TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
; |- O& Z1 L/ |8 E# r5 o' G看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
) K& C, O# _% @: l- ]* K5 I
) Z# b( K/ B/ y他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
- M- X$ a0 W* Z- J' B5 ^# e4 ~7 s* I& v* L, |
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。* ^5 K+ w7 z( m
& `5 d$ U, f C0 }In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.2 Q9 L8 j) }# u# Z% h/ |, W% V
7 [/ Q( N- {% [- O
幸运数的定义' T( a. t* P3 ?: [5 R5 }' D
FORMULA
U$ }" @7 K \ oStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
. c* d. z$ b o9 P8 _" x, ~; E4 z$ t- k; b8 e: N
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
8 a. k* W' s+ U5 |8 p: e
; Q' F3 T: i" f- j! z初始,从1开始的自然数列:
8 \- f" M i. M$ i6 l1 KBegin with a list of integers starting with 1:
. V8 f6 D8 f4 I, ~0 k* h- \1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……
7 P l, V0 o+ f5 c1 U4 g( N5 h5 X9 _" J1 J. Y
开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
* W4 `& w) U9 B: \% R剩下的数列如下:
/ p( h. a% z/ Z8 ]. @Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
, C' r' q; p0 P& F9 H5 G1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……) z) g: m0 j, F8 a
0 T% d! O) w0 R- L
接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
! H" z H& M! V0 r- JThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
" I1 g/ b" }" }4 B& Z( T: b, S/ c1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……
; V8 z0 K$ K4 ?3 t; z7 r0 @/ M8 I/ X$ e x2 e" ~3 K# D
现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
/ r) ?. h* J1 t$ { [The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:9 F3 L7 H1 I+ r. Z X. o
1 3 7 9 13 15 21 25 ……4 U) b8 I1 p% b( }
- E0 f2 h( G% }) @0 o$ c8 G7 P
接下来是9,……
+ {5 J) L* ]- @6 ]8 P这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。+ |) C) o$ P: Z, a9 y( q
|5 k: M; v8 N4 U. G
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).) q* V* R7 l% n1 o
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
/ I+ Z5 b; m: c N上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:; D6 `; }( ^) G7 t# K' ^9 ~
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……7 w" e* |0 o% \* B0 I7 E; O1 X3 `
5 y* ?& I( J9 J- q) _6 \有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?; A- Q( Z6 X( _
) {: u+ ^: ^- ]: D3 X5 R
+ N7 d+ I1 f7 e3 {
3 P# X8 ^8 s" J/ a$ T8 M
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
# R+ b& o' k9 n u- i, d+ Q9 i4 J' U: ^4 q& h' \' _ W
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。3 Q1 h v; @+ ]3 d
幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
8 o: e# A& B/ o1 x" F另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。# I: X. b. K+ ~7 t0 M
/ {. B. }5 p! j3 E8 M( V( j% A: L暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
0 {' W$ _/ ^0 G% H; n3 N+ {* y
- c( o7 y* y: {; d: I**什么叫做Conjecture?2 i6 i5 T. X0 _; g8 ^
**约瑟夫斯问题。 |
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