我理解的拉普拉斯变换

可梦之

+ a! c# c7 M! V; O1 a! N
& ^) o+ k' k: d: {1 s最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。

, @% J0 S4 V/ c0 |9 E" {众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。

" z6 U. A* L! c- X1 v电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？



翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
2 x7 [: w5 [: X: ]
2 K$ g+ T' M1 C* ]1 d
, S' a4 X% M8 ?9 \6 V3 T) m
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法

$ _( [1 v2 h2 n1 N5 v- S: K* i
- C6 \9 w0 M7 i' C
7 d: F+ P: Y( r0 {数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
" N0 U2 [' A0 c2 Q3 u* c% q6 N) c
8 n. U0 f5 p" l) E

& y! v! a6 ]6 o- i9 [傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
# k& W! I" N! N/ S: U: [0 T% V
8 C' U5 e' V( K- c* j) z拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
3 b* `4 F3 H& T* f
+ J% `+ l7 B% C# A

5 s8 X/ ^6 r5 e5 X指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
  L8 n$ ~' F/ s. Q
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
- ]9 Q+ q; z& T' d高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

: @, R) _* Y7 \2 l0 i  N  A对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积