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[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

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    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼& C3 g7 g) `, ]- `
    看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”- H7 i7 m8 I8 l9 g2 f9 C- {% G

    1 |. U; G9 w- d! @, [他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。9 t2 Z$ ~/ \* b5 C. X3 B7 J
    & ?. w6 I. m, A: O( c! }
    所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
    ! f+ K* i! w7 X* c% ?8 A. Y& P* ]; S  O
    In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.) d( c+ r6 w2 P6 V/ g

    ' z; m9 T5 G. k; V, T3 L6 v幸运数的定义3 {3 s: N/ K* [+ }. D4 o
    FORMULA       
    : E" r! G8 ^) iStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.$ s0 w1 ?9 p2 o
    * }# y( e7 Y# `+ A0 \
    具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)+ a- }, x3 n  O
    / C! v2 S) E* R. ]' c
    初始,从1开始的自然数列:
    ! Y- w- Y% g+ b/ I, u/ O( EBegin with a list of integers starting with 1:
    ! }8 \: K# C, M5 K' Y3 m1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……
    ) A! ]% h# M. q8 k" Q% k, P1 c) J+ i3 {  I( [6 c
    开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~) u* p  T8 V; k- A' `0 F
    剩下的数列如下:
    1 c& K- t' i: eEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:) D% X  `2 k! g7 C6 D7 s
    1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……  `5 O5 i; V1 }: [8 }7 i8 s3 e
    8 k" z' s# p7 G$ G' e* `8 E/ g$ [
    接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
    * o7 l. B: F3 @$ ^/ aThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
    7 E$ y/ P5 {$ p( u  F" |1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
    5 J( u& k6 R- C# U* P: S6 m: g% h7 `9 N
    现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:7 ?" G6 _/ [5 y
    The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
    6 h% F& Z2 I# z" t/ h3 |5 l1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……
    " x+ M8 o* C( t' H! `- W% B( I1 z/ q$ I3 R
    接下来是9,……
    $ ]9 ]8 N+ }5 U' h+ p这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。) l3 @: s+ V* v* ^0 u$ S7 x
    ) f. a8 [% S! K- p
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).- j5 \$ W" S% D3 R8 i
    在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers! N  f2 ?5 h1 k. b, y
    上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:1 V) t5 u2 R2 c1 l1 z  J
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……2 y5 ~9 Y/ \5 s4 k9 w
      H1 Z+ c9 G4 D7 o* }' o
    有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?* W5 A- P( _  d5 E3 W- `) Z

    + B8 [. d( T+ B) \, F8 X1 k& n2 w8 ?& b' e
    / j  \4 M& w0 Z& d- l
    第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。5 y9 a$ j4 A- y3 l) T  D$ Z

    ( w! P$ l" V5 s1 B& h数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
    : q( h# N$ z) Y8 {% _) f幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
    5 L- A5 p& [/ E: b% d另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
      R& Y% b) T0 a; o1 U# R6 b
    3 P2 x5 o( J$ z0 Q2 u暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
    1 t+ }- u1 I% r' y$ D" @. G% S1 c  r, I" I1 \; m
    **什么叫做Conjecture?8 a9 p4 @. Q) Q  Q2 {3 Y" m* P
    **约瑟夫斯问题。

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis): q( y( K9 y% F+ u: O, x6 E0 M

    + s! j* ]3 H) y; t  `猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
    , ~7 e% k  p+ M2 R0 s" ?5 N. G
    3 s0 \. f7 f, ?当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
    ; m& w. l: g8 @3 }0 X& Z( Y* K  J! M) z' Y2 J
    猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)6 c+ }) C. l$ L6 Q- r. N4 L
    9 i* N! T: |+ X5 X! O9 s6 V
    假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
    ; p4 D4 O: s, i7 _- o5 ?' {' B7 X
    有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

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  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
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    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑 ! D' q6 S7 T7 p! J$ h: I

    8 c+ u9 g3 {* |3 W**约瑟夫斯问题    都教授
    5 R0 u' j' F9 U! [
    # ?6 x/ Z- ]: T  t; c. B我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    + V7 R! c) Y; H- A4 |+ B9 h( ?# t/ E6 K  @- ?
    有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。9 z  A$ l+ U) l; M

    9 E0 B3 E0 V( g! ^3 ]' _  h/ a1 o问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?( V3 G0 O8 s# \, j. l5 w2 n; P1 D

    & S$ M3 A  |9 f* L* T9 h( P6 ?. x+ `: U2 N5 U
    ---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------7 [6 b. b9 q( H7 t. T2 j% c( W1 D
    据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  " D( U3 V7 }- v! h4 `: m

    * f2 M9 `7 y  M---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
    ) n8 ], C6 {7 n+ |, a2 ]; `这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。
    / J+ Q1 ?; b# H, u0 l据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

    该用户从未签到

    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
    4 o) k) e, \, {: H**约瑟夫斯问题    都教授 ' t) q8 l1 W$ D1 p
    / M# J6 y: C8 ]) E" a; \
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。

    . ]6 a8 b* ~/ N- j% f0 }) O! J* Z- q& d0 f1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    ) m6 [* O+ E  z% u% r+ U! k6 Y0 C# }* m
    2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。
    8 y' Y* T# [3 g$ I5 Y9 P& i  w+ S( d  v7 T4 ?
    推的方法如下:
    ; e% d5 d6 Y# H4 `, }/ @; E, U( V" p$ |- p
    n=1,就一号,跑不掉的# q4 Z& @/ W. }% U7 |
    n=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2
    $ e7 ~4 T- r4 F6 ], J3 p1 x" M如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。
    5 w$ X% ]9 p) {- V) e/ y9 g) P) O" t  \) P
    2 k# ^2 d' [' p; a9 O0 P0 r. q
    我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

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    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑 + l. I4 E2 _& ?) [
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30 + \% a, u$ b; L# H
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    , T9 a: b4 X$ u
      A  X. l6 s6 S" W4 R3 [+ U8 }8 C2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...

    6 _( g$ g& m6 {5 \* q1 y1 v# p8 Z* O/ \3 G3 t/ J
    兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看4 ?" _/ C* n: D8 S

    7 O) f3 C% _+ z8 l* k3 T) N在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。* |$ w+ s/ D0 L. N0 `3 N* _5 |

    : J6 D5 o6 s: J! F2 B1 r, ^还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?8 l4 [6 o8 }: I0 S: F
    5 I2 T4 L+ O# D# K" }7 g
    -----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------
    # w0 C2 j/ M; z/ W& ]5 T" A1 m, q6 }6 M) x; |4 z
    一个小心翼翼的Java例子:4 |/ @: H9 G) P+ r6 q

    / ~: |, c  f1 `% G/ l int josephus(int n, int k) {& t, [3 M' i# I- g6 O
            return josephus(n, k, 1);
    ' f# j7 U% p% Q  }
    - b# ~9 T% H" I  d% e0 l8 e  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {$ Z+ a; x5 `& x/ m  g0 `  e
          if(n == 1)2 V1 |  B* G" F9 Y4 x) U
              return 1;
    0 g- B; x) d  K      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;! [  \( R, o: D5 P! ^$ X! D7 d

    + Z+ z% q: ^. o% H      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);+ ]* [- E  j: ]9 k' b& R
          if (survivor < newSp) {5 k% e$ C/ ?5 H& N- U% f5 v) U3 g
              return survivor;
    : e3 a6 N, L' E* M1 A8 t% }( S      } else* C$ O* e: E: ]
              return survivor + 1;" L) P" `! \' O0 f  Y" {! S3 H/ F
      }- r# G& O/ Y) Z5 S
    ! H' Y( e; p: \5 j/ |
    另外有个更简洁的例子( [' l/ ]$ t; l8 l
      def josephus(n, k):
    * ]1 b' j% o1 Z& Y, H0 c+ T" }: J    if n ==1:0 h. `4 M7 m4 F. ?
          return 1
    ; \4 L6 I2 C6 J% r- Y9 q* q5 F    else:
    . W# o5 ]2 V% ?) g9 `7 J      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    7 i5 @" r! G: U% y2 V/ _, t5 X8 [  r. n0 T! ?7 [
    (如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?)
    ! \( n5 [* @' `* V1 X# a
    - \6 _. R/ }- V0 E/ C9 T$ ~1 g& [以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution
    9 o3 z8 F" k$ }) s* K, h/ g& P# r$ Q2 e; D6 f1 C

    " {  B; L: u& m/ K: T关于n的分析:# \+ n# ]9 w% @/ o/ Z2 V2 K* O
    设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。
    " r: b% B, W% K4 R, {如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:  J2 D/ h2 w" ]2 n+ ^2 y0 _7 k
    * \, U  _( s4 t: x# @7 i- i
    f(2n)=2f(n)-1! f2 u3 T$ n9 h& B: W' C% O
    如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:
    * J3 Y3 C' k/ Q( i& {: R
    ) N$ T( S. l% y' o! Cf(2n+1)=2f(n)+1" |* u  |3 \: Y/ j9 Y/ j, E* H
    . e% B4 y8 q" y' g9 Q

    8 S* ?: W, r% v( u* X如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:( g6 O0 e- B7 V% D
    & A5 m; Q" R3 t6 }. u% }. k
    n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    164 V( ^1 Y# G3 t, t
    f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        17 }0 t# k/ N- F0 g! Z' k
    & Z, \- n6 ]2 C% k% M) L
    从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
    / W% A* u6 @+ c4 y2 c2 I$ k- E+ F
    2 o& |2 {* I, z( q定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。% `# z. r* m! |; ^2 k

      A$ G" o+ w6 I
    : l1 ~0 P0 f" P3 H6 U% h答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

    该用户从未签到

    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
    ' Q7 ]  n# J: v: s# k- j兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看9 ]3 d% N' J; k9 A5 U

    7 L: |" P: U; P, _# Y' r; @在 ...
    $ O1 A0 O9 V2 _" p; ]! E- x
    我的推法就是这个:1 }/ T$ o5 I+ _
    . R, ]" n: s1 F, i( u
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    / s1 W/ b- n6 L  @) \% _% p  G, ?" W2 S4 D- h% E5 @
    我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。6 i& S; ^8 S. |2 ^+ I4 i9 h

    5 |1 x" ?  ^2 {, Q! o9 _+ R+ M2的情况我没单拿出来搞。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-5-10 00:00
  • 签到天数: 1237 天

    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
  • TA的每日心情
    慵懒
    8 小时前
  • 签到天数: 2119 天

    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂
    5 C4 T4 H' l4 I( g$ B4 l- t不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40 + r1 D, A6 a# ]) K. v; S
    看不懂
    : ]# y- ~: O: S& p不过今天不幸运数是17

    ) I2 n8 b7 J+ p$ B7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
    * J$ Q: t/ Y! _- l3 j( s0 ?+ _) i, z  L' ^+ D' [
    以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,31
    , o! ]/ T& W/ ~5 {/ _9 T* T. c, c8 `) w8 P
    13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

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