设为首页收藏本站

爱吱声

 找回密码
 注册
搜索
查看: 2365|回复: 5
打印 上一主题 下一主题

[科普知识] 我理解的拉普拉斯变换

[复制链接]
  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
  • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体

    跳转到指定楼层
    楼主
     楼主| 发表于 2023-9-27 11:25:14 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 1 r- P# E. |) M3 G# g8 e

    ( h( M5 a1 F  G# J" r3 o8 F) D最近工作需要,又重温了一下电路知识,对拉氏变换有了“新”的理解。. V7 f5 b# D; F+ o8 M8 J

    + R, u1 ?0 E, i: ~众所周知,高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看,天地自然宽。* s, P. r8 e/ @! C; U5 K
    4 g0 D0 a: {7 o/ V+ n8 h6 ^
    电路中很多微积分方程,如何解就很烦人。我们能否换一个工作域,将微积分变成我们熟悉的乘除法呢?' N) c/ P. M$ R' q; t3 u: w* m! a
    3 a$ r8 _+ u+ G) r! t8 m- A
    0 s+ l. Y- a9 [: f% r
    ( _, R3 ?) q! e; k( ~# f' s
    翻开数学工具箱,复数看着靠谱。复数有三种表达方式,欧拉公式将其转成简单的指数表达方式:
    1 u  o/ ^/ q4 W( H
    8 g. ~/ m8 V% F7 ?5 H4 }, U# ]9 F0 S% h9 f
    * T( [7 y( y- `2 I
    不去管复数的具体含义,运算从实数转成复数后,乘除法变成了加减法,微积分变成乘除法) d5 K; j2 T; X6 K

    ; B: T6 ?# S0 N7 ~- R  r9 Y, ~2 g4 L( e* [) I: k0 V: f  b
    2 ?" u4 Q9 `1 {2 F! [+ Q- b
    数转为复数域,那么函数呢?从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢?大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望,时域的微积分变成了频域的乘除法。
    1 V6 ~" a; t  g  j! ?9 l9 ~- p5 ]
    ( K! c) d+ X. o2 y0 u; l$ u9 x
    5 G5 i2 N. f$ X1 X
    傅里叶变换有一个小问题,要求函数绝对可积,也就是积分是要有限的,否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件,比如x^2。那怎么办呢?
    0 F. c9 N4 a1 n  A. P: P
    0 |0 L5 Z8 s) C- Y拉普拉斯跳出来说,我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大,我给你乘上一个衰减因子e^-at,在t足够大的时候,都能给你拉下来,满足傅里叶条件了。' Y, |2 C# n: k( ]7 N9 _/ |4 ~
    - m, K3 P% k) _1 ^6 s2 ?  X, ]) u

    , E9 k; p" O# m3 k# k2 b
    * K$ v( l5 K# ?" Y; G6 u指数相乘可以合并为加法,a+jw不就是一个复数s吗?这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。" M0 D1 X* X# k) v4 P9 \$ W

    4 H- B; j/ i$ ~3 Y* ?& j3 z9 d有了这些数学工具,我们可以将电路中的各种变量变成复数,方程转到复频域,这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

    评分

    参与人数 13爱元 +102 学识 +2 收起 理由
    mezhan + 10
    喜欢 + 8
    老票 + 18 + 2 精彩
    testjhy + 10 谢谢!有你,爱坛更精彩
    helloworld + 6 涨姿势

    查看全部评分

  • TA的每日心情
    开心
    19 小时前
  • 签到天数: 1873 天

    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2023-9-27 12:05:26 | 只看该作者
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?
    回复 支持 反对

    使用道具 举报

  • TA的每日心情
    奋斗
    2020-3-8 17:23
  • 签到天数: 94 天

    [LV.6]出窍

    板凳
    发表于 2023-9-27 12:06:14 | 只看该作者
    高手就是信手拈来
      m1 S7 m1 [& A以前看卡文迪许扭秤、云室,感叹设计的巧妙,没想到数学也有这种操作
    回复 支持 反对

    使用道具 举报

  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
  • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体

    地板
     楼主| 发表于 2023-9-27 13:20:28 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-27 12:05* O* X% {$ ~  C3 `5 u2 I
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?

    - P& C9 L8 \( c; o对对对,1+...+100,本来想说高斯公式,但是高斯公式太多了
    回复 支持 反对

    使用道具 举报

  • TA的每日心情
    开心
    19 小时前
  • 签到天数: 1873 天

    [LV.Master]无

    5#
    发表于 2023-9-28 04:40:41 | 只看该作者
    又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

    评分

    参与人数 2爱元 +16 学识 +2 收起 理由
    helloworld + 6
    老票 + 10 + 2 涨姿势

    查看全部评分

    回复 支持 反对

    使用道具 举报

  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
  • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体

    6#
     楼主| 发表于 2023-9-28 08:43:42 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-28 04:40( D( {% c6 z4 ]$ s* Y6 Q
    又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

    & o9 {$ B, R6 S2 F# J; C对,还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算,可以用时域的卷积

    评分

    参与人数 1爱元 +6 收起 理由
    helloworld + 6

    查看全部评分

    回复 支持 反对

    使用道具 举报

    手机版|小黑屋|Archiver|网站错误报告|爱吱声   

    GMT+8, 2025-4-27 19:29 , Processed in 0.036024 second(s), 18 queries , Gzip On.

    Powered by Discuz! X3.2

    © 2001-2013 Comsenz Inc.

    快速回复 返回顶部 返回列表