TA的每日心情 | 奋斗
2021-4-20 05:43 |
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本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 1 w% S T0 ^+ [5 c; ~
/ [: B. r5 G: w- q+ X2 U最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。. O/ j$ U3 j6 h; Z. }- W, b
9 i! D" P- L. n, X; e- O6 R2 [众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。5 z+ R j7 K4 z" c# v
* ?! K* h: Y1 ^电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？/ M# x) ?* W0 m8 [; E4 D. l, b
- N6 X5 P& Q+ `3 ^, m
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7 _* d' H8 x) U: N ~
; R4 f! g* ^' M+ Z* h* d$ O翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
' Z `- I+ d% [" B: b+ S" L9 u0 I4 B( O7 n
![]() 9 r+ y3 Y Y X+ z, o/ k
9 O# P+ @2 W! A% a1 J7 K- _6 m$ j
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法! U# j5 T* E! r8 ]8 w5 b
# L S4 q. z2 t' E2 p/ Q+ W- t* A( h![]() ! ?7 a" O9 `% x/ c: e, s# v$ q
. v# s1 e5 q* C5 Z# a4 {数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
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) g% p/ |4 f! E9 G* B![]() , x. ]0 j( y k, \
$ d4 \! F9 g7 o! V+ I傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？& ~/ C& X6 n3 b4 X+ ^
; W$ v- M) ]' \+ g, c+ N, \- a( w
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。5 ?2 n5 h$ f; Z2 X
a: ^& z; I0 b% t6 P![]() : J2 L) `6 A* N4 V: E) Q% z
* `* G6 ~' k, u/ d+ d L指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。" k- w2 ?4 Y; \& U
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有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。 |
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发表于 2023-9-27 12:05:26
