TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
, p! k" ]! L$ a D% j* g/ t' F看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
( Y8 I0 v. R6 s# O' ~0 _5 I. w& c5 D1 J& T
他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。6 J4 j0 W! K& a0 w/ y0 k
; r4 J Y8 s0 n* ?6 o+ |所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。7 C, u/ V+ O. X3 l. e ^
0 m/ F5 x# ]/ E* w# [& X* c3 w! y
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.! O, k7 a. u+ v1 f2 {& L
3 }' ?- W- O2 N( n* }; R幸运数的定义0 _" m6 b7 e( e" V, K; P
FORMULA
7 l) }& R+ z; o A! p3 `+ FStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
/ h- A, M# v w* C
3 ^+ H" i& m) \/ P( I* X/ N& w, @; u具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
" R) ?) O% {' m; ]/ r f a8 X
7 q/ ]. P2 G' M* q( c. Q初始,从1开始的自然数列:1 ~4 V- ] h2 I
Begin with a list of integers starting with 1:
: f% Y$ ?: L- @/ o# y! ]! n- m9 @1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……! ?$ c. B% E k- X
0 N, `6 S; _/ [
开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~1 o, l9 f7 q R: C0 L5 V4 U
剩下的数列如下:
O* V% B0 Q l: q lEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
, A P" w' k( ]% _0 ?- q" I( w$ R1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
, ?# R) X0 [2 w+ R- W. O7 \3 D
' j6 m" _) a0 V$ }# C; Q$ z; J接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
7 B+ \: a% i( [; [0 o1 m$ P4 yThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
R+ @# F6 T7 [* N: z% E; z1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……! D' I( X6 }% S M
% |! e8 p+ q7 q8 v5 o3 x0 c3 H
现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:( i$ G( D1 z$ k# R
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:. c; N$ D) \8 j# ]$ x
1 3 7 9 13 15 21 25 ……5 c( `5 O/ R$ ^! p; h
6 U" b6 [0 g/ n& k& t接下来是9,……
. b3 ^- c9 V8 M7 q4 T- v2 Y这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
+ Q' [9 ?+ K% n/ V, j9 M4 e5 W5 z0 l% g( M }: N
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
/ v- a; d& A. y& w% a在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
$ Q- U3 c6 r% M) J" l4 B6 V5 O上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:! H( f$ W, P: b4 G8 j1 y' j. K
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……1 H$ C5 H5 j* F0 Y. X) d# V, _
, n0 \9 |/ {2 j- D I' k有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
( m; P# ]1 c% C) t4 m9 U( t, l8 [5 V, t& [6 Q- m1 s3 L
% z$ h M; t7 p' Z+ ?0 W1 A/ l- x
2 p2 C/ {% [5 X0 W5 U5 _) J第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。3 R- d2 U# u) |: C; W
. E5 d* l) V" z5 W5 j& |数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
2 O, T% v$ L# P8 m幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
$ e; Z2 J9 ]4 ~1 B* u另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。: X9 s3 G$ _8 C
) r/ s# t3 Q$ n3 o! C2 a暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?/ s. z+ g/ e" D
% _; w* w, x; f3 U" a; I**什么叫做Conjecture?
, A- a0 ]: |- U. d" t# U$ r**约瑟夫斯问题。 |
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