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[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

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    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
    . k# x5 |; R  v' u% E# l% ~1 J看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”' ^/ U- H- \$ T0 f' L. u
    ) k7 e% z6 P3 w# j
    他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。5 K8 k, D8 O) R9 ~7 w
    * M* D5 O% p4 u( Z; X
    所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
    , _9 O. Q' G/ T5 G. Z. A, L3 m  u5 x  |" Q* ^
    In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.7 V1 c  z$ L! D) m' P9 ^
    1 W  {$ T3 t1 x1 U8 G
    幸运数的定义: Y! H  ^- b8 N. U$ }- h0 B
    FORMULA       
    4 Y$ R2 w$ O  T: XStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
    / d  [* R& c1 _  T7 e7 b- s$ U; U6 q1 Z* G
    具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
    8 M0 _' P2 W3 e6 Y4 L
    4 h! K! ~0 S' Y  h8 G初始,从1开始的自然数列:
    3 f+ S- C6 }9 ~! ~+ }/ dBegin with a list of integers starting with 1:/ D, e! |3 {$ g+ |, m% _: }
    1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……
    $ W* ^: q; D* x% O& J+ B) f/ c
    开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~2 X% P3 d8 Q$ L/ E, V
    剩下的数列如下:; K$ n- i0 b! A; F/ \3 O: U) }' ^
    Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
    0 g, R3 R/ u- _- I1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
    + z0 z& y* H: t' f- Z
    6 l. @! X) Q6 b+ F接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
    . T* d7 A9 \% i5 s1 L# R2 K) BThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:7 j& E# Z8 N& R: l4 Q
    1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……/ i1 s% v* M# W/ w$ K

      O- h0 X) e1 ]$ o! Y现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:" M# B1 X7 j" p1 t
    The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:  x& {% W: ^  a! y2 N: U
    1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……
    8 k5 h$ U  E8 J% W! s6 Q# P5 i1 ?7 D5 E7 B; P8 O8 G
    接下来是9,……) ]' _! [) W* E8 ~" x( H
    这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
    * _1 B7 K: |, v; |- @' ]
    # Z7 p7 W- R( h" v1 ]1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).+ W' V% U( }6 i0 k
    在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers9 I+ e9 Z+ K. i3 E% O7 j4 B5 h" M  l
    上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:) `3 R: U/ g' _3 S: J: E3 o% z
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……  ]; k. m/ Z9 J, M5 h3 i. c" Z
    / _$ h) [7 s* e
    有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?7 s+ z% k8 n9 H4 B4 r+ A8 ?
      D$ {" x3 y! E" T5 ~) s/ n
    & G' T4 C$ H) K

    # G! j$ M7 T0 C4 V) [2 B第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
    5 [* j, \. S/ [* y! w5 @) K) e$ A6 Y) @
    数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
    ( f$ o9 G* S! f幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
    4 i0 A8 R$ Q" u1 P5 Z7 w另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
    7 t8 i4 P8 |& |8 k: g" A, q! t* Y- P
    暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
    1 @; B5 j0 D: m" k2 E+ y- B0 |  f
    **什么叫做Conjecture?
    0 i; a0 i9 ^( |" y1 i6 d**约瑟夫斯问题。

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)
    8 U$ y2 }4 \# b' X' F# J5 f' W5 \' x7 \" U' y
    猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
    * C1 k, z* x  [7 O
    : Y( d" m) O9 ^# z- c* T当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
    ! L) A* y" V& H, L/ ]& x1 T: |5 ?8 p5 V0 Q- q4 [" s; Z
    猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)
    * a9 N" n; ~' P$ f) B, A) \# o& w& i. H2 _5 B2 ^
    假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
    - T- _8 |- N! m% N% y% t! o. m1 s* N  R; y3 r
    有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

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  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
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    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑
    $ Y7 f, }! u6 P3 P/ \9 e
    * f2 b, m4 r6 O% u, ^**约瑟夫斯问题    都教授 - |2 d/ Z  M, K* Q5 j

    & _5 R" p' e) C8 s5 d, `我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    % ^. x5 i2 j  R# x9 t( t0 w6 v. ^: C3 W% k
    有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。4 Z7 l- c" W  B- D
    5 W6 J7 `; k0 n( J5 u1 c; S8 y
    问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?
    * W! ~9 Q8 L0 x# _% z5 m9 P
    4 R* j8 |2 k0 {/ s$ j' t( x) c4 S6 B! w! j6 h' S7 f
    ---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------. L# u, U$ U6 Z0 u1 Y
    据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  ( w1 L' P+ d+ l0 x5 N* j) S7 R

    1 l8 }. P" N9 a7 E! v. o- n$ A---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
    7 L+ _, ?- W1 @6 v( W这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。
    : p$ X4 v/ t; b据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

    该用户从未签到

    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50 3 q  K$ V; v9 ~
    **约瑟夫斯问题    都教授 3 _& s% e- ~) _
    ; Z  O" a. Y3 A8 M! {0 t* b
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。

    . I. y& M6 X7 h2 ]4 W: y. b1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    ! \+ [0 o5 G" H
    + ~) L7 |. `6 n0 ^. a2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。" w% `# Q5 V* T- w, T4 u

    4 s: i: K6 Z+ `: d4 _推的方法如下:
    ! _8 I8 L* Z! t# ]( Q: \  P" X
    n=1,就一号,跑不掉的
    - b( X5 O# J3 P% j3 mn=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2
    & |* N/ h" k7 O8 g( K& s1 r6 \8 k" ~如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。
    5 V1 l! Q# \2 |$ y" K9 C! @7 w( Y8 N9 x
    1 R! C7 P/ C( R* B
    我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

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    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑
    ! C/ }3 s/ c5 {, |
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30 ' H9 Y* L' A7 [' V3 }
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!' Z, W4 w3 A7 z/ I; G! v
    1 t1 p% O; r% A+ Y# K
    2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...

    3 w3 g# o- ~- T: v" p/ E3 [* Y7 P' p
    兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    9 z/ ^* [: B- y  ]# X: o" e) Z0 H% h9 ^; b. O
    在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
    ' D$ W! a% {4 R- e, V- V+ k. N2 H' U1 Z8 Q# G% s  b' M5 T% H. Z
    还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?
    6 T- `6 {8 K9 s
    / v2 c: {* I# i3 N/ I5 t-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------
    ' c# l8 ?3 x" m
    ' B$ [  C$ _, v' G8 e一个小心翼翼的Java例子:; H  @3 ^; b' V, p  n9 \& b

    * E0 q) T2 I6 S' V/ ^ int josephus(int n, int k) {8 \$ \, s$ ?! i
            return josephus(n, k, 1);( C: {" a& P$ u: E7 n" H' e
      }3 Q, k2 g( L! i7 o
      int josephus(int n, int k, int startingPoint) {. z- Z+ X2 K  p; ^# @
          if(n == 1)# Y+ Y% h) B5 n3 J( r% m
              return 1;
    6 d$ f, ~0 @8 `: i; T8 ~' N- X      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;! Y' J+ x& k) f$ Q5 B2 e+ f

    1 k  U: ^) t: W      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);, p3 R1 w2 ^* [* Z# k, ]
          if (survivor < newSp) {" x. o  V) s1 b( }* Q, j
              return survivor;
    1 A# o. p& O0 v) s) G0 f5 b3 I      } else
    $ z% U+ T+ L+ Q          return survivor + 1;
    $ S: \7 P, T: ~7 {" y' M  }) x# {! Z" m& s; r
    + v9 B) n0 m0 ]/ i1 x1 A
    另外有个更简洁的例子, V7 X. i) V' f( Y9 m
      def josephus(n, k):
    % j& D9 P3 [, F$ _/ `# S+ R    if n ==1:
    2 b1 Z  r8 `# }  i) P$ y      return 1
    * Z! o5 c1 l' |  ?3 L: S    else:
    ! _8 j4 L  g/ k1 o0 ~      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+10 K& }, I: ?+ `1 O2 {7 p% z
    ! h; a$ s- K5 R7 t0 K1 v4 u
    (如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?)4 b9 R  I' Z# Y

    6 g/ A6 d# g* f! B* \以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution
    * w0 }0 V* u, Q' ]$ ?7 O" v- h
    ( T/ |, G9 F% X4 Q3 }; C7 [2 L+ a% S3 Z! \
    关于n的分析:
    0 h6 ^$ K3 u2 \( s. S: q设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。# l3 E. L' L2 m) w4 Q
    如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:& k7 @- o2 ?- s* D: U
    . c% ?9 W  y, y, r5 U$ c% W# \2 {
    f(2n)=2f(n)-11 O  l! n- l  j, k( x
    如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:, F( e4 e+ K1 J( h0 T
    " H0 q7 t1 I( y* I
    f(2n+1)=2f(n)+16 d5 z6 F# O# I/ Z

    9 a2 v, G$ n! X
    ! p; ?7 j8 V! g" e4 h4 t如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:
    # G; Q/ z0 I! D# @0 T4 C$ s8 J9 m' J$ m, C6 L3 s  R. r) T% _$ l* k
    n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
    ! Z; {1 e+ O" U- r! If(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
    ' V7 {* c4 U, f7 k$ P* o2 H5 e; R# V2 v  h/ v8 M
    从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
    5 Q8 J$ N7 Y. N; X/ c* g" V, A2 e! r" j0 ?( ^, i  m
    定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。' \( o! c% G! f( _# n" v) s4 o+ d
    ( L* J# r4 T8 k& o, D$ q

    ( O% ^( V/ Y4 L* e' l8 @) i答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

    该用户从未签到

    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02 / D* z, g, [, R8 u' X9 {
    兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看' H6 i) x7 ^% D. I8 }+ K
    3 o( R2 Z( b- N5 }3 E
    在 ...
    ; z% `1 ]  S1 g7 t- S; d. I
    我的推法就是这个:
    $ h/ x0 i: C& [" [$ D0 ?* J1 S2 a
    5 X  D4 F8 g( S0 R. B  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    " {; e" O3 ~" u0 b! {$ J; \
    : @8 g: ^! c# a- Z* J2 u  V# P我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。
      o1 c8 K/ U8 c1 Z0 [/ V+ W% G" W! m# ?% f) ~! C" m
    2的情况我没单拿出来搞。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-5-10 00:00
  • 签到天数: 1237 天

    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
  • TA的每日心情
    慵懒
    昨天 08:16
  • 签到天数: 2087 天

    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂7 N2 a* \7 F0 s
    不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
    5 N; a6 U% g3 J看不懂0 B- d0 m% Z/ o
    不过今天不幸运数是17

    3 v* p& M6 e. I) \) h+ k7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。& R- e$ _, b' v/ q2 }: G

    ( U: t) y5 j, [. _以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,31
    " F* |; w) Y3 _& v, Z4 X) @" @
    ' H3 L' [/ e1 f, c! L/ K4 y( U" R8 E# @13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

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