TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼8 n5 ]: y* @) U# j% l
看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”& |, G$ `( B( A+ D. \1 j
6 I3 S' ~" U' j5 Q$ v5 K K7 ?他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
r8 @& u+ l0 k3 `/ @) t( b; w# Z3 i
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。4 P j! I1 [) d4 T& y0 F
* H+ ]7 X' h& z9 E
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
2 K4 V5 F; C- i4 L5 W1 `0 |6 S8 Z
幸运数的定义
2 Z3 X2 _* I5 o% C5 W( @( P5 C8 z7 DFORMULA
( D3 X* N Y9 c5 l* ~$ W: l- u$ jStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc./ v5 D) d* `" W8 t* q* [
9 e& C2 e7 I" R
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的): b* ?& w6 ?- y$ C8 c" r
) ^: Y8 n5 q3 s' f
初始,从1开始的自然数列:+ j9 b+ c% G3 o* E1 u: `3 t* t
Begin with a list of integers starting with 1:/ C; }$ N0 h& x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……
" D# P1 z. t5 q9 q, r
4 x. O# n9 J0 g, _! @2 ]开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
4 Q) k. O0 Y% r/ F剩下的数列如下:
: k% ~- m* T0 N; G6 B& q, gEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
: ^9 D5 K1 B$ ]% k* @1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……' s4 g7 g) v2 o% m
6 s% \$ R% J" I$ \' ~( r接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
* h0 w* p X) ^, S, x tThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:) x' t1 `1 g k
1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……
: }; _0 ^$ N: l! u; D8 D
4 O- T1 |7 F( A( G8 t现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
* _1 u* f# V4 ]4 q/ c. [6 qThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:( P: | Q X+ Q# s
1 3 7 9 13 15 21 25 ……
; O& ]5 S! E4 v, P% f& f& G
* `5 ?$ { f& ?3 j7 D' ^接下来是9,……
% [, E' r3 q5 F* O: m6 d0 {这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。2 j! M3 V& z" y) Q6 y8 g7 n& M9 D Y
) o0 N# v6 b- b. n1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
0 k6 H1 `6 Q% o' H: E/ }# w2 R9 ^在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
* d/ `2 [ T- ^6 L) E7 K上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:, i0 O; C4 w4 {" R. x/ s6 G4 v
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 …… g& W9 }, K, T
" U7 p& g @& f, P: x$ m
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?# K; K/ q6 B- p+ u* b& n8 J" w
' R/ }! G& M! H3 z U& {; b) p. E7 d& ]1 b1 E7 r
" i4 P' N9 I# Y! I- i/ ]. w5 n3 u
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。& m. b; B6 S1 R4 w6 W9 D0 q- G: j
3 k: \% s8 A/ [* W" k( Y数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
+ s4 ~! j. n- m4 D! l幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
# q6 h( Y' B! N) v/ g' @) o另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。0 g' h0 |' `- A) N5 r3 o" l
! P% f* v: ]8 P. U# l3 z% h( j0 q
暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?& U. E$ |/ ]5 u9 v4 h
2 L2 ^. n" i% V$ B2 A1 q**什么叫做Conjecture?5 m4 q* o7 j: q
**约瑟夫斯问题。 |
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