TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
8 L; }0 E- h3 Y% b看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
3 ~7 o. U( Q/ Z2 l( l% Z( ^! x |2 D3 j
他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
; i$ N- F- N. N% i# S: f4 C8 b& c; Q- W6 ~
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。$ M" O; u' J3 {$ ~
7 r. X- @; u* I! W1 X: R( sIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.; c1 H6 Q4 y7 R$ V A {
3 ]# M# h: a& A4 q. {
幸运数的定义
9 U) {+ T6 z, X3 ]* U8 Z JFORMULA
9 P5 Q- u7 C7 k, w7 pStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
1 d U! l& X9 I& U6 c7 Q5 M$ J5 b/ H) S& C8 T9 S- `. n
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
" r. j4 `( \: i# x' o. }! L4 n4 w* W9 A7 w( ^ U {5 X
初始,从1开始的自然数列:$ E, z5 G& y c$ e5 u
Begin with a list of integers starting with 1:# c! ~6 J- O( e% u4 |. `2 @7 P5 D
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……; z9 b" i+ V7 N0 @& f/ F \% p# t# E
0 ^! w; u7 p) ^( _开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
- _: Z. J" Q. V" v, E% j剩下的数列如下:$ y% S) k: c# t0 O* @4 D( ^ }
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
8 E/ R, u7 z) r4 P0 Z5 v1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
' @; n, q7 D1 c4 v) }4 F
0 h+ P$ Y4 m% Y5 |接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:$ A" u5 d) N9 j
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
- {: Q6 O1 H! m% f/ r1 ^/ W: \1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……8 \0 y0 ^: F5 @& @
1 e7 D7 F/ T1 _6 f5 ]+ h' l
现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:/ o* g4 v& w) Q3 [$ E
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
v, X+ {" T! n: w* @. b$ O0 T1 3 7 9 13 15 21 25 ……$ k( `1 c' _( j6 x. e7 ?
4 q+ o* j4 B$ t! h
接下来是9,……- k9 c# q+ _- i! N+ e( ]+ q m( b
这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。. e- a. q4 t0 s
- j7 \9 F5 p+ V# i
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
. C' }( z8 Y! {8 s. E& [在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers4 @8 v% @& G2 R- C
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
/ {" n& X/ e8 l1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……3 r; J8 X' H# O* p& X
" w" w. g, u! R- d6 a有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
7 a! V0 Q' x$ I1 v7 i) X8 \/ P4 j& c" ?/ q5 i3 V6 w3 j! d
1 Z' w4 S' c( W E% V7 ?
7 R+ v9 G3 Y" P+ w( a! w* d/ d
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
- n8 C! v6 m) q( I; l& D; H1 S2 v7 ]& P' @8 ^' ]
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。, I' F( ]' h( }" j: F
幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。/ g5 z% V _- R" R; c
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
, r$ S' J" D" U% G
2 E7 \0 i) Y5 @暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
' u% B8 h1 w/ |/ z! L& W7 `* |7 S2 z% X# {3 {: Y" v! `% d
**什么叫做Conjecture?% h6 S$ U/ g$ K( s: `% h
**约瑟夫斯问题。 |
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