设为首页收藏本站

爱吱声

 找回密码
 注册
搜索
查看: 5129|回复: 9
打印 上一主题 下一主题

[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

[复制链接]
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    跳转到指定楼层
    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
    $ E  V( X7 p7 M  A3 S, p5 \4 K看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”0 ]6 q/ Z( u. i( h' n" _) |

    7 D  P* D% d, Y# A* A! a他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。$ D( @) }6 r' ?
    % R9 z9 Y2 Z/ m% y  o
    所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
    7 h7 I% H/ k% B
    7 _* G  y& S* y" y+ C/ UIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.7 O% I- C, D, g4 M  k
      M" y  j7 T$ G/ d1 E: r
    幸运数的定义" c9 O1 W5 L# N- V" }. b
    FORMULA       
    4 Y4 \" L2 M$ ]; D6 s& RStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
    2 ~7 Z+ e; A' H& F0 Y( K+ D: s' G) |1 Q7 k" M$ _5 d6 Z( k
    具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的): d* [' t8 R, ^$ ^
    - r1 c" z$ t( f( {6 i
    初始,从1开始的自然数列:
    2 r6 I/ i( ]3 V! WBegin with a list of integers starting with 1:
    4 ^5 O- M# e  |( \1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……) y5 x+ E6 [8 _( ^7 ?

    - ?) s6 o# c7 {+ j. C6 j开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
    + a6 e, Q( h" N+ S) Q3 ]2 P剩下的数列如下:. t; c5 o5 u6 D7 ]( c8 q( [
    Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:- T1 i$ k: h9 O! I3 J7 Z  {1 I( \" h
    1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……/ R; a* B: a- N& g
    $ |" |* E* I( S: F6 _
    接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:3 k# y# z/ ]" f
    The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:& m3 M7 M* g3 j) O1 v
    1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……( k0 H! b# m4 X6 \- w  O; p) K
    / J' x+ g% g# x; o% O5 E' `
    现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:' P8 c+ j, e$ k  I: A/ q2 ]
    The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:: z8 l3 S. g( ^1 b8 {  m! R5 m
    1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……5 O( {! q1 J8 Z; E# X
    ! o/ y- Q$ `! A* H
    接下来是9,……
    ' i/ q% d- s% L  h$ }: G& Z/ o$ @这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
    7 @) s" i' f1 k( q5 v
    9 a: i7 d* ~3 j3 _0 ]0 A$ e1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).' F& V# K/ R$ K5 ]4 f  P
    在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers, k) L  V& h, B+ A" U  y) X. A
    上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
    . g5 j. E0 _9 {# y$ q/ {1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
    ! N$ K7 @: c8 E* p  T4 O8 b
    ; s2 G1 ]6 m! C$ G6 v! B有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?  }& K: m  ]+ _9 t4 l$ u
    ( M1 {* t/ g) X/ ^) [

    $ p, Q4 C$ n$ l: M& H. b. R' y: {$ m" S0 e
    第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。- I2 p! p1 a% e% Y

    . A: c/ c# g2 }% k数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
    - T* e; a* b; I% i8 R, Y! @幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。/ o6 [6 v6 o& ?7 Z/ ?  N+ e
    另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。* ?. n7 V9 B  W) S# h

    , w" Q- Y1 N; A* i" t% v) E9 ?暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?! ]7 h9 V( U4 T
    ! i/ }% J/ D6 K2 |* }; O5 f
    **什么叫做Conjecture?
    " b6 N6 A! C. X8 \2 R**约瑟夫斯问题。

    评分

    参与人数 9爱元 +49 收起 理由
    韦红雪 + 8
    喜欢就捧捧场 + 6 涨姿势
    独角兽 + 4 涨姿势
    Pipilu + 2 涨姿势
    农民家的狗 + 4

    查看全部评分

  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)1 Y3 e* e2 A3 v9 i; f- A
    ' O! w+ ]/ p. F' s. _* e
    猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。, X- I& c9 S  Y/ o; X; `( m4 I( u

    2 Y: Z% y4 q) Z; t  P7 \) Q当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。# Z9 O! `5 ~$ U8 a

    6 g9 f( ^+ W: {0 _: ?8 p5 o猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)- V! j7 m( n4 k# j$ L2 D+ V2 y4 h

    0 N4 M9 Y0 H+ Y+ t+ i2 H9 W( j6 m假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。2 f8 x7 u& i- M% Z! Y4 b6 \
    * w- f* @+ Y' _/ v  I
    有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

    评分

    参与人数 1爱元 +4 收起 理由
    独角兽 + 4 涨姿势

    查看全部评分

  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
  • 签到天数: 128 天

    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑 4 v4 O( x0 [# F6 n( I

    $ w+ Z$ H9 f% z- v- y+ E( ~**约瑟夫斯问题    都教授 ( {% C' C: S7 e' Z6 C% E
    1 m$ I0 ~) N; p# U
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。4 T- m- f/ o# D) M# Q7 X

    0 p2 z6 R, a; M) Q$ u6 @有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。
    ' h( F' W0 T! K. M* y8 ~1 R7 V
    + M. d' ]5 G: Z$ [+ {" Q问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?
    ( a% K) N& _: F8 Z- k
      e) L/ A, E2 O' C5 q
    ) h. d* B4 `# ^; i---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
    + F4 O& d; `  K2 O0 ?1 e据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  ' J2 W9 L% E6 B" f; |$ P; h4 @7 I' x

    ( Q! |  O- x' H. F8 R---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------1 F2 C* b5 t' \& \0 H6 z2 V
    这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。
    * J, V4 R) X7 j* u据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

    该用户从未签到

    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50 6 |; C  ]1 f" n% Y4 s& _6 k7 z* f
    **约瑟夫斯问题    都教授
    2 u! Z: R9 R" ?  Y! h& R  ^2 S1 C6 t5 O! i7 o& q) }
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。

    ! {/ d! K( u! r% j: O7 v1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    0 E+ A* c. P+ T/ g. C
    2 A$ o; ?' x; M7 A) f2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。
    1 w* i: [$ k2 Z; B
    + X, g0 L) T% M' G1 S$ D! p推的方法如下:
    6 E% a; ?( z. `$ G- h. N. c% `( y" V8 {2 ]: @
    n=1,就一号,跑不掉的. `% I& ?; ?8 |
    n=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2 3 Q6 {8 [) |- ?! r6 F& Z  i$ p- y
    如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。' D+ L/ ?2 p; p4 v  l% h7 D% K) f- F

    ! `! v) @1 B: o( j
    4 z1 k1 G1 {. _* q; F4 s# c我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

    评分

    参与人数 1爱元 +6 收起 理由
    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

    查看全部评分

  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑
    : m8 c6 k, ^. t1 U
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
    / Z5 E- E7 b4 e& a$ C( A1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!- b8 Y, A7 o) N0 N7 P5 j

    - c* J+ L  G6 i6 C3 T2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...

    9 Y8 D5 I) i- H3 E8 R4 X( j, R9 H) d) s
    兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    9 _" y/ A+ h# u* ]
    , n% R$ Q0 o! V在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。) Z' Y0 x5 M9 C& \' G

    7 J' Q* B7 W1 B7 Q: ~1 U* v- o还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?, I7 ~# h' o# ?- Z/ T1 W, G+ M

    : R% U5 C9 _: b; \( f-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------( C; z1 @, C$ }" ^. W
    7 X5 I7 r1 E. L" {
    一个小心翼翼的Java例子:2 W; i& R1 F( ^; ~, u' H1 h4 {' V
    1 ^: p3 J) `+ |/ \, P
    int josephus(int n, int k) {
    * k0 H- [9 ]1 \' |2 A1 M4 S' a( u# l        return josephus(n, k, 1);; @/ I" d2 e/ Q% }
      }* j) S' ?7 n( j- e
      int josephus(int n, int k, int startingPoint) {; X) q/ A2 I  |) f7 A" E6 o
          if(n == 1)2 b' W' G# Q0 Y+ R. T. i0 k( ^
              return 1;) T% E, A  O( O1 u* R; H9 O
          int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;- q( C$ T% l9 I! D) l& B- }
      l+ C2 x- U1 Z& L8 R
          int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
    # d# h8 C  K0 y/ `% j3 h      if (survivor < newSp) {
    9 ?  C! C, ?  `  S7 i7 {& J3 d          return survivor;& X; n' G4 }* a& l
          } else
    / j3 z% F0 D. _* T          return survivor + 1;2 t, j) o, U8 N
      }
      r$ ], S# Q! j5 j1 z: X% E/ j1 A; j
    另外有个更简洁的例子
      {# q6 l0 K( m8 J# L* J# B; H  def josephus(n, k):$ w$ m0 b7 q9 t2 p
        if n ==1:) x; f! {- T) z* \) f
          return 1
    - w- P% a% W* ]* y- _- q    else:: |) k" A/ d; C" G7 T
          return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    ; a; k' _$ v% T! B+ A. K: ?3 \; c( P- x' y+ a
    (如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?)/ Z& g/ _: |) q1 w

    ( P: l* M5 F8 d/ p6 ?以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution
    * m4 F6 W. u4 o: G
    2 L. D! c: m! q
    ( U+ k  @+ ]1 ^% P关于n的分析:# |* L2 r5 G# d$ \3 S  v! b3 g
    设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。
    3 J9 _" \+ S3 A2 e4 v' o, @如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:
    ! K! A  j  Z; N) K0 f/ e; U4 d- O+ u( c" A
    f(2n)=2f(n)-1
    8 k, p7 s! ]+ S7 w" f+ f如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:4 D( O: {7 n  Z) Q: s& V; g- V
    ' a" i$ |9 R( g( ~
    f(2n+1)=2f(n)+1% V; q( k5 x% L' ?

    8 q0 b$ W& v9 f8 w
    * {+ u/ w( C& k# m0 {( n! o如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:
    : ?* ^2 P' F6 p3 v6 z" e0 i- s2 w  A1 T1 J& J. O
    n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
    ' ]- B' ^: ~$ X3 j& x1 p; }f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        17 s  b7 ~2 ~( N- R
    2 y8 V  u' a7 N1 D; D* t$ C* q
    从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。0 R2 t3 v( X( Z  E. f. E, d
    + c: o3 t. T9 p/ a; r0 ~2 z  q
    定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。
    ' ~9 G/ ]6 n1 d; ]0 b: C. [$ \: R' n9 Y4 p( O0 C- ]6 }

    ; G- ?( \, _9 X! u7 g$ N答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

    该用户从未签到

    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
    $ @3 _& O- _4 t4 \  ?兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    1 u- h, z6 v0 P* |
    + h" \9 ^3 ~- }, d9 p2 a+ Z在 ...
      h/ A% Y# k! Z1 D- _- a* q
    我的推法就是这个:
    & Z" J8 A/ m6 H3 ]. s8 {( O1 m3 _, D# F6 e8 E1 p0 ~9 D9 E: U3 z
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    * _6 D8 B* _& M/ C0 G9 x6 f  F$ o- x6 a% e& P: A) R& n
    我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。
    6 q$ \% P( Q/ Z% R
    + o  b% ?  \* p, d) C: c2的情况我没单拿出来搞。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-5-10 00:00
  • 签到天数: 1237 天

    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
  • TA的每日心情
    慵懒
    5 小时前
  • 签到天数: 2130 天

    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂1 [' D5 Q2 ]$ @3 B+ M- G8 a9 o
    不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
    6 ]  x8 b; u: s# d: T8 a看不懂/ J' Z0 t- w* B  t# D1 ]" a
    不过今天不幸运数是17

    8 r+ e+ }# Y" G: C% D7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。( K  W' i7 F0 \

      J  h. N& L8 Q. ]; T% W7 [& h以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,31
    $ B* W) s: |3 Z% V3 x: W+ m: s
      c4 t1 N* G, k8 k13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

    手机版|小黑屋|Archiver|网站错误报告|爱吱声   

    GMT+8, 2025-7-26 16:56 , Processed in 0.041101 second(s), 20 queries , Gzip On.

    Powered by Discuz! X3.2

    © 2001-2013 Comsenz Inc.

    快速回复 返回顶部 返回列表