TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
---|
签到天数: 134 天 [LV.7]分神
|
上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
" D ]0 r2 k; A. L; K7 G看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”) {) {- C: C! j6 i* ]5 W
) ^; q% l! k6 b+ M% c8 p* @# \他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
4 }7 V; d1 x% c7 }, N6 [% h5 X$ Z' r) ~9 i' a5 G- O) B
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。$ ?, Y0 j" h: z. P/ ?$ Z9 E
$ g5 r% i' v, f# S6 p( s; ~% Z: J
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
2 h) P. ~- h/ I( e0 L6 x$ K, H% k/ e
幸运数的定义
: Q7 ?5 ^* X8 @, k- a) lFORMULA
# }( }. l+ W. c2 v5 YStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.- b _: }1 V3 B8 B
5 A5 h' O0 f* ?4 I% d/ N$ `具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)) S, E' ` T7 D9 {& X6 c; I7 @
0 O( A7 K5 Z$ Q8 C9 f初始,从1开始的自然数列:! T4 U8 d6 p/ n9 n. X
Begin with a list of integers starting with 1:
0 x6 I7 O& q0 v! O0 S1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……& C- Y7 K" H1 d. F! z
[7 ^0 b, A- O' e. I) j
开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
@0 o5 F" n0 A/ c, `9 V剩下的数列如下:: D7 O/ u' l9 B" E
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:4 i2 o9 E5 Y% {
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……% y1 x+ T! J2 S( E) z# t
: R' j8 q$ z# b7 y: K H# f接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:0 K9 [: t K8 @( a
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
2 s3 p$ [: u% ^( k; Q1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……0 o0 K f& e" I. ^ J0 [5 c. g
$ } U5 M8 o8 H9 O0 \. w
现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
5 x T* ^7 {7 N8 z% Z0 }% AThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
- ^8 f6 @ e9 P- w9 ?# c7 d4 I% w* l1 3 7 9 13 15 21 25 ……* i7 o! P$ @2 k/ R* O9 s
; w, e& _( ^+ |/ |接下来是9,……
% J8 Z9 V/ q$ h2 M; Y+ \9 C' |这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。+ \5 l% G9 m+ O% E! O4 G
" B4 v% d! Q: h# j+ G8 K1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).; _$ z& B$ i% Q S8 |
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
1 Q" A$ X: d1 [1 G1 U8 Z t% G上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
% u4 I& v% z, ]! X8 E1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
/ x Y! G6 R( D7 L, L+ |7 ~) \7 i* |! C
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
# S" {+ n. r1 L0 A8 O
- u3 ]( K3 R( B
) c: H- N! a% `3 l- U' A" f, \6 M: n+ i+ Y
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
6 e0 b% w/ @- I8 b( h) H- p; T$ H1 D" G, L. M, u; h
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
5 n, M( n% d& \8 J- E: y幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。* L% A" p! @* X7 _ Q; p
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。' M6 `- M, R! \# _$ C; P9 E$ }/ b
: m k* p9 [+ U9 F暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
/ o$ x) F( h" p5 u" j7 [* R& D' [
$ K& p: F' B% a6 g3 N**什么叫做Conjecture?% W1 j( J$ \: G G& ~. W
**约瑟夫斯问题。 |
评分
-
查看全部评分
|