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[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

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    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
    % N# @" G& g) t; ?: ^: Z1 c看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
    & @  M; S* M$ r2 ?" q  X( D7 K* {% v; O& H
    他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。% b; ~: ~/ Y, M3 v) }3 A! s4 o

    + y" T0 D5 d7 }  d) \/ P% f所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
    ( O# U" o& ^2 m, q& ~1 @
    1 D; l: ]0 a, K; x, IIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
    1 j. E" g$ Q: d( f& A
    - H6 T. f: _: ?1 b- q  M6 t) l幸运数的定义# U0 k% y* g" L1 y& ^
    FORMULA       
    1 }) E9 _6 j! `+ KStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
    4 y& O" f+ X" p0 ?' ]9 L. w  k
    ! Z1 l( r  G$ u, e7 v- Z7 M" \& T具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
    % Z. y3 m- S+ Y4 I5 N$ B+ U' f, e8 e; D; ~9 W7 U
    初始,从1开始的自然数列:
    5 P; Y  J0 n. b5 EBegin with a list of integers starting with 1:
    0 G5 V1 i, |, V6 S! E0 |7 N9 l1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……
    $ I% R% F  \# R& }  B- n8 x1 _: y
    开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
    5 `- G" ?* D3 A7 C剩下的数列如下:
    4 j+ L5 d% |% z/ q) cEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:9 ^8 b2 o8 }4 T7 v2 a
    1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……3 ^& T2 |& e* A; S9 X+ R

    & ^: Z2 V5 W0 M2 y- N% x% Z0 ^接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
    3 {6 i/ l' {) C1 }2 r/ G& @The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:9 t6 M0 u+ @/ S& A
    1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
    7 m( Z9 Q* K/ O! o* P* q4 c! V9 h( c6 [! Z" P
    现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
    2 Y4 M5 r( b- c2 j0 aThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
    : J- C) _" ^3 ?* ~7 M1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……
    ) K6 G0 `7 @8 e' q* g5 |
    1 Y% P5 E& ~& T9 ^1 H接下来是9,……
    ' b6 Y$ D/ t  q, K' Y这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
      K# o. E  x% K/ J" z1 A; o$ ^" @1 x$ j* m- \
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
    $ \" ^1 q; u: ]在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers# {, {" Q7 o4 R+ {" J5 j& S
    上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
    7 O& S" w! \! }1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
    2 Y% ]4 r: Q# q5 U0 o
    3 h6 q# E& k) C8 R; F) O有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
    9 w1 U9 a9 x+ Z, o$ m: q3 U! M" q0 j: L# x3 S. e& p/ N6 Z) E/ c

    ! s0 U; `. F" n* ~, e- E: n3 O# Z7 s9 v9 F+ F) Z7 p! H
    第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
    9 B# t$ H$ E* O5 e' z
    # A" ^7 q1 C% ], g5 f) o数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。, @% E  f0 [! x
    幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
    ; B. Q- w) }6 `另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。$ |# O3 Z1 |& n: }! E

    % X9 b2 L3 E* l1 q. u5 C. u/ s暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
    1 x+ {; @# K4 u' v0 X
    : l- _" d& ^# L9 z& h3 s**什么叫做Conjecture?
    ! H% d! a( E8 E9 F**约瑟夫斯问题。

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)
    - ~5 P. I7 }* H9 Q0 L, K3 F  n# s5 p9 v
    猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。" J- L$ J8 H2 I! w* Y/ _5 e

    3 E- o! X5 A* M' Z) ~4 y9 ?, F  b/ j当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
    * R6 K( C# v& t/ `" ^; h5 z5 E7 d& R6 @6 L
    猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)5 Q$ m. }$ A# `. t/ X$ r( n3 c

    3 ^! V& q( y' [+ k; a- G/ |7 T假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
    ; B" d! j- t+ N$ a4 E
      n8 D8 F* }& X" z; p有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

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  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
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    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑
    3 ]7 [$ c3 U( \3 D$ G
    ' r0 \* b2 x8 J! P**约瑟夫斯问题    都教授 , l; u. I" ]8 ~
    5 M- L# [8 a' ]$ J( q
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。: Z: Y( w- b, l, L3 w* s
    , t0 U# m# i8 f, u2 M4 V) A
    有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。
    & i* J7 X+ p$ k7 f6 ~/ V: f+ N: ^0 V
    问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?
    6 w( d0 |6 M7 Q; s# t
    1 t4 u( d1 u5 a! }- Q7 U0 R
    # q7 o* \3 M5 c1 V---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
    ; O, H6 Y" I. p4 o) s据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  2 }! S; \8 J2 m6 Z; |# d/ k+ G

    6 `  t4 B3 z& i---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
    / B, C3 s, E" S2 y2 `7 b7 i7 u这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。! l# G7 t  z. c5 y& W
    据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

    该用户从未签到

    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50 " {9 l$ N, p) k3 L; u
    **约瑟夫斯问题    都教授
    * T6 D8 D: i/ K' b' J
    0 j# z. R! X( a$ m2 |我们来聊聊约瑟夫斯问题。

    2 E  ?8 G5 y: }1 C1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    # Y  g; |& p8 s8 i/ ?
    $ r0 r+ G5 c8 p+ V  k9 _. N2 G2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。+ X4 L$ H6 H6 F" S8 R; g4 O

    6 _: y9 p7 W% Q' W) c3 C0 @2 @) k推的方法如下:
    6 L; `4 q* F, ?: r# x* M* R1 H: r# T, `" K; R/ e. I
    n=1,就一号,跑不掉的* P' J2 u: R5 m1 a# J
    n=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2
    & D% D+ O2 k, n9 {1 b5 G: s如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。
      L" U( C: y% \6 o0 K
    ) k. @8 ^7 F; e9 m; b0 p3 Z$ \" ^3 F; e0 M0 T* }7 T5 G& _
    我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

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    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑 " V' _* ?0 F' n3 Q7 N/ C6 p
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30 9 q. t4 H: s! a  ]
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!6 K3 v3 z0 _4 ~5 A
    " `) E/ [, D. B4 K$ R4 F
    2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...
    - W2 k. a1 D$ W7 G' \

    7 e1 l/ o/ K7 {3 Y7 `兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    : a4 W3 `9 j. z: f8 g  e& o  [7 i8 |  W1 O
    在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。$ i3 U5 M( D* B& Z. S- G8 ]

    & n7 I' X0 n# c9 p; D还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?
    & @, V! m6 H3 b0 f8 g! L  Y4 A" K
    # i/ v2 B. Y  v+ O5 R-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------# f: p0 l2 l5 }! L7 A
    & j) f; m! h4 L: @) B
    一个小心翼翼的Java例子:( m  o8 X4 Z  L- k; {2 G
    ! F5 h" a9 @" T; t; w
    int josephus(int n, int k) {
    9 Y8 B6 t2 H# Y! c        return josephus(n, k, 1);
    4 O1 G5 h4 [! L$ ~! o  }# X7 h& v  m5 r
      int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
    7 W- X4 z1 P& ]! v* }: l! s) n      if(n == 1)
    / S8 k) t+ r: S3 R2 T  v          return 1;
    1 b2 l: m  y9 ?' @7 M6 A      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;6 f, x3 N( k7 ~" k6 ?2 d

    : ^6 B) Y( p- j3 Z+ C      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);7 b* D4 [1 c! S2 B
          if (survivor < newSp) {
    2 C$ {" t1 h# L3 G3 {) K          return survivor;
    5 `% G6 d# f! b  o3 X# v0 `      } else
    3 V3 o' _9 J- w" o) j* h( }          return survivor + 1;
    ( z6 f# J: y% L+ w$ M  }4 }/ Q9 z7 m; E& \7 W

    6 r; r+ r/ p" K* \# u另外有个更简洁的例子
    2 F* _: f( A1 l" C) J* u  W  def josephus(n, k):, `, G0 H7 d1 V; L5 }* a, o
        if n ==1:1 f2 k/ p/ h" K
          return 1
    ) d& O9 L# v# E    else:' O' \' J. h6 d# V  ^; l
          return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    " g. [0 o- \  h" p1 Z$ M4 m1 O3 J& Z2 O
    (如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?): J& O6 X0 A% w: w/ W

    , h- X" [5 T0 a- w# V- _以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution' G5 d8 [% x4 M; V! c

    1 N9 N) k& F/ n9 {% ?) L0 C. c; b( M" X* F6 ^4 E) G' _+ H
    关于n的分析:( K1 n7 v1 I9 _! x
    设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。
    0 z. U8 r4 v/ O2 v如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:. D1 A$ z- @8 Y- c) y' \! S

    ' g( J3 |: t; p% [4 t& b2 bf(2n)=2f(n)-1" z; V- h! r( G( R' W+ @; |, `
    如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:1 E9 R( W, u- N1 z
    - H3 P: @3 j8 C% R
    f(2n+1)=2f(n)+1/ Y& P( S2 v  Z* Q0 o

    1 h& H7 W. J6 Y' v$ F( p8 E! B6 ~+ _6 X1 e8 O4 w
    如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:
    " M: S) P; \8 Y# H+ c
    # r; d  v4 H4 Q  t0 d  F" t) r6 }n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    161 V$ x, J) P. K$ j0 D* s( {7 K
    f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
    7 `, g% O' p& o; K% r% t; k, z4 P: i! y" R: a+ |
    从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。$ S1 m1 u- g( l7 O# [. S

    2 G( e) h9 I9 H" E$ ]( d: i定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。
    6 q/ ]% z7 C! W8 V, ~" G9 l5 J2 h$ i$ m

    9 S/ t2 H2 _' n) D答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

    该用户从未签到

    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
    / s, }, X7 P) L2 d兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    ( \- E$ E9 x7 T: \" E) O( z8 w( a( L1 R, A2 a+ P$ Z
    在 ...

    8 A) B4 t& m8 P5 g9 B我的推法就是这个:
      x+ k& l6 G3 E- h3 }' ?' c
    # Q. d/ |  l! G6 b0 D  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    $ E  q% x# F- B" A/ X
    - U, A. ~1 W  O6 d- Z我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。( u# ~2 X" T2 y' o/ n. ?8 [

    $ {! i+ f( }3 T+ [9 o% l! h8 ~+ j4 ^2的情况我没单拿出来搞。
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    昨天 14:42
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    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
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    2026-6-27 09:25
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    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂& b+ h( w0 g+ R6 x
    不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
    , y- \/ \* U3 R" x看不懂
    + x' q, x- u4 T不过今天不幸运数是17

    " }: e: g+ E9 B7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。  k: a' j7 H! l
    : t$ @/ w. N& C# l; x3 P, V) J* H
    以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,31
    ( ~! L- c6 `% c1 |, X8 o  K  R) U" r/ r8 w- y# c* I/ \, c
    13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

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