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[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

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    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
    5 Y& [2 m1 w% D; a看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
    5 _; ]" M4 \; W' a, k% E* t) _& c
    % s5 C" t0 @; X2 R1 [, U他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。. f: y7 S! f7 J" ^& V, }* c0 v; P8 s
    ; U3 d3 @4 F  @! g
    所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
    ' O; x  Z) `8 k( Z2 I0 s! P3 V+ a* S& B$ s1 j1 Q
    In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
    : H( |4 a+ S( S: Q4 k
    5 s# g# h& Z- ]- a  G幸运数的定义8 Q6 M, ]7 U6 o$ o  z' E, b+ h* S# ~
    FORMULA       
    + V) O8 a  ~+ E- l; hStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
    ; J. v. h/ m6 `5 g2 L8 |* B" Q" x6 T; i- K8 r7 t7 }
    具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)( ?$ O& }  C7 ^. [3 f2 _
    " U, K2 c) R; E  H3 G  R$ j
    初始,从1开始的自然数列:
    5 V( J' p7 I9 {$ L# l  ^( F/ iBegin with a list of integers starting with 1:) X3 d2 o  P. E: J# K
    1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……
    2 q3 n% \% [9 t% k: K* Q# q& i# M! X" O( D
    开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~1 n8 J( _3 d* {0 x( T
    剩下的数列如下:
    6 j% \8 J3 w. UEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
    # V1 T$ Z4 t: K% |0 U$ |1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
    " P, P; {- K0 c* w5 t" o
    ) `- p' F7 ^7 L& i) ]$ |8 G接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:2 W# F3 R; d( {' |& Y
    The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
    " g: U# ?  C( M9 ~& r8 Z1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……, R$ {! X! Z0 C' w' `* ^8 z

    . c/ z. w5 @& G2 J1 ]  F现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:; q1 p  H4 X& s% p6 F6 C+ m
    The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:/ n+ F  b  r  k9 U) r# L
    1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……
    8 X3 G3 |, E! b4 u0 c
    : b' t1 P8 W# G; D0 q" w接下来是9,……
    % C; F) L( `" n. n这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
    0 B* d$ \1 b/ P& _5 C- g" u3 p4 {  p- m3 t/ x
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
    3 }6 F! e3 V3 C" j8 p9 u/ @在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers) u% n1 `" o, u+ u1 H* V1 g; m5 z
    上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:! n4 D) p2 z; [. l& V
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
    ! d+ M9 A: C, c' G
    * o1 L/ K+ J# j% y1 Q有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?- n! U/ q1 G: r% l
    1 `" Z0 \, |  {" P
    $ S3 T3 V5 x3 v$ K4 i

    / B: A0 O- R# a+ b, h& d' Z; Z第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
    ! B# S6 g; T7 }( R- g+ y( s
    - B+ f3 m! w+ M  S6 s; h5 b3 W! _7 ]4 }数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。9 b4 B! R, W, B4 |
    幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
    8 x4 e0 ]* f0 T另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
    6 p! O' n$ V7 C2 ^" M7 X- l5 |
    - B0 I  ^6 n7 n) \' ?6 j暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
    1 S8 s) a) P8 L7 D: w; F
    , g# M7 v6 L% u3 K8 x4 t, l* W**什么叫做Conjecture?4 _4 D* }( Y* d. w8 K
    **约瑟夫斯问题。

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)7 X3 G$ D1 L& Q( K. l  x# R8 {

    7 r: {. W$ h  \& w猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。1 M$ C0 n0 O) y4 {; F% d+ g* X
    ! y0 \! R4 s  x0 D% t, ?! H) x+ R! Z
    当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
    1 |0 U5 h- S" `7 U" Q4 D- }, E) b; F$ o7 e
    猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)
    3 F3 K+ w5 y9 T0 o- {$ `1 H' M
    * F/ s7 t+ ]( n3 K# z/ A假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
    * T; H3 t4 Y% C4 h$ ?1 u( z3 t" L% t3 T: ?/ v! i9 }
    有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

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  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
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    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑 ( |6 W: @  `# d* _" b

    . j+ J3 y& W- @9 ]6 |8 l* q. h**约瑟夫斯问题    都教授
    6 m, U, [' X# Z/ V
    . |1 {4 P9 P& m4 g# A# X% J0 ?我们来聊聊约瑟夫斯问题。/ l( p8 w+ U) M7 b; N
    : H  M# ]! S& c5 J2 c: `
    有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。
    9 ]% Z1 \* ^# S- f" {+ s* g' x6 F$ }6 J2 y, c: a
    问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?
    " M/ ~" z) }: k: R
    7 |- W, s) z, V( @  k
    0 u- G4 L$ _0 ~" o8 `---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------( p; ~2 t6 h( s  [
    据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  
    ; q! c1 r; b* e4 Z$ k2 r- D& A: Z6 Q  q9 b, U4 @
    ---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------4 b) y* o7 D% N: ]
    这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。8 s! s& d. U, n# t" @/ {0 ~3 ^
    据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

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    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
    7 b+ n0 [+ i) i/ ?7 Q6 w5 c**约瑟夫斯问题    都教授 & z% Y- U! ]8 L1 z  x* ~2 |3 t6 A
    9 ^' H6 P% D' n$ C/ r1 i
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    * B/ Q4 \3 f1 E" K
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!0 Z* z) L$ J* M2 {3 @/ {( p- N

      ^0 l( X0 J3 I# M2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。
    ) q  P% O. G/ u. ?' k2 M& ]5 m6 b, O! U! _: P+ O; \0 {
    推的方法如下:
    1 a9 e( M6 b+ L1 }) J# h' s" \! Q$ e9 n" H! V) `- p, \
    n=1,就一号,跑不掉的( O0 }4 `8 P. Z0 `
    n=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2
    1 j: [/ d, X! U; b$ R如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。
    * L- `+ u& K/ A6 A  H
    + z; m* L5 v# U/ d0 A2 C, V# x5 Y' P: ?, _! Y4 \6 D
    我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

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    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑 - r. t1 H! d" ?% W/ G9 k
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
    . C" k3 K0 r6 ^6 ?7 n( {, T1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!1 D. ?) X0 M; r9 V$ h$ {

    $ g8 x4 O& V9 ~& b2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...

    ! w$ b- S6 p) S5 |% W) [! `3 u6 r& @3 \! j! `3 C
    兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    $ _1 [2 `) G" {; c# H2 Q# d: k1 g2 J4 L. v8 c4 G7 l
    在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
    0 o" x! L, H- @, E- k6 j$ x" E1 }: d6 g& t  |1 Q
    还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?! u* @9 ]0 r5 b9 T9 |1 N+ ^( E) P( D  g

    + x1 n* |7 D8 K+ n, ]-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------4 w) T! _7 B0 @' K" T& b
    8 `' U% o' n2 i' ^- e7 r
    一个小心翼翼的Java例子:9 y$ L& `3 W7 t: d+ ]1 D" I0 Z, n3 d
    ; F+ Y- Y2 K$ z8 }( x
    int josephus(int n, int k) {
    / n$ R+ c, `5 D3 o! ?; g* W        return josephus(n, k, 1);
    / v4 G9 z# e4 V1 @  ?9 F* }- J  }
    # `7 l# ~5 S8 s& n( l  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {& `7 u* P- m0 Y* a0 b. w
          if(n == 1)
    3 Q* T! Y/ o' B2 f7 Y! J% e4 k5 ]          return 1;+ i% L; F0 |4 ^8 P2 a, A
          int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
    $ u6 e- V& u( c7 w4 d7 p# L 0 {; ]. l' ?% m- M9 M) _- A5 }
          int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
    8 E; ^6 W; x  Z" A2 G# ~      if (survivor < newSp) {
    ( `' L; \( a! g: p- M          return survivor;) U6 I7 M- j# h, n' G# ^- h7 _
          } else2 E$ e3 r: P8 k" {
              return survivor + 1;
    6 @9 }2 n5 n9 k: T% k; m" d) y  }$ n& Q6 V, T! l2 j5 D
    ! |7 f) f0 X2 Z5 [( x2 s
    另外有个更简洁的例子# e2 j7 f0 p) V/ C1 W
      def josephus(n, k):
    # n$ F1 \9 o: H3 R( `$ L    if n ==1:) |( P! d* ^! }) E( ]
          return 1
    / X* m* n* o  i1 c    else:# r, Y* I6 e2 X5 l- O0 A
          return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    ! n0 H4 h$ M% u( f# G, h5 I
    " L  M* w( L  B' j(如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?)7 C- M3 o3 n/ J) W5 Y' }& R

    ) C) b. B7 Z/ L7 `以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution
    9 @% ]2 {; E, i  ~; ?2 ]9 _0 T# g9 r, X0 v$ }% n+ T* B/ ?

    ' }3 g" N5 v/ [; y. V: s9 i, a- h关于n的分析:
    3 _; W6 h2 E- @, |设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。( s1 o: I* k8 F3 S6 v- D
    如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:$ t4 P- m, X3 X' a

    ( D0 W& L  L5 s$ Of(2n)=2f(n)-1( ~! Z/ v- ^" X* v( g  w
    如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:: I/ [7 J7 U8 A: Z8 O: ?1 ~6 O
      p0 a! v2 v1 @- B$ F
    f(2n+1)=2f(n)+1
    : @: W$ H+ B8 ^( D; t1 s
    ) w" x8 @+ s9 Z& M0 z, m3 W4 d- B6 F+ L" A
    如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:' l3 F8 G" v% b9 z& e
    / Y/ A1 _" m1 g) d
    n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
    ; @$ P! X, W- n: S, ^* n% [) ~f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        11 }/ d/ H. e* l
    1 S; q8 C2 k: A0 {  n& C1 l% W* R& E
    从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
    ) B- b% U4 T. c* f
    9 u: c- X' R6 H定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。
    , [: G' m8 J+ z: r6 l" V1 K' [; H# w7 A

    ' i7 x" s' D* d- B% j答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

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    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
    2 K$ I6 V# T0 W, Q兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看- h9 `- M: v: ?& K$ R% t

    % A8 U" B4 [  I: y7 n在 ...

    / ]" h, b7 Q. Z, i" S# N我的推法就是这个:$ t9 J  o$ C& F0 F4 x! Q
    9 \# b6 X; U6 o8 s
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    ' \' m3 o, h* P* s( f& u
    1 @) G8 p3 Q* i3 d# z5 P我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。
    : a8 ]. R0 m* ~" L, a( G( r+ k& }6 d" t$ o+ q/ \) k* g
    2的情况我没单拿出来搞。
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    2020-5-10 00:00
  • 签到天数: 1237 天

    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
  • TA的每日心情
    慵懒
    昨天 20:06
  • 签到天数: 2206 天

    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂, A3 v& p* v; M. B& h6 m& j% g
    不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
    5 T% B" k% h( j" Z: T$ u9 X看不懂9 T- m' n2 f- [3 l! d/ A- j7 L
    不过今天不幸运数是17
    ) C- u) |* o# D
    7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
    ( Q4 f8 u/ x% G' v; |% F9 ?: {2 R6 O" t) E0 i' S5 M# i- O
    以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,31
    & l* i. E+ n0 ?7 s, E0 v$ {! o) g* h. g3 q) M$ y, l
    13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

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