TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
---|
签到天数: 134 天 [LV.7]分神
|
上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
$ E V( X7 p7 M A3 S, p5 \4 K看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”0 ]6 q/ Z( u. i( h' n" _) |
7 D P* D% d, Y# A* A! a他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。$ D( @) }6 r' ?
% R9 z9 Y2 Z/ m% y o
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
7 h7 I% H/ k% B
7 _* G y& S* y" y+ C/ UIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.7 O% I- C, D, g4 M k
M" y j7 T$ G/ d1 E: r
幸运数的定义" c9 O1 W5 L# N- V" }. b
FORMULA
4 Y4 \" L2 M$ ]; D6 s& RStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
2 ~7 Z+ e; A' H& F0 Y( K+ D: s' G) |1 Q7 k" M$ _5 d6 Z( k
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的): d* [' t8 R, ^$ ^
- r1 c" z$ t( f( {6 i
初始,从1开始的自然数列:
2 r6 I/ i( ]3 V! WBegin with a list of integers starting with 1:
4 ^5 O- M# e |( \1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……) y5 x+ E6 [8 _( ^7 ?
- ?) s6 o# c7 {+ j. C6 j开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
+ a6 e, Q( h" N+ S) Q3 ]2 P剩下的数列如下:. t; c5 o5 u6 D7 ]( c8 q( [
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:- T1 i$ k: h9 O! I3 J7 Z {1 I( \" h
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……/ R; a* B: a- N& g
$ |" |* E* I( S: F6 _
接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:3 k# y# z/ ]" f
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:& m3 M7 M* g3 j) O1 v
1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……( k0 H! b# m4 X6 \- w O; p) K
/ J' x+ g% g# x; o% O5 E' `
现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:' P8 c+ j, e$ k I: A/ q2 ]
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:: z8 l3 S. g( ^1 b8 { m! R5 m
1 3 7 9 13 15 21 25 ……5 O( {! q1 J8 Z; E# X
! o/ y- Q$ `! A* H
接下来是9,……
' i/ q% d- s% L h$ }: G& Z/ o$ @这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
7 @) s" i' f1 k( q5 v
9 a: i7 d* ~3 j3 _0 ]0 A$ e1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).' F& V# K/ R$ K5 ]4 f P
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers, k) L V& h, B+ A" U y) X. A
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
. g5 j. E0 _9 {# y$ q/ {1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
! N$ K7 @: c8 E* p T4 O8 b
; s2 G1 ]6 m! C$ G6 v! B有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢? }& K: m ]+ _9 t4 l$ u
( M1 {* t/ g) X/ ^) [
$ p, Q4 C$ n$ l: M& H. b. R' y: {$ m" S0 e
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。- I2 p! p1 a% e% Y
. A: c/ c# g2 }% k数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
- T* e; a* b; I% i8 R, Y! @幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。/ o6 [6 v6 o& ?7 Z/ ? N+ e
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。* ?. n7 V9 B W) S# h
, w" Q- Y1 N; A* i" t% v) E9 ?暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?! ]7 h9 V( U4 T
! i/ }% J/ D6 K2 |* }; O5 f
**什么叫做Conjecture?
" b6 N6 A! C. X8 \2 R**约瑟夫斯问题。 |
评分
-
查看全部评分
|