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[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

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    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼" y) V* \$ b! i! r
    看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
    " a1 Z2 q( v* K  Z: W, |& |* R  y8 M! I5 B" Y* x6 m
    他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
      z; U0 D0 F# E  f
    . a8 m7 s0 k, e; S8 U+ d5 e; c所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
    2 [! ^" v* b' T9 v$ t/ b8 u$ |( E) [# i
    In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
    3 w1 [6 M/ y7 h- ?$ [) i) U( Y* r0 [* K
    幸运数的定义2 w. _- n$ i- y& r
    FORMULA        ; X3 G* a* C3 p, k
    Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.: T( f$ ?2 g$ M$ F
    8 w2 h" q1 M1 Q. i3 v
    具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)2 Z  f' U! s. `- C4 C; z
    5 F1 K  U3 u, ^( [/ Y8 }: m# \. w
    初始,从1开始的自然数列:7 O9 Q! q: Z# k+ Q2 Q
    Begin with a list of integers starting with 1:
    6 w/ u. B. n& z3 m$ w1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……4 E8 |  W- e. p2 s

    ! `3 N4 k% J( \" }. |, x9 O, @" {) w开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
    7 y9 x2 J. z( W' D: r2 v0 C剩下的数列如下:3 C+ ^  L0 b9 k
    Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:/ r( r1 x% C4 T/ q! E
    1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……8 ]* ^2 `- G" G3 H; R. B3 L
    - s6 ]) v! N2 H7 c1 {' t
    接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:! B1 j! J4 g/ b9 b9 E: c4 l/ k  p
    The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
    9 N4 ?. u4 `% t% c  \3 w1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
    " [- Y2 A5 n7 n1 h
    / r) U$ Z5 F$ |& }) h现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:0 J; j4 y- @# }; k+ \
    The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:! ]8 [9 d9 Y% G. e8 V2 V" F' R
    1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……* Z0 d: t) Y0 H  C0 k& E

    6 n$ [# v0 R; h( ?' s1 `/ d' ~9 M) ~接下来是9,……
    3 ^& s9 P1 ~# `7 @$ a" S0 }这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
    ) k5 Z4 [( t- I# O$ \9 ?  X
    $ @( P: c( h6 i) X" @1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).) r* _5 J7 N& |$ T
    在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers1 k8 F+ |9 K: X, ], X1 z$ C! _
    上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:7 V, @9 B7 ^% V& N  {
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
    / ^3 L# `5 B7 ~) l: g: h, _4 h! j0 l- o( V
    有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
    ! h" ~5 T9 B4 ?
    7 O. I# W5 r9 ]0 f% G& y: Q! [' U3 ]/ w

      Q3 X) |7 J9 `; ]# q第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。: l( ]8 A8 l+ Y5 B

    5 }: H: @9 }/ Y* Y& U) s数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。# A0 I8 `& o: \5 h5 H0 M
    幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。8 [+ s0 ~- j% x. t# U. Z/ j0 I
    另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
    3 ~5 y3 o! p1 U0 i9 B  @8 I
    : _4 m( V1 L1 g- {暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
    9 q. j# j; x+ u
    , P5 y" e$ g8 U. R**什么叫做Conjecture?
    7 o! Q: d2 h& h3 ]; p. ]  G**约瑟夫斯问题。

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)( Z3 o1 g; t1 `; y
    ' ^; P: I$ V  f. [6 @
    猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
    4 p" a% R7 o7 @+ D+ {0 W  J1 S8 X5 i9 U4 [+ ^* z4 s. W
    当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
    0 a+ s( V% J8 w& J+ W  h7 e8 v0 B( T. {, i# i
    猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)2 x$ m, M! S7 v9 }. e3 u

    : T1 t4 h0 o' T6 b9 I假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
    # [/ d3 z- v5 l& L! N" R; {% O  W  e( v/ m! Y- U, `  \0 B
    有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

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  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
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    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑 & Y8 l7 q: K4 a3 Q2 \6 h# D1 D  n

    % x( Q& {% t+ v% E' I**约瑟夫斯问题    都教授
    0 l3 z+ D* Q6 [: L5 Y+ \4 Y! d
    8 K! m. N0 U3 b& }% h& r. |我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    3 Y3 k. A$ \- }9 r6 e9 P
    5 j! G- a4 d4 Y6 a有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。: k& _1 f. L  J0 {& p1 f: l3 d' l
    9 q; l6 @5 C: E' S; @
    问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?7 A% }0 K3 j; m# B: O* g

    1 F- Z( [. E/ `" @! B3 A. A: [" C% r/ N- x0 r
    ---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------/ L9 h! I6 J5 @5 ^
    据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  
    6 K, i* N5 o# m$ @1 r0 _/ d7 U& q4 x2 T! t" h0 ~# h
    ---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
    , w- O8 l& L1 |; R这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。  W6 Q" O1 C0 _1 r3 o, l
    据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

    该用户从未签到

    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
    . O( A4 F- y! ^5 d" k**约瑟夫斯问题    都教授
    " s3 |% u' K0 v
    : k7 s9 g. E% [- W" y( D% c4 I我们来聊聊约瑟夫斯问题。

    / T) @, X! ]$ a$ |# Y4 ]$ o1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    7 @$ F" ?$ a- X
    - _, }  F" q/ z6 q+ _4 f, L' Q% P5 F2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。
    - L+ U% o1 J; e0 v- h6 j, t
    ! \1 G2 Y) z2 f; ?) F推的方法如下:
    4 P. c$ B' _- \4 ^$ N# c) U/ r- ^) a: P* m* v
    n=1,就一号,跑不掉的
    + F5 O; m( E0 |n=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2
    ; K, A2 f; K: t4 C如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。. [. T( W+ `5 ]( K! y6 U: g

    * W. ^0 b: t6 W2 M( R# d6 k8 K. a* I4 O/ v4 t! W
    我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

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    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑 . l' M: @) d  Q- R
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
    1 e+ K9 I2 G8 g4 a0 N1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!: K) G+ @" V7 ?% c& J
    4 ?& h7 m. O- ~7 V
    2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...

    8 C+ c- V* |5 o
    $ M5 v  Z' |) \! l1 q. x兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看+ H; a0 O0 }( C- v7 ^, F* Z( o

    : M5 {9 S# f4 S1 Q在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
    : g8 R6 k5 E/ b9 A3 e- i0 Q
    ! t8 _1 |7 G. I* l; @7 K还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?
    2 Y8 j' ~. e% Q" R: L
    6 ?/ j5 V8 r* E2 l8 B6 P0 w-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------# j' A' a, k% a, c, p3 T; h5 j
    3 M" k3 L, U5 ], G6 b  G
    一个小心翼翼的Java例子:
    8 J* A9 q4 ^( |# d% |0 t3 [
    " T4 Y$ f- m3 g; t1 W int josephus(int n, int k) {
    ; S: G, \& i0 E7 w# f; |  q        return josephus(n, k, 1);
      K, Q/ a" O& R3 C  }7 c+ @- r/ }; u, Z
      int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
    " ~2 i2 U0 X4 @9 L* b; I      if(n == 1)$ m$ n( {! n* r* V, f: U
              return 1;, z' J2 B' Z3 K0 {
          int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
    1 c, D! K/ |' p! @. T - O  P0 I. a8 b! k
          int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);- K  E7 K  M. Z
          if (survivor < newSp) {" q$ v# ~8 Q- d& D  j: d2 F
              return survivor;: x- {5 G) o4 q, V5 m9 M
          } else
    ; T' i  |9 \. G* ~          return survivor + 1;) F% c" V+ ]0 p, |/ Z4 J; z5 e
      }' j4 x) B( j" k$ `( q
    5 x1 ^' M% a9 d' |) t5 _) ?
    另外有个更简洁的例子
    + P" O7 i2 Z% L  v  def josephus(n, k):! W3 M& w3 ~! S
        if n ==1:' a% }) b, Z  s; F: h6 E; k
          return 1
    . p" w. N* v* t/ v    else:
    ! |! m) F0 R, _; P$ p      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    + U4 |% N7 Y; h" e) i  [4 e$ g; g5 s
    (如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?)8 l* @0 p) w) N( }

    + B! m5 e( c* R; u+ b以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution
    5 c9 q' g8 A: I+ W$ G) y2 b0 d% a- M9 S( D; E% V+ {2 ?" [

    / B5 o9 Q. U' b* C  w+ O关于n的分析:1 a4 t( ~! e# q: V, l$ U
    设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。
    , w+ _# c, V$ |. [$ |% u/ S如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:' m% y% G/ z" L# Y2 Z
    9 m7 X& O7 ]. y
    f(2n)=2f(n)-1
    9 w) i$ f- n+ t! n7 U如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:8 a7 I: l0 F" h) v: z
    ' Y) F  ?" P) ]6 \
    f(2n+1)=2f(n)+1, Q* I) g& Z, N$ R
    / J; J& M! n5 x+ h& j, |' F5 A

    ' w9 y% v. l9 o* L" Y3 Q如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:6 F* ~; S5 s0 ^0 q, `" t
    ) W& q$ [" @2 {
    n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
    ! s' b+ j/ R! ?* Y1 Q7 k8 If(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        13 i, v. v% c6 t- s) j1 j

    6 O6 C! ?$ k% w- k8 _% O3 E从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。# z7 e+ V' b( b# Z2 _

    1 O! X: D/ e' _7 j" N定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。
    8 W6 _! \$ C6 e! y* {( z+ u
    . W2 o# ?  }" p' e. L% V+ a; b# _
    6 f5 K* v# W- w) M$ H答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

    该用户从未签到

    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
    2 q& d+ H' [1 z" G/ F& e# Z兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看3 u5 a3 ^1 e: N; K
    9 ?. K6 O  A4 t  _3 q. A* [
    在 ...
    + N/ F7 q% S+ {" ^. ]' E2 u) |
    我的推法就是这个:
    # _' j) z' A  e2 Y4 f0 L, {# B
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+16 B; ~8 A0 U* m1 ^  ]- ?5 ]
    . e- Z( L0 H, v: d
    我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。
    $ ?, O) O2 I) a" J5 H
    " R, l) k: [: M2的情况我没单拿出来搞。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-5-10 00:00
  • 签到天数: 1237 天

    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
  • TA的每日心情
    慵懒
    5 天前
  • 签到天数: 2232 天

    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂! @( K" C+ ^; M/ |
    不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
    9 Q. Q- _  c9 |1 z' u  @看不懂! Y' I1 s( U1 X: ?5 j) y* H  Q7 x
    不过今天不幸运数是17
    5 U8 u( Y, X' K) e
    7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
    3 g! a0 f; ]* w8 s* a
    / Z& n  `% ?; O6 J& L9 G以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,31  i+ Z6 F6 T5 v" P+ `" b
    & ]5 I# k( G" q) I9 Y
    13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

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