TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼& C3 g7 g) `, ]- `
看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”- H7 i7 m8 I8 l9 g2 f9 C- {% G
1 |. U; G9 w- d! @, [他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。9 t2 Z$ ~/ \* b5 C. X3 B7 J
& ?. w6 I. m, A: O( c! }
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
! f+ K* i! w7 X* c% ?8 A. Y& P* ]; S O
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.) d( c+ r6 w2 P6 V/ g
' z; m9 T5 G. k; V, T3 L6 v幸运数的定义3 {3 s: N/ K* [+ }. D4 o
FORMULA
: E" r! G8 ^) iStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.$ s0 w1 ?9 p2 o
* }# y( e7 Y# `+ A0 \
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)+ a- }, x3 n O
/ C! v2 S) E* R. ]' c
初始,从1开始的自然数列:
! Y- w- Y% g+ b/ I, u/ O( EBegin with a list of integers starting with 1:
! }8 \: K# C, M5 K' Y3 m1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……
) A! ]% h# M. q8 k" Q% k, P1 c) J+ i3 { I( [6 c
开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~) u* p T8 V; k- A' `0 F
剩下的数列如下:
1 c& K- t' i: eEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:) D% X `2 k! g7 C6 D7 s
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 …… `5 O5 i; V1 }: [8 }7 i8 s3 e
8 k" z' s# p7 G$ G' e* `8 E/ g$ [
接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
* o7 l. B: F3 @$ ^/ aThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
7 E$ y/ P5 {$ p( u F" |1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……
5 J( u& k6 R- C# U* P: S6 m: g% h7 `9 N
现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:7 ?" G6 _/ [5 y
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
6 h% F& Z2 I# z" t/ h3 |5 l1 3 7 9 13 15 21 25 ……
" x+ M8 o* C( t' H! `- W% B( I1 z/ q$ I3 R
接下来是9,……
$ ]9 ]8 N+ }5 U' h+ p这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。) l3 @: s+ V* v* ^0 u$ S7 x
) f. a8 [% S! K- p
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).- j5 \$ W" S% D3 R8 i
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers! N f2 ?5 h1 k. b, y
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:1 V) t5 u2 R2 c1 l1 z J
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……2 y5 ~9 Y/ \5 s4 k9 w
H1 Z+ c9 G4 D7 o* }' o
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?* W5 A- P( _ d5 E3 W- `) Z
+ B8 [. d( T+ B) \, F8 X1 k& n2 w8 ?& b' e
/ j \4 M& w0 Z& d- l
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。5 y9 a$ j4 A- y3 l) T D$ Z
( w! P$ l" V5 s1 B& h数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
: q( h# N$ z) Y8 {% _) f幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
5 L- A5 p& [/ E: b% d另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
R& Y% b) T0 a; o1 U# R6 b
3 P2 x5 o( J$ z0 Q2 u暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
1 t+ }- u1 I% r' y$ D" @. G% S1 c r, I" I1 \; m
**什么叫做Conjecture?8 a9 p4 @. Q) Q Q2 {3 Y" m* P
**约瑟夫斯问题。 |
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