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[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

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    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼1 Y- l0 \1 d, j/ u8 j, p) Q
    看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
    ; K3 ~6 C& W# U- w, P1 `" m6 N/ A0 P. g' Y# i0 p& H
    他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
    ; _- j) |! \5 }" ~$ m* G" Q1 U2 L' ]% j4 V* A7 x  {7 s
    所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。4 i& M1 Y- K! O. T# n0 d, P  ?

    # v7 [* b% j. ~$ e+ v' PIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.5 {1 P9 x' k1 g- j0 P7 n
    ) J8 ~& e$ g8 z3 r' ]1 |
    幸运数的定义
    3 s8 q( j. ^7 e% d5 gFORMULA       
    / f1 K6 e4 I5 {Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc." ^0 Z6 G9 l& }, L2 y
    $ d) }) m/ M+ L8 {0 o1 \
    具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)* v/ X( ~, \' q1 J. c
    ) ~9 U2 u. B5 h
    初始,从1开始的自然数列:' o8 A, X) H5 e+ D5 ]5 [
    Begin with a list of integers starting with 1:1 E# e$ `$ E- I# a: f
    1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……+ {; s% \& L4 D3 R. V4 \7 s# x
    % l# l! ~, N6 L; q4 u& f
    开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~3 E+ q5 u# z0 E: w
    剩下的数列如下:( S2 [  G/ b( \! B. T! K9 _" f
    Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:3 ?; g. q8 l0 h( v1 E3 r0 J) Z6 m
    1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
    ! @2 ~( `- k& e+ C9 T: Q0 i! d$ X$ [, z
    接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
    . l& ~. P& N4 x/ ]: x0 tThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:  e' Q! F* u+ I- C" F
    1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……2 {& ~+ f' ~: Q, d2 `
    " p. v, Q3 j" N  H( F5 ]! X) N
    现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:! q' f3 _8 b9 m) ]7 l( M
    The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:: C) ~' z7 u! a, {# ?
    1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……0 k; I% x9 N1 d9 f( E2 _

    8 g; f# t6 L* {, N( z. G接下来是9,……* z6 M: `4 s' ]$ V4 d( F* @
    这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。, Q8 c4 t' G8 Y6 X0 @; u

    " _, {( b- M3 `9 V) K5 [8 j! Q1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
    ! ?2 `/ {. B* v3 ~+ ?8 Q: l8 }! k0 Z在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers% M1 L/ B* U: R, [
    上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:; [$ [% M: l2 J
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……* ]: I2 e: l0 P" t; u$ ]$ F
    6 j3 y) O1 L, i  J
    有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?0 \8 t+ P4 V( M3 \
    2 W+ R/ g3 G: w" D; D6 f" T; m
    ( O# D/ ^: }  y2 H: l
    ' @0 o# {& K8 u
    第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。! j7 ]8 v" |% o0 M8 {  D, j+ C) F

    $ j: r9 i+ \. U% J) x  r, a; V" i数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
    # R- r, N/ @  c8 p. |幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
    ) W' R8 G5 T# Q9 O: U" W+ ^  ]2 H+ a+ d另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。# C8 b+ p2 a, r* \
    * a; J' v, X) `" S) X& G9 x
    暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
    1 L0 x/ F+ ?6 i2 y/ W
    # l# i$ q; R8 D& D" B**什么叫做Conjecture?9 @* e4 B8 R7 M! l1 x( ^# }0 u) }
    **约瑟夫斯问题。

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)
      y; K& X" P0 g" x! i% V$ {: o
    % W" [( r- g% a5 B* k猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
    6 |5 c+ _& p0 F4 c% C2 g8 [8 d
    2 A$ l& Z: Z% [当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
    1 J, @( R9 X8 G5 `  e3 y
    ! ?3 [& V1 v; D' V- l/ ^猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)' B9 k1 u0 ]5 G2 K( }: {& j; n$ N

      H; Y! w; ^$ i假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
    9 q$ u+ q1 h: J' n9 z) K! D/ n
    ' y8 M) u, e9 ]有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

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  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
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    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑
    7 E  h! n6 @0 A0 r4 H8 F- k* j, |: e  s& B" c7 ?$ B
    **约瑟夫斯问题    都教授
    7 z6 S9 \$ T) |
    6 e: l0 u9 j5 {+ G' {' ~: J' N! S8 {我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    + m* c4 x6 @$ z# Y+ [6 t8 w
    1 e8 ~, |1 j0 }% m7 X5 Y0 l有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。
    * o6 J" i7 K: {3 D) N& b+ Q; o6 o- F; t& G
    问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?
    & P2 P+ N% n  F4 G! I# K2 E  A
    ' d, l, B6 r. \) I* q# N9 k# [6 B! `! w, x8 v$ k7 N
    ---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------" ]2 J5 l; G. Y" c1 d( u/ \
    据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  
    , S" V* y2 }- b9 k: {# `
    7 G0 `9 t- ~( g) A+ h---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------- x8 X1 N* o! p' z1 Q
    这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。
    - }  t* _! N# F据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

    该用户从未签到

    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50 " d1 c+ L; l& ]9 z$ G- F# T5 n! U
    **约瑟夫斯问题    都教授
    4 o8 C) K6 B- l* K
    4 E. C9 G1 P$ P) i/ S8 d/ Q我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    0 \8 `) W' ^/ y- I
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    2 m2 G: t6 n8 r" n
    ! a3 s$ j) \# a2 P2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。; |2 A$ T/ Q/ N9 f6 M8 [/ A  d5 l
    7 j1 V/ D! x# R6 P
    推的方法如下:1 V) P/ D  M8 Y" e1 i% H' U5 \

    ! l% e2 s% n5 x3 Z) Bn=1,就一号,跑不掉的1 N  P% O8 k& H- f* |3 \
    n=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2
    9 Z4 j* o, e% i% q/ O* h) q, G  O! N! R如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。
    ; m4 z" O, y! ~8 Y+ M8 K5 T8 C6 G3 E+ A* t% ]* J: @3 v
    / S4 e+ ?+ G2 r: k
    我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

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    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑
    0 {1 l$ Q# {& e9 R$ p
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30 / y# U3 }" m1 R( ~4 y5 A) b7 W7 i' X
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!! s5 R: U0 G" T5 Q; j

    : b  M, X. o" V- j6 ^2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...
    1 H/ x% w- A! E4 F7 o0 b
    " [  l- @# z6 `9 n$ O3 L
    兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看4 i3 p+ E& Y- |1 l+ r/ D

    5 T, V/ ^6 r  I2 F# g1 o在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
    % p* R& w- s. d7 e) x
    7 O& l7 d: n) o" t* I2 N还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?5 X$ L6 W1 ]; }9 Q! n# E; L
    7 v3 o( c0 }* i" T. ^0 l8 F; `8 ]
    -----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------
    1 w# Z3 z9 e. p. }- v, X" \, d: h1 P1 Q. n; u4 Q' R
    一个小心翼翼的Java例子:, Q) U* m! P' C2 A7 y

    3 g9 N$ X$ t$ w9 z$ \ int josephus(int n, int k) {
    * ~& E# v# @' ^% H, `1 s. F        return josephus(n, k, 1);
    9 T* j& h6 f: A  }
    ' G. u/ n" i/ E$ Y+ k9 D: h  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
    1 O9 A' x0 h2 r1 o' \4 E      if(n == 1)4 v7 A" ~* m7 `* h/ X
              return 1;, ~+ e+ D# |9 ^; I, ?6 R
          int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
    8 Y: t$ t4 k6 R
    % p7 [5 P" Y% T; n5 d2 c+ c) ~      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);$ X: P% h- P) A
          if (survivor < newSp) {
    # L  a# C; p% {( L          return survivor;
    ( d9 k0 _: m7 x; L      } else4 L+ K3 R# G$ g2 j7 [  |
              return survivor + 1;
    - b/ c: t+ J" ]1 k7 J  }4 U2 C9 C' v7 k3 I$ H7 ]

    & e& o' X5 ^% K9 ]) b另外有个更简洁的例子
    : L6 ?/ Q! P+ H" C$ s+ L  def josephus(n, k):5 c0 J  J+ c/ R1 {5 g3 O/ u
        if n ==1:/ y  _3 u" f8 z3 @+ }
          return 1
    ( t! e9 n! }" B5 |" }" M    else:
      z6 v  e! v, ]      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1* B8 D( K: Z( ]3 u7 N6 K" p
    7 D4 V+ c2 t* {, k) c3 H
    (如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?)
    8 ]3 D1 [) t5 m8 X
    0 c% l8 w/ M3 Q/ q以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution2 b. L! r# z$ Z# ~

    $ [+ |5 u3 k. w2 n+ x, [+ f% E9 k
    0 v; C$ z- F; t" b关于n的分析:# J5 y6 K# S9 B& P
    设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。' p5 j7 z* b; N$ ~4 u$ G8 I6 A
    如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:
    - w2 F3 b# t+ S* E3 @: |1 [
    & E4 Z, f* L9 D+ m: Uf(2n)=2f(n)-16 x6 g9 ~# U2 x0 ^7 S) I8 @
    如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:
    1 W5 {; S% b  L0 e& v
    & K( x: M' F& x  D2 ^$ of(2n+1)=2f(n)+1
    ! a1 z/ p, V7 [$ R! W6 b; Y2 O; {5 T$ O

    7 B' s4 Q" V9 h: b& _# ~如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:) z8 G) `5 O5 M1 L9 R6 V
    1 e2 _  d4 M1 P( k% H
    n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
    8 s3 ]" \( ?5 p% m5 r/ b$ pf(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1; {6 a$ \6 k; M% {
    4 ^1 P1 L  N3 n' Y( ]/ u
    从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。& q9 I. h' w' K" F
    / a" v+ i& c2 R* w, Q
    定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。! v0 ]0 x, t0 B$ h  F
    * O1 t$ s0 I0 s% l0 N2 D
    / ]/ z5 N( e7 m  M
    答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

    该用户从未签到

    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
    ; G$ r! L& A% e  g, W* o兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看- x6 S. @  ~$ S% v
    ) A; L1 ]( q! C. X, c4 I' f* m
    在 ...

    * f9 i2 ?' U/ e3 w: U$ U; g3 }我的推法就是这个:' v: B5 q0 d8 ?, R, V

    ' `5 z* B! D0 C. v3 p  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1$ E. n1 R' e' E9 ]& Q; m
    ( }" B- o4 X# J
    我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。
    8 O1 e( F" a% r9 q5 a7 ~8 z: o7 p. n+ e6 d" V; O
    2的情况我没单拿出来搞。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-5-10 00:00
  • 签到天数: 1237 天

    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
  • TA的每日心情
    慵懒
    前天 08:21
  • 签到天数: 2025 天

    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂
    * a: k) @3 G7 I1 e& @不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
    6 }0 i% e7 S) G/ ~2 l( U看不懂# F- x0 K5 G% ^. a8 f8 b
    不过今天不幸运数是17
    ' I& M+ w  d0 [" }" g
    7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。1 [) o, u$ H9 a7 ?% a7 r

    8 Z9 `7 B+ h- V8 Z以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,31" o" ?0 w; B$ d  {6 D; S( |
    . [+ I, z0 _0 ?9 D, q
    13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

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