18#
    发表于 2014-1-14 07:15:37 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
    3 g! \- k! i# H6 |; X  j( M  v$ I下面就要来说说“量化”了~~) D9 o9 e7 `4 L' a
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
    3 o6 ^" S, f/ ?
    Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
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    Dracula
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11

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    [LV.10]大乘
    19#
    发表于 2014-1-14 07:33:15 | 只看该作者
    本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
    8 H0 l4 A, i! U
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
    ( Q/ i4 Y3 V. k这个我有个模模糊糊想到的问题。; ]" B. Y, Z$ i/ f

    ( Y$ ~% s- ^2 h比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
    ( i# j5 [, B+ _8 B% p4 x. X

    . o% F+ k+ Y, S4 f6 I由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。+ I2 T, K: _* L! G$ Z

    : |( k+ S% B1 @% a% a1 C5 T/ V金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。
    8 G# T7 ^% c. h' S
    2 x. r3 a- x0 `5 B. Y金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
    8 V) n4 ~  C8 Q" r( W( c* [8 u' J1 `: i& O- D- ~  z' w. _

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