TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼" W; k) O: R9 I5 m" _8 O- @
看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
: y' D9 G5 {. v$ Q! t) g( s0 P+ I- a S
他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。 N8 [5 s* }5 k' u
9 [3 ^+ n/ K; }" \
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。7 G( ^2 d* Q1 M( ]" B
O. p% K7 ~' }( u; p% f9 V. J7 d
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
, ?! s' y4 n: b, S, ~& I0 B( V3 d0 n! V3 X% Y+ B3 C! d
幸运数的定义
3 ]: z# U9 J" W8 f( S7 S8 TFORMULA
# m* n4 ~5 @0 ^0 y* tStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.2 e3 P+ N9 S/ s8 B7 ?
( a# Z9 L. V" F1 M5 F) {
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
+ b9 _/ r5 j% a) ~6 w; `0 M) L6 E" f6 [
初始,从1开始的自然数列:. [/ H! O9 u Y! ?" H' I0 z! c
Begin with a list of integers starting with 1:
; p$ @# x, J* c3 ?0 S9 c3 ^- p9 ~1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……
( ]! L/ j8 u; }/ C( z7 C2 S9 {/ [
4 P2 j) ] T- X8 D0 B% U开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~: v1 I: H% e1 J9 _
剩下的数列如下:: X3 p& p& T* ~' i& I. S$ l
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:; x% O6 u" X/ Z( N' A( ]) e$ x
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
2 W: p' W! o! K" f& G* P. N3 C* w
接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
% v2 [) ~, G5 y% R0 T4 V, [/ ~6 Z. RThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
* c! L: C" s; L1 g: R1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……
, U$ x& Z7 I9 h. }7 o( o4 ^! g5 E0 _6 J, d) V, @: p
现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:8 M. E( W# u4 A8 {2 \& x' u5 h" F0 @
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
8 ~/ v: M; N3 q1 3 7 9 13 15 21 25 ……
- [* h1 ?7 S$ `, d1 G# p
) g! W3 J1 `4 ?5 t0 c& \: |接下来是9,……
# }% k% z1 r4 D这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。" H# U: x# N* ?2 u" c. P5 D, f
/ w6 c; H$ j E( q, w- m: G1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
- l5 G, n& I8 q* P' X$ O7 q在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers. n7 x, G* H* U' D& W; z
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
! [4 i& ?" h; h: w* I1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
& Z3 O' d! q% K3 v$ r; S' q7 o: J- [6 I: c
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢? ]6 V5 |% W0 I* L* C
7 L: I* f9 a! K' r
6 r$ V! D9 |2 z# Z6 H, a. d. s8 C" {
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
7 c4 P% e3 a' Q6 ~ i) U
7 H& o6 Y- [' E/ F J. ?( L数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
+ S- {5 o* Y* p' N幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
) n9 u* p5 M" T另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。: i3 K$ g6 G2 b- U
- l+ @4 M- O( i2 s, ?
暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
4 D* u8 `: Q( \. @# d# ]
6 Q/ ^8 ]+ g& q" l; `; n7 H**什么叫做Conjecture?5 a& s, _# g- ^4 u8 h9 f
**约瑟夫斯问题。 |
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