TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
---|
签到天数: 134 天 [LV.7]分神
|
上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼2 M( v2 w9 a6 I n5 G) c P, m
看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”2 e% }+ Y5 {; C- L) X! m: K$ a
8 k: r+ u, q/ e
他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
+ K; K1 O- O5 ^7 ^" w2 @
: L6 [6 y( r' v/ e- V! _所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
1 d' ~7 a- o4 R1 g
w# U E/ k$ }5 _4 BIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
# V0 Y8 l; P5 y/ z" a) o z
' B/ {7 ~, o# \; {/ O幸运数的定义. d a" F3 w# {
FORMULA * E* Q$ J* c& X0 o& c4 ~
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc./ ~% z% E7 _1 C- ~4 r& c* _, ~
/ O/ P$ \' x2 X6 [9 A2 \具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
6 e4 N1 {- h# j- X: w* E$ J4 {/ S( J, N8 f- ~
初始,从1开始的自然数列:+ f* n. W3 l5 M# y/ N$ _
Begin with a list of integers starting with 1:
* H) y5 A' P% J9 }5 E. M1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……
" l% p7 l$ y( {5 D" W e& x* @4 _0 ]/ a: U
开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~9 t F. K2 Q; K% ?, X6 O
剩下的数列如下:
- `+ \3 n9 _* X' M3 iEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:/ ]5 E" N, \8 Y- `
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……3 r9 I0 [# f! }! v! y+ q
1 G4 E! z1 k! `% U1 c% L
接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
+ S3 Q( Q# O9 F8 r& cThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:6 R( x Y$ n$ i3 Y! C" r+ G
1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……
- Y$ _# ]4 h7 J- w" u9 r0 C
S0 V% k" `! @9 N. k8 x( n/ a现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
5 t/ I: k* G5 k/ U3 \" rThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:: A" Q# P/ d3 {4 Q* V2 ?9 l
1 3 7 9 13 15 21 25 ……6 ~: H1 m" i3 r+ v5 v' k
( R$ o) v, i% K5 M接下来是9,……* Y" G0 f. R7 c0 E
这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
) p1 k1 x2 B, t4 \& L& Q8 v& P1 ^) b: l9 [4 C- ]
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).- J6 l' Y$ }" P' h$ f
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
6 }6 x8 a) J0 c' F! w% ~8 E0 ^8 ^* t' l上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列: h; I F* D4 E2 s+ ^" ` [3 _- x
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
: c5 @. Z# O' \0 u. W4 y: Z9 W
+ B. ^$ v v: {有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
7 p3 n+ X$ Q* G8 U0 ^# T( @5 V
7 A( i2 o# C R5 j, [9 K& U; A. F2 }
" w( K/ L! `( U' ]" U8 L- f4 u& h8 s1 b% l) B1 t9 t
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。) X2 A7 X/ t6 S) @
% G# j. t* ~% _( c% e
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
x- P: ^* ~$ Y' \# h( L幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
& A( W# f1 x& N0 D9 s另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。) Z. k+ X% O4 i
. z1 M! r0 N; N" W3 M4 b
暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?/ s+ M+ a4 h: n. e
X5 ^+ R. |) I6 R4 u& Z5 K
**什么叫做Conjecture?
5 V1 x! u! j: t5 D6 x/ Z. Z**约瑟夫斯问题。 |
评分
-
查看全部评分
|