我理解的拉普拉斯变换

可梦之

- N) c, `& V% d5 c7 |) E8 I最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
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众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。

0 F6 W. q" I2 G- f. Q电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？



翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
" W- m: g+ x0 j: k8 u* O
- l! ?7 j" T1 k) H8 @2 x: L! ]0 d
' m. K5 f& k! o; _
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法



数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。


; w" }! s/ o8 a% v6 ~* S4 P
5 @1 c3 }3 ]; [9 J( |5 D1 ]傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
: a6 L' }$ x) c
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
6 B" y/ X, E4 z/ V. W
* ]6 O8 E  v, Z* g3 D$ u! m: T! n

2 m1 u! d" G+ B; {! f7 E% |- @. `$ ]% `; K指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。

0 |8 l  Y& S# ]1 q; J, n- O有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
# Q0 i7 e+ J: ]6 d以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

2 L' E- t; `# ^/ ^) [对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

& D8 ~  @; E2 p1 ?2 J# J" K" S4 _对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积