TA的每日心情 | 奋斗 2021-4-20 05:43 |
---|
签到天数: 300 天 [LV.8]合体
|
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
" p' u* a1 ?3 E1 a9 R4 P; U" Q+ R# W2 }- T2 E
最近工作需要,又重温了一下电路知识,对拉氏变换有了“新”的理解。2 I6 X, R7 Z4 j1 L7 h1 D) ?
% Y, u5 C3 N# {4 U: s: [
众所周知,高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看,天地自然宽。7 q% a, v, q# a/ Z# o
& r; M' R* u" l7 Z0 _; j5 V m F
电路中很多微积分方程,如何解就很烦人。我们能否换一个工作域,将微积分变成我们熟悉的乘除法呢? c, e' X1 T$ C6 [2 w' h
. Y) {8 Z5 i% f3 k4 L; v
% y! P: N2 z+ j Y
; ^; @0 H/ @, e: W翻开数学工具箱,复数看着靠谱。复数有三种表达方式,欧拉公式将其转成简单的指数表达方式:
2 J% |1 a3 p# l, z% D* K7 E1 c! V& c
; G+ L7 j% w: T" g3 \
) T2 r1 z S9 f, m& p1 m4 P9 I' X不去管复数的具体含义,运算从实数转成复数后,乘除法变成了加减法,微积分变成乘除法
; k4 v. ?# l4 h# I9 Y% U7 f1 T4 t7 T% s+ p- H( |: H7 [* n7 S1 `
5 S, {2 k4 ?9 W& ^, ~7 |! b; a
: O: S$ o! `/ [# A( h v. l数转为复数域,那么函数呢?从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢?大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望,时域的微积分变成了频域的乘除法。
/ z& _& z- [/ P3 {7 L4 k5 e! Z
* m: W. B/ m2 f4 f' L. m; X5 U" N; [1 d' M3 `. I' z
% r% {! @" ^3 c# p8 s7 o0 f8 e
傅里叶变换有一个小问题,要求函数绝对可积,也就是积分是要有限的,否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件,比如x^2。那怎么办呢?: O" G+ n0 I. H6 }5 l
/ ?( b6 G& E" `. I, @
拉普拉斯跳出来说,我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大,我给你乘上一个衰减因子e^-at,在t足够大的时候,都能给你拉下来,满足傅里叶条件了。
$ y: Z9 L. ^* G: Y0 X" g0 U
( ~( b+ w2 f' S0 v% m7 p \. `% A% @+ x3 [8 _8 w
" H4 z; r5 x9 L8 `0 G指数相乘可以合并为加法,a+jw不就是一个复数s吗?这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。" P$ U) a- e: a, m, Y
Q( P* k; O$ A# A9 {( b
有了这些数学工具,我们可以将电路中的各种变量变成复数,方程转到复频域,这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。 |
评分
-
查看全部评分
|