TA的每日心情![](source/plugin/dsu_paulsign/img/emot/ch.gif) | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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签到天数: 134 天 [LV.7]分神
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼+ n5 S# G; i- Q& [6 k# `$ L3 ]
看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
d1 N& h1 }. N; H8 k. \# |
2 w0 ?7 ?# f* f8 L, s& `) \他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。: t- O# u6 F+ r3 \6 c% z
; [7 K& v& d9 E. `; G+ w
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
& B& b$ W+ d7 Y* w& o4 B
6 _: Q: i& {- b2 |8 r" RIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
7 P0 ~4 g1 p7 C2 e3 O: t$ ]/ L0 U' I
. M2 F6 b# z! @- D幸运数的定义) W* g0 J1 M k& m
FORMULA ) K; x( M" x. w1 K
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
+ ?# S1 f3 H1 J& u9 s0 i
8 M7 \# V8 N& H9 O1 b具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
7 ]% ?6 ~" }, D, i4 J5 Z. j' e- W2 K( m2 K8 r) @
初始,从1开始的自然数列:7 ~% Z* w+ L. s8 t4 c8 |) R
Begin with a list of integers starting with 1:
) @9 U9 \( u; n0 b2 ^, ^" J* \6 d1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……9 d7 G1 G+ A- A* t6 Q
. e! g8 v ]: }1 B2 H! s开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
, b# |8 K, _1 F5 g G! Z剩下的数列如下:
v, ?* r+ j: u/ b) UEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
$ M( u6 i+ p3 t A2 N1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
/ S3 Y2 F n8 ~ C& m$ s
+ |6 m4 |' s. E6 Z( V; T$ H. C( F1 h& ~3 Y接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
7 W, S! Z8 Q2 r; W' }% l' W) pThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
6 ?2 C1 \: P' T" ?1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……
4 e; Q; n9 Q$ E$ h. v! T# M6 ~, P5 o' ~
现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:# Q# m" u" B1 h3 T+ H, W/ E
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
y: x8 E, d+ K% a8 p2 U0 L1 3 7 9 13 15 21 25 ……
5 X% b% k; Y1 e/ O
- \9 R. A- n5 s p3 R8 Y接下来是9,……
. p3 i# k: ~; W- a这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
6 u8 _) N8 Q% o) B& z
, p0 {0 B1 E* j0 x1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
1 F" ]9 ?' o4 n. f: H, }2 r在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
8 r: J _7 u: u' n2 f* W7 r# [上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:# V% f, Q3 G, m r
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
' ^$ L& X* A ^; X; `
" B" Q. i" D( N+ [$ L" d& b. K有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
2 F. G$ j, R/ _4 }
S3 F$ p) C9 n4 ~3 s
/ B4 O U2 |2 ~$ T4 g8 z* j" d6 e6 P; Z6 ~5 f9 J5 t
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。! O' c( s9 ?6 n5 V1 D( j% r
4 |( {& u7 O4 ]9 K数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
4 U0 Y; y7 l8 l; A% y" z, b幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。$ C( z$ S2 |7 C0 `/ Z
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。# R- ?0 X0 v4 k' ^6 w4 L, l: z3 w
5 X: T5 m' [) H2 u1 ]暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
A& Z' \7 W; p' l8 X# w( N
: k4 V" D* r/ j& U1 M) P**什么叫做Conjecture?
. y0 Z N4 A6 M- l' [3 r**约瑟夫斯问题。 |
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