TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼8 n& ^4 N- M6 t. j* }
看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”9 J' \2 _/ I1 _3 q( F; q j
6 N) x7 ]9 B8 y1 z* `他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
6 ?, v: N9 x2 y$ _6 A8 Z1 J9 r: X K+ f0 W4 P. E! \
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。7 }$ x3 \* q' V) d
1 H- n6 R) u6 Q, v
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.. q% V( O. V" t9 O
% K2 _1 d$ }$ v% J% l! v6 Y$ i
幸运数的定义1 y) Y( d- h' |2 ?
FORMULA
6 b4 [' d6 k! {: e8 b2 c0 IStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
/ u @9 F* n6 I
4 x+ N& _& q* V: ?! m4 h具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)! m# k+ N% o3 J d: W7 }$ b
0 h8 P) }5 C j0 Q6 J
初始,从1开始的自然数列:$ W* u6 {) z( [) h( k: M0 g
Begin with a list of integers starting with 1:
8 W& b, B* \, J1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……5 y; k4 M- ]/ n; L% g3 p! _
, ~8 b1 O% ]/ u% d: U
开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~& v9 C: H- k9 R0 w
剩下的数列如下:
' k$ n1 d& t& i, |5 e0 O4 C* B& KEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:3 L% R1 ?: s2 }; w& f' Q
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
1 v# E: W1 Q+ g9 G8 K) Q% s3 D+ O1 w3 ]
接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:0 D. U( D+ F$ e/ `
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:# @7 Y$ z% P E
1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……- a$ w, q, _$ p7 @1 W
: t0 x4 U, a4 |5 U现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:3 k1 S( G9 M8 Z% z- l
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:1 ^4 f" J/ o& X" [ n
1 3 7 9 13 15 21 25 ……2 ^3 o7 P# G% S0 r0 E
0 }* e- a) t' T7 a0 `: ]
接下来是9,……
/ p* D/ O# R5 {) A1 c2 O这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。4 g2 W$ h Y7 Q
& Q4 p/ B; v. \2 @2 _$ L1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
+ E0 d2 m/ `5 I在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers. X2 l6 X7 K4 a3 W( V& `5 R
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:; d* ~, `% {; d4 N. V- a9 _6 I
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……. O' \, g3 _ V0 g* _" D
/ D: D4 V) Q) s- J( J
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?+ D8 }8 U( b: x, p3 A6 G% R
& u# z# ~1 \5 f8 }& u5 x/ a2 W
. A4 x7 y: @8 e! T% Z* _
( H# f2 b' g$ X3 ~2 `第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。4 ? R4 ]: x3 h g4 l
8 ~5 z% e$ {4 U3 L0 v
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
" I7 F" ]8 b% F& A' t a1 A6 }幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
2 R2 p) @# i/ O5 \0 U- f另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
# N/ E" w! \4 ?
* a: D; a( W; t) p8 I5 P暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?. _; Q) T4 Y3 w9 w) p8 j( x1 s- Z
% _2 }4 G& e0 O' f
**什么叫做Conjecture?
) N4 k: f* s( g" Y**约瑟夫斯问题。 |
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