TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
---|
签到天数: 134 天 [LV.7]分神
|
上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
( U2 W! E' r( b0 T* M; ]: R) v2 i看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
8 T0 q* A1 ?* [5 t& E n- k1 g3 W
+ K. i1 z* v& b( S: Y0 s* x他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
, l. `- |/ Y N; N: o4 n
# g1 }, X/ V! s: Y7 h- k# c所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
+ q6 y( t: }# D- K. Y0 o
' N. G. C- s$ \ T- tIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
$ `; l% ~% ~9 A
( m" }0 i& i. a- }; u8 z# ]" b幸运数的定义
, m9 B- s0 u; [6 T3 O4 e* ~/ OFORMULA 6 W9 i) J, m c+ U7 o- m3 L I
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.% B' w# k! n* [6 |
. B( u# r0 e2 s8 W具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)) |0 [# E" t8 l1 T) F0 S; S5 @
. w5 Q/ K! q9 W0 y) E% K( V! m
初始,从1开始的自然数列:
( h' F$ R) R8 L$ z) F' `- G5 ?Begin with a list of integers starting with 1:
1 F, W( q' J' @- p# {6 u" S+ ^, M ~1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……5 _+ H! \7 l% \, \& F+ w
. ?* V4 l: d+ M
开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
* q7 r% s, f! {! t0 K; m% K; j7 _剩下的数列如下:7 J1 E- T; ?/ `; R- S! s1 \, A( j
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:4 L" Y3 l" K& {" J# W' D$ I
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……7 z9 u6 D: s: R' `
8 Q1 N& a' s' w+ s& B; i接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
$ D( N- q/ q& r/ z6 F6 hThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
- W1 F6 r, X$ X1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……
* l m" a( u+ M" l) c2 m$ q2 V* z' S. c6 r# Q0 w7 d5 ?7 r- m
现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:) B" y. |/ |, P
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:! [0 Q8 z6 E" R+ C
1 3 7 9 13 15 21 25 ……" i+ P1 n* b. L& a! D& Y8 M/ J' }
2 G& W+ L( b# g7 L接下来是9,……
# i1 @# u/ e, M& p P' U% I这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
9 U! o1 L/ g3 @2 _& b& a! ]2 u1 u! h" v* E" i! l
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).' H4 K0 c s2 w Y' x0 L6 K
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
4 ~6 G' W' N% ] |% G上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:$ w* T2 y/ v1 Q* N1 L, _+ a
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……5 h+ ^$ z; O* k7 G* h' R
$ C! o* a! {; p' g有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?- \" B+ x+ m) [" v2 r4 ?
/ ^% W7 I6 M1 c- n! k
+ }, g# K2 ^+ R4 n8 N+ s
+ d5 ^. Z; p# l) R4 @第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
7 z/ ^& R7 ]5 N2 D3 L
! m5 b( b3 ~" ]4 P7 ~& Y: c* y; @. F数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
( v7 N6 L, n6 h- A% E. w! O$ t g幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。8 Y0 P$ i; h2 ?+ g/ Q' r
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。; f6 `3 u. z- E3 Y, h$ K, c
! z# b6 n7 e. }, l0 I
暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?6 ?: O2 q6 z* S- M% q' _& @* L
) k8 Y9 [6 X/ `" B**什么叫做Conjecture?6 C5 Z3 W& L, | G$ G% }7 k
**约瑟夫斯问题。 |
评分
-
查看全部评分
|