TA的每日心情 | 奋斗 2021-4-20 05:43 |
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本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 1 r- P# E. |) M3 G# g8 e
( h( M5 a1 F G# J" r3 o8 F) D最近工作需要,又重温了一下电路知识,对拉氏变换有了“新”的理解。. V7 f5 b# D; F+ o8 M8 J
+ R, u1 ?0 E, i: ~众所周知,高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看,天地自然宽。* s, P. r8 e/ @! C; U5 K
4 g0 D0 a: {7 o/ V+ n8 h6 ^
电路中很多微积分方程,如何解就很烦人。我们能否换一个工作域,将微积分变成我们熟悉的乘除法呢?' N) c/ P. M$ R' q; t3 u: w* m! a
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( _, R3 ?) q! e; k( ~# f' s
翻开数学工具箱,复数看着靠谱。复数有三种表达方式,欧拉公式将其转成简单的指数表达方式:
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8 g. ~/ m8 V% F7 ?5 H4 } , U# ]9 F0 S% h9 f
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不去管复数的具体含义,运算从实数转成复数后,乘除法变成了加减法,微积分变成乘除法) d5 K; j2 T; X6 K
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2 ?" u4 Q9 `1 {2 F! [+ Q- b
数转为复数域,那么函数呢?从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢?大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望,时域的微积分变成了频域的乘除法。
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( K! c) d+ X. o2 y0 u; l$ u9 x
5 G5 i2 N. f$ X1 X
傅里叶变换有一个小问题,要求函数绝对可积,也就是积分是要有限的,否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件,比如x^2。那怎么办呢?
0 F. c9 N4 a1 n A. P: P
0 |0 L5 Z8 s) C- Y拉普拉斯跳出来说,我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大,我给你乘上一个衰减因子e^-at,在t足够大的时候,都能给你拉下来,满足傅里叶条件了。' Y, |2 C# n: k( ]7 N9 _/ |4 ~
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* K$ v( l5 K# ?" Y; G6 u指数相乘可以合并为加法,a+jw不就是一个复数s吗?这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。" M0 D1 X* X# k) v4 P9 \$ W
4 H- B; j/ i$ ~3 Y* ?& j3 z9 d有了这些数学工具,我们可以将电路中的各种变量变成复数,方程转到复频域,这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。 |
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