设为首页收藏本站

爱吱声

 找回密码
 注册
搜索
查看: 6235|回复: 9
打印 上一主题 下一主题

[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

[复制链接]
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    跳转到指定楼层
    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
      O" x9 J6 I- F# R7 S看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”) z0 U7 p7 Y5 v& s% `# k
    # w& W1 u  P7 C* d
    他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
    ) M7 \8 B# X. F" y7 x( A
    ' N  |$ j. s+ @( f6 P4 K/ i所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
    3 }7 s" e7 z9 a: z
    & V  Q2 C# `! FIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
    $ {6 {) S9 E) Z& b
    ( r* y3 p  O# ]$ {- a( I; o幸运数的定义, ?0 q- \% j1 o8 R5 d$ v
    FORMULA        6 Y# G$ U9 F" r0 W! _0 u3 V4 ~
    Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
    , ?/ F( r  ^: }. i- k* h7 ]
      m$ x/ H6 [/ H: [0 M具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
    9 g5 B2 Q' N# j; L7 ^" H9 y6 o* C# d2 I3 x
    初始,从1开始的自然数列:
    6 _7 z' B; [: Z6 J, Z8 lBegin with a list of integers starting with 1:' D+ j7 |& ~9 F6 D
    1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……$ x9 I9 l9 t$ F
    - C  W! c1 s  t
    开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~; ^: S" g5 u8 k' h
    剩下的数列如下:8 H3 }: N7 M, \/ t7 S6 K9 A
    Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
    5 R; w9 @/ T3 u+ h5 M$ |1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……  O" }, e+ d9 c8 A9 W

    6 Z& X  D7 a% G* g! N接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
    . J: A! i* }# eThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
    - U0 Q; {% e% D7 k# L1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……* G2 x( m0 t; y- M; I6 z. {0 B
    0 N, _# a" s$ ^5 t1 `& C
    现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
    3 ~( a" F4 S: e4 H0 p3 p, VThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:/ P. f# r/ B  {$ D8 w' k" P
    1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……3 |' q; c& H( U9 c  A) o5 Y

    # s5 J( V4 d" `) C8 @3 i接下来是9,……
    1 D  V; W$ x9 w" q' \3 Y3 o这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
    & M+ F9 I7 T9 c1 B. k. [' R
    & V7 I, k1 G! I" W1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
      w2 Q3 h4 g$ J4 L在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers# ?$ v! Z! J; x/ b7 S
    上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:4 q/ V( I, Q( a4 Z
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
    0 x+ R6 P& q7 e, U
    0 ~( R& u  i3 X: H0 U/ W有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?1 G' ]- U9 \. k  z( j9 X* M8 `" }
    8 H+ p- g& N  ?" R) c
    7 ]1 t( G' }: h; l4 P
    ) k" z6 ^6 n6 l  u5 C; H" q
    第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。% R% S8 r0 r5 u& ^/ y3 B

    : h0 C$ B# U/ H  e0 U数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。. J: C& f) Q: L' [3 S. g
    幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
    $ |. {0 |5 B1 r1 f% K另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
    . T4 X- j8 \, ^' W8 ~
    , v) z% s! V( M+ @暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?/ S( @5 c) a' q4 N9 {& p  }& S
    6 H8 @0 i2 r- S1 i" D. Y
    **什么叫做Conjecture?
    0 l. D" T. v( Z* G) p2 u) e+ J**约瑟夫斯问题。

    评分

    参与人数 9爱元 +49 收起 理由
    韦红雪 + 8
    喜欢就捧捧场 + 6 涨姿势
    独角兽 + 4 涨姿势
    Pipilu + 2 涨姿势
    农民家的狗 + 4

    查看全部评分

  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)9 r  _  s0 X1 D' m

    ) {: ]- Q  z* a- ^$ p1 h猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
    " N( W" H/ X3 h  j8 D3 ]& h% {
    % f- N! [7 ?, L/ u, d当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。( n# V- x- g+ S

    % [# e8 G3 C& }0 J8 N" C猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)
    " f+ M8 k! d1 M' _. ?
    . S+ F8 X  q9 `+ U8 T8 u; N假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。# z5 y5 ]$ V" N3 s7 r2 j

    5 ?1 Y' e3 D7 q有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

    评分

    参与人数 1爱元 +4 收起 理由
    独角兽 + 4 涨姿势

    查看全部评分

  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
  • 签到天数: 128 天

    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑 ) j) }: V+ y$ n( h

    ( H- H) Y# Y+ }7 ?**约瑟夫斯问题    都教授
    ! T. W5 z3 |6 l& `% ]8 L+ c9 I- b, n7 @
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。9 F+ A) h9 a, \8 t' Y1 M& c& h

    ' j, N: d. P# p  a  j+ U5 x有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。
      U4 @9 k& j: B7 A! W( J+ E! o/ z$ l; ~3 ?( }5 q$ l6 t
    问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?
    ' A2 }- J- ], Q1 b
    ! J' U# B* ?- a+ ^/ L. |9 b: i
    4 M$ J- @) [4 r7 i---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
    , A- Q% X- t+ k4 T) k据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  ; n. R. T% M- \( d  S* X, E7 X, q% ^1 v

    " ?1 W& p8 q1 W7 z/ ~  y$ j  {/ r---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
    $ H2 m. K) o) k& X6 P* ?这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。
    + r$ o  ~6 L+ P5 ]6 t5 {) ~据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

    该用户从未签到

    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
      Y, e& Z+ ~* \( G1 [% [**约瑟夫斯问题    都教授
    ) q3 f3 Q. y# ]. B: g$ u
    & A- S* x  p" G6 X8 E( K# ?7 M/ G5 l# T我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    + ~6 [6 M: P+ r, M% p" t  |, O7 s
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    2 L; Z7 X4 B( m  g6 B0 u7 O( C" r8 q' ^5 e/ k) K% r
    2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。! M+ O$ ?# i$ D$ {

    * p0 h  z" U$ T4 l' e! E# G推的方法如下:% F: P& \* q2 }3 `  K5 w
    ' l% S0 B3 R% J
    n=1,就一号,跑不掉的
    & p% F# V' N8 s2 Q7 M6 sn=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2 8 g1 u$ z1 X# [8 C! h
    如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。/ Y! E5 v7 R5 G+ U% E
    3 C: X+ U% L2 C6 J' d
    . u& P9 E6 Q, l5 k0 V1 X. h) ]
    我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

    评分

    参与人数 1爱元 +6 收起 理由
    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

    查看全部评分

  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑 5 \3 S- O: `6 T2 o% Z; Y
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30 " i5 S  _/ a6 @, k& c. D( @
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    0 N9 _, Y: d% m  ~4 S; H; M
    / \+ _9 H: L, }  Z3 B2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...

    4 W% I4 i8 a! b! J. s0 H3 I
    # T% a" Y4 H/ q( Z& ^兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看. E1 V- F8 ~- u' a

    4 y6 f; L7 B4 h1 D在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
    # T# s) r$ f3 n8 a/ Z: k; z. g' T. i1 ^/ u
    还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?
    : ]! N* l3 j" t% s5 Y7 X4 n7 o2 _( F3 Y
    -----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------+ _  k* z+ x7 f
    # A' M( G3 V* N( w
    一个小心翼翼的Java例子:
    " T- x( _$ k' o* ~" F
    ) I# |+ e' f2 @2 c* a5 @ int josephus(int n, int k) {& a$ n  F- \, g9 K2 X9 }
            return josephus(n, k, 1);( ]1 _9 @; w0 Q$ C9 E1 A' g
      }
    $ `3 |/ o8 R# j  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
    3 q4 `, E9 A% f3 I  C+ _      if(n == 1)
    ; @( w$ M3 C0 U* x5 @          return 1;7 a; A7 L% T  w) r( G' n
          int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;1 g4 G4 Z% M3 p$ `

    : `3 B  \! f5 j$ {+ }      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);9 s. J- n7 t4 k; _, s& z
          if (survivor < newSp) {5 d2 z5 I, l- \, }6 R
              return survivor;
    # |- x0 a/ h. y& Z) w3 M2 K3 @      } else
    ; e$ w7 A8 X- {2 U5 v$ f  [: U          return survivor + 1;
    9 J/ L' j) h  k  }
    * {, M/ I8 [8 v' h
    ' X. m- ]7 A7 y1 M: T3 _$ ^另外有个更简洁的例子
    ( N! N+ x" H( j/ S8 M" \  def josephus(n, k):' B; u( ~; I5 P9 G- h
        if n ==1:  D1 Z& R3 E# h9 @" r
          return 1
    * Y- ^2 |- p) O( u0 p, J    else:
    6 O4 m( Y- a  Z0 ?1 l6 K, X      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    1 A$ A2 Q$ ~/ j
    ' Q  n: u  m2 X# d3 F(如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?)1 h5 s; O7 X, y

    & }% s4 Q; f; _' N$ x0 m" M2 {以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution/ L3 [4 ?* t; S
    + k3 @. v# ~/ E4 Z# t
    6 f6 U9 M9 l- Z$ [; y$ D
    关于n的分析:9 a) N& q+ ^, X" W
    设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。  y/ [1 e* H4 _6 g7 q/ ^
    如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:
    % ?. ^- d  R9 |) t" @$ k# w: C: a
    f(2n)=2f(n)-1& c$ L8 y# \9 l1 ]. n9 p/ L! `
    如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:
    ; g. R5 ^4 ~. F) u* Z2 f% l* z- |
    2 T( e- q4 v: F' Lf(2n+1)=2f(n)+11 A$ [7 S6 V4 Z( t/ {6 G0 K; [6 ?

    / F  O" c- F6 y& r$ L, Y' C
    . Z! U1 O! K; Z# n( c+ `" o: P如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:
    3 S" ]4 Z/ n- C& L3 R6 l# @. M3 P2 m1 W* A0 D  q0 z
    n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
    9 A. z5 p& z( I) uf(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1) H/ g( {7 I( [3 D+ z. ~8 {

    . y/ q1 \! n" r, Z  o0 \; F$ L从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。* M- l8 e" x  T- t! r

    , M+ r9 p4 t) ~% _, @定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。
    3 o7 e! P8 P5 }. L
    ) C1 q+ H4 o  y2 R: T. t: w9 o3 _4 e2 ]$ {& L
    答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

    该用户从未签到

    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02 " u. x" m+ X, E  a# V
    兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看0 b. F' \" H4 ]' T' L; B! K

    5 j3 M" X3 C% P在 ...

      O+ ]% N& p; t- y, a6 P我的推法就是这个:, E4 @( u9 H& [$ n# b) m$ A* v

    " K- E/ j" k3 f3 T2 W  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    ; z% r) k: r% q) G4 I5 S. @9 m& T  p. o) o5 ]9 L2 I5 c  w
    我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。
    4 z4 K0 x: f# c; P& `" U8 ^8 F) J' b; c8 }: F% a
    2的情况我没单拿出来搞。
  • TA的每日心情
    奋斗
    11 小时前
  • 签到天数: 1341 天

    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
  • TA的每日心情
    慵懒
    3 小时前
  • 签到天数: 2291 天

    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂3 F0 K# x  Y6 ^, x- y+ \* b4 e
    不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40 # w/ ]$ ^6 ^2 h$ R
    看不懂3 C  E7 }" q" m! z. r' ]
    不过今天不幸运数是17
    1 q1 O; k( T. i
    7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。/ m; N( s' G! d. [1 M' q. J
    / u9 Y! x; V3 {# `2 e$ B& G
    以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,310 N4 O& m6 \! I- J$ P

    * x9 a( j% j+ W0 `) j- r13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

    手机版|小黑屋|Archiver|网站错误报告|爱吱声   

    GMT+8, 2026-6-7 18:26 , Processed in 0.069010 second(s), 22 queries , Gzip On.

    Powered by Discuz! X3.2

    © 2001-2013 Comsenz Inc.

    快速回复 返回顶部 返回列表