小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”
; L( P3 G1 j" G
+ Z; O2 L2 q' ]0 j5 l- B3 |他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
! t- i5 a9 n) E; |- }# ~
5 A$ G% s8 Z5 {所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。

In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.

幸运数的定义
FORMULA       
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.

% ?9 ?( y' w5 A具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）
& J  A: ~9 S' x* X4 }4 s
初始，从1开始的自然数列：
5 v# s3 x9 D: d3 WBegin with a list of integers starting with 1:
1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……
) z4 r8 U( M3 m/ C& J5 y
开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
; F& t6 o+ }$ k& Q7 m! O9 ^$ t剩下的数列如下：
. Y: m' \4 o0 L( J6 C3 GEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
5 K9 H" [! }+ w2 y1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
/ }0 i( w6 K5 Q& L+ B2 \
接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……

3 Q' w4 c1 f# m现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
0 n1 W# v4 [7 Z2 W$ _; ~1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……

接下来是9，……
这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。
) V3 Y1 N- n* s) Q
# \5 o  d! A! V7 F/ |; B1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
, f* ?3 Y+ Q6 i( @# f# h( e: c' G1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……

& N) O3 r4 o; ^5 }% q) ?有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？

+ p2 C6 ?+ p6 F, Z6 Q- a6 C

' U. c3 I7 Q5 y$ ]0 Z9 K/ h第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。

数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
9 {% \% d. R) j7 f' a; p( @( k0 s幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
) Y' ~! _" d; H; o3 z. G$ y另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。

暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？

! P2 P6 s- e5 Q! D0 y* M" L**什么叫做Conjecture？
- N! n- ^2 d" M4 B**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）
9 K# \% Q7 P9 E& W8 K: c
猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
% V2 f& _2 x* a  V% u
+ J- r$ _, J3 v+ ?1 I当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
! o& V9 d7 Z: G0 _/ V
猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）

+ H  X- ?% o) P0 n# B假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。

* z9 G, y! n) I8 M6 H有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

**约瑟夫斯问题    都教授

9 _$ z: q4 t* i5 U0 Z. D我们来聊聊约瑟夫斯问题。
% ]4 K/ d# ]# m7 ?: O
3 b% X  u0 G( `2 K$ W有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。
) h$ X# m+ W6 ^  q
问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？
& C9 U& ?/ Y0 C4 Q& A& }
" w: ~7 z8 U6 I" z
---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  
. l$ H4 N( P) G) u
2 X$ i" e; [* Z4 v7 r9 j& w---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
' z0 y8 v4 u( ?( T: o这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
**约瑟夫斯问题    都教授

' j3 O2 b# G- k( x. A. z2 ?& ^# N/ E, o我们来聊聊约瑟夫斯问题。

) @# T' @! Y3 w1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
8 Z9 p# n8 C5 s4 A
' Y! q! m4 a4 u+ V/ x# H5 T9 D2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。
! c3 k: x& K# f9 \0 t- ]/ v2 r  W4 g
. I' J" O: y! E7 U推的方法如下：

n=1，就一号，跑不掉的
% ?2 P4 q" C0 Sn＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。

" O0 N! f& v. i
我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

* G  W$ b) o/ @/ D

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

; P' q5 j0 W& |8 {2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
/ m) b; u5 x' O- d2 o2 _2 A' t1 w
4 |1 a" _( z, |! y3 a在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。

4 e; F& U" m3 z+ }5 m2 L还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？

-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------

  @. u2 a& w7 _( L一个小心翼翼的Java例子：

! Y! A( o* q1 ^: c( v) R7 z int josephus(int n, int k) {
        return josephus(n, k, 1);
  }
  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
1 b- F1 N# \1 E- T      if(n == 1)
( o" O% i4 ?/ r0 U$ S          return 1;
- a, d* K; h; L# {& [; ?9 D      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
- L; T# A1 D9 o1 z' o
      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
      if (survivor < newSp) {
          return survivor;
      } else
          return survivor + 1;
  }

& L, y5 V! ^1 d2 b另外有个更简洁的例子
  def josephus(n, k):
    if n ==1:
* p7 @7 a& r  x4 ~* [6 s      return 1
    else:
" d: s- U# Q& x" s. g      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
3 `5 _3 ~9 K: E9 f
（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）

. O! d- r8 C2 w  Q9 M以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution


关于n的分析：
设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：
" u0 r: ^6 K0 f' B5 c
f(2n)=2f(n)-1
( c- @8 a) x4 t$ s! Y% _9 F如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：

! p0 |6 k  M2 V1 X6 |5 a" v/ L7 z0 Mf(2n+1)=2f(n)+1


如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：
8 C. [3 L; X1 x  E' z/ d6 A# u* p9 h
n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
4 T/ h/ H8 l- ]0 A/ X
从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
9 u# Y( W( P: U, G. _$ [) V
定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。
( a) {* c  {3 h- H. G

答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

/ s& o2 T! y1 {3 [5 e9 _* X1 l在 ...

8 H; `2 {' a% h* l: i我的推法就是这个：
! s7 Z' k( x1 N4 r3 |/ `* Q
  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
$ A- N- P, |' w- h4 k# M2 c' E
' f- c2 ^) u6 b我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。

2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
2 f* h" v) ^* R不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
3 W& I4 J, O7 J- `看不懂
不过今天不幸运数是17

7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
+ e( V- b" f. M  H. d
% q# |8 u  b; v& ?% f0 v4 `8 Q" }3 l1 f以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31

6 M# B" b5 U  D1 N& g9 m8 x13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。