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[科普知识] 我理解的拉普拉斯变换

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可梦之
  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43

    • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体
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    楼主
     楼主| 发表于 2023-9-27 11:25:14 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 : j5 Y6 r8 `. c" W

    5 z4 ]- T3 H7 \最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。5 |* c' Z# H! M$ C( J' y

    # C( K7 [+ [) p$ e; V* d+ ?9 c9 Z: E众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
    & C( A' ?# `- U: z# m
    ! R4 S( ]. I: Z0 M2 j3 v9 X8 J8 Q# z电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？1 `/ t$ U3 |1 V
    : V/ @9 g' `# o" F0 a0 V( \& u- a- T

    1 h6 i, k& g/ O. G' F% a1 `  X, m3 y3 q. g8 C* Q
    翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：  W# F& I! d) n7 H9 f4 U( h; N

    $ I, d7 B9 M2 u
    : I9 I( t9 t+ s/ u: b$ a; x3 N! v8 c& L
    不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
    + k- @$ d- w% H
    2 P9 |  z* I# A- v+ R+ c% J# r1 Q! H" }/ e; y
      X. j+ `) D. p! g3 A% W
    数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
    ; s6 O/ V5 d( o/ m3 ~) d# h6 e* U2 v0 h  h2 l: e
    + E/ G& a, {/ M0 H0 ?
    ( {! |7 h1 {7 m3 s5 I8 R: q
    傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
    . @4 |9 ?9 _2 l0 Z/ O. B9 G( l& A8 ?) M3 E) ]. `$ \
    拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。+ z/ y; m0 E* H3 O
    ) i) i2 ]0 x, O: n: M

      s+ o, f: r+ i$ C# N- C0 `; g. \) h9 T% V# @& y; k0 ^# D
    指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。6 X, C# q: ]& i  T1 }8 A$ S' h9 r

    & {( ~% p( ~  ~! W: N8 \有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

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    数值分析
  • TA的每日心情
    开心
    2025-10-27 04:12

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    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2023-9-27 12:05:26 | 只看该作者
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
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    colin1992
  • TA的每日心情
    奋斗
    2020-3-8 17:23

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    [LV.6]出窍
    板凳
    发表于 2023-9-27 12:06:14 | 只看该作者
    高手就是信手拈来# B6 Q) G+ {7 w. P, i
    以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
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    可梦之
  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43

    • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体
    地板
     楼主| 发表于 2023-9-27 13:20:28 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
    - d$ ^0 n/ a) y! Z高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
    & j( G$ p5 `% e# y. h0 Y8 E' i
    对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
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    数值分析
  • TA的每日心情
    开心
    2025-10-27 04:12

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    [LV.Master]无

    5#
    发表于 2023-9-28 04:40:41 | 只看该作者
    又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

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    可梦之
  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43

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    [LV.8]合体
    6#
     楼主| 发表于 2023-9-28 08:43:42 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
    2 v, u  W5 s1 {' n, q/ d0 r: p又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

    " _4 ]2 O: Q+ \8 \) J9 H对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积

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