设为首页收藏本站

爱吱声

 找回密码
 注册
搜索
查看: 4792|回复: 9
打印 上一主题 下一主题

[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

[复制链接]
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    跳转到指定楼层
    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼8 n& ^4 N- M6 t. j* }
    看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”9 J' \2 _/ I1 _3 q( F; q  j

    6 N) x7 ]9 B8 y1 z* `他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
    6 ?, v: N9 x2 y$ _6 A8 Z1 J9 r: X  K+ f0 W4 P. E! \
    所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。7 }$ x3 \* q' V) d
    1 H- n6 R) u6 Q, v
    In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.. q% V( O. V" t9 O
    % K2 _1 d$ }$ v% J% l! v6 Y$ i
    幸运数的定义1 y) Y( d- h' |2 ?
    FORMULA       
    6 b4 [' d6 k! {: e8 b2 c0 IStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
    / u  @9 F* n6 I
    4 x+ N& _& q* V: ?! m4 h具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)! m# k+ N% o3 J  d: W7 }$ b
    0 h8 P) }5 C  j0 Q6 J
    初始,从1开始的自然数列:$ W* u6 {) z( [) h( k: M0 g
    Begin with a list of integers starting with 1:
    8 W& b, B* \, J1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……5 y; k4 M- ]/ n; L% g3 p! _
    , ~8 b1 O% ]/ u% d: U
    开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~& v9 C: H- k9 R0 w
    剩下的数列如下:
    ' k$ n1 d& t& i, |5 e0 O4 C* B& KEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:3 L% R1 ?: s2 }; w& f' Q
    1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
    1 v# E: W1 Q+ g9 G8 K) Q% s3 D+ O1 w3 ]
    接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:0 D. U( D+ F$ e/ `
    The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:# @7 Y$ z% P  E
    1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……- a$ w, q, _$ p7 @1 W

    : t0 x4 U, a4 |5 U现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:3 k1 S( G9 M8 Z% z- l
    The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:1 ^4 f" J/ o& X" [  n
    1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……2 ^3 o7 P# G% S0 r0 E
    0 }* e- a) t' T7 a0 `: ]
    接下来是9,……
    / p* D/ O# R5 {) A1 c2 O这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。4 g2 W$ h  Y7 Q

    & Q4 p/ B; v. \2 @2 _$ L1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
    + E0 d2 m/ `5 I在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers. X2 l6 X7 K4 a3 W( V& `5 R
    上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:; d* ~, `% {; d4 N. V- a9 _6 I
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……. O' \, g3 _  V0 g* _" D
    / D: D4 V) Q) s- J( J
    有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?+ D8 }8 U( b: x, p3 A6 G% R
    & u# z# ~1 \5 f8 }& u5 x/ a2 W
    . A4 x7 y: @8 e! T% Z* _

    ( H# f2 b' g$ X3 ~2 `第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。4 ?  R4 ]: x3 h  g4 l
    8 ~5 z% e$ {4 U3 L0 v
    数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
    " I7 F" ]8 b% F& A' t  a1 A6 }幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
    2 R2 p) @# i/ O5 \0 U- f另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
    # N/ E" w! \4 ?
    * a: D; a( W; t) p8 I5 P暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?. _; Q) T4 Y3 w9 w) p8 j( x1 s- Z
    % _2 }4 G& e0 O' f
    **什么叫做Conjecture?
    ) N4 k: f* s( g" Y**约瑟夫斯问题。

    评分

    参与人数 9爱元 +49 收起 理由
    韦红雪 + 8
    喜欢就捧捧场 + 6 涨姿势
    独角兽 + 4 涨姿势
    Pipilu + 2 涨姿势
    农民家的狗 + 4

    查看全部评分

  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)# j2 p9 D- k5 R3 H3 b6 g
    ; K! r6 k8 ^( C* {3 O+ [. H. P3 x
    猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。; U8 f; u$ d! K; P+ t0 s7 P( d
    + t$ |! z8 r) s) _7 t
    当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
    $ i1 d# }4 f- L" p$ ]# ^
    6 P9 ~" \; m, i4 K0 r猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)6 W# Z' |( c2 G' k4 _

    + T$ X6 V5 W, ]9 Y9 ~9 v* t假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
    & V' ?$ F$ m) w( l9 J- {
    8 S: z, f8 k6 P9 _* \有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

    评分

    参与人数 1爱元 +4 收起 理由
    独角兽 + 4 涨姿势

    查看全部评分

  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
  • 签到天数: 128 天

    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑 4 T( {$ g; p* _- f

    7 R  u  ?6 Y  l; V5 ?/ `**约瑟夫斯问题    都教授
    + N/ d( V! L* g
    % s$ E; ]  B0 L) X8 }- X5 \! a, `3 ]" R我们来聊聊约瑟夫斯问题。, i8 |& w/ t3 ~4 m, `& m

    # n/ l4 h. C' _7 G! i有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。7 W6 b) J7 ]5 m6 t! `1 {. N5 n8 o

    # m% ]. y5 k7 y9 X* d问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?* O( o& N, x9 t3 c- r: E5 Q  [- k) D

      v% _0 ]: ^7 {7 `7 k$ c: S+ ]& ~3 W% s, g
    ---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------9 @0 a5 ]; T$ n: \
    据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  2 U  e( w5 C0 ^

    5 ?6 r& y8 l5 K---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------* L( ^4 w  R9 I  S
    这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。
    $ p+ T0 C, s1 e1 J据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

    该用户从未签到

    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50 - ?3 d7 I9 P# f" L! L  t0 `
    **约瑟夫斯问题    都教授 - H& c$ w8 T$ P2 Q1 ]$ h

    1 x9 C/ G, b6 c) e5 s我们来聊聊约瑟夫斯问题。

    ! j. m4 G: N+ l1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!, Q1 ~1 l- P" I' m8 m$ m

    : B/ N! v* P9 @" L2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。
    " x8 f0 S6 x; q9 T
    ! V  ?4 A) f1 e' F$ Z3 t- H/ ~推的方法如下:
    2 D5 x4 D, W% B  R7 x9 w0 D$ @- c& l( ]8 @" N
    n=1,就一号,跑不掉的' x( r* j: I4 h; w! ^
    n=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2
    / N# u' R7 z+ Q7 q7 L( m0 ?如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。
    , [; Y2 F0 w; K# E# @* Y7 V' o, ~8 r4 B) ]
    / a: F' z. {9 I- v9 `2 g( k% B
    我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

    评分

    参与人数 1爱元 +6 收起 理由
    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

    查看全部评分

  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑 3 W2 q0 W* U" S: R# \9 b
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30 * u+ a, X; p9 O( u; x0 H( B
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    ! ?' `1 }1 w5 R2 ?: g+ `
    ; s, J. i( T/ J& w9 o; M2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...
    * i2 Z3 P0 U$ r2 `8 z

    ! q7 ~) \% g: z% f兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看$ J& e0 Q' x% Y' e% R+ B* C
    2 S: J: e: l4 y2 d- {9 c/ j
    在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
      P. J: x. @" [- ~* {) [: n- b. |# `7 I/ S& `: n1 }
    还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?  F- O2 V! \! ^3 k1 ~8 U1 t8 h
    & m9 f. _3 `& z! w
    -----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------
    ! p* x8 d0 ?- W3 o3 h. ^
    - w. G$ Y8 ~7 x3 D/ @& l" d一个小心翼翼的Java例子:( Q0 v- F4 c) n9 G7 v& D/ G* r# u9 b
    . T( `6 Q! P2 i6 j) G
    int josephus(int n, int k) {1 t+ L! z2 ?8 f/ H# ?
            return josephus(n, k, 1);) v1 j( Q' w( N4 f8 S# {
      }' s% _( w' }! C9 I  A2 y& \" {
      int josephus(int n, int k, int startingPoint) {/ g* K& c+ J# \
          if(n == 1)5 Z& f7 o) m1 P) c+ a( |" T
              return 1;# e1 B- g0 L! P+ @2 X8 p+ C
          int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;' k; f; [3 l6 w

    9 u% H9 V' V. K" G& A      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);4 {, C# n& f4 b6 K6 P9 H$ u
          if (survivor < newSp) {
    * l: P  `& V8 S3 L0 z" F          return survivor;1 K6 S3 N- K: t) y2 T/ |9 A8 q. D
          } else* @! N; I) u) s# ]- y
              return survivor + 1;8 {. u, a; l4 P8 ?! [! q
      }
    % b' A  F0 T" ^. P: z5 C
    5 A" @7 ]: r! ?3 ?7 E) D8 a! [另外有个更简洁的例子
    9 }7 _( d8 M6 f+ u2 b! c  def josephus(n, k):
    8 u0 M5 G0 n% q" W" D    if n ==1:
    9 B; D; S% c, G$ S  U4 |; M8 d      return 1
    0 r; B) G# y7 L4 |4 F' L! W- }    else:# o9 m: _" b' S4 [  Y( U
          return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1& M6 {# q/ ^8 r$ I/ ^& P
    3 p9 Z/ F' J( i1 C5 y6 t& j
    (如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?)& C+ |0 Z$ |7 B0 a6 o
    0 p/ r1 R3 i" g0 B, j) a; R
    以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution
    # o, N: U/ }2 m. h1 X
    - H" x( [& e3 S- z; J( g
    4 _; [7 h5 n, ^  r$ O; u, \关于n的分析:
    2 g9 e2 I7 A& Q, b设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。/ ~8 k3 |6 }" R: C  ^9 N
    如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:
    , Q% I# r& n. c0 z  J& R- K! d2 e4 Z0 m+ Z( H+ `0 S( T
    f(2n)=2f(n)-1
    2 W4 R, N% E! d$ x9 f" h如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:
      n4 r* N1 t( E% u, _4 |, H. \' S: ]# `! S' x# C: X. y
    f(2n+1)=2f(n)+1
    4 w6 h$ E2 c) \3 X  o2 Y4 i. i) ]0 i- d. F, _

    : _) N5 ~  ]1 w  _如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:4 X& m: @9 P/ c- t1 `2 l
    7 o1 M' R8 G( D# Q7 X
    n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16% D8 h! h2 \; {+ b- m" G
    f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        14 Y/ s+ `) Q6 Q6 F; v: \

    5 M) `- s- c  S8 q2 ?; h从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
    2 g; v, B  B5 Y4 E) ?) Y, s+ m+ ^* o5 }
    定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。$ B0 Y, T% v( Y+ B! G

    3 V5 a" C7 t! T$ G! o" b1 s: Y/ P2 O2 x0 X4 @/ u" L3 {8 s
    答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

    该用户从未签到

    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02 9 y* h- i+ H- J, b6 |
    兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    5 L/ y) ?* b' Z; ~6 z) `& V
    0 @) k9 L5 N' Z5 A4 i在 ...

    3 z9 m) p5 V* b  f我的推法就是这个:3 o3 j4 R8 U! P
    $ P2 g/ x% p) k: M( e2 ^& @6 {
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1( ^2 w0 L. ]" X! B2 f0 ^0 E

    2 H' ^) T' P- V, i6 v我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。) N; y: h2 F; `' `" M
    4 F$ r- B3 }% S% y
    2的情况我没单拿出来搞。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-5-10 00:00
  • 签到天数: 1237 天

    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
  • TA的每日心情
    慵懒
    前天 20:54
  • 签到天数: 2082 天

    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂& h) K0 S  K6 s3 j& p) k4 B+ ?. B
    不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40 $ U" f8 W. W2 D7 ]6 S# }, ^
    看不懂( g2 Z2 }; D: I; z+ r
    不过今天不幸运数是17
    $ \, {! `) R% S. c# ]9 Q
    7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
    9 z) G5 _/ ]) R# Z5 X5 x$ ?0 b& H, ^' A, E' z) T% X
    以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,314 F0 b6 o! [2 O! q
    4 c) \: h9 o0 _" {1 S9 m' @
    13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

    手机版|小黑屋|Archiver|网站错误报告|爱吱声   

    GMT+8, 2025-4-4 07:34 , Processed in 0.040770 second(s), 22 queries , Gzip On.

    Powered by Discuz! X3.2

    © 2001-2013 Comsenz Inc.

    快速回复 返回顶部 返回列表