TA的每日心情 | 奋斗
2021-4-20 05:43 |
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本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 ) Z/ h- ~& m& m6 S2 ]: H5 r
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最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。: I+ A9 L. v: i5 M
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众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。5 d U# U9 }' {& v+ \$ O
1 B' v. ~, z1 I, ^, Q" z
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？* A3 C7 g9 C4 D6 p, R' v
- o! w0 l6 p) r) e" s# M
![]() U# s2 c" N# q: y' ]4 r) D
) u+ e, _( ]. _翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：8 o& R, n& x# B8 e; S5 g! ]
+ X1 W! A9 a( J( @9 x
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/ Q0 r, @0 K6 S, ?$ \2 _: M2 ?不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
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* J4 M+ E0 e/ C- _, ~. n& b$ `( U/ B![]() - r; ~+ F/ L9 z. i. D: @
# g- d. m2 L* l, F. Y数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。% V7 X0 f. F! g# b' b' G7 L1 M
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傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？/ x+ s/ k; r' g) i- Y' r9 t
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拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。3 Q/ w) a& Y2 U* y. E
6 q8 t/ c) v/ h; J! p![]() + z l0 {# \1 z3 x/ ~! ?1 q- ^
% Y7 A8 t4 P) |2 ~8 C s8 g
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。5 W+ N, q. @: x, y# A: g
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有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。 |
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发表于 2023-9-27 12:05:26
