小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
4 b1 D$ C- `$ x; O& ]看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”
2 L. Y/ \( s) t- Z( b
- o/ t6 J. F3 N$ k1 o$ g4 `他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。

+ x; F2 \' }/ J1 a, J7 D所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。

In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
2 D/ D8 g& X: {9 s9 \8 D5 ^
幸运数的定义
FORMULA       
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.

具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）
3 `$ h; m  q- D4 A3 u; e( F, D  R( E( I
8 W7 J$ C  o: i9 v初始，从1开始的自然数列：
% m4 |& ~& \2 B" S5 }* q/ N& X  |Begin with a list of integers starting with 1:
- F( N! B( }  r9 A5 R1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……

开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
剩下的数列如下：
2 Y1 n+ ?& y+ E' V$ t8 TEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
' P' _4 H1 k: V1 E
接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
' P* v- U1 {6 R  I* c% {
1 N# d0 R; Q- M( q现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……
" y) w$ S9 T6 _  Q$ l
: G- @4 C+ D# z/ ]' W接下来是9，……
这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。
7 U7 \/ h) H5 ?. f# j4 T0 U* i
6 k: w7 \2 m3 ?$ q0 H3 D1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
0 l4 b; x4 o7 A0 ^2 F上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……

有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？

1 c* E$ g: @) u2 y4 h  l
# O! P1 B) O( N- J5 W$ Q4 @3 N
第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
, ~2 f0 L0 f1 {# i/ U- M7 ~6 s" w
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
$ E4 P, ^5 w; [' g幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。

暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？

**什么叫做Conjecture？
% p0 `" j) _# b3 t4 |$ f**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）

猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
, K% }) u! @: X1 p" S7 i0 x
, B: g6 g" ?: w7 L) i+ K! B! e当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
2 ^9 T* Z* `7 \$ O0 H! F
" \7 l. r4 C# }- t5 D! Q& F: J2 U5 A猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）

假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。

5 H: V0 z4 F, C有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

0 ^8 I. I' U5 r2 t5 t+ u
**约瑟夫斯问题    都教授
+ \- T( `' X" ~7 E
我们来聊聊约瑟夫斯问题。
) G& [& ^& y! K+ m
) x+ }# \$ ?& l+ D& J2 y& o有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。

问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？

3 \% q% ~$ V, g" k% T1 N7 k
---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  
3 p- o2 |! t6 u1 @9 m* N; p
---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
- s1 S# w* P9 T! T9 [据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
**约瑟夫斯问题    都教授

我们来聊聊约瑟夫斯问题。

; q( m" X& {6 G5 G: V/ V1 `1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
- M- @2 n: V7 w) k  N: Z
8 |( \- @# y. v2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。

8 K" d1 H7 f, i" {2 r推的方法如下：

n=1，就一号，跑不掉的
n＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。

* t; Z7 ~4 }! D3 m2 W5 {
4 L$ Q2 g: k% P我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

" Q; l+ S- i1 \" v. T* `& {8 v在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。

7 ^, @+ b" [4 c# F还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？
2 F/ _  e* {7 j6 T5 Q4 c6 q
-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------
& Y6 n  D, h/ }- t
一个小心翼翼的Java例子：

7 q% l" }5 F$ M) S# _2 a9 Y& e int josephus(int n, int k) {
- S. p; d+ B4 {+ {% N; [  Q* x        return josephus(n, k, 1);
- w8 w/ z! U" B2 X5 v  }
  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
4 o% Q5 {: t/ @' W& b      if(n == 1)
          return 1;
      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;

      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
8 s; G, N) |& E+ b$ E      if (survivor < newSp) {
          return survivor;
      } else
          return survivor + 1;
. ?% {) }3 e# ~; z( ^  }

另外有个更简洁的例子
7 }! t7 @. s/ F, U/ Y( P/ _  def josephus(n, k):
    if n ==1:
6 Q4 N6 ^' |7 A- |8 w& _      return 1
) R: b$ a; D' o- @% y5 S  K    else:
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
+ p( k7 Z: B+ Y4 ^; F9 ?/ _
9 k! q- G' W! X2 U（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）

+ l- v7 M" ~7 i2 o9 e: W* y( }4 T以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution
! x5 m5 n- X' h+ G( w2 j
" O; W4 r% ^: `# v4 u+ K& z( _
; d. R8 w/ |& a: ^0 }4 Y# h关于n的分析：
设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
8 M7 [  M! w' o$ C如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：

/ f4 h3 O5 `9 m) M( Xf(2n)=2f(n)-1
如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：
, Q* ]5 H& b, Z+ R9 h9 ~
f(2n+1)=2f(n)+1
% R' l$ V- z9 C4 N; [' p9 [$ E

" K8 m) ]* c, j9 h( u4 f如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：

n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
  Y4 q0 Z; H/ D- rf(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
( [/ g9 F- Q$ L4 ~, |3 t, s+ f
从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
0 {  n1 Z. O( [6 ~. B
定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。

7 K3 K. w7 b/ ?7 E" }
2 Q3 `4 g& a5 W# Z* B答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
( U9 Q1 C) Z: T2 X" j- h
在 ...

我的推法就是这个：
) |3 V. l8 s/ g/ P1 ]
/ ]" \' a) g, e1 T) q; U$ R  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
9 B5 R* x- I& h: N* i+ B, f8 t7 a
我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。

3 g3 h0 a+ T$ E6 F2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
1 J7 `8 Q2 T" U$ C看不懂
不过今天不幸运数是17

% V: i& j" C2 U6 W7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
& O: y# W* D) O1 g) |
以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31

9 ?; _/ d) H0 @+ F# p4 t13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。