我理解的拉普拉斯变换

可梦之

1 t, Q7 T$ L( E2 j% L
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。

众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
& g4 b2 j, F6 l; e/ Z; n# m' z! n
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？

) w7 s1 {0 @5 w2 X6 F- n$ ]' ~, x9 a

翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
5 x+ ~+ [' }8 A
  ?7 B1 i' `+ j8 C6 M8 |
# O7 ~1 ~; G4 P( u
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
1 m$ [6 i& E* Y6 z

8 c, V, C+ F- x8 y
. o9 D; g* X5 G" P( r数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
0 Y0 L' N: E6 r2 p% T* @( r

+ _1 ~: t5 o/ U" h
- |5 z7 j5 p- y% Q' l7 H傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
( H& t2 m! h8 r( H& ~
2 h% m+ g  Y( k/ y. j; D, g2 ?拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
! X/ }0 p/ Y, y  U


& F1 [3 V" O- {# W+ r& _指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。

有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
/ _0 e6 U0 Y' j" K* l, z/ T+ V' u以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
# L5 b$ ]# B/ b% r高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

0 s. _: [( l" f( t对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积