TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
, K* n4 h4 d5 b7 F, L看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”! c3 i5 ?, ~/ r$ n
8 J' ?% q9 S1 E! q4 h, a他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
7 m t' K- G, B7 Z
% A( V' c5 ~- m6 A% a+ |所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。/ t% T# M! X5 J$ C% q/ e' p. X
, o6 U7 E3 q1 N( N7 [In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.; x! N9 y: t; H/ {
' U! ^/ } j7 t7 }幸运数的定义
: P. L" m7 o. A4 O' d0 E3 Y5 lFORMULA - b$ z( ^0 o" M# S2 G
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
' \ N4 b, M- a; g0 x
! Y% `2 t) v2 b具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)2 ~- v! N, O' f' H
7 @$ p7 E, H/ G$ w, p5 \6 E初始,从1开始的自然数列:' L4 c! E o) m0 ~3 Q. @; T. `+ ]
Begin with a list of integers starting with 1:
5 ]. N) l8 W9 R/ }1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……& e8 f9 T9 s2 D% w
$ v1 i. V9 O% R1 _. }% [" p; @: W开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
, w' b3 H( O/ @/ k剩下的数列如下:! b& N7 M4 Q. D1 o5 [9 {
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:3 ?0 ?2 m. e. F- Y9 c( w
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
z6 Z$ p0 ^+ |( j
' e) s/ W* [4 b( a接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
/ e) ^) K4 U0 rThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:; d) \, q; t; @4 p3 z7 n
1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……% r* N2 d$ j. P( A7 Y9 W1 A
1 f3 N" @$ M1 ]3 [1 n9 R
现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
P: D- f' i! CThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:) R$ d2 ^5 }* S2 P1 n2 V; O
1 3 7 9 13 15 21 25 ……
4 ^: R$ d9 U- c1 z. i' x* x5 o1 M% c2 U7 c9 q
接下来是9,……* x: c& ]! q* i3 u7 J2 d3 I/ e
这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。- |: Q$ [/ V, c2 t- u* @$ Y- V
4 G8 T9 `, {5 h1 P
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).* D% L* f* Z) _* j( N& S" Y
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers: e; h4 h, K' L! F# e
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
7 V/ R% u% o8 n# v1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……& w% E1 \2 L4 f2 L
+ {' q& f# [6 j) P- `1 D. e- O
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
4 l- P8 j8 ]# e! N0 |3 |# a! q$ E n! s. s6 C4 S" k
& X2 C6 f4 n d2 L
* n$ t1 @ ~# l9 b第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。: N+ ]7 B. P' O( ^: b3 m
6 M' A& m: ^9 l+ ~3 q数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。1 l- w9 T. E" W5 m6 K
幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
3 h; B Z- f8 Y; u4 E! J另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
- h- Q% h3 q. m9 e6 ~: Z, e% u' M6 I5 h' K, ^6 \
暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
3 M5 m, t4 E1 h6 q9 G5 o' E0 Q, x; `2 g! s! Q/ h
**什么叫做Conjecture?
5 q* g, g( d- O |9 Q X' Y**约瑟夫斯问题。 |
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