我理解的拉普拉斯变换

可梦之

0 P# y2 D3 V. E! R; j: X; u* F
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
  j+ X1 P- b$ z! T( q
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。

# @, Q- v3 O5 \& u电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？

* L& N( q& I5 |1 x5 v3 B
, S( s2 l8 [" B2 L
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
) V3 N7 D9 g3 n2 f/ _, i

8 c0 b1 n) f- }2 b
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
5 ^+ p0 p( e, S6 C/ j9 a& c

& |4 S: q8 Y+ y$ t) m# W
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。

# L6 N$ k  g8 D: \0 P; b( R

/ W$ T2 t" y+ @  o傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
! p% `" W3 ?7 `  [9 Y2 M  P( N* J
0 W0 d' R0 D1 v% T" {# t拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。

' G  f" v( ~8 R! j, {5 s4 h

) O( v+ U" N8 Z' V7 ^5 i指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
6 `7 E( G+ S5 H. S7 \! Y2 x
& B3 {" R, d7 D  V8 |. ]) |有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
3 y/ Y6 p4 Z* g& P: j9 {4 Z1 k高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
) y& \2 ^/ F5 }! c又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

1 {5 b: p4 N) P# C" b+ o对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积