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[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    跳转到指定楼层
    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
    ( U2 W! E' r( b0 T* M; ]: R) v2 i看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
    8 T0 q* A1 ?* [5 t& E  n- k1 g3 W
    + K. i1 z* v& b( S: Y0 s* x他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
    , l. `- |/ Y  N; N: o4 n
    # g1 }, X/ V! s: Y7 h- k# c所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
    + q6 y( t: }# D- K. Y0 o
    ' N. G. C- s$ \  T- tIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
    $ `; l% ~% ~9 A
    ( m" }0 i& i. a- }; u8 z# ]" b幸运数的定义
    , m9 B- s0 u; [6 T3 O4 e* ~/ OFORMULA        6 W9 i) J, m  c+ U7 o- m3 L  I
    Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.% B' w# k! n* [6 |

    . B( u# r0 e2 s8 W具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)) |0 [# E" t8 l1 T) F0 S; S5 @
    . w5 Q/ K! q9 W0 y) E% K( V! m
    初始,从1开始的自然数列:
    ( h' F$ R) R8 L$ z) F' `- G5 ?Begin with a list of integers starting with 1:
    1 F, W( q' J' @- p# {6 u" S+ ^, M  ~1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……5 _+ H! \7 l% \, \& F+ w
    . ?* V4 l: d+ M
    开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
    * q7 r% s, f! {! t0 K; m% K; j7 _剩下的数列如下:7 J1 E- T; ?/ `; R- S! s1 \, A( j
    Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:4 L" Y3 l" K& {" J# W' D$ I
    1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……7 z9 u6 D: s: R' `

    8 Q1 N& a' s' w+ s& B; i接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
    $ D( N- q/ q& r/ z6 F6 hThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
    - W1 F6 r, X$ X1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
    * l  m" a( u+ M" l) c2 m$ q2 V* z' S. c6 r# Q0 w7 d5 ?7 r- m
    现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:) B" y. |/ |, P
    The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:! [0 Q8 z6 E" R+ C
    1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……" i+ P1 n* b. L& a! D& Y8 M/ J' }

    2 G& W+ L( b# g7 L接下来是9,……
    # i1 @# u/ e, M& p  P' U% I这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
    9 U! o1 L/ g3 @2 _& b& a! ]2 u1 u! h" v* E" i! l
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).' H4 K0 c  s2 w  Y' x0 L6 K
    在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
    4 ~6 G' W' N% ]  |% G上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:$ w* T2 y/ v1 Q* N1 L, _+ a
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……5 h+ ^$ z; O* k7 G* h' R

    $ C! o* a! {; p' g有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?- \" B+ x+ m) [" v2 r4 ?

    / ^% W7 I6 M1 c- n! k
    + }, g# K2 ^+ R4 n8 N+ s
    + d5 ^. Z; p# l) R4 @第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
    7 z/ ^& R7 ]5 N2 D3 L
    ! m5 b( b3 ~" ]4 P7 ~& Y: c* y; @. F数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
    ( v7 N6 L, n6 h- A% E. w! O$ t  g幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。8 Y0 P$ i; h2 ?+ g/ Q' r
    另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。; f6 `3 u. z- E3 Y, h$ K, c
    ! z# b6 n7 e. }, l0 I
    暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?6 ?: O2 q6 z* S- M% q' _& @* L

    ) k8 Y9 [6 X/ `" B**什么叫做Conjecture?6 C5 Z3 W& L, |  G$ G% }7 k
    **约瑟夫斯问题。

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)
    ; |- t* K1 o4 I" x- S3 Z) n* r4 X" o  r/ X5 P! f! M/ I4 L
    猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。' T0 o2 ]8 ?. W# k3 t& e  Q; t  W! c! e
    , N9 }4 B/ _- L/ z% B
    当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。# K/ R  D+ P9 ^4 p( d
    ' `  B7 \/ J* i! N& q0 a
    猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)
    % e6 I# U2 L" m9 `, K" O' y( V' x7 g1 l
    假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。( Z: A+ O$ u( S1 t' n

    # X, W* ?- t) a  p9 @有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

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  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
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    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑
    & @( I9 r- j8 }: z
    5 a# R+ x& ~1 N+ H9 h& s6 D9 s: J**约瑟夫斯问题    都教授
    7 u8 ?' A' t" V' ]  s" A$ T; A6 s/ n# d7 E
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    0 K! ~9 {1 ?  C
    9 x( p9 F) a* Z5 y有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。' j0 b) e7 f0 g1 K' z

    ; Y! N, n& w( L* c3 w0 L问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?
    - y$ n* M7 b9 ]" T- H# Q9 l" ]! X8 H7 {: ], n. B

    0 h/ F; j: y" W3 Y! V- P- r---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------0 H2 X  n% ~' P% X6 z' P! N
    据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  
    6 i0 i: H- P4 T7 m0 S  y2 r
    9 X% Y+ z1 o& t( ?---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
    " s: B1 V# P/ A$ D# `) E! x这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。
    * Y* {" }- a4 Z5 k6 z' ~9 F据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

    该用户从未签到

    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50 ! ~) E4 |  Z* G, F. L$ p
    **约瑟夫斯问题    都教授 4 ]: a# |2 b8 a' O  P4 m

    # a* {5 a: _) o1 Z, H! e; }2 q我们来聊聊约瑟夫斯问题。

    0 R% f: B* Y5 [0 p/ L% ~' C1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!# @8 C9 @% r' A! f% s* S

    ' g& l* L2 u  C& e* |  Q+ R2 |2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。& k9 g& R1 v- x1 M0 y

    ; E9 m, c! e3 o+ ]1 n推的方法如下:: |' Z2 T5 B$ _
    % a- u1 e* e& T$ B6 o
    n=1,就一号,跑不掉的1 l6 H3 M9 B" M
    n=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2
    ( A/ q) Z& G8 }如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。
    3 g$ S$ m: ]" d3 Q1 F' v9 o; J8 K2 d" {: R8 i' H
    6 |1 l9 f, L8 {6 [
    我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

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    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑 : n9 I; _, d9 v9 z
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
    . K0 Z; j" {* I7 J# g7 G8 S$ V5 {1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    1 N& O) S5 K6 {0 e% \5 E3 q3 H6 A& G& t1 T
    2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...

    " u- ^$ E7 Z% |# k9 a' h# l7 e  y& C+ N
    兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    ( H5 u6 r; L/ T. D. a
    7 X; T. f- L$ G- Z$ G在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
    ' e1 J$ `6 ^9 S9 j( ]! V7 B. T
    ! Q1 a+ C# d; I! V2 P/ w# L2 Z* m还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?. ]4 o$ h. p0 A4 X3 e- v$ P% X6 m$ Z

    & F6 p2 G. U( L. D4 E4 K-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------" d( Q% `# f6 a2 }& T

    * H9 Q, O2 }3 s) U; m& }5 {一个小心翼翼的Java例子:' V( a! b# Z; f: L/ ?2 B7 H
    , W; E3 Y0 h7 D6 h- X
    int josephus(int n, int k) {
    - n( s5 p$ ]3 [4 [1 |0 b5 q        return josephus(n, k, 1);! P" \8 h, ]- w) T6 ]& `
      }5 t4 t) ^% g2 z$ }3 a5 g, A5 Y
      int josephus(int n, int k, int startingPoint) {2 ]9 d! S) D9 V
          if(n == 1)
    1 w+ h9 S) }8 h          return 1;
    8 t7 q0 b5 P) I      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
    4 A  E2 p3 Q2 P+ i3 z9 L 2 z. W% v; K3 m2 \7 K
          int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
    ; c" J: a, Z. a; g; N1 m      if (survivor < newSp) {" n+ G3 i5 V( y) q
              return survivor;' S9 _: ^- z8 n- X& \* j
          } else' a( K* `3 v! k$ x. `1 N! h
              return survivor + 1;
    ! P/ j# n' f1 i4 r  }: U: q  p% d! w  X' e! u3 k
    8 S9 g5 F! n" I" z6 m
    另外有个更简洁的例子
    2 i8 h1 |& l5 {6 M  def josephus(n, k):
    ; Y9 m; y8 B) K' d    if n ==1:! W4 E2 U: B& q. d! H+ t  U* H. P
          return 1
    & ]  D% d% \5 a5 P' P. `# ]" [    else:
    ' ?2 ^3 g. V8 [8 R$ L6 N% v      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+11 {) a9 c( X8 h" M" ?) i. y- K8 c

    6 I7 e  o. V  Z  r5 D3 s* W4 a(如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?)
    ) n, f0 Y) L4 I8 B$ g
    - Q* Y5 Z, Z' }9 p$ Y% n5 i以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution
    + I3 o$ ]8 W( v
    : @1 Y% d9 e1 d0 ]9 L; x5 g7 V% w. @2 x4 m) Z9 K* E
    关于n的分析:; u& t7 w9 F$ A; S' B
    设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。, |1 l) [4 \: M3 M# g3 R" [( `
    如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:
    ! x* S- |- [4 O! r( d4 j
    6 t# `2 K- S+ n% N1 C% _f(2n)=2f(n)-11 E4 X( I% p: ~2 {3 y$ }9 f
    如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:
    . ]* m8 P; g: l" |$ C. m' s% E! E- F1 b- |/ V* S4 J6 j
    f(2n+1)=2f(n)+1
    ; F( t) Y# w& G# M( i2 E2 j( y. H2 a7 `

    " l1 g( ]4 t5 J# J, K* K如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:+ C6 W+ J/ w  [8 r# u7 s2 z

    6 }% Z+ O/ G: a( x* Xn    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16# h) u* L: ]$ S( \7 M' T) ?! U0 b
    f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
    ' _# {" }( F. o/ M4 g" {& x, b& U+ K* g4 w5 s
    从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。8 F/ |# w% i3 o5 g- ]( C, }3 F" m
    3 y0 V3 m6 ~. {! J5 N
    定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。
    2 z6 S+ l* @: m" P% A" b  i0 t+ J
    8 j$ a* c6 D0 _  V2 \
    答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

    该用户从未签到

    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02 ) K" C: z& D4 ~% C- `
    兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    0 y9 Q2 n9 }- m3 m
    # e  ^% I0 d* Z& b6 a! G( O8 D) A% k在 ...

    0 N3 [  G0 L- O3 E1 M0 w我的推法就是这个:
    & V  m7 P7 w2 Y/ o# i# s5 K' y2 Q2 L7 c( Q0 W7 ?: B
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1" W& w8 u9 c6 [) P. [0 v+ V5 k7 t

    $ F) Z9 ~4 q  X我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。
    1 ^' ?. d+ x  w8 |7 r  z/ B$ y. }, o5 f# I2 j
    2的情况我没单拿出来搞。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-5-10 00:00
  • 签到天数: 1237 天

    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
  • TA的每日心情
    慵懒
    昨天 21:09
  • 签到天数: 2058 天

    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂# d' S  j  u8 X" [- r% }
    不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40 6 H3 _8 @/ H, J. ^
    看不懂
    2 s8 |7 ]" N$ T& x* M! T不过今天不幸运数是17

    ' u3 c/ h! q5 j9 a4 O0 ^' z7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
    & I2 g$ X! K  S; r( M' s
    0 G# S- p& d% Z2 {; ]! q# o以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,31
    2 Q' i. v$ Z/ {2 b" p1 n' U6 P/ u# _" h9 q
    13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

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