我理解的拉普拉斯变换

可梦之

2 g2 ]8 E- L& s" N# e; u% m, Q
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
! _; d: L4 m6 m+ q$ q
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
. q7 q" k, H; Z# D4 j# w8 L
% w5 p2 u+ Y" N! W2 k电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
: F! Z8 u8 y& |+ V, f


6 E, s3 }9 `$ ^  h$ u3 b; d翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
8 s+ \2 S/ [+ y7 ~4 T1 `
0 @! T8 U( z; j, r- x$ m
2 [3 ?) r. E5 Z# M! M
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法


0 q, R+ H5 K/ c8 N& q  X8 n
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。

2 Q5 q( L/ y  Z6 P' |) n: ~
" q! a$ z( S! Q2 q' b' g
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
" ?- f4 R+ X6 @9 \
5 u1 }# t. y7 @4 J拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。

8 i/ ]4 p  o- {4 t) Q: p" m

- Y+ W: E0 f3 D$ t  d( }- l指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。

# T; d( u. p+ q' g3 `有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
" t  T9 g( S& l9 j以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
: D! S- K$ {+ t( T8 n9 r又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

+ I6 {7 D5 y# I对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积