我理解的拉普拉斯变换

可梦之

/ ^& c3 c) d! d4 h, M* a' {最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。

; {8 ?+ w& w& r& h; r) M$ X众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
9 _  s, ], S9 V
) D0 E: {) n' T) g电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？

) f1 E, l# q/ H0 Q8 f3 `9 c3 `

翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
0 L# x- k# w4 T; d+ W# D2 {


: \1 R' e' K9 V5 }' |" A2 k; M不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法


9 K) R& P6 d2 o
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
: V6 X  h) m" s& y  z
* n0 O! Y) e3 D7 U. J

# X2 L9 }7 k* h: n. d傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
) i! M, W. J% M2 `. x$ {
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。

. S1 d* u! }+ M* S* N. ~% A# m7 d
. ~- s. N7 D5 ?2 t! f; ?9 `
5 k* |) A+ D5 w- A指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。

2 [0 A3 O4 A2 m有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
8 B% E# [" A: ]5 A6 v以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
* T9 i# [6 X# E+ N3 w6 e0 L: a高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积