TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼4 I5 @8 v+ k3 F
看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”5 T/ f( y( n. b, i3 B" Y5 G+ F
5 q( f3 _! ~' B n/ e他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。! ?1 g0 s6 \2 F1 u' K( V: i
) V3 @( @; c) |0 i/ O5 n所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。- L5 V3 _1 z. e( j }! \' e
- R% V! {( H: B0 D7 c, e0 s/ D- T, ^In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
- D5 O: [3 {& U4 Q
9 t/ {" X6 b; ?; J- S( l0 n幸运数的定义* G* H( Y. S. P: U. ^7 y! I! m
FORMULA
$ G/ v J- h. a' h6 TStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.5 j8 S/ |1 ^, P! k4 h1 r* B
( i" n& }% c* c7 f, A" F具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
/ T8 u% P" O4 r* S. d S# a) p, |. \; K; I5 W+ M
初始,从1开始的自然数列:5 `; |% y0 p0 u( c- T! E( X( o
Begin with a list of integers starting with 1: c6 Y# l; \; j8 d4 K
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……/ ~( w5 f( {0 u. e* K
* a2 X& W) }: v4 g T# n" j' E开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
. Z: [) X/ }! u剩下的数列如下:& F) _4 A8 p3 Q9 R/ P
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
" T& H" \9 P, o9 T4 m1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……9 G# y1 s% T/ q1 J
C% [+ C! O; I0 A: I9 ^接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
B) |% a, s/ a5 j9 VThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
! m4 v) q* \" ?- }1 W/ U& O1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……
! D6 h* x" h2 v7 N9 b
0 c" k" c1 l9 V; K( U/ s. c% Y( F' `现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
( i, C+ W- z. ]2 Y+ @* Y# iThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:( m* C6 N' b( q! {5 ?$ Z* Z* Q+ R6 o
1 3 7 9 13 15 21 25 ……
: d( L* \, I- S C
( Q- q7 T# ~' a接下来是9,……2 l- e$ d1 w( r6 h
这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
8 `7 `8 Z, {; u+ c1 ~* t. ~ q3 j. l
' p5 `5 X( \' y: Y4 o- ]0 i1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
) j# d4 f& W# J% r9 a在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers. \" V: C- }$ [' p" N2 S
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:) S; _# r. h8 k2 W5 g; O
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
$ U$ i" J6 c4 b1 V1 J- t& n2 o Q/ Z
# y, O% Z1 l( V3 ~& g有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
+ l( N/ Q8 c8 p: u7 _
% M7 z7 u5 G z5 D: P
2 Q+ O% {7 Z. S# o
, ]. @; W2 P- F7 P& K ^第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。" z: O: { M. G
& X5 D8 f( s ]# }) M/ P; C
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。+ x5 e" G. @- N( {) o+ g7 B1 U
幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
: r! U" }: T3 b5 O+ H8 k另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
* v; |: \+ m5 R# a9 K! F$ `3 g/ `4 W
暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?& A) B' n2 `1 F, l+ F5 B
" P- Y( X- J, s* T+ n**什么叫做Conjecture?
# @9 m) @# a* [- k: J) n, u' \* ?**约瑟夫斯问题。 |
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