我理解的拉普拉斯变换

可梦之

7 {1 O3 Q' p, F3 n  d% ]+ L最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。

众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
+ Z( F1 ]! T# }% D9 J* G. M
% e8 |& p$ D$ [7 B电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？

. ^% G! ~0 n* \& M7 o- U% W. U

/ S) h  s6 @$ E8 k翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
+ a! D1 W# w( a( F" M5 Y6 }

, ?  l0 C: h! ?6 U4 T. m3 V$ @% |
; f" I) Z1 S, f$ \0 r' p7 b不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法


9 }1 w0 \' [9 y4 v# `6 Q
6 _. A' m, P2 ?) B7 C" J数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。

# b( K& T% C9 b1 X

  L$ @1 K! I- g傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
1 J) w) z7 l) G: E: y( B
; S- U; f2 `3 m* y1 O8 e, {% B/ U0 f& @  a拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
* s$ l  F1 u2 d0 @, a$ }. q7 ^0 D


指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。

有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

8 Z2 d5 `/ I+ W4 c1 o9 M对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
) t0 N+ P/ B5 y6 _0 f又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

4 N# v' _# v9 ]0 ~4 u对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积