TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
. k# x5 |; R v' u% E# l% ~1 J看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”' ^/ U- H- \$ T0 f' L. u
) k7 e% z6 P3 w# j
他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。5 K8 k, D8 O) R9 ~7 w
* M* D5 O% p4 u( Z; X
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
, _9 O. Q' G/ T5 G. Z. A, L3 m u5 x |" Q* ^
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.7 V1 c z$ L! D) m' P9 ^
1 W {$ T3 t1 x1 U8 G
幸运数的定义: Y! H ^- b8 N. U$ }- h0 B
FORMULA
4 Y$ R2 w$ O T: XStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
/ d [* R& c1 _ T7 e7 b- s$ U; U6 q1 Z* G
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
8 M0 _' P2 W3 e6 Y4 L
4 h! K! ~0 S' Y h8 G初始,从1开始的自然数列:
3 f+ S- C6 }9 ~! ~+ }/ dBegin with a list of integers starting with 1:/ D, e! |3 {$ g+ |, m% _: }
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……
$ W* ^: q; D* x% O& J+ B) f/ c
开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~2 X% P3 d8 Q$ L/ E, V
剩下的数列如下:; K$ n- i0 b! A; F/ \3 O: U) }' ^
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
0 g, R3 R/ u- _- I1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
+ z0 z& y* H: t' f- Z
6 l. @! X) Q6 b+ F接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
. T* d7 A9 \% i5 s1 L# R2 K) BThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:7 j& E# Z8 N& R: l4 Q
1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……/ i1 s% v* M# W/ w$ K
O- h0 X) e1 ]$ o! Y现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:" M# B1 X7 j" p1 t
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated: x& {% W: ^ a! y2 N: U
1 3 7 9 13 15 21 25 ……
8 k5 h$ U E8 J% W! s6 Q# P5 i1 ?7 D5 E7 B; P8 O8 G
接下来是9,……) ]' _! [) W* E8 ~" x( H
这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
* _1 B7 K: |, v; |- @' ]
# Z7 p7 W- R( h" v1 ]1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).+ W' V% U( }6 i0 k
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers9 I+ e9 Z+ K. i3 E% O7 j4 B5 h" M l
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:) `3 R: U/ g' _3 S: J: E3 o% z
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 …… ]; k. m/ Z9 J, M5 h3 i. c" Z
/ _$ h) [7 s* e
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?7 s+ z% k8 n9 H4 B4 r+ A8 ?
D$ {" x3 y! E" T5 ~) s/ n
& G' T4 C$ H) K
# G! j$ M7 T0 C4 V) [2 B第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
5 [* j, \. S/ [* y! w5 @) K) e$ A6 Y) @
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
( f$ o9 G* S! f幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
4 i0 A8 R$ Q" u1 P5 Z7 w另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
7 t8 i4 P8 |& |8 k: g" A, q! t* Y- P
暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
1 @; B5 j0 D: m" k2 E+ y- B0 | f
**什么叫做Conjecture?
0 i; a0 i9 ^( |" y1 i6 d**约瑟夫斯问题。 |
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