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[科普知识] 我理解的拉普拉斯变换

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
  • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体

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    楼主
     楼主| 发表于 2023-9-27 11:25:14 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 * E) g' O+ r" H/ a( [0 X
    6 `5 u. P9 Z: W. _$ y
    最近工作需要,又重温了一下电路知识,对拉氏变换有了“新”的理解。
    " |$ L3 Y8 s, @3 P! H( g3 K# J+ k: q: c! Z* P& \
    众所周知,高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看,天地自然宽。
    $ H3 Y0 v2 b. r! e
    5 y" p. ^4 p8 u' P9 w/ r7 j电路中很多微积分方程,如何解就很烦人。我们能否换一个工作域,将微积分变成我们熟悉的乘除法呢?: T( C4 A" {' F( Z9 o

    : ]; }3 O0 Q4 D/ U2 q  x5 I
    8 |" i# \% U9 S& R2 i+ e
    . z2 n+ f$ K; n4 K" Y: `$ x. O3 x翻开数学工具箱,复数看着靠谱。复数有三种表达方式,欧拉公式将其转成简单的指数表达方式:- k5 s) s% T+ S- A
    1 m$ N3 v/ a( m3 |9 V

    % l; ?2 A# [9 F* J! |0 t9 [: T
    ) L) x2 a1 J6 O/ l8 o* d; \不去管复数的具体含义,运算从实数转成复数后,乘除法变成了加减法,微积分变成乘除法3 \. t! m5 C7 l0 C8 n% L  z" ~" H- f2 Y

    # x+ W: T& j/ s, I
    1 L- t" M3 m/ Y' P. x/ q
    " J* T% I# ^: X4 |7 x数转为复数域,那么函数呢?从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢?大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望,时域的微积分变成了频域的乘除法。
    & a0 f6 A) F( n, Y8 a9 ~' d9 y! ]5 |4 r
    ! m: e  k. E( I# G: c
    % O4 H; _8 p6 u% ~5 _& }
    傅里叶变换有一个小问题,要求函数绝对可积,也就是积分是要有限的,否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件,比如x^2。那怎么办呢?4 n% j# a4 U& i( q! D
    ( r0 L5 }2 n. B* K
    拉普拉斯跳出来说,我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大,我给你乘上一个衰减因子e^-at,在t足够大的时候,都能给你拉下来,满足傅里叶条件了。5 C2 k9 U+ z& c9 P' Z1 q$ j5 C

    4 o7 r2 S% P' l$ R0 g# l$ H$ b3 N8 X" }* ~+ [- e$ O' J
    : X) }9 |+ o* W
    指数相乘可以合并为加法,a+jw不就是一个复数s吗?这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。7 I3 r4 b4 E3 w9 p9 H& [& V4 W

    7 _* {1 x7 s) a/ Z9 {4 m有了这些数学工具,我们可以将电路中的各种变量变成复数,方程转到复频域,这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

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    testjhy + 10 谢谢!有你,爱坛更精彩
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  • TA的每日心情
    开心
    11 小时前
  • 签到天数: 1873 天

    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2023-9-27 12:05:26 | 只看该作者
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2020-3-8 17:23
  • 签到天数: 94 天

    [LV.6]出窍

    板凳
    发表于 2023-9-27 12:06:14 | 只看该作者
    高手就是信手拈来" H0 M) Z( b* s2 N9 ?
    以前看卡文迪许扭秤、云室,感叹设计的巧妙,没想到数学也有这种操作
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
  • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体

    地板
     楼主| 发表于 2023-9-27 13:20:28 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-27 12:05/ m5 J# C6 z: ]& d( Z
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?

    9 C* {! D$ C& R& `0 h  Q对对对,1+...+100,本来想说高斯公式,但是高斯公式太多了
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  • TA的每日心情
    开心
    11 小时前
  • 签到天数: 1873 天

    [LV.Master]无

    5#
    发表于 2023-9-28 04:40:41 | 只看该作者
    又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
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    6#
     楼主| 发表于 2023-9-28 08:43:42 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
    ( _+ q- j- T0 J/ [4 G; s' g) P又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

    . A8 A% n. @% C对,还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算,可以用时域的卷积

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