小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
6 s7 m1 W. h1 e. H1 Q" ~' `2 t, F看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”

+ ^3 o5 T4 z0 ]6 o他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
/ }: v' Q% ^2 c7 r) U; D( T! W
" U! @$ e5 f  J2 _所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。

  X: e4 B' E7 t3 p( Y# tIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.

幸运数的定义
FORMULA       
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
4 r# q& Q' e; }3 j5 U  {  I
0 V1 M  z* Q! c3 l具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）
4 C0 ?; E! L2 Z% Q9 u% ?3 i6 `7 Q
初始，从1开始的自然数列：
Begin with a list of integers starting with 1:
1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……
& ~2 m7 Y- M7 J) N) X5 B9 s3 _
开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
剩下的数列如下：
3 H$ s8 ]+ _, i( z) B) Q. _, _Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
% X& A5 s, e: l* O) Q1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……

% f6 a; K* N5 v% c& j8 C2 r接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
; o6 j+ C9 X3 A" b1 w) K1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……

现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……

接下来是9，……
这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。
; i7 ~8 x+ Z& M& y0 [
( b8 O" ]% _/ h0 M4 Z1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
& b" E- A3 v; Y# Q- [7 P' A在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
) ?  q4 E& y1 S6 R  v0 ?! E1 A6 H  f上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
- a8 J4 e) h4 H) v4 v1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
% Y( q# X3 w8 H" u
4 v6 p  V9 S. K2 \有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？
% o4 m: v" r5 T) w3 R( _* i  b, a

* C) M+ Q3 R7 J8 U: J
6 n% Y$ w9 Y  s8 q第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。

数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
- G9 K( m0 Z( ~& h7 W8 M4 [另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。

暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？
! {& D( ], N) l" c2 e7 T( L
**什么叫做Conjecture？
**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）

猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
) q* Q! X6 Q6 c- [5 f. {
当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
* g, d0 v/ `2 `, t0 N9 S
猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）

! u% v: W; S7 x7 H  O, E# Z$ ?假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
! s. s# z; s6 S/ }# x* I. d
! a) K7 a. }8 t7 Y6 P有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

+ E# ~. t' a; Y, l8 ]7 g6 M
2 M; V& w8 h$ A/ a3 y+ Y**约瑟夫斯问题    都教授
/ Q5 z( s& b, M& O
我们来聊聊约瑟夫斯问题。

有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。
8 @! D6 @, w( u
问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？

! ~/ X8 x' k2 a, F7 T" t: s
! R; s) l0 U/ Q) i6 @---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
" P7 Z/ x% V. `, u& G+ |据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  

* W" i: P) j. Y) n---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
6 s+ a9 N  x% @**约瑟夫斯问题    都教授
  F- C! w3 s( u  {' C: J
7 J9 W+ m  r5 c; f0 K$ t我们来聊聊约瑟夫斯问题。

3 P7 j2 u$ e- a. F8 K. P1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

( i4 K# R$ R* O: a: V2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。

: |' {( v2 i5 h$ {- d1 H1 y& d推的方法如下：
6 l) L, O) n7 x" W* G+ h
- P; n) A' g" M1 p( t/ in=1，就一号，跑不掉的
+ K- i4 N% W0 N0 P; Pn＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。

. Z) T9 Z, I! P& W- }: ~
我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
' U; \8 P. F# \( J; ]% y$ \1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
: w3 U4 c- @3 y* W  x0 v; u
2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

9 B- o% X- h3 V' q' x
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
5 L+ D, _8 ]) T  V; X+ B$ \
2 N% V8 y/ e% F- ^7 F  r在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。

还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？
2 `  ^6 K/ }2 I  j9 z
-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------

一个小心翼翼的Java例子：

int josephus(int n, int k) {
        return josephus(n, k, 1);
6 c& z; G' u8 N  }
  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
      if(n == 1)
% V: G; Y5 e% h* m/ j# x5 U9 |          return 1;
      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;

      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
+ \3 C  n2 F( L8 n& a      if (survivor < newSp) {
8 Y$ {! E2 k3 c$ `" g) X          return survivor;
      } else
          return survivor + 1;
7 o/ |# C. Q& g* j7 ~  }
8 N# t, O" O6 L( Z
2 {( Q# ]; t: ?+ H" Z另外有个更简洁的例子
+ P5 [% @/ c: ]0 v  v7 B  def josephus(n, k):
3 W5 t) B4 D% i# P" p+ L3 O    if n ==1:
' u7 Y5 U# H; @$ m( w8 i      return 1
3 h& h7 [7 m- V. T& L! a    else:
2 W! }. ]9 v$ r$ y      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1

（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）

以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution

* j& v4 C4 [% H) I
关于n的分析：
设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
; g6 E9 n9 R7 p5 B) x' M  p如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：
8 X+ t% }7 Y4 i2 X. o2 e* o
f(2n)=2f(n)-1
如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：
- u. }* x" D3 [/ `
f(2n+1)=2f(n)+1
& W$ H8 J, O. _4 v' G1 j
' G( ~+ B; p# h+ c
# z  T* G1 p/ x如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：

! s0 K2 R- Q# T" Kn    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
/ ]7 m; W$ Z% H0 a" A( n
从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
8 U1 Z  E" t, z
定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。


% C/ \, N7 e! G  B1 s  l" N3 Q答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

5 W5 F. e* n: H8 ^0 D在 ...

, E) g( A( a3 P, H我的推法就是这个：
- U" N) u. E+ V$ u
  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
8 j- X( q6 V3 _4 n. E1 s
+ }4 @& T" X) r4 W  _! K1 v4 _我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。

( U6 x1 r6 S: {2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
! }0 X, C, M( H2 m' f不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
; r; u& {$ t4 X) }3 h* P看不懂
4 O2 o+ @# b4 |4 i- k不过今天不幸运数是17

7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。

以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31

) e7 _7 ?& ~- ^+ |. `9 y  X- q$ |" P13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。