本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 " ]' b. Z5 C T . g Y4 f5 _- y9 s5 b最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。 " N( p: D, \( ~5 _: L! w# m2 O. M& d% `$ ^# A# x v8 I# K) a
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。6 Y. ^- _2 m6 _8 V
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电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？ 1 k# w" ^6 l- d7 [3 y5 s/ B2 p0 J1 \3 h# Z 0 k' f$ d: ]; l ) V$ g/ d. z5 j/ s$ q翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：( b- G e& i8 ~1 {8 Z/ G4 f
" N1 @5 e4 G8 n( o9 ]5 q# P 8 p; N* a/ w3 f! f1 h: J8 t' D% |% P# P
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法- W. }, F: {( R2 B8 [8 ]2 ]3 ]. U4 @2 U
0 h& [9 {6 k" v3 m9 K( |- j ' Q) c" _7 M# X8 P 7 V6 x: g, D! D9 P2 S- N$ H数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。3 C* T; x2 S$ l, {$ Y! e0 a8 l
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) F% S. Q& s6 Y1 @傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？3 ?) S. [; d! g. ?8 E4 v* e n
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拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。; ]2 _- x4 C7 E5 C; n0 H0 J8 H4 l
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指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。 # e" `- ?3 Q B8 c* z0 q F6 ]0 n . c) d* A) @2 b# P有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
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发表于 2023-9-27 12:05:26
