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[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

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    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
    ; |- O& Z1 L/ |8 E# r5 o' G看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
    ) K& C, O# _% @: l- ]* K5 I
    ) Z# b( K/ B/ y他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
    - M- X$ a0 W* Z- J' B5 ^# e4 ~7 s* I& v* L, |
    所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。* ^5 K+ w7 z( m

    & `5 d$ U, f  C0 }In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.2 Q9 L8 j) }# u# Z% h/ |, W% V
    7 [/ Q( N- {% [- O
    幸运数的定义' T( a. t* P3 ?: [5 R5 }' D
    FORMULA       
      U$ }" @7 K  \  oStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
    . c* d. z$ b  o9 P8 _" x, ~; E4 z$ t- k; b8 e: N
    具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
    8 a. k* W' s+ U5 |8 p: e
    ; Q' F3 T: i" f- j! z初始,从1开始的自然数列:
    8 \- f" M  i. M$ i6 l1 KBegin with a list of integers starting with 1:
    . V8 f6 D8 f4 I, ~0 k* h- \1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……
    7 P  l, V0 o+ f5 c1 U4 g( N5 h5 X9 _" J1 J. Y
    开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
    * W4 `& w) U9 B: \% R剩下的数列如下:
    / p( h. a% z/ Z8 ]. @Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
    , C' r' q; p0 P& F9 H5 G1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……) z) g: m0 j, F8 a
    0 T% d! O) w0 R- L
    接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
    ! H" z  H& M! V0 r- JThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
    " I1 g/ b" }" }4 B& Z( T: b, S/ c1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
    ; V8 z0 K$ K4 ?3 t; z7 r0 @/ M8 I/ X$ e  x2 e" ~3 K# D
    现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
    / r) ?. h* J1 t$ {  [The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:9 F3 L7 H1 I+ r. Z  X. o
    1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……4 U) b8 I1 p% b( }
    - E0 f2 h( G% }) @0 o$ c8 G7 P
    接下来是9,……
    + {5 J) L* ]- @6 ]8 P这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。+ |) C) o$ P: Z, a9 y( q
      |5 k: M; v8 N4 U. G
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).) q* V* R7 l% n1 o
    在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
    / I+ Z5 b; m: c  N上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:; D6 `; }( ^) G7 t# K' ^9 ~
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……7 w" e* |0 o% \* B0 I7 E; O1 X3 `

    5 y* ?& I( J9 J- q) _6 \有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?; A- Q( Z6 X( _
    ) {: u+ ^: ^- ]: D3 X5 R
    + N7 d+ I1 f7 e3 {
    3 P# X8 ^8 s" J/ a$ T8 M
    第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
    # R+ b& o' k9 n  u- i, d+ Q9 i4 J' U: ^4 q& h' \' _  W
    数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。3 Q1 h  v; @+ ]3 d
    幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
    8 o: e# A& B/ o1 x" F另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。# I: X. b. K+ ~7 t0 M

    / {. B. }5 p! j3 E8 M( V( j% A: L暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
    0 {' W$ _/ ^0 G% H; n3 N+ {* y
    - c( o7 y* y: {; d: I**什么叫做Conjecture?2 i6 i5 T. X0 _; g8 ^
    **约瑟夫斯问题。

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)
    0 T+ K3 _: `6 V8 l  {* O1 K4 y; h$ b' X2 k
    猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
    ' C! a0 c; q- N+ L8 S1 K; H) s2 ^: @: D
    当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
    2 P+ c2 a. a- V8 K1 u: m, ^3 ^2 X
    " b) T- U) G( L" k+ v猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)5 c. e) @2 r& F) x) p4 [$ x

    9 d1 ]4 m! y4 L假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。: ~* w/ x) \8 N3 }
    , W7 ^: N3 `2 V& n; _: R+ L
    有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

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  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
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    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑
    + v* J; m. D' ^3 `& ?0 P7 {% N  V+ \4 A3 ^! k
    **约瑟夫斯问题    都教授
    ) D! B! \6 `. V% \7 l, z6 @8 Z& a- J" C
    2 [' A+ v- u# z/ \# a我们来聊聊约瑟夫斯问题。! B+ Y' u; G* M- O1 y
    8 y7 {3 t4 J# {8 \0 }
    有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。
    1 C0 U9 e" G2 b/ c& e& z8 d  C! U
    9 a/ h5 w0 L" L* g. t问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?
    # s- _5 B- G% U  d' h
      M$ u0 q. X+ C! `  Z
    ( }' O4 ^* \) e---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
    $ G: [# T& P7 j据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  8 T; ^8 K6 J) H1 O4 k

    : K* X' [. N" R$ T9 z8 @5 P& x3 k- j---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
    0 b2 B. C: j$ t$ _0 s- @/ g, K3 K这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。% s  F! c- s' g% X4 ?
    据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

    该用户从未签到

    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50 8 r  b+ {) x& ?, c& b8 P
    **约瑟夫斯问题    都教授 # B' w3 |# @1 T3 K8 U8 I9 d

    2 _3 `) Y6 }$ S; ^. b5 g# Z我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    % d" ?1 V; v" t) \% M& Q, j
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!9 H0 ~( z# i! O, W- U+ r  l) r7 Y

    ( e* p7 j5 V) q, `- \2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。) J( k( a+ m1 Y1 q# R
    ; p, w/ Q1 v+ H( [
    推的方法如下:. L( \. p, g' _

    3 Z+ ^. `! t2 I& q# t" Sn=1,就一号,跑不掉的! ^, Y" S9 P' ]3 y$ I$ x
    n=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2
    , n; r; k  O6 H& g8 T0 L* a如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。
    ! E' N& L. `) Y! S/ x7 Y0 W$ `7 I- Z8 I  G" b5 F$ Q" K# e  e

    ! @1 p2 x1 Q& u3 {3 V0 n0 v我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

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    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑
    / o6 k" U# t6 d( R9 ^
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
    * u* D2 P( D! ^2 f$ ]1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    , t" h; ~5 x1 m3 r0 [
    3 m& O" a* m; s/ c2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...

    " r9 D/ d' N9 b$ J9 L
    ( ^5 q' H+ B- p; x兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看4 H- l  l  Q3 g- H

    3 B+ r8 ]% b4 W1 p6 ~% q在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。7 }5 T: I5 h1 T' Z# I+ W- J
    ) a* z0 O- k; f7 k1 A# x
    还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?
    ! L% e8 j; ^5 O
    3 K# e3 g5 E1 x+ `-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------
    , ~# F" z$ p, K5 d0 e4 D! N, `* z; [( c! }8 u  e) L3 B1 j# q9 ~$ g
    一个小心翼翼的Java例子:
    8 N( y% r5 q4 x4 v5 k" Z
    / v* u9 Q7 f1 F4 a2 H5 S$ L int josephus(int n, int k) {
    : ]: C) [- E9 G) N2 [        return josephus(n, k, 1);
    ( l% [2 _4 d6 U7 [  }' C, z  s' m  w) L" t0 \4 P
      int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
    ( m5 r5 q9 Z$ i6 _$ X      if(n == 1). |8 F! ]4 r9 o1 q) d+ z
              return 1;* a1 w5 i- _, D8 ?+ y, t" b/ o
          int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
    , y9 a! v' ^; O' W# Y/ y ' y+ C* [! V9 }# |
          int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);+ s, t* e/ |# v3 B% d* u
          if (survivor < newSp) {
    6 e  z0 R4 C5 A: X          return survivor;  y3 x1 ?! v0 T+ d# x5 ~* y: O$ H
          } else# g4 f2 f- ^" c- N
              return survivor + 1;
    ; v& p4 U& \- r# Y, e# U  }
    ! I: ]5 }. S1 g- E7 Z: y+ j; {6 v9 {+ S( T
    另外有个更简洁的例子7 o8 g9 f$ g7 r
      def josephus(n, k):
    3 H. l. i5 s. \# C# z5 h    if n ==1:
    " v4 }3 g0 Z+ _4 y      return 1
    2 V0 y+ w  J! h! ?    else:
    2 R0 g7 d5 D3 S5 h      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+12 O: C+ B! d8 |$ c' ]. w
    + j' U3 R6 W5 N* i& i) l1 T
    (如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?)
    - N$ K. @) \  d+ x# U1 a: `; O0 M. X
    ( {9 Q& _+ t* }& Z# x以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution  P( w5 o* _$ s$ {( e
      O. m2 z' U) d7 o) b3 `& f& n

    $ r  q% H* [; d9 u关于n的分析:; k' Z0 c5 r, f
    设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。
    8 m( I; n7 g3 v+ S( H8 b  M& r如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:
    ! t; a' m. k5 L; ]7 x6 g( g( Z3 N1 t3 p) u
    f(2n)=2f(n)-1& |/ R/ L( H& Z
    如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:
    ) Z9 n" `; N3 d$ q+ D6 Y. o
    9 \1 \# p* i! X5 G( S5 Bf(2n+1)=2f(n)+1
    % f6 H0 e1 g# w9 t) C. g+ a5 s7 c
    % D/ {, H" G  s, G4 v! X) m+ S
    如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:/ i. Q9 O9 i8 h6 T( R
    2 \2 [. t4 s* |9 U3 Q
    n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
    * s  q4 E$ i4 l3 \f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1( I8 T1 y  V& M
    ! [" V7 K3 M* m( R0 v
    从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
    4 n- b8 q* f. K% Z6 T5 ]% F5 H, k( i' P6 E3 `# `/ K: `
    定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。1 N! W+ B; \/ f9 G

    / f0 c9 D: @; y8 R# j; S) m
    - }& u" ^1 J" A# a! q1 Q答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

    该用户从未签到

    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
    " A8 c" Q- O9 X( N兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    3 I. D1 g3 a, h: R3 i2 Z; U2 _% r+ _' c7 Y
    在 ...
    # @' K- g% H0 v2 A7 i
    我的推法就是这个:  H7 D. m* e0 y

    # o/ X2 T+ ]; u) J) y+ G- e  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1/ h5 u! P, u4 a* r' j& F/ }

    ( G) \5 w$ z1 F我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。0 }1 W( {5 \0 n: Z8 C+ U

    0 k( x- k& m+ z5 o& ~$ |2的情况我没单拿出来搞。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-5-10 00:00
  • 签到天数: 1237 天

    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
  • TA的每日心情
    慵懒
    前天 20:54
  • 签到天数: 2082 天

    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂* x1 Z7 a; ^7 K
    不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40 0 w8 H+ Z, {, A2 }
    看不懂1 V7 ]5 ~: |; Y& x2 i% k( N
    不过今天不幸运数是17

    : h7 W) b2 N* [+ k, g6 ]% _7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。; o) G1 F6 m) V) g) l$ N
    5 ]% z7 S8 a% Z7 R
    以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,31& h/ H8 h( E8 u' k

      [6 a; Z& |( J0 P* g13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

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