TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
+ f& Q. Y, H# @" Z t看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
W9 f; b$ O0 s! n' c6 d0 J B* u. w7 M% }4 L6 w. ^# G
他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。% n' C3 \: x& y6 X6 E! ^7 [2 c/ E
9 F, n- m- Z1 d; y. P* Q
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
, g2 D8 H' d. @8 Z5 x/ F- W8 _# @$ w- j* @# t' |6 o
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
2 I4 W4 q) z0 T/ D& P
; v( k. T; ~: J" V6 _幸运数的定义4 p' ]! |& u& E, G8 a0 H( z7 Z
FORMULA
) `; H6 t1 w' ~$ t3 Q' v% nStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
e) {1 ^: Q5 N1 A) K( r( p" @, l: }+ t4 a( l+ @/ G
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)! O5 |' E/ y! a
+ d& R" V, J1 C6 s) a4 s, H
初始,从1开始的自然数列:
, s' M/ l" }% Y g9 ~7 iBegin with a list of integers starting with 1:
: j( P, f* [" y' K6 y( A @1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……
5 f4 D0 Q- }: g9 t- ~. l- j& B7 Y
开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~, E* U7 w# o9 f! D7 g L
剩下的数列如下:- |% \7 w- X `6 S0 Z; m2 A
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
+ W0 | r) h/ H# X6 X& N2 j1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
: [' F7 S. I! _
+ o: k5 W2 i, d$ O& _接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:( v. }/ Q( o: G- @
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:! N: T. h& v* D _6 |
1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……+ _( F5 N( W0 b' F: X) j
& n% u5 v1 ?) {" i1 |+ e4 C% k( Z
现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:7 L( S' p A2 e7 d) K$ ~
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
* x. D6 Z; C9 g B$ ^$ r- n1 3 7 9 13 15 21 25 ……
; F% l( f8 H/ P7 ^9 }
% R7 t0 m$ ~) C. t" u; d接下来是9,……6 A* | r; `4 q( J
这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。7 R' p v4 [7 s! _) q5 U2 A' h
- F- v+ f( A; z- ?
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).4 L' q3 {1 J4 }1 b: ~5 z
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers: S, u7 x9 _. O- a* Q/ h Q5 o! q
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:; e5 J6 Y: A( f2 r$ m7 t& d: ?5 e, W2 J, C
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
$ w. c: B) k$ _/ y) F
' \! v9 y2 ? W+ x+ F有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?8 k: B v6 h. K$ Q) W9 S* s0 i1 g
9 D0 _& s' j+ ~' q
R( @9 r8 i4 G# H" |7 J/ @
$ X1 p. B; z) Q+ @) C6 D* m( I8 A第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
$ }# G5 U' l$ W; `% l
5 W, `( f' h5 ]; ~+ H' w数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。5 @* F) B5 s' O# F$ i
幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。/ B4 S( D# J7 U [. F$ b
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。 O1 g+ j" t+ M, a6 p
- M& x" D% u# b, U. \暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?2 D" _5 {2 y7 Q; D0 H
! v8 k. C& J' g0 f$ H
**什么叫做Conjecture?
; l( J7 d7 k9 f4 l1 D**约瑟夫斯问题。 |
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