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[科普知识] 我理解的拉普拉斯变换

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
  • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体

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    楼主
     楼主| 发表于 2023-9-27 11:25:14 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
    4 l8 r, v! Y5 \0 P% L9 A* e4 b
    . J8 {: D! N8 ^$ i1 w+ z最近工作需要,又重温了一下电路知识,对拉氏变换有了“新”的理解。
    0 G+ l& y/ ]  ]9 s
    ' Y$ V3 L) a3 a+ F# p众所周知,高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看,天地自然宽。' J5 }. V" a5 g- l" B/ L1 i% E
    : B$ U+ h/ g2 o. |( ]
    电路中很多微积分方程,如何解就很烦人。我们能否换一个工作域,将微积分变成我们熟悉的乘除法呢?* z! }/ E% }. \( Z5 ^3 H
    - N2 @8 E, r+ y" C
    6 c$ q: p& q, q8 w/ m
    , V# M* Z7 \/ v5 `( G% G6 g. [
    翻开数学工具箱,复数看着靠谱。复数有三种表达方式,欧拉公式将其转成简单的指数表达方式:& R; ?- L! w- B3 I7 B4 ]; y

    : m0 m' O* `8 d. ]
    " V, m% M5 s2 C& x4 |7 V7 T7 Z, x7 y" M8 ]0 o: d
    不去管复数的具体含义,运算从实数转成复数后,乘除法变成了加减法,微积分变成乘除法/ d5 q. t6 X+ o) G7 B
    : a- n. @$ k0 r' t4 y; x2 G

    9 x  i* e$ T5 ?; {: l
    3 d3 k4 f( ]0 J) H5 m) Q& [数转为复数域,那么函数呢?从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢?大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望,时域的微积分变成了频域的乘除法。
    ) j' F6 }6 K, V7 o1 @, c! f( B3 B+ Z' ~/ O6 b4 Z$ ]2 d4 k6 F. V
    ' A4 }! [5 W' ]6 u
    4 D, a/ a/ D, g  |$ t
    傅里叶变换有一个小问题,要求函数绝对可积,也就是积分是要有限的,否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件,比如x^2。那怎么办呢?0 }" Y2 c1 G& s( b+ R# o0 \

    * r" N! N" _) e" _% K$ |拉普拉斯跳出来说,我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大,我给你乘上一个衰减因子e^-at,在t足够大的时候,都能给你拉下来,满足傅里叶条件了。
    4 n- G2 I, q8 ^% ~' Z; k3 q( C. y  m: Z
    ; Y+ b0 G$ @! J0 z  B6 Z8 G9 z
    $ R' }* a. O+ M' x& n6 _( j
    , b/ [' x) ^+ U6 `- \0 [0 L1 y指数相乘可以合并为加法,a+jw不就是一个复数s吗?这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
    5 M: Y7 f0 R& |1 n8 U) r* I0 k
    : w6 b9 V4 y% A0 Q" i有了这些数学工具,我们可以将电路中的各种变量变成复数,方程转到复频域,这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

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  • TA的每日心情
    开心
    20 小时前
  • 签到天数: 1853 天

    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2023-9-27 12:05:26 | 只看该作者
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2020-3-8 17:23
  • 签到天数: 94 天

    [LV.6]出窍

    板凳
    发表于 2023-9-27 12:06:14 | 只看该作者
    高手就是信手拈来
    * N# M$ G" y/ {" _以前看卡文迪许扭秤、云室,感叹设计的巧妙,没想到数学也有这种操作
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
  • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体

    地板
     楼主| 发表于 2023-9-27 13:20:28 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-27 12:056 x. m& K! c+ L6 @* a) `
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?
    - b. X# H4 ^& P" m! q
    对对对,1+...+100,本来想说高斯公式,但是高斯公式太多了
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  • TA的每日心情
    开心
    20 小时前
  • 签到天数: 1853 天

    [LV.Master]无

    5#
    发表于 2023-9-28 04:40:41 | 只看该作者
    又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
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    6#
     楼主| 发表于 2023-9-28 08:43:42 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
    $ I) r, J5 v4 u. ~又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
    7 b, l* d- P9 c
    对,还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算,可以用时域的卷积

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