TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
* |+ h: T: a: u+ d9 l9 O3 z看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”# t6 M: T6 o/ q2 m) j
8 r* n/ h, a ~; n他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
4 r4 O& D- O& d7 a; ?* i x. S! ?" l! y9 ?
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。8 h" D( x( ^( R; } O4 m
) F1 v# R, T8 Y9 G" E8 `8 }
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.- Q, x" z ~ P5 i
. {: D6 |! P. R/ j$ a1 Y; E
幸运数的定义
5 _ U& m" ^( J$ ]+ CFORMULA
4 i* G, y6 b: C2 dStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc." J$ X; h$ r1 o4 T4 h- J! Z$ \
: [: \8 r7 a( `5 _ }6 [具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的), R* E) f1 e q& }
/ j4 a+ c; F0 j5 X( I8 `
初始,从1开始的自然数列:7 B/ N. \) R3 p0 [. q
Begin with a list of integers starting with 1:+ @* y( l+ ]7 _8 h6 o8 F# r" m
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……7 D T9 W" v4 h. V8 y, P5 j
: F* ~) [ f# S# Z6 f0 M开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~+ e$ t D' R: t+ ?3 P
剩下的数列如下:5 N# X9 K# R1 _ c% `1 T8 b% v& Q
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:& `' ]2 p8 W7 r8 o% y3 Q) b
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……8 _9 h% I9 o- C
5 k8 ]5 Z- d- T, ~9 v. ]接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
; v/ s3 T8 B" ]The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:( \, J! q# Q5 e+ N1 g, I
1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……
: R& X6 L# T9 {4 m2 ]" x( \# `7 \+ S9 s9 Z1 H- D3 l' _
现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:8 M1 p7 e+ |) Y( h
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:% G3 C0 [$ k1 q6 ]( y
1 3 7 9 13 15 21 25 ……
: y; `) {% a6 n8 q& I. @0 J
8 E: _# X; x) b" p6 u% F) u9 ]接下来是9,……
* Y, T- b- }0 x _& t" ~! F这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
1 z7 I0 N( O4 }* y9 Q- i
4 F& q6 E9 {0 }# V; ^, H o; I1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS)." l3 S; h2 c+ i
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers1 O: m- P/ a* A4 }' i; H
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:3 ~0 u* i5 b8 h" z0 u
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……3 e8 k H8 _2 T$ Y9 ~# p! ?
2 _; ]6 m, F" S& ?9 K; x& K
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
6 T2 ]8 `/ ?" ]% `
5 p3 H! D/ g0 r7 g& [6 f3 ?7 P2 N
4 r4 m5 v, ], ]3 Z6 e3 t2 w6 P X
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
5 m* O- G; U5 m8 X. o
! X+ j6 I6 \% { R U数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
6 Z9 p+ c3 z$ E& [幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。7 Y$ S; J( F& a$ e+ }
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。: E& i/ Y3 t/ i
3 J, {) k! m$ v4 \0 M: Y+ p暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
2 h# C r0 _9 p5 d+ X3 {, `/ j( A& Q3 e: P# Q1 F9 y
**什么叫做Conjecture?' P% M. e; l& E t6 M$ b
**约瑟夫斯问题。 |
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