TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
0 h. j3 k3 Q' v0 r' m. Y2 t看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”- z9 s% A+ j& R4 G- I* L
, k* Y* K' @ Q. X9 @5 F: g9 V
他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
/ a3 B; R) d' e8 T" q8 G! o9 L. @/ E" [- d2 `1 T9 z7 k$ J
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。- \" j% w( E% _& p' z/ H4 ^
+ h U. x x3 v8 M3 F
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.5 z: C$ K3 G! A$ f
# o Q) d" u4 r( |3 ]
幸运数的定义
H7 d) I. Q. ? l7 }FORMULA q4 i7 J2 v4 p* }! \4 L) K0 s, o
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc./ p" p8 w. F& [& M' ?7 t
7 B/ H7 |$ i3 w3 m3 Y2 h
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的): |6 _3 S: S, K& g' L" w( j
5 h G7 z. O4 L& X: O( V6 W3 [初始,从1开始的自然数列:/ m2 M' X- y; _) \$ f
Begin with a list of integers starting with 1:
, w. Z x1 ?' C- ]+ H5 H1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……6 V! ]* l4 g1 `0 w' I- r
8 @. o8 e* d# U- i, o- J
开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~9 m. J) o" E& L3 Q
剩下的数列如下:% N! [! K- Q! ^: q: W
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
) z# _8 V/ s( Z3 L+ z% ?. E1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……5 I& e$ Y0 E5 Q; J
3 F8 Z5 m: T% r* ]: i. I接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:/ w0 X6 R j. X- e; Y
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
4 K2 x5 u8 [' j% I7 Y. Z( U1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……3 @5 [; A) S/ g' o5 W9 c7 K
4 I( c& x; } m; M) L
现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
2 Q8 Z, g! ?: o, H, Z* YThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:( b$ U3 z' b# E' C) G# h
1 3 7 9 13 15 21 25 ……
7 U3 Z M% n& X6 Q$ n9 }8 [
/ K, M: i& b8 D+ U/ k接下来是9,……
" p5 b4 `& |- U, I5 h2 R0 h8 u5 X这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。7 b+ T' u2 Z9 ~& t
& f8 V/ t; Y. N- m3 w, d( F1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).# v; J" Z7 H2 t8 x
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers0 m+ {# w Z! W4 l$ ~! M
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:. I1 U: `- E5 E
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……* X; d7 V7 W( j* g) M' g
) L9 T' ], n# p% }; y4 l% U8 a7 ^
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?4 K+ V& M) h% E! X2 j; K; d
* Y) P# s# J+ P7 O
]* n3 b# i2 ]8 ^% `- ~' c, R2 b$ H2 r& Y, D8 q
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
+ w) g$ u: v3 Y5 F/ Y0 f9 u4 y
; d+ w( h! P* c& X7 [数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。2 f4 }4 Q" I& ^- _9 a
幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。# q( V+ e7 G- q5 S5 q: c! r" K
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
/ p M& X" Z# J4 w2 A5 ~! L' e2 I: C7 g q/ G5 q c. e
暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
! H' l4 }4 }: U5 q) d8 A, {: A
" L/ E; R, y3 `$ c, |**什么叫做Conjecture?2 \6 t5 p+ e! a, `) w& f+ J% f
**约瑟夫斯问题。 |
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