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[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

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    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
    " D  ]0 r2 k; A. L; K7 G看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”) {) {- C: C! j6 i* ]5 W

    ) ^; q% l! k6 b+ M% c8 p* @# \他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
    4 }7 V; d1 x% c7 }, N6 [% h5 X$ Z' r) ~9 i' a5 G- O) B
    所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。$ ?, Y0 j" h: z. P/ ?$ Z9 E
    $ g5 r% i' v, f# S6 p( s; ~% Z: J
    In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
    2 h) P. ~- h/ I( e0 L6 x$ K, H% k/ e
    幸运数的定义
    : Q7 ?5 ^* X8 @, k- a) lFORMULA       
    # }( }. l+ W. c2 v5 YStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.- b  _: }1 V3 B8 B

    5 A5 h' O0 f* ?4 I% d/ N$ `具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)) S, E' `  T7 D9 {& X6 c; I7 @

    0 O( A7 K5 Z$ Q8 C9 f初始,从1开始的自然数列:! T4 U8 d6 p/ n9 n. X
    Begin with a list of integers starting with 1:
    0 x6 I7 O& q0 v! O0 S1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……& C- Y7 K" H1 d. F! z
      [7 ^0 b, A- O' e. I) j
    开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
      @0 o5 F" n0 A/ c, `9 V剩下的数列如下:: D7 O/ u' l9 B" E
    Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:4 i2 o9 E5 Y% {
    1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……% y1 x+ T! J2 S( E) z# t

    : R' j8 q$ z# b7 y: K  H# f接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:0 K9 [: t  K8 @( a
    The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
    2 s3 p$ [: u% ^( k; Q1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……0 o0 K  f& e" I. ^  J0 [5 c. g
    $ }  U5 M8 o8 H9 O0 \. w
    现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
    5 x  T* ^7 {7 N8 z% Z0 }% AThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
    - ^8 f6 @  e9 P- w9 ?# c7 d4 I% w* l1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……* i7 o! P$ @2 k/ R* O9 s

    ; w, e& _( ^+ |/ |接下来是9,……
    % J8 Z9 V/ q$ h2 M; Y+ \9 C' |这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。+ \5 l% G9 m+ O% E! O4 G

    " B4 v% d! Q: h# j+ G8 K1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).; _$ z& B$ i% Q  S8 |
    在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
    1 Q" A$ X: d1 [1 G1 U8 Z  t% G上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
    % u4 I& v% z, ]! X8 E1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
    / x  Y! G6 R( D7 L, L+ |7 ~) \7 i* |! C
    有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
    # S" {+ n. r1 L0 A8 O
    - u3 ]( K3 R( B
    ) c: H- N! a% `3 l- U' A" f, \6 M: n+ i+ Y
    第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
    6 e0 b% w/ @- I8 b( h) H- p; T$ H1 D" G, L. M, u; h
    数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
    5 n, M( n% d& \8 J- E: y幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。* L% A" p! @* X7 _  Q; p
    另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。' M6 `- M, R! \# _$ C; P9 E$ }/ b

    : m  k* p9 [+ U9 F暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
    / o$ x) F( h" p5 u" j7 [* R& D' [
    $ K& p: F' B% a6 g3 N**什么叫做Conjecture?% W1 j( J$ \: G  G& ~. W
    **约瑟夫斯问题。

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)
    , t+ U: w4 Y3 L! _( S
    1 U4 B/ @4 |) {6 L猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
    - I' I$ }$ i5 ^* b2 h2 p5 T$ b! Z- f
    ) s( K1 m% S. C3 s' j/ [9 ?$ Z" U当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
    3 L7 F) n5 |# \  v
    - d& p0 i+ e( o9 k0 e3 \: a猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)- g% Z- n- D& u; ^& X5 P6 i
    8 {, N( z- @; i. |0 {
    假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。- ~( q, L5 q3 J, |* `1 f

    % X  J" P& R! g" K- N有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

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  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
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    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑 + ?* E+ f0 [! T: ]& j! f& d, x
    " I0 y1 H+ A/ v1 [9 B' ~
    **约瑟夫斯问题    都教授 5 b, ^* z2 W, Y$ |# e/ U

    . t: F' v/ F0 L5 d* E2 a: Q4 E$ Q我们来聊聊约瑟夫斯问题。- S: H& E7 Q9 M9 e2 s2 y0 a

    ' _) t9 B, k" d- d/ J+ M有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。
    ' q! F7 E6 |% h/ m" z! l& b9 E0 A9 ]7 Z& U$ ]3 ~
    问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?- A2 B: c+ Z1 u' H& [- k- `% o5 A6 I
    8 f, L5 v$ C4 K

    7 _+ u3 i" y  {1 Q---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
    , Q# F1 C3 ^( m, ~据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  ' W) ^/ a! z* E7 m2 N7 K

    9 g3 d# J& r2 R: Q* m---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
    1 p2 h$ D( L' N8 {8 k这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。& \' V: }. u3 y6 K+ z6 j7 h! G
    据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

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    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
    & f  v/ ~) _4 M' @$ t2 k; y**约瑟夫斯问题    都教授
    ! j( u2 w/ G" S( h! F% x' L
    ! U- D1 M0 A' v# e- i8 [6 m我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    + Q9 F) ?$ Y" w- O
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!  s  u, e; J- k! D! ^
    1 {4 w' X1 e! h! v
    2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。/ {5 K& E  U7 g5 d# A
    & c1 N/ }# l' x; W% }* S
    推的方法如下:+ I' l$ u5 ~. X" v
    * s5 x  u8 S6 j. r) v/ c" V
    n=1,就一号,跑不掉的
    . q: m  s- N' z6 ^1 ^4 l' P5 Dn=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2 ( P# X/ N; P4 W7 ?$ }2 J
    如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。& q! o0 o, E2 ^9 A6 J
    " O; W# G, [- ~4 v7 |5 T
    - h5 z+ W) Z$ N
    我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

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    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑 " X- V) y& k1 k" [% {# X
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30 0 e6 y, I, p9 A( J
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    6 R1 w. t( u- f
    " X5 o+ a- }$ A) ?2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...

    & r! G# L, n8 a& I: K9 o( N  M& a! _  Y. ~- T
    兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    $ h) M& N+ _& c# s5 C" G7 B# ^* F+ k& }
    在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。! ]& Z$ K; n4 h
    ( `! E" B. n. W, j. L0 Y
    还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?5 |3 U7 [, j* ?

    # G% M1 N4 j6 E. J-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------
      k+ h' y% q9 S! o
    , K% K# A; b2 `. f5 }- _一个小心翼翼的Java例子:, O; e. D' S  y2 Y

    2 q: o# X* E! _* p0 O2 C int josephus(int n, int k) {% x$ K5 b- i5 A# C$ v. h
            return josephus(n, k, 1);  G0 ?/ h( I$ }3 ?. i
      }: y/ v) f* F$ ~! w
      int josephus(int n, int k, int startingPoint) {- `5 [* T. w% j  [+ I+ Y
          if(n == 1)# P, |4 ?, J4 k  \3 |+ r* L
              return 1;% M- D" H2 N. t# i1 r, w0 D
          int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;7 |  l" j, m- ~/ T" ~. w2 B: R

    1 f! g$ v! I/ \+ @      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
    # Y% R/ F$ d+ M1 h      if (survivor < newSp) {
    . S0 o$ e& @5 m1 i          return survivor;% S6 r1 N( I6 {: M
          } else
    ) O8 {' n: s' `' N          return survivor + 1;+ W6 s! h" c" ]5 P- K
      }
    * s' p1 ~+ ^& r) {2 ?" t
    . w2 p- k; ]% X! G6 |0 G另外有个更简洁的例子$ O1 ?6 i! @1 c* y$ o
      def josephus(n, k):0 L. n+ }0 C- j& h% w
        if n ==1:* e" h  B! H+ V+ ~
          return 1/ Y  K" |/ G. q! }2 x2 E( ~
        else:
    5 o8 {" H  f$ T. p; y      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1& L* z# E, F3 e* E+ w* `. m9 D
    % |6 J0 P: S0 z  J, r
    (如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?)
    5 o, ?9 ?( s/ b) E6 j" a9 G: Q7 R+ h5 u8 r! W* D
    以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution3 G; J8 l4 t8 V8 H; C: n

    - v- o* |* @' V0 s/ c/ K/ Y$ s- E! C) p: n, o2 a
    关于n的分析:
    & x$ e, N* i3 B. s+ e! s9 P设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。
    ! G: {: B+ q1 [- L7 w如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:: P4 s5 u+ R9 R# p
    ; t; k7 M8 ~; `. O9 _% D( W, z
    f(2n)=2f(n)-1' t& [' I% k  k; U0 n: L# U  `
    如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:! T) _- z6 @0 r
      l- q) f: k/ N; E. e- d9 D
    f(2n+1)=2f(n)+1
    / w0 B1 R9 W" d% i" C. Q# O) K& s0 ^9 ]2 r

    2 M4 J3 b/ v1 l9 ~! R# r! }- P如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:% |4 c$ B$ `5 L( Q/ q" W4 o
    / ~1 _  K  P6 f: W
    n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
    % D6 ^$ W2 D$ xf(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
    5 [; M& x' r! p  x/ w* o) e, D& f, ?8 q) v/ L3 I8 l
    从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。* y5 @7 U' @, m4 z& c

    & ^  F0 j! \6 E! c! d定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。; N3 E0 k( u" w. s) H7 C
    6 [( g* N& Q. u

    - p8 S: z8 a  g+ G5 [' I/ F3 N答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

    该用户从未签到

    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02 & ?! S# c: q3 G9 R  s
    兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    ; u* }) p) {" B, x( |& A( I0 P+ J4 [: U
    在 ...

    - q, g1 d% T, |( N) S我的推法就是这个:- a8 v, j1 T9 [$ W

    9 w6 F5 {* ?& Z9 A: \  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    $ b& |7 ~+ e; y+ K# r/ N4 Y% ^5 f8 h  j# [! n
    我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。
    / X& |' `+ a, L5 D  O3 ~6 c* b. P9 u  C) I* t. ]5 R
    2的情况我没单拿出来搞。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-5-10 00:00
  • 签到天数: 1237 天

    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
  • TA的每日心情
    慵懒
    昨天 21:27
  • 签到天数: 2031 天

    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂7 U" k; ]. Y+ @) t  S
    不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
    ' d9 g! O' V" [$ \# L8 V看不懂6 I; h( q( N* ]+ Q
    不过今天不幸运数是17

    5 `! _! w, U! i$ R7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。* V/ c# z: ^1 {9 P3 o8 V

    ' V$ ?. l, t" y* y以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,31
    3 O* Q7 a- m3 {& P9 _5 u6 A1 f' T0 l3 J; l" I5 ?$ }& `# }
    13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

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