我理解的拉普拉斯变换

可梦之

2 M( H/ c% C; r$ b* M最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
1 a2 u4 p$ f/ h* G* |
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
+ v& H% k% T) p8 v
2 z* [+ U1 o% E# Q电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
+ q0 e$ d4 T/ K7 \) ?' F
. D9 |* G! t! R8 u( \

% J+ Y% a0 t/ p8 i3 M$ a翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：

9 J+ A, Q; ?9 z2 d2 p; |7 P$ e# m$ T

4 ?2 |0 l$ s9 U+ Q3 ?不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
8 t( g- ]) U; w
; J+ d9 A5 v- D, z0 {/ Z+ L

7 w! I3 u9 o( S' S数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。

: P2 s8 ^: l/ x+ y2 x

傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
* k/ F7 k+ R$ V0 P( W
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。

3 h) g$ V' |+ s8 e  D5 B% |
( t; B1 C' E9 H
! p- n' Z  _1 `2 C  N' r指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
6 d# E8 }, a5 w$ ]1 v: P
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
9 q; g' [& z. j高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

# P1 L0 M7 f, B7 |! P对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

' W' K- O  S1 T对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积