TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
4 b1 D$ C- `$ x; O& ]看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
2 L. Y/ \( s) t- Z( b
- o/ t6 J. F3 N$ k1 o$ g4 `他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。0 h0 O3 q; A- K8 O( V3 A
+ x; F2 \' }/ J1 a, J7 D所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。( g$ S. a3 [7 p3 {) ^
' R6 C+ M6 N, V2 v
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
2 D/ D8 g& X: {9 s9 \8 D5 ^1 Z4 |$ F6 v+ ] X; `. H% |9 K. L( B
幸运数的定义 s7 d% G0 ` P5 B
FORMULA 5 w# R6 p' |# C4 v. Z, Q
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc. \% d, [$ V7 r1 G
# c! d8 ~6 e9 J; F7 C, k) {6 a
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
3 `$ h; m q- D4 A3 u; e( F, D R( E( I
8 W7 J$ C o: i9 v初始,从1开始的自然数列:
% m4 |& ~& \2 B" S5 }* q/ N& X |Begin with a list of integers starting with 1:
- F( N! B( } r9 A5 R1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……( P, H9 Z* a; T
$ I+ W. S0 c" e; ]( M1 N$ f& m
开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~. {! A; @- a+ }" G7 M" }5 H
剩下的数列如下:
2 Y1 n+ ?& y+ E' V$ t8 TEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:5 i6 \/ E5 A# `* V" M6 _- ^
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
' P' _4 H1 k: V1 E/ @6 u6 I$ k( T2 {8 J; R
接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:0 `1 E4 ~. e- G9 X8 p
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:9 l8 I b2 S( K3 P- z& L
1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……
' P* v- U1 {6 R I* c% {
1 N# d0 R; Q- M( q现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:9 @( w* Z* M/ E7 K
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:4 U2 s V0 M* J3 V, s8 h, E
1 3 7 9 13 15 21 25 ……
" y) w$ S9 T6 _ Q$ l
: G- @4 C+ D# z/ ]' W接下来是9,……6 M' T. d5 B2 z; U4 H! [3 R) u% U: C
这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
7 U7 \/ h) H5 ?. f# j4 T0 U* i
6 k: w7 \2 m3 ?$ q0 H3 D1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).- N, l% t1 V" ^# F' Q$ f( @
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
0 l4 b; x4 o7 A0 ^2 F上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:! }" o `( i" A" q1 w9 S! B& ^& C
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……5 C$ ~# A9 r; N `+ E% j8 H% v
0 Y1 l( }+ d4 a }3 A
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?" n0 D8 k7 a8 M0 c2 Y3 r8 x6 }
1 c* E$ g: @) u2 y4 h l
# O! P1 B) O( N- J5 W$ Q4 @3 N; t$ s( W' `, c: b: F1 v4 A
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
, ~2 f0 L0 f1 {# i/ U- M7 ~6 s" w! U" t5 c- A( w, g! _& R
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
$ E4 P, ^5 w; [' g幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。' i9 ]6 H/ V3 m; D
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。: |- s0 r& i9 l! S1 P
% C2 e J- u$ P- L6 |# a% K
暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?* c* `/ \3 D3 g6 A/ H. s
: k, f! V! r* \; F4 c7 O6 r; y
**什么叫做Conjecture?
% p0 `" j) _# b3 t4 |$ f**约瑟夫斯问题。 |
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