小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
9 w" t. @# ]$ |( p5 i- C; ~1 e看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”

' ^  L2 J% _% l! d9 l. G他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。

& H4 e/ B7 u. b6 x, F# v所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。

! u' B% {0 q/ K# b: eIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
8 I! O- s& a6 ~! F
8 {2 c+ M  Q9 H! A) E幸运数的定义
FORMULA       
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
/ f: z5 _, x- Y( N
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）

$ [  l/ q2 b1 }. u: f7 @初始，从1开始的自然数列：
Begin with a list of integers starting with 1:
: y+ Y( W+ K6 Y0 I1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……

: F( u  G) u4 z开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
剩下的数列如下：
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
( E8 P0 {4 g! g: e+ ]1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……

接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
8 E" M" G# N8 ~$ O6 [7 G# d8 G7 m1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
2 P% I) A2 U! d: O5 a5 \
现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
/ V9 Z# X0 K  p0 B& z+ BThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
/ k" _6 q' m& t- D; w1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……

接下来是9，……
这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。

* f1 ^( k3 J# l' M9 A1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
' k  P* }) c% j. [) @- N* k9 |1 F! ^在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
/ \" A% P! c* O1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……

有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？
6 o" K1 a9 d4 Z. e5 P2 o
! D: N2 b7 [0 J" `$ c

第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
% `7 }3 @, d* U% b4 g
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
5 _6 a5 s: `; o5 [- W3 l幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
3 `# C4 l1 O$ Y) Q# C7 D另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。

暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？

**什么叫做Conjecture？
, `! H' U. f/ L( H**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）

, u! \8 D' D5 @7 ~猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。

+ t& a$ E! V# ]" [) n# ]当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
0 }5 M/ B. E  I) C) I# h- [/ W+ m
. _& ]& A$ A% \4 O猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）

假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
8 D8 h& y3 d2 r2 B, s6 o- B$ e
有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

0 X0 R4 J$ Y0 ?  r" @**约瑟夫斯问题    都教授

+ z( ]8 ~9 S* H: \! C我们来聊聊约瑟夫斯问题。

. U' W0 j  x. |! f1 G( S/ K4 B有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。
$ y* S% H3 {6 n, N# j' e- b$ i
, T! X" E. l. }: V( F. y问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？
2 C4 }$ H$ h! m" w; e0 ]- Q  v, p& e

( v- u$ }! O# E7 t1 n3 s---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
( @7 ?/ S# Q  U6 i" n+ n& S, n6 }# [据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  

---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
$ u7 R3 P) d6 Q$ c7 A4 A$ v  H这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
**约瑟夫斯问题    都教授

我们来聊聊约瑟夫斯问题。

1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

: ?0 u! h$ N8 |+ c& j1 N" K2 _6 f2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。
" B$ s6 ^: l% u7 a+ J
6 j( I  p: @0 N推的方法如下：
: r' z% `; }0 i5 ]* [. h
n=1，就一号，跑不掉的
n＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
) N+ d; A! C7 J$ ]如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。
3 a3 B4 G- M1 _7 _, p$ X

我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
6 L0 d# ~' X$ G8 L; e
2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

6 H: x! e* t9 W
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
% J* b) \" C2 k* \; S" U' ~
3 Q0 ^! P* a* M! g$ h在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
# A7 ?: z' v% j- w; ?+ n
还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？

-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------
# T& \7 [. l/ P4 o5 o
一个小心翼翼的Java例子：
( ?' {4 E4 j% p7 z/ B4 g# ]# ~6 r
int josephus(int n, int k) {
        return josephus(n, k, 1);
. N; c$ A+ }2 i0 }+ U4 n) g& t# D* T  }
  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
      if(n == 1)
8 Q. g& k2 _7 R- K& v- ~          return 1;
* e9 N6 U: U  E6 ?      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
: h6 u2 t" C9 {* |4 @1 E2 _
& q; q) [7 U$ |( K      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
0 N3 d& t8 w) B      if (survivor < newSp) {
          return survivor;
      } else
" P8 F9 q" z8 H7 X1 E0 `          return survivor + 1;
2 T' x; M9 G9 l8 A1 Y- |5 W  }
! }+ w% `. D  A# y
8 _% y0 M7 {0 L- _! y另外有个更简洁的例子
  {$ t! q! b% v  def josephus(n, k):
1 z3 ?. M7 X2 D( p    if n ==1:
9 I2 f; g' z/ s7 V/ {+ h& B7 j      return 1
    else:
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1

% _7 t& ?+ V' ~. i$ H# p- F& B（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）
; d6 L2 z  h, S) o$ W
以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution

" ^9 }$ T2 K; U* `& y0 G* ~$ f9 A
  K+ w1 y9 M' Y$ w+ p/ N5 u/ o; M关于n的分析：
2 N. P5 w6 P; _) ?1 o设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：
$ p& j9 e7 q( T% h4 ?- }
f(2n)=2f(n)-1
, I2 B% l! c) O/ m0 ^+ a4 l- `如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：
$ e+ ]7 Y6 ~0 h8 d( D4 t8 k
; P: C+ p' s, x. [. w) J2 vf(2n+1)=2f(n)+1

) s; O& M/ B. q( x  P6 o( |
4 }0 Z) f- D, z  O1 n# v如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：
" n0 z2 A) R7 v+ _
n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
* ^' \2 J3 ?. [, u; [  ~f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
  r+ w- d  @5 U8 \
从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
3 P7 f! J. V. `
4 G$ h+ G1 F$ |4 k* @; w+ }* t" U8 N定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。


7 `+ ^2 g2 ?# H答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
  Z' E; V1 D' m5 C( e$ m
在 ...

我的推法就是这个：
. z* c8 Q7 F0 i% l4 ~& v% R
  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
9 P/ K  r$ T# w+ K
我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。
8 q- l  ~, x( U: m# V. U5 Y& W
2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
- }0 O4 n. X1 z% i$ n6 @4 }- l看不懂
不过今天不幸运数是17

7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
, h# ^: L2 F5 C& u- e
1 i4 e4 Q  X0 Q% J) G以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31

7 ~+ i  k0 G5 [' k3 K1 J13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。