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[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

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    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼$ {, G: o5 s8 a, v1 g
    看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”/ L/ s9 ^9 j5 {( O  e. m/ m
    8 L* C6 o. s# P0 f7 w% ?% V2 ]1 n
    他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
    ' S  D/ }% m0 F3 a3 Y* n' V7 j: M7 L
    所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
    $ P( ?7 ?4 I; t% N
    , a0 ]; x* E4 yIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.( f9 s( P' n) P: s8 j+ j+ j& L8 p
    9 |) G7 f8 p6 F  L4 }
    幸运数的定义7 X8 v( w: M+ T% ]# p$ \9 G4 U3 W
    FORMULA       
    " j5 ^2 O) C  l' U8 M3 |4 s1 h" }Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.$ _) Z( ]9 t' C: Z4 b& u

    8 g- C& r4 u) J. E具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
    ) O3 e/ U! |; S" V; P$ g
    ( i  B$ p7 z: `! m' \! H! c3 x初始,从1开始的自然数列:
    1 v8 Y4 D/ N9 @- h: p  g- m1 qBegin with a list of integers starting with 1:' a/ @8 {' l9 ~' _
    1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……
    / {7 f+ y+ r0 `5 s3 {! C) C
    ' ^( B1 j! T- I, r1 H" x5 E) ^0 u开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
    " n/ l  Z  y% C7 T! F剩下的数列如下:
    3 P8 q" @4 L* m, a/ E3 p) \, NEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:8 Y5 O5 L/ w. K' c3 ?: j( w$ M; ]
    1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
    ( G! [1 V& s! I
    ' d) z2 u/ T( y- t接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:0 x' u/ [- ^, k6 J5 ?
    The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
    " ~0 Z, X# C* O0 q9 }# \- u- U. K* P1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
    6 U" E$ x" O4 M: n) k  d/ }3 M1 `3 y% [; W% M* M7 C4 @  e8 @4 I+ g0 @
    现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:- B0 G  L& s$ D
    The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:% v  f' Z# {/ D* K( w
    1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……1 b  C( r( I9 U, v

    0 O* l& _7 B8 R' |1 K接下来是9,……, K# m+ Z5 r3 c8 e2 o0 s
    这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
    7 u, w2 I8 G9 u( Z. W& l( O/ w2 k- e$ p% v) r7 i
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
    / l+ |! r" H9 l2 C0 z6 @9 Z在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers: C* T7 a# H5 j
    上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
    % v/ d* s0 r7 W# v& y4 J) N1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……# A8 b+ H" I0 a; F/ q6 x

      R" ?7 R, n* N2 k有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?1 @& `* @$ z; {, s) \

    / T/ H7 e' Z8 ~& H3 d2 R3 k  _/ }

    2 n- D2 J) O% c0 ~/ q7 T# k第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。. J9 C1 c7 {! p) R" G

    ; O" {+ g) G( B" f4 F数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。+ t* K7 H1 H, @- W  s
    幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。6 T$ |7 Q' u6 [* @& Y/ z
    另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
    " T4 H: p: ^5 g% l. Y+ Z
    ! h8 T7 e& U/ a  n( K- L暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
    6 A7 ^  m  Y, X# `; S8 H; B8 ?0 c" b$ q* R9 R$ ?+ b# q+ K
    **什么叫做Conjecture?7 B8 Q. B9 s' e$ k/ n1 Q7 Q
    **约瑟夫斯问题。

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)& e% y! Z% z( Y6 s/ M) O
      p. e; s0 V6 {$ y. n0 R# {
    猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。! ~# \) V+ m# W8 V$ ~

    5 L3 e8 p4 u' O' I% V( G当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
    + M  p( a( ^4 M, Y9 t( @+ }* W) W8 M# U1 L9 E% j( R
    猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)+ ~* y% v" r3 r! S1 b, ?
    . V' T6 S- g9 k: k. A
    假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
    ; ?1 d1 W8 F' C/ \. S+ e4 k# a! z! Q+ q" x* ^
    有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

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  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
  • 签到天数: 128 天

    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑 ) a9 k; T' Z8 l9 c; Z

    - p+ V% w9 R6 g1 \; c' Y**约瑟夫斯问题    都教授 & u: |9 d& d6 T& _) Y  J

    ; A; W2 g5 k" ?$ E我们来聊聊约瑟夫斯问题。: j3 N9 \; S4 S" n1 i2 n+ V

    ; H5 q' _+ p; n/ C5 b3 H' o$ k有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。$ r# ^# n0 v3 ~8 ^
    " S/ V  ^" V& L4 m6 e
    问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?
    . c/ {, J7 S6 J. o+ o/ q( o( D9 K  [: W2 h

    % W1 e0 F8 Q9 ]( `9 T---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------; P  l! a& h* e6 w7 u/ Y4 p, C/ \
    据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  ; ?9 K8 k( |- f3 {
    + y2 f. a0 I( {8 y, u
    ---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------0 o' i9 i8 u& q% ?  ^/ e
    这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。3 K0 o$ ~  M" J4 w( ]0 Z
    据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

    该用户从未签到

    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50 9 ]5 J' x% _" A
    **约瑟夫斯问题    都教授 $ w4 l" [6 V5 i* f
    / k& O# z2 `! z; d8 L
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    % @5 [: Y3 B6 ^; z9 Y2 j
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    ) e- H1 v" k/ }- a8 Y2 @5 {. r! G3 a8 E% n; }. g
    2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。9 v1 }' C; }+ f4 j. C+ l9 B
    0 E: @1 P  k  M  h3 k% O
    推的方法如下:
    3 c' M! ~) ]- ]  ~7 u" N" w. R" }5 }" l" ?8 c& ]
    n=1,就一号,跑不掉的
    8 `7 y5 C1 A7 @) _: {n=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2 ( T; ^( n& B: n; t# ]) h, R
    如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。/ \) ~  x* P2 A% p/ M- {' ^
    0 t" Q5 i0 ~( O. q' y
      ?/ W% p. H/ o+ Y5 b& i3 H, A
    我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

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    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑 : V0 ~  i* c1 l  i
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30 1 \) P* b! y0 L) r
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    & F: q0 }0 t  i; e* O3 g7 |
    , P, \" ^, j3 m3 y2 `2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...

    2 I! n9 S* p+ {! U. |$ g
    / c, a. y9 M5 m3 ]3 J, q# v兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看: J' R6 b: c% M2 @8 [" x3 r( `
    7 L5 N+ [; s0 C
    在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。4 b: c* j: ~% q9 @) l7 N
    : @. @  k; K5 s9 H9 ?
    还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?- D0 b8 N7 j" r. r( V2 v. U$ U
    " W$ e" R' _5 M5 m* Y" S
    -----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------) \/ ^* [+ r9 S8 |

    # g1 Q4 n" m' s% P0 [4 D一个小心翼翼的Java例子:
    9 W1 W9 C& f& ~+ l! l2 H& F4 Q, R% _! i) f
    int josephus(int n, int k) {6 F( Q: J( d6 y
            return josephus(n, k, 1);  `+ X( [  ~, |  N5 O
      }
    * t- ^" a& P6 H  v: ]3 }) S, f2 P4 i  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
    ' F- A" F8 k2 v# o8 u5 \  V- y      if(n == 1)
    + D6 N* b" l% a9 E0 D          return 1;
    ; z. h1 Z  H6 C6 Y6 h1 O. h4 L      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
    7 A" f: V5 j$ o; b0 ]( W2 v( _  {
    % Y/ t  V# a8 X0 ^6 c      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);3 n$ m# r  H9 I# H8 c7 {0 q  f
          if (survivor < newSp) {
    ; l. q6 h  E( b5 o- t1 R          return survivor;
    % X3 V  Z- @3 y* C; j3 `      } else
    ! t: G. z7 X8 y! ~/ w2 w          return survivor + 1;7 w5 {6 \" ~9 i" j% H& V
      }
    . y1 s8 b+ i; y0 G( w  ?0 h. t0 y
      R0 G3 k( \( a% E6 `9 A. i另外有个更简洁的例子
    + `6 k" k% E9 S, ~1 r8 O2 E! |0 ]  def josephus(n, k):
    2 \$ F1 u3 ?2 K( A$ e. |( N5 w    if n ==1:6 u+ ^, \4 Q  V0 m0 A; n; k
          return 13 b, v5 V! ?0 \2 Y1 T2 s
        else:$ u; u5 T6 R  X9 O2 E) y% Z
          return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1; W2 l9 _  e4 U: r2 c; t! e- Y9 E2 b6 L
    ) o+ l* B. V, d0 Q0 H
    (如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?)* B1 ]) M2 f, [$ ]& W

    0 V. `1 J, P- |# _; O1 q6 Z/ D1 e以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution
    + \& k% i$ C- W: J2 ~3 v4 }0 ^. P( n1 R$ d  q* }

    0 }# L) Q* F3 h0 j* V' ~  y5 s关于n的分析:& W( E0 X/ c) c
    设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。
    * d8 f- r  k' j; s, `' ]. F如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:: U9 \# A- S' h1 a* S

    . w$ _8 I, Y6 V" q- u5 |2 pf(2n)=2f(n)-1
    * j) V2 Z+ c; t: l* z如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:
    : g3 i8 W  _' c( {5 W+ L4 S- F
    * v% d- Q( D* W* Xf(2n+1)=2f(n)+1
    ; F! p/ y; a% m
    : x5 u( m1 ]' z, Q: ^% A% e3 S7 Y- V) |2 \( I: `& V0 ]" |
    如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:
    ' h' @- r& e: \" F
    4 h. s4 v: y, s- u- Dn    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
    " p" f9 V( i( a( s" }) qf(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
    2 B- h! e5 F$ b5 U: j+ X4 \' e
    ; }- @6 v9 S) g- G) p9 \从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
    # i2 N, }: g# b* r+ m8 b6 B
    ' H7 c# g; K$ \( P1 V) x$ H定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。- ^* N/ Z( r* e' E0 N

    ( V" G) D9 z7 T- d2 n
    / s! J+ W  O6 V5 p& G答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

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    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
    ) P! F0 \& @/ t% h5 L: V' s5 \兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
      q% I  J1 n5 U  q2 G8 v+ u
    7 Q2 j9 ^7 n! ~+ f* |! r在 ...

    8 p! [; z3 m1 v0 Q我的推法就是这个:
    4 \/ Q: b6 a. U* Y( c/ k& r9 h. X% B9 }# {7 S
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    ( w5 x# T- S+ X* i6 a; z' n! E2 r6 `0 g# s
    我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。" ?1 `' Y& T/ }* T

    3 D5 l8 I& `+ ]3 C; e. [1 b6 n- C2的情况我没单拿出来搞。
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    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
  • TA的每日心情
    慵懒
    2026-6-27 09:25
  • 签到天数: 2303 天

    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂
    + }+ ]  h- W: c8 ^& r不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
    1 Z& W( {7 n1 V- E: I( k看不懂! p5 o7 o, S# x6 ]  r$ w
    不过今天不幸运数是17

    ( Q  C: W1 a5 u3 h7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
    0 N0 G6 x3 ~/ \
    * E7 V9 D- h) B' N. p以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,31
    $ Y5 G( W+ r( w5 V: x  H
    + a' ?$ p9 S( q13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

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