TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼/ E4 {: m6 j8 H' ]& o
看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
4 F/ H& r+ V* h
0 y0 g8 e$ F( k$ j0 J% F, w8 G他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。3 B. F* F0 J K
( g& G5 q u) t& z5 Z% [ s所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。3 a0 m) x! }, Y4 D: V
1 _% B9 Q' H6 g! J5 |In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
( W$ l" |2 ^1 b E4 g: J
3 v' D: s8 X- {$ P6 ^1 z幸运数的定义
0 ~" w: V# e( |7 _* VFORMULA
2 s N$ J* i# e. \/ F, K& vStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
" D+ H" ^) ?' F0 I- T( y9 |; C! a# j- `& C( K' }9 w* a- P$ J0 w2 G
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
. v2 y8 O- X1 ^5 v, e$ M% D
, ?6 @/ N- a( g( Q9 E; l4 a初始,从1开始的自然数列:
. ^) \ Y+ s: d$ sBegin with a list of integers starting with 1:" W7 f. i: [$ B# o. ` P% x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……% b+ U' Y1 L* Z7 o/ J
- B# {0 H; c0 ?* ]& f, D开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~8 _3 z% Q0 a, @& j/ u" i
剩下的数列如下:1 \3 ?: g( k, K) k) ^ D/ _; A
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
& N# M1 O3 ^1 |" S( d* f0 Y8 U6 ?1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
T* _$ o: ~. X: b" }+ `( T! F' I! ?. k! c
接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:3 T; E8 u0 x) m, ~4 o. X4 K
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
4 C/ P) `$ p9 v3 Q1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……
% y" _" S* B; a% x- B
; p' c. _4 f+ D现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
% l; G' z3 t9 ?+ ~; a3 V2 |4 n3 B9 t' z. wThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
% t: ~' ]: e/ h, @1 j1 3 7 9 13 15 21 25 ……
5 w& g' k6 h" ^& n" F* Z( S( B2 o- E5 g, [( r/ u# P* T
接下来是9,……* n& @) l, U- M8 k' V+ c
这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
. g# P; q1 S, L' L* g T* w
5 o' b1 |3 e9 s1 ]- L# d1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
+ M) y+ l8 @6 ^在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers, W- ~& t1 q2 X+ L6 F" k- a
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:& G- t6 r7 O0 _
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
- r4 t8 m& d+ d4 d7 g. C3 }) l# _/ M9 P- k& w
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?+ H: ^, T/ c( d! ~
, r$ I! a0 E- W+ e3 u
5 I# M q; D. ~" o6 p5 E5 O+ H, T9 h5 n5 ?1 Y& \: w5 K" \2 V" E9 }
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
3 M- x, K2 p' J% ^; j. q; S4 \0 _+ y9 P8 L& R2 F
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
5 t. l; d# Y! x1 h6 w幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
: U4 x( s1 R0 \$ x1 M另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。+ C* R5 C2 J7 `1 N1 s. S- R3 l
' M1 J( ~) f# J, M6 f# n
暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?8 C6 p6 Y& v6 u
8 \; @8 l- L& a' F
**什么叫做Conjecture?
- o8 `. h9 F% T: q* R- I**约瑟夫斯问题。 |
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