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[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

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    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼# \. V3 g: b% C  ]
    看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”) ?+ ~7 ?. L) l# g
      [! Y$ \' g, K1 g0 |) |6 c9 X' b- J
    他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。" ]- b& W7 L2 w1 C1 J# L

    ' b/ y) U& h  K* D# A9 D/ c所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
    4 A: a) A% o( C
    % |; y3 ~; W, P9 C% sIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
    ) b, d3 H4 @& @
    ! M+ p8 p5 v6 M( U+ j- M7 t幸运数的定义
    2 ~% S& \. g0 H2 n0 g3 ?FORMULA        $ U: S" q7 T. S
    Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.- A  }4 o1 v& Z# Z9 ~0 Z' N

    - s' ~+ |6 w: p* J9 ~- w9 }1 P( ?具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
    4 m0 w7 V/ j* d( M) u$ h5 j
    # K  W$ Z5 G- o: P  e% W* T初始,从1开始的自然数列:1 [" a" S4 ^. c0 x
    Begin with a list of integers starting with 1:& h: f. L8 ^4 X6 P  z: g' v
    1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……0 w: u7 O) b* U" e: Z
    ) x& k9 k3 B: U
    开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~7 l2 J3 g0 ~) g8 A1 k4 ~  O
    剩下的数列如下:
    " n" f% l) y. E8 `* e8 ~! kEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
    / f8 v0 X! R( O4 E6 n8 M1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
    ( g- {7 C, x9 e" v, w) l7 {/ o- q( Z0 o) T3 P2 p
    接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:, s8 z/ q+ ?6 A0 D4 E
    The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:, L: X4 n) z" L/ ^1 Z: k7 D5 x
    1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
    1 H. Q7 ?' W3 K& T
    # f, K* {9 i7 m; x1 h; `* J现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:9 g! b* [, v9 U8 {8 E
    The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
    # \  F# d3 |; W* u' v1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……3 z8 U' f" `- _( |. s

    % H& i1 B: G) g8 {接下来是9,……7 V) u8 D. `5 T9 E3 v1 V/ Q
    这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。& _1 \# B2 c, O2 _6 Y5 _
    : q* L/ M5 f0 [; K
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
      D0 Q3 V- C, f4 J在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
    / z2 Y0 T+ e+ ^5 c& v4 D) N上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:+ Q. T  B* L& f2 \4 J. V( X: w
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
    . K; W/ @4 _- N( o! q# B6 F# x* R" Y
    有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
    9 h1 |3 G0 w+ C: ~; I4 U/ u. c( b
    * D% U) s7 X: v$ G7 }) i
    + q& x. J: m) E8 D2 p, s( X$ G, \  v2 {& b! h4 E/ {/ ]7 U
    第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
    - u- n9 M1 U3 c2 {  I! `9 _4 h' U. n0 q5 w/ _: L
    数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
      U% L0 t& z' y  k* d, v幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。# ?& q) ^6 x! o% _: ^$ a" t
    另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
    % j( H% g9 I- c, }- y
    8 T' k. O+ J& T( W. n( P; C暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
    : R4 h5 K+ o: o( e6 _" f" g% F0 z) y% l6 R5 t0 p2 g2 y% X! Z4 Z' U! j' i
    **什么叫做Conjecture?3 p5 q6 l) h8 A/ @3 s$ S
    **约瑟夫斯问题。

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)! k& k$ j) n) ?- a* A

    * U; {! k  L5 r( T( U& e$ h+ H猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
    0 C' H- X! L; A1 O
    ; ~9 `4 S$ o6 n! K# U& N当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
    ' |' ]( J2 K/ U# G2 ~8 D! k+ K; r7 T! D$ ?6 ~
    猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)  @8 c* J/ ^6 r* j
    1 P1 d& l8 h  E% q: A# d% x
    假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。- l; ~+ U8 l5 O# N# J
    ' M3 d" A% `+ z7 P2 V$ b
    有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

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  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
  • 签到天数: 128 天

    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑 0 V: z1 s+ f! B. n4 ~# f
    6 t% D3 x4 ~& g: R6 O  z3 l
    **约瑟夫斯问题    都教授 2 @. ?+ l* |$ C6 W4 S
    + a* I. |- M0 A/ p8 U/ ~8 e  [: F
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    * i: F- Z" b7 _; F* S: S4 [
    * V, d7 u7 X9 W# T. o( F: n2 I有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。
    ! o0 J! O1 e4 E) D7 Y- p  l
    ) r1 d* T2 p$ P0 U7 S( b) t8 D- `" s问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?% K1 r- ?' ~' R( W# W
    0 k! b8 }, V2 S: ]6 ?2 Q
    1 a7 e: S% }1 X0 v
    ---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
    0 B7 k! n' u2 \) u据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  
    - T% p9 Z! h4 C" o  i7 R( n& \3 f
    ---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
    6 M6 T* \, ?1 n' q2 N: N2 `这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。1 f* s  z& g1 O5 V3 T6 U( b
    据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

    该用户从未签到

    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50 * b1 w- Z, u, N: ^! U
    **约瑟夫斯问题    都教授 8 G9 e$ U9 A8 u7 S
    7 d8 L) @8 Z' u# M' X- A
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。

    * _) M/ d! |1 Z1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!" T7 i/ _! T( h+ E& p- A2 E

    ' l, \6 j. n2 p2 [2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。
    + {1 s2 l7 M% K' A+ ?7 T) G4 W9 V  J+ \) C  L
    推的方法如下:8 ?7 W* `9 b9 c" V  g" i
    ! J1 [( h$ I! p8 Q5 K
    n=1,就一号,跑不掉的
    ' E/ E( R- k- D; Y7 ~n=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2
    & G9 i5 A% j8 x# o/ x5 t如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。: C, Z8 Y& F8 X6 ]: S$ q- t

    0 U& J$ I& b7 p2 M+ [; d: o0 m7 ^6 O* t9 D. t  t9 n
    我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

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    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

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    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑 8 I% ?- v: w- |$ f: H5 s
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30 7 I! F$ a% s8 @- Z- e3 }
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    8 \1 i5 L3 S$ L  x' w9 j& N  ?2 r$ j: J! e7 p1 d3 `) e- _, ^4 s/ k9 e
    2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...
    4 v. o9 n3 X$ C% r! B- N. Z+ p
    8 R3 a5 N8 m1 u7 R1 l7 X" H
    兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    # p8 F$ M. m3 ]: ]& N* i9 R2 u4 Z+ [
    在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。& w. A0 O0 F. Q/ [) H2 Q

    1 P* A) _* Q8 e+ [# h0 v还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?
    7 l" L% y2 u6 m. z7 m
    ' H1 t, l  r- g-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------
    2 S- Y  w- M& P* z5 J3 N+ M, }3 S( ], W8 _. c, \7 ?
    一个小心翼翼的Java例子:8 i  _2 U5 K) e; u

    ! b# N* u" [  e) S int josephus(int n, int k) {* f! N4 u* m6 z$ z4 e1 S- A8 `5 Y
            return josephus(n, k, 1);0 Z' g% ]; a/ ~* N
      }
    * F4 l: ~# |. L$ f4 [0 d& E4 s$ i5 X2 B  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {* c  j2 g" H6 O7 k0 z
          if(n == 1)& m0 G6 f( @: a, {5 l
              return 1;' \- n7 r" J+ Y& d3 U9 h" k
          int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
    ; `! d' ?6 Y3 w2 m) |* Y: [   N8 H! ^$ L. K' H
          int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);* _6 H) t0 O) d
          if (survivor < newSp) {" h# E; J6 g( j. F  B4 S
              return survivor;8 c" B( p% {% V1 u2 ?
          } else
    ! j/ b* w- h% `- ?# d- p0 W0 o          return survivor + 1;* s" X' y' P# j
      }  \9 v- L/ o* u$ {% E* Y+ A

    $ g7 q9 m7 x9 ^4 d3 W% M' p: N' d另外有个更简洁的例子
    + H# q8 {% [. S4 ^% w) u  def josephus(n, k):5 ]# B# r3 b/ T% _
        if n ==1:, o! `5 W1 z  O) w
          return 1
    + _7 K  G0 d* E& ?    else:
    , z) |5 |8 `4 K1 u3 d      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1  w' X  B6 E3 t  }

    + Y, w4 w8 S. B/ G+ y! z, _% ](如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?)9 K9 d) v0 a4 C: ?* {4 ^8 p0 Q

    9 v; M" p8 e8 h3 I# J以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution0 L% d9 r! ?! P$ r6 [# t0 ^

    # r$ `2 H+ G' j5 w1 Y) i+ R8 C
    7 n+ t- }/ z: G* ^7 t; G关于n的分析:5 {* s2 |. _7 c' O
    设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。
    4 d. h9 O; Q% A# X如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:3 x. G2 t" m& L4 C* a! [4 s

    + _$ \. }: S3 C0 _, ~f(2n)=2f(n)-1
    2 B; L. J) H" s; e0 N2 F0 r+ L+ |如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:* l, _$ J3 C* X' i3 X8 \( s

    7 T) L! m- N% }7 F" o* Nf(2n+1)=2f(n)+1
    1 p3 o. ]* |4 ?4 M8 g1 ?) G) X3 P# m3 J0 {$ i7 e. T
    / f6 _6 r1 n' p3 O
    如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:
    ( _& ?3 I+ x+ ^3 X
    0 l4 o3 J0 ?/ a, }n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
    . \( Y8 v4 K2 |* wf(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
    * @. n9 I4 O: G; J$ g  Y" ]% A" J  H( I3 x$ A8 @9 q! y  L
    从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
    2 \  T$ h: r0 |' J* l
    $ }# k) _* T5 `' X/ Y; ?6 R定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。
    , {2 b% I$ i2 R% z
    9 w$ l* m! p: a! n
    " o3 j& x* ^. N答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

    该用户从未签到

    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02 1 R/ c$ t: |" }% w0 r" |
    兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看% c' M6 V$ B4 {% J- B+ ]
    % \7 k/ M. A2 [; U6 {
    在 ...
    , w& q+ |8 `! a; f- m3 c( P
    我的推法就是这个:) K: b: n5 a: x  X- H' k

    ) n7 l$ {7 E. J9 B  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1( N1 ^; Q' `% o$ W, h* t+ o( Q# Q
    2 e# Y3 h9 Z- _4 ^( O4 z) p5 K
    我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。8 j1 w4 n1 a) l! A/ N4 G; o& w% c
    - |  j' `; o/ W" x( O$ Y" R4 U' A
    2的情况我没单拿出来搞。
  • TA的每日心情
    奋斗
    8 小时前
  • 签到天数: 1341 天

    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
  • TA的每日心情
    慵懒
    1 小时前
  • 签到天数: 2291 天

    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂
    ! V, q: y! x( B% @0 @7 P不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
    0 X! x* ]9 u8 S: W" S$ I+ }看不懂$ Q7 \8 w+ `/ B" r- O) }9 _
    不过今天不幸运数是17
    " s2 m6 `; ^. \5 {* g* \8 N
    7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。0 ]1 g! y: g7 ?/ L5 a: X2 {7 h' u
    8 j9 c6 c) h) s1 ~8 c" F
    以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,31
    ) x) r. j, k- L+ C: A* f% A" I. l, B
    5 E* k+ A, _3 k3 S/ l" X4 L13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

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