TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
2 C. P3 X. H9 R: X/ T. u看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
, a9 R+ t4 j! i
2 x, H5 s M8 Q( p# x他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
, L* B5 G% v/ p) }: v
$ @7 z/ s9 c- {/ n" I* X! i+ B j$ G9 l所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。! H0 }# Y% g9 W: r' e- r
5 k. N2 p2 X" _1 s B3 r( T( g
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes." T% j3 d7 {, h1 O
/ k1 N. l* w1 Z, C) }幸运数的定义
9 h# h: m1 _+ IFORMULA " o3 y+ [3 d9 b5 Z; E" D
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.) I# u4 s5 }( z
: G0 w- A; q9 @
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)7 ]6 O$ t6 [0 Z! Z6 v, p
) c4 b5 s7 S# C* \0 u. U初始,从1开始的自然数列:
9 w$ K' W+ I1 n7 eBegin with a list of integers starting with 1:8 w# j# A/ s& t! j; s
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……5 s6 H8 ]+ A! L; a
1 v4 h2 ]& n, y1 K. }) ]+ `开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
8 f) A4 J, p$ I剩下的数列如下:: ^* q" E b* i- q8 N
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:4 M- ^4 D( T% P, p. @# Z
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
" b% ?( K" w$ C! H, i4 M @
$ L: R; k' e5 r2 k接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
! w3 H" N/ C7 PThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
. }$ s q) K2 {* x1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……% v5 c- z" S$ p" v3 j: s
: m( ~0 w, U" z/ s% N
现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:* D/ q4 ~% e( E' ]' H
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:: M# w4 Q: y: C" M# h
1 3 7 9 13 15 21 25 ……
" J) l. V0 f# h; r7 ?( i3 R7 V
H( d S' r! F! c& e4 A' T接下来是9,…… h. k3 ^$ H b4 {* |- X; }# f8 d7 h
这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。3 w4 e) A+ X6 N* ?* G
4 c: T% p4 n/ y3 ?) G- r. c& E- L. v9 H
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).3 E7 } P, v! w n5 d4 G5 v
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
' v6 t9 C0 L8 R5 l; j% V上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
, W1 K- [2 W/ G* T7 j R1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
/ Z" O9 u0 H9 z' m- q5 o* Y: N/ b- I0 B7 l% ?& c
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
{% L8 w/ L2 _7 I p) M# j! F, h5 S( ]: ?+ R
7 u' r2 d; G0 b2 R9 i
- |* N9 u }6 p$ c$ s第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。6 N. d! S) x, ]8 Q0 A; W
, S; f/ d! x* V" d7 h数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
0 q9 P: o6 a2 z" k0 }( e" I7 r5 `4 P幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
( e* y1 o5 v" ^* E- \/ f% T. N另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。1 U# p; w; S& i9 ~% `( x$ f( k2 l
) c3 F& r N8 T$ }+ ^5 s暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
2 K. A9 ~; j8 @+ s7 G& w d
! U4 P. J$ m; G! g7 c0 C. q8 y$ p, k**什么叫做Conjecture?
0 r' t4 v/ G1 w) i3 S3 p' H9 z**约瑟夫斯问题。 |
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