TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼1 Y- l0 \1 d, j/ u8 j, p) Q
看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
; K3 ~6 C& W# U- w, P1 `" m6 N/ A0 P. g' Y# i0 p& H
他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
; _- j) |! \5 }" ~$ m* G" Q1 U2 L' ]% j4 V* A7 x {7 s
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。4 i& M1 Y- K! O. T# n0 d, P ?
# v7 [* b% j. ~$ e+ v' PIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.5 {1 P9 x' k1 g- j0 P7 n
) J8 ~& e$ g8 z3 r' ]1 |
幸运数的定义
3 s8 q( j. ^7 e% d5 gFORMULA
/ f1 K6 e4 I5 {Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc." ^0 Z6 G9 l& }, L2 y
$ d) }) m/ M+ L8 {0 o1 \
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)* v/ X( ~, \' q1 J. c
) ~9 U2 u. B5 h
初始,从1开始的自然数列:' o8 A, X) H5 e+ D5 ]5 [
Begin with a list of integers starting with 1:1 E# e$ `$ E- I# a: f
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……+ {; s% \& L4 D3 R. V4 \7 s# x
% l# l! ~, N6 L; q4 u& f
开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~3 E+ q5 u# z0 E: w
剩下的数列如下:( S2 [ G/ b( \! B. T! K9 _" f
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:3 ?; g. q8 l0 h( v1 E3 r0 J) Z6 m
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
! @2 ~( `- k& e+ C9 T: Q0 i! d$ X$ [, z
接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
. l& ~. P& N4 x/ ]: x0 tThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated: e' Q! F* u+ I- C" F
1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……2 {& ~+ f' ~: Q, d2 `
" p. v, Q3 j" N H( F5 ]! X) N
现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:! q' f3 _8 b9 m) ]7 l( M
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:: C) ~' z7 u! a, {# ?
1 3 7 9 13 15 21 25 ……0 k; I% x9 N1 d9 f( E2 _
8 g; f# t6 L* {, N( z. G接下来是9,……* z6 M: `4 s' ]$ V4 d( F* @
这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。, Q8 c4 t' G8 Y6 X0 @; u
" _, {( b- M3 `9 V) K5 [8 j! Q1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
! ?2 `/ {. B* v3 ~+ ?8 Q: l8 }! k0 Z在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers% M1 L/ B* U: R, [
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:; [$ [% M: l2 J
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……* ]: I2 e: l0 P" t; u$ ]$ F
6 j3 y) O1 L, i J
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?0 \8 t+ P4 V( M3 \
2 W+ R/ g3 G: w" D; D6 f" T; m
( O# D/ ^: } y2 H: l
' @0 o# {& K8 u
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。! j7 ]8 v" |% o0 M8 { D, j+ C) F
$ j: r9 i+ \. U% J) x r, a; V" i数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
# R- r, N/ @ c8 p. |幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
) W' R8 G5 T# Q9 O: U" W+ ^ ]2 H+ a+ d另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。# C8 b+ p2 a, r* \
* a; J' v, X) `" S) X& G9 x
暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
1 L0 x/ F+ ?6 i2 y/ W
# l# i$ q; R8 D& D" B**什么叫做Conjecture?9 @* e4 B8 R7 M! l1 x( ^# }0 u) }
**约瑟夫斯问题。 |
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