我理解的拉普拉斯变换

可梦之

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, @! l. @! A& _" K  g" L: _最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。

众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
3 d1 \$ B( S) X! h) B3 |8 u
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
) C/ d% Q) U  k* U, J


' q2 h& Z' s- m2 Y/ B翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
1 b: ]6 P& P: k/ E

" k. M3 f7 U' J
$ g6 l8 J9 ], F2 ?2 }! q不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法

5 ]& X* O0 u  e

# p/ p. R" S$ i6 G4 k7 ]数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。



傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
4 ?, g* `+ r# ^, Z3 m5 Q' _
* G7 a. O# U/ o; f8 |, `1 m拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
, v1 f- q: j3 }. h: c/ e
8 e+ g& j, x3 m4 `# p6 `2 a  V
1 m) U/ \" Q& ~) A1 A) \6 O9 x( C
5 `0 ^* o: Y3 |! g1 h6 i2 h+ R指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
+ S2 S/ [1 e' y" [, F
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
$ j: M$ M( N, h. ^高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

( E8 j8 z& L; H# R对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积