我理解的拉普拉斯变换

可梦之

最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。

8 V% [/ j" ]' j5 L( `( h* H0 M" V众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
0 C% g! c* l& R% H  L" w9 e
% i" R4 M* ?2 k电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？

( O- S0 O  Q; J8 T7 A$ v8 b! ^

! C: ~# H8 e: t/ V% r: B翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：



  y0 y6 a$ d2 D不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
: y  s5 V- F& S* K( d& `, Y5 J


数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。


$ G- h) [4 v7 i; P" g; z
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
0 P4 o9 \( k* z. p' H7 I$ U: b
. H0 J9 V  Z$ _& V1 `* z拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
/ |- a8 n! Q! l
: N- g$ L0 F6 u3 q8 _) L% {3 a

. J8 A* W- x2 z& s指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
: o+ D/ j! q5 j  M! n6 R2 ]8 o8 j2 H
2 f6 u6 [1 [4 j# i, ]4 |7 X有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
5 I* w0 y" L  @+ N- l4 X2 f  \0 j* f以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

; C0 g% i: h. |: c. \8 M对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

. Y' [) N; }' M对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积