本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 u1 M4 T. }' c5 T" @$ |
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最近工作需要,又重温了一下电路知识,对拉氏变换有了“新”的理解。 " J5 v. Q, X8 S. \. B3 [ 6 s: e, r& M, t# D众所周知,高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看,天地自然宽。& \9 N- b8 b" i4 ]$ k" `
( E b& N) { `+ q7 f: G* ]8 B电路中很多微积分方程,如何解就很烦人。我们能否换一个工作域,将微积分变成我们熟悉的乘除法呢? 5 m f6 p9 H, L' m7 ]8 B" S1 {6 A6 V! U
5 w' t$ ^- {! h- k 1 P Z. |9 H4 [# U `翻开数学工具箱,复数看着靠谱。复数有三种表达方式,欧拉公式将其转成简单的指数表达方式: ! m9 A! k V) l0 u7 C6 X- z: T & ^: L& U. m6 }( U- C) @4 W/ z4 i' B, D" f
. O" q a; v0 d1 `不去管复数的具体含义,运算从实数转成复数后,乘除法变成了加减法,微积分变成乘除法# U9 G7 o9 |2 Y8 z+ {* a
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+ ^$ h2 g& `' Z: ^ - B5 W3 h0 N8 u# l数转为复数域,那么函数呢?从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢?大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望,时域的微积分变成了频域的乘除法。4 E8 F. n; [. N2 u
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傅里叶变换有一个小问题,要求函数绝对可积,也就是积分是要有限的,否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件,比如x^2。那怎么办呢?" t% Y" S) c4 U1 K/ H" Q h3 e- \: c
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拉普拉斯跳出来说,我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大,我给你乘上一个衰减因子e^-at,在t足够大的时候,都能给你拉下来,满足傅里叶条件了。) u! b' H$ I* P
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指数相乘可以合并为加法,a+jw不就是一个复数s吗?这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。 . r! j, s! Z: q- [ , u3 H! c1 W0 j2 p有了这些数学工具,我们可以将电路中的各种变量变成复数,方程转到复频域,这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。