TA的每日心情 | 开心
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本帖最后由 数值分析 于 2020-11-5 17:56 编辑
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下面继续.
) `# s) Z% S/ f" [# U& _. _2 \) V# L, N5 X
说到哪里了,哦,公平赌局.在一个公平赌局里,所有输家的赌资都由赢家按比例瓜分.我们这里简化一下模型,假设一个公平赌局中只有两个选项,当前押在选项1的独资为a元,押在选项2上的赌资为b元,按照赌场的切口,赔率为1赔(a+b)/a和1赔(a+b)/b.然后我们现在要下注了.不失一般性,我们假设我们押一块钱.设我们下在1选项上的赌资是x,则押在2选项上的赌资为(1-x).那么我们怎么评估我们的得失损益呢,这就回到了决策效用函数上了.
1 ?+ w: w+ R' V6 V0 T0 R$ |1 S. u+ `* s" O! I8 G* K8 c. o4 O
通常在概率论里我们优化的对象是数学期望.计算数学期望需要关于赌局的信息:1赢的概率,p,(或者2赢的概率1-p).如果我们知道p,或者对其有一个估计,则我们获利的数学期望是/ ?; [2 h% U3 {/ G2 _' X
x*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p).
- ^' H% ]" l; C8 I5 _
5 ^3 ^' \. @- ^ {1 Y2 a R现在我们来看一个有意思的情况,假设这个赌局是一个信息充分透明,而赌客绝对理性的赌局,既每个赌客都知道p,而且都用一致的决策策略(极大化数学期望),则p应该等于a/(a+b).) T# b9 s( l6 m& z
9 U; [2 N6 I+ L% `在这种情况下,有意思的结论来了,
) B3 T6 S' P, T; g! |x*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p)=1,
* R3 g N3 Z. M7 E0 p( U9 Mx在式中完全消掉了,也即无论我们怎么下注,我们都将得到本金返还1,no more no less
. ]/ ~8 C5 t8 ?0 v$ {$ A, o- S
# f: g- Y2 Y) |" C9 X我们立刻得出两条推论:
+ m# f- a! `4 S( C1.完全透明的赌局是boring的,没有风险,也没有收益,因而是没有意义的(或者数学上说是平凡的).
; l, Z0 w) v3 i2.公平的赌局中收益与风险相伴,没有风险的策略收益也是1,没赚头.
0 q6 x2 N! A, }: [) b$ Q7 b1 j# z5 X* g+ Y% g$ s
继续待续中.... |
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发表于 2020-11-4 15:13:04
