我理解的拉普拉斯变换

可梦之

; J, }/ s8 }2 I# P/ n1 E& ]+ T
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。

. u' o5 r  G5 L* S/ n0 l2 e众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。

( @5 _1 o" e* d6 |$ H  y9 s3 [电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
* L# E9 w4 `0 B6 J7 w. X8 }

8 _4 h5 X: _9 r4 Y  R
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：

( k8 M2 u; V( n- p2 u

8 ~2 r" p0 C& f- I不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
$ h' N0 E* X% y+ m) G/ ?
8 n( G" K$ G3 S( z: l' }

& |. T" `6 R# i6 @& A4 U数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。


: b) j. |) o/ d9 N. m  Z- X) z4 v
9 w$ a) q2 H) Q; s/ q: m傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？

拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。

8 X5 N3 n# U# Y" Q9 R
0 W; L3 B1 N% e; d
/ f  M! Z3 ^6 S! _6 }指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。

7 u  |$ w: I; c5 K有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
" G* H8 e0 X  Q! z( |# w6 Q以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
, d: n2 u" m7 ]( x* m" c+ \高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

; R) a7 L, h4 Q0 y6 Q3 C对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
$ E5 e, e# N+ g6 q又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积