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[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

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    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
    0 h. j3 k3 Q' v0 r' m. Y2 t看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”- z9 s% A+ j& R4 G- I* L
    , k* Y* K' @  Q. X9 @5 F: g9 V
    他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
    / a3 B; R) d' e8 T" q8 G! o9 L. @/ E" [- d2 `1 T9 z7 k$ J
    所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。- \" j% w( E% _& p' z/ H4 ^
    + h  U. x  x3 v8 M3 F
    In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.5 z: C$ K3 G! A$ f
    # o  Q) d" u4 r( |3 ]
    幸运数的定义
      H7 d) I. Q. ?  l7 }FORMULA          q4 i7 J2 v4 p* }! \4 L) K0 s, o
    Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc./ p" p8 w. F& [& M' ?7 t
    7 B/ H7 |$ i3 w3 m3 Y2 h
    具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的): |6 _3 S: S, K& g' L" w( j

    5 h  G7 z. O4 L& X: O( V6 W3 [初始,从1开始的自然数列:/ m2 M' X- y; _) \$ f
    Begin with a list of integers starting with 1:
    , w. Z  x1 ?' C- ]+ H5 H1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……6 V! ]* l4 g1 `0 w' I- r
    8 @. o8 e* d# U- i, o- J
    开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~9 m. J) o" E& L3 Q
    剩下的数列如下:% N! [! K- Q! ^: q: W
    Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
    ) z# _8 V/ s( Z3 L+ z% ?. E1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……5 I& e$ Y0 E5 Q; J

    3 F8 Z5 m: T% r* ]: i. I接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:/ w0 X6 R  j. X- e; Y
    The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
    4 K2 x5 u8 [' j% I7 Y. Z( U1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……3 @5 [; A) S/ g' o5 W9 c7 K
    4 I( c& x; }  m; M) L
    现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
    2 Q8 Z, g! ?: o, H, Z* YThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:( b$ U3 z' b# E' C) G# h
    1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……
    7 U3 Z  M% n& X6 Q$ n9 }8 [
    / K, M: i& b8 D+ U/ k接下来是9,……
    " p5 b4 `& |- U, I5 h2 R0 h8 u5 X这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。7 b+ T' u2 Z9 ~& t

    & f8 V/ t; Y. N- m3 w, d( F1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).# v; J" Z7 H2 t8 x
    在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers0 m+ {# w  Z! W4 l$ ~! M
    上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:. I1 U: `- E5 E
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……* X; d7 V7 W( j* g) M' g
    ) L9 T' ], n# p% }; y4 l% U8 a7 ^
    有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?4 K+ V& M) h% E! X2 j; K; d

    * Y) P# s# J+ P7 O
      ]* n3 b# i2 ]8 ^% `- ~' c, R2 b$ H2 r& Y, D8 q
    第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
    + w) g$ u: v3 Y5 F/ Y0 f9 u4 y
    ; d+ w( h! P* c& X7 [数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。2 f4 }4 Q" I& ^- _9 a
    幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。# q( V+ e7 G- q5 S5 q: c! r" K
    另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
    / p  M& X" Z# J4 w2 A5 ~! L' e2 I: C7 g  q/ G5 q  c. e
    暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
    ! H' l4 }4 }: U5 q) d8 A, {: A
    " L/ E; R, y3 `$ c, |**什么叫做Conjecture?2 \6 t5 p+ e! a, `) w& f+ J% f
    **约瑟夫斯问题。

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)
    ( x2 h$ R; P/ o4 c, e' T
    3 y  C8 I4 F6 B2 C  }1 [7 a  `. u& N猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
    2 r6 F  {2 p! J3 Z' g9 `) y( I2 x- s1 t! c' F; a- A  m3 t, Q
    当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
    3 p7 r+ t1 L( }  H7 h# y* `6 b
    # j) t, M' w; ^1 [; p) y, ^猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)' _6 B0 E3 m. \1 v- Q
    ) \. n: G; a3 K
    假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
    / H; e5 ?6 _  H: B$ {$ Y0 w1 p, J+ w% D1 f
    有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

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  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
  • 签到天数: 128 天

    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑
    0 M7 y0 V/ U8 L+ ^3 U! D
    " O. P5 P0 n  b**约瑟夫斯问题    都教授 , V# \) ~+ k0 m: V+ W7 y0 f
    4 b% o$ g- ^$ f$ j/ ~8 I* c
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    : ^' h8 U1 t0 Z! o) E! j- E) |, A8 d
    有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。1 O" G, T. t  N8 M/ \4 @' q% T
    ( S  d* J; x# R6 K' u9 c, K
    问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?* I3 c; x0 f( x5 s; p% Z( ~

    ' z7 M5 e# c4 x5 }' e9 D0 P  v, I7 r/ c& v) h+ M. Q5 z6 }
    ---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
    & k& L' w- g3 j6 o" D' A: e据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授    C8 O, H& G  L! t2 e. L0 X( N1 n

    0 |: r  O1 }. S4 l  M/ ~0 ]+ l' R. E7 Z---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
    8 C2 _7 v# L5 R2 U这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。
    + B* ?5 o1 D1 _1 [# j8 Y% Q: L据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

    该用户从未签到

    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
    % F+ ~& A" a4 \**约瑟夫斯问题    都教授 + `* F* D* [6 P5 q" m& ?
    $ ]1 h3 x& Z" i0 t, D) G1 Z. Z% O
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。

    0 x4 U* K# E7 y+ X2 J6 _. T5 d1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    2 F) y0 R, Y" n+ d! V* A- g; g) {3 ^3 _6 O' ]& G  F" S  @$ p
    2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。
    : Y5 w$ H, C  E. P  b; ^& W& ?! w3 D( W9 F0 f
    推的方法如下:- N8 |& O4 d; r( v: k+ p" z; u

    ' l! q( q( E) ]; T2 o$ K. f5 fn=1,就一号,跑不掉的
    & J) }& {4 I4 P  kn=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2 % b9 ~; K/ w9 z) {/ w
    如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。
    ' A% t' I$ @5 B) @& |; B/ f
    % C) w" m$ Y. B. Z9 \3 l; o
    5 ?: k5 k8 m: e- s+ D; J$ @$ ^我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

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    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑
    $ n: k5 D1 I0 p; D" x3 a
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
    : @! `- c" ~) k  Q. i% g+ r" Z1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    $ ^- A" ~1 M" ^% V) S) t
    ( P/ u' v3 t: l3 _2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...

    5 J+ m3 k* X( m# V& N# ]
    4 F% [5 M' {  Q兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看, Q! W5 x' W' ?' @) t4 `0 V

    2 o1 a5 _& l; y+ R. ~; z在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。( {: V9 [4 }; a7 L+ g: |! A1 D

      F- t' P- T. W还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?
    6 L( i1 @5 J9 l+ `
    & O( P8 F% y  z. f0 F2 O9 F6 d-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------9 R1 S$ `5 `! n. f- T4 f' j
    / K' E: R& b# |+ l. y) ^
    一个小心翼翼的Java例子:
    7 q9 [. x5 I& o" S2 w
    7 P9 S$ t1 s& @7 J int josephus(int n, int k) {3 ~* ^, P5 O0 z
            return josephus(n, k, 1);
    6 A/ r# T* S5 l0 g# B  }) q, Y: y' ^4 N( C4 V! l
      int josephus(int n, int k, int startingPoint) {' h8 R) ]' M. N0 q% Q! n6 i# z, X
          if(n == 1)( _1 T  l$ Y- x1 G$ m( j: ]3 E
              return 1;
    " ]* j, H: n, S  m0 m+ `5 _      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;+ ^. z$ M2 m- ^& f# B; M" T

    9 i; C" f9 P, y  _2 O3 i5 s      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
    / B) ?" U9 |6 ^5 o" r( t- @; O      if (survivor < newSp) {
    ' m1 p4 ]- t2 @          return survivor;
    + X, J9 W5 K( A7 \      } else3 z* D$ j0 `, y- d7 X
              return survivor + 1;1 t8 a) `) [% ^7 _/ E
      }  q1 ?+ g. S0 i3 r
    / Y' ], G3 k8 g: T, o
    另外有个更简洁的例子
    , |8 d6 M. N' h: d1 B2 w  def josephus(n, k):* E; y& ]. V4 D) u, E
        if n ==1:  Z  C* k. Z+ U9 s+ i
          return 1. L/ f! V3 z3 U, o1 Q7 l. S
        else:8 T7 u; |: b$ q+ h6 j
          return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1- C4 j% A3 f7 m( F  _. G: ~
    % M* @; p  A6 @: s& v, Z
    (如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?)
      k) Y' s7 i( M6 U1 w* F' k: a% E2 j5 n2 R* X& w. L/ o
    以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution
    3 e# _# ]4 C: T) W% l0 N6 i
    6 c) S/ F9 x8 M% b1 M# z" [' x- `5 h4 r  Q" u7 \; S7 @% T' k2 W
    关于n的分析:7 s$ G; l! _. Z" G8 `, d
    设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。
    7 i% m8 B6 m1 ?2 E+ b2 @如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:
    2 w8 z& M4 b, I! d( \3 s) p2 N; H
    0 o) F5 S- L' J. g0 F* sf(2n)=2f(n)-1
    ( d% `# n4 F5 i1 R3 j/ \# a( c/ f: l% B如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:
    & U+ x- u: h: U/ }* _# G$ p7 ~
    2 ?' N. `: C! S& ^" l# p6 }f(2n+1)=2f(n)+1( X8 U) r5 B5 Q# J4 T
    ) |" Q% }, P. Y% ^9 ~

    . S/ {7 K( V) Y如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:
    1 G; J8 L1 ^! r( N  }: f  X
    0 a( h$ M8 s( A1 O+ ^n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
    3 i5 v+ A( L. r! d% s, Jf(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
    ( ]) x1 X' M+ K( H8 D- _( r; z# q7 P+ h# S' v0 N
    从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
    : \, e. p. P) J: M; q8 m0 f
    5 n4 f$ Q' X! x. S- k9 S定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。. G1 B$ a5 E; A# Q5 V5 Q5 g
    % W0 L4 d* u# N
    4 f3 E% T+ {# A. C- y
    答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

    该用户从未签到

    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
    $ w- f0 M& {: ~# S  T* d. c兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    ( `! c" r% R. M" G. h8 h, z
    ' y* c0 U- n" Q6 e/ F. Y/ j# y在 ...
    & [: L& s: B% B5 n$ o, X
    我的推法就是这个:8 R) P2 @  m' a' I
    5 z" p: k4 G) j$ p
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+16 S6 c& M; O" I/ i& y& z1 d" g

    , d  W) @) S& g3 o我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。8 r+ H3 Z' ]$ p/ q

    8 Y0 w& [3 o1 j2的情况我没单拿出来搞。
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-5-10 00:00
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    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
  • TA的每日心情
    慵懒
    昨天 08:16
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    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂
    $ ]3 w' f( M4 m! s: j不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
    7 D8 }, M1 K3 P$ b; Z看不懂
    7 y% Y* d$ e' o4 _/ @. P( |0 W不过今天不幸运数是17
    ; ]6 B$ Q" E. \! e$ I% T3 s
    7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
    / T* _+ B* y0 u% j4 `: [0 J! r. j) }
    % E' m7 B$ z% I; U# }$ M以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,31* Q0 d( \& I/ s  g6 Q0 @

    4 g, A  b% L0 u* Y9 ~) ~13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

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