TA的每日心情 | 奋斗
2021-4-20 05:43 |
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本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 / P5 Q# T) t0 X# n; H- U
. e8 N* l) z- u3 Y( E/ C最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
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众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。9 h6 L! U4 I5 R( E0 \- ?2 B
7 R+ h" ?# O" F
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
9 U+ T" X! W& D/ {7 j6 w: U, _. s$ C1 u* k- M* M: M
![]() 1 ]! _9 @ @. X- E, B: K
* [* P( w( W4 ^; n2 A# F
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
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. ?7 @3 T4 t- z4 A, x0 z7 E$ H![]() 8 r1 Q0 [( [% c$ x
1 r1 W8 ^, I3 P1 `4 U1 C
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法/ e1 q$ @2 x2 Z* J9 {
; k: h/ S, g, c' ]% s, @4 [9 d8 o
![]() % o, b4 K. C3 w' P$ ^' H
1 ?8 Q- ?: w, l3 v! e; q1 K" b4 h# E
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。" X4 \6 O" ?! M
' x) ^$ X+ f. p1 M, G5 C" Y5 `
![]() % T) z9 Y4 c4 L) r
' V3 L. u, p9 B3 T8 z* y傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
6 v, l2 E% e. G& l: E$ S
: x. E/ Y. d( R7 @拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
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![]() / f& ^0 ^- o* s- p' ]9 i1 D! G
4 J* F8 x& ?: V& ?$ _+ E, t
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
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% w, {* R. o l有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。 |
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发表于 2023-9-27 12:05:26
