TA的每日心情 | 奋斗
2021-4-20 05:43 |
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本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 3 m; k: {& H) Z
O, T8 x$ w; x
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。/ X5 P2 s- h% E- O
! E% m5 z4 f, M2 X) v$ C4 X
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。1 ~% \) L7 y/ y+ h
4 p8 q1 g/ D E; h P( Z! k1 ]电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？& a7 N' d8 V' y$ {* d2 O' h7 g% W9 [
' O. X$ P' E( i# H! ^5 l![]()
3 f' z$ r. r1 [' C
! s( s7 T4 p+ I- r1 }* s翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式： _- i1 J0 G& y4 K
; }4 N& g8 K0 O3 K9 W9 A. G![]() ; ~! t. m9 f5 M
, n4 P. ~7 L# @) S不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法3 R- B N7 H& _; i3 h, c5 B
& b0 G# e/ {( O' X7 J0 w: A![]() : Z5 W% z8 \8 Y d+ `
, F* f6 a& B/ S# k! G1 Z
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
- s( h1 N1 X, N2 b+ @/ F. {
4 \7 g$ U6 u6 W& d( S- O! b![]()
7 g# }& `! U( j, L# N1 B" s( G1 H
3 e' r2 {* v$ V2 {傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
1 |: X* D- s: {! c8 A+ a( [4 O _) L5 a+ e
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。2 B& @6 x- ^% {9 o
! H _3 h: j* b( E% {) d![]() ( V, U9 u) Y- e* w. Y- Q2 ?( L
H( M* D% j% v! Y5 p: \! ^
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。! m+ y7 n, Y% c$ p) H3 }6 A: F2 O
, U/ p+ |( p- b0 x
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。 |
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发表于 2023-9-27 12:05:26
