小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
, K* n4 h4 d5 b7 F, L看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”

8 J' ?% q9 S1 E! q4 h, a他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
7 m  t' K- G, B7 Z
% A( V' c5 ~- m6 A% a+ |所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。

, o6 U7 E3 q1 N( N7 [In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.

' U! ^/ }  j7 t7 }幸运数的定义
: P. L" m7 o. A4 O' d0 E3 Y5 lFORMULA       
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
' \  N4 b, M- a; g0 x
! Y% `2 t) v2 b具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）

7 @$ p7 E, H/ G$ w, p5 \6 E初始，从1开始的自然数列：
Begin with a list of integers starting with 1:
5 ]. N) l8 W9 R/ }1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……

$ v1 i. V9 O% R1 _. }% [" p; @: W开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
, w' b3 H( O/ @/ k剩下的数列如下：
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
  z6 Z$ p0 ^+ |( j
' e) s/ W* [4 b( a接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
/ e) ^) K4 U0 rThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……

现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
  P: D- f' i! CThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……
4 ^: R$ d9 U- c1 z. i' x* x
接下来是9，……
这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。

1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
7 V/ R% u% o8 n# v1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……

有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？
4 l- P8 j8 ]# e! N0 |3 |# a

& X2 C6 f4 n  d2 L
* n$ t1 @  ~# l9 b第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。

6 M' A& m: ^9 l+ ~3 q数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
3 h; B  Z- f8 Y; u4 E! J另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
- h- Q% h3 q. m9 e6 ~
暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？
3 M5 m, t4 E1 h6 q
**什么叫做Conjecture？
5 q* g, g( d- O  |9 Q  X' Y**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）
1 R/ y1 ^/ {! [! W' Z
# h. ?/ S  \. l, E猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。

当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
! \8 V* L) U" y6 J" a
猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）

: O$ U( u" g6 ]1 n* z假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。

; {6 i7 R( q1 N( J: m有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

) @- ^; U5 ~! M+ C**约瑟夫斯问题    都教授

' \0 D2 _2 l, E5 A" E% L) }我们来聊聊约瑟夫斯问题。
; a* G# _7 W, a
有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。
" F: Z/ R1 y. _3 v' B0 E: _9 I
问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？
5 s- |2 l% P3 k/ N) x+ h
3 G1 X0 E( M% o( ?3 Z2 F$ t
---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  

---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
% r3 G3 W. e& T4 Z据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
+ G* L6 x' a0 A5 ~& t**约瑟夫斯问题    都教授

我们来聊聊约瑟夫斯问题。

1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
! G2 K6 `0 E/ \# O. {6 j
$ V6 v% B8 J% B- \2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。

2 Z7 Z! b. m6 ]. T, u, }2 M+ }推的方法如下：

n=1，就一号，跑不掉的
" C3 w8 R: I& Q- V5 V* [) in＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。


我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

, S6 V: y# b8 A

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
3 m" z# n% d* A- I/ ~7 _6 P! n1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

; Z# q0 Z1 P% J& t
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
  I/ i  `' O6 ?' t  b
9 Y" h3 X2 M) L  ~3 {# C+ R. B在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
7 e1 H9 k5 z8 |
0 s/ p) L1 C7 `5 \5 c) }; l, B% j还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？
4 T# n% ]' K/ H& E4 e- y
-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------

- Z9 a1 k! Z3 x* f& I. K, V3 ^8 j一个小心翼翼的Java例子：

6 N* p& }1 C+ y) G; v% L int josephus(int n, int k) {
        return josephus(n, k, 1);
  }
  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
1 \5 T0 J  G- f6 I      if(n == 1)
          return 1;
$ M4 {2 Y/ [4 K' v" _      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;

# f# C* M7 _9 C9 X. ]* v      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
5 c& [* l: R+ Z% o; z+ h+ s& i      if (survivor < newSp) {
' \( u, E2 a) T8 c          return survivor;
      } else
- i9 G. Y  e: T  C( U1 ^# b          return survivor + 1;
  }

另外有个更简洁的例子
  def josephus(n, k):
# a! X. Q6 G3 y+ d5 R( N0 {    if n ==1:
+ C& A3 Z! ]3 U      return 1
) x! S  \' q1 Q8 \% V8 |2 S    else:
" w; D/ I& W7 `      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1

+ c' M( g2 r. H$ X4 M+ K$ w（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）
- N) D3 s0 S9 F/ q- \
9 S! a, L. N; P7 s, e( F& S以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution


关于n的分析：
/ K8 ~. A' |5 q+ D1 f! @' `# e! H设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
# X, X* \' l. s, V  \. R/ x; c如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：
, G, J# h9 s: X& X& b
f(2n)=2f(n)-1
如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：
* {* m- [. J7 l
f(2n+1)=2f(n)+1
( s) o$ w6 J" Z( F$ O4 Z
' R! Y) @; U  z$ z; z/ F$ Z
3 R2 l/ \9 d' y: x如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：
5 t1 k5 a, t* ?- X$ v2 n* U
. F# S' ?3 J# Q3 K/ G  Pn    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
, b& o$ c& o( I1 Z* sf(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1

从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
! }; c& b+ ^$ p+ `
定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。
5 G5 H5 L: N" N
- `% v9 z& |  [( [; a* u) z
答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
  g9 U- S3 ^, Q1 F& `* w
  q: L6 \5 c) g, ^( ]( a在 ...

  C8 ^0 g7 n, D) R2 h我的推法就是这个：

* o8 f+ Z+ r  ?! d9 _) n" _/ ?" ~  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
+ [  a7 p! _: I5 F" Y3 T  A% y
  {4 k, I( ~: ?4 l我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。
% N. u$ S( Z5 D
9 J8 i) [6 Y7 a2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
看不懂
不过今天不幸运数是17

7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
* \2 a! g/ [8 b+ O
以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31
: b* g; b* T& E  _& L6 m0 T
13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。