探讨数学与自然科学的关系

不爱吱声

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, w0 r  X6 x5 c& S8 A8 H* N

    数学（包括逻辑学，几何学等）不能算是科学。

4 r+ U$ l) z% K$ R! ~) W- i3 W    数学是科学的工具，数学本身不具有可证伪性，所以数学不是科学。数学本身也并不具有描述自然的功能，描述自然是科学的事情，而科学是使用数学作为对世界进行解释描述的工具。这可以算是数学与科学的关系。

    我们大家都使用过工具，我们干不同的活要使用不同的工具。比如说，我们希望将钉子定到木头里，那么锤子就是一种很好的工具，如果你使用改锥效果就不好。同样的道理，当数学被用于科学的时候，也存在一个适用性的问题。比如说，大家经常提到欧式几何和非欧式几何。欧式几何的第五公设说：两平行线永不相交；而在非欧几何中，此公设不再为真。那么，到底谁对谁错呢？实际上，他们在数学上来讲都正确。但当我们想在科学中使用两种几何的时候，就分出“是否恰当”了（我还是倾向使用适用性这个词）。在牛顿力学中，我们使用欧式几何描述空间，因为欧式几何在这里更方便；但在广义相对论中，我们就应该使用非欧几何（黎曼几何）来描述时空才更容易一些。在广义相对论中，物理本质是几何，因为这里面重力已经与时空弯曲的曲率直接联系起来了，换句话说，使用黎曼几何的好处是，我们可以让理论更简洁更本质，这是我提到的，科学最终追求的是简洁普适。这里我强调的是，数学是科学的工具，工具本身没有对错，你用错了，那是你不会用。这样看来，使用数学根本不存在信仰问题，不是说你认为鸥氏几何正确才使用，或者你认为非欧几何正确才使用，而是到底哪个管用，哪个顺手.
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    在科技史上就有一个有意思的现象，数学作为科学的工具的建立往往超前于自然科学的发展。比如说，黎曼几何正是早于相对论多年就已经建立起来，然后被附之高阁，大家不知道如何使用，等到相对论才体现出黎曼几何的用处来。这个与真正的生产工具如锤子的产生稍有所不同。但实际上这也体现于数学是工具的特性，就是工具可以是“当前无用”的，但不代表“永远无用”。你现在想钉钉子，改锥没用，但你不妨把改锥放到一边，等你拧螺钉的时候，改锥还是用得上的。这也正是数学家工作的真正意义所在。他丰富了自然科学可使用的工具宝库。
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. Z/ `$ K; N( U    此外，数学对于科学来说具有工具的特性还可以表现在：做同样的事情，可以使用完全不同的工具。比如说，你钉钉子使用锤子当然是很管用，但你也不妨使用钳子，虽然钳子并不是设计来“砸”物体的，但钳子的重量大，也可以用来“砸”物体得到锤子的效果。在量子力学的发展中也正体现出这一点来。大家知道，在波尔建立原子量子模型以后，德国一位物理学家海森伯，直接从光谱的频率和强度的经验资料出发，在1925年提出了矩阵量子力学。而另外有一位差不多同时，或者稍晚一点，奥地利的物理学家薛定掷，他改进了德布罗意基于波粒二象性的物质波理论，提出了波动量子力学。矩阵量子力学中使用矩阵数学作为描述量子力学的工具，而波动量子力学中则采用更为大家所熟悉的微分方程作为数学工具。美国的物理学家费曼，他的研究不仅证明了矩阵和波动两种量子力学的数学的等价性，而且又发展出了第三个等价的方法，就路径积分量子力学，从这里我们也可以看到，对一个物理现象的数学描述，他的工具与方法，也并不完全都是唯一的，至少在发展的过程当中，它也可以是多样性的。

    我们提数学理论，更多的是提他是否严密，是否自恰，而很少提他是否真伪。

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海天

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% w( h  @# P- `8 y  X
5 T  A9 K0 y  N2 ?3 ~- ~1 Y啊，想加五分，发现不是自己的地盘。
2 ~# ~: V3 Y& D& C
0 \* w/ D7 w, C4 A! I: e各个自然科学分支有“自己适用的”数学工具------完全同意，前不久和我爸谈过相似的话题（他本科数学系，研究生信息系统）。
9 R4 P; x  l0 y+ l% w6 z
讨论到最后他说他感觉有些学科该“用”的数学还没搞出来，于是就先“借用别人的”，所以现在看起来还不那么可靠和成熟。

张声语

咕~~(╯﹏╰)b，现代数学超前自然科学太多了，我们工科现在用的数学都是17XX年的旧货。。。

不过我老板和师公都是应数博士毕业，师公最后成了天体物理学家，老板现在我们贱桥工程系，所以数学对工科的重要性不言而喻。。。

不爱吱声

数学都是17XX年的旧货

17XX的有点太早了.我相信你要非常频繁地用到张量分析,这个是19世纪中叶才有的概念,20世纪初才发展起来的,也就100年.

( J% E' [1 J7 q4 \  X3 i- w% d不过总的说来,当前的力学使用这些100年前发展起来的数学工具也够用了.想想主要应该包括常,偏微分方程,变分,场论,数理函数,张量分析.由于计算机的发展,现在力学偏数学方面的发展主要在计算算法方面,解决实际工程问题还不需要太"偏门"的数学.

搞理论物理的用到的数学更"时尚"一些.

张声语

不爱吱声 发表于 2012-3-27 19:35
: _8 i" A! N+ e. e3 ~6 A. n7 A4 N17XX的有点太早了.我相信你要非常频繁地用到张量分析,这个是19世纪中叶才有的概念,20世纪初才发展起来的, ...

张量有用，但是也不是那么常用，我们现在做振动模态时候会用一些，但是大部分的线代和常微分偏微分都是太早以前了，对于random vibration和nonlinear vibration就是用统计了，而且现在我们主要是测试加数学模型加编程，数学完全属于基础，工程实际还是和各种实验挂钩更紧密

不爱吱声

- _' |6 T+ L- v7 r3 k( w% U, D

张声语 发表于 2012-3-27 05:41
张量有用，但是也不是那么常用，我们现在做振动模态时候会用一些，但是大部分的线代和常微分偏微分都是太 ...

7 }. O' Z* e- @; q" D
# f7 i& E2 j5 @4 f连续介质力学主要就是用张量,听起来你可能作离散体震动分析多些,不太做连续体,或者连续体采用离散化模型

张声语

不爱吱声 发表于 2012-3-27 19:45
连续介质力学主要就是用张量,听起来你可能作离散体震动分析多些,不太做连续体,或者连续体采用离散化模型 ...

+ x  }3 @: n9 g0 n7 [3 M是的，现在连续的做得少，主要是变成离散化模型来做。。。前段时间组里有两个人做充气气球方面的，整个气球的充气管道也是全部离散化

PenPen

张声语 发表于 2012-3-27 19:41
6 r+ e  i& J* o张量有用，但是也不是那么常用，我们现在做振动模态时候会用一些，但是大部分的线代和常微分偏微分都是太 ...

) e# ?# C! ]# F/ S我有的时候会用到一些machine learning的东西，但总是感觉这种基于统计的东西很不靠谱，模型就像是硬凑出来的一样

橡树村

张声语 发表于 2012-3-27 18:58
咕~~(╯﹏╰)b，现代数学超前自然科学太多了，我们工科现在用的数学都是17XX年的旧货。。。

+ \/ r* G, c5 M0 L2 j  h" R不过我老板和 ...

量子化学领域数学明显不够用的。

gordon

- g2 ]+ P& o8 \8 I: i+ P+ z2 P+ E
4 C. ^$ r. ~5 d. C% g4 r这是因为我们这些讨论者中很少是一门学科的开创者。

9 }+ ^/ y# M; p. A8 H如果你是一个学科的开创者，很多东西就很容易理解了，比如你遇见一个新事物，你怎么对它进行定义。
7 {& v: U; D- c
它是一个什么样的存在？好，你定义了它是一个什么样的存在了，下面的事就好办了。
( D% T* {/ {* E$ W$ V
6 X& L6 w. x7 j3 O2 H/ {5 T, A但是所有的问题都要考虑meta （什么什么之后），那什么是存在呢？存在的特性是什么？
! u- X0 ~0 P+ z% q8 [$ F; T% c
ok，知道了一点科学哲学，下面开始我们的讨论。
& g! [* a$ L/ X- V% g5 z
1 O6 V/ d8 A* o6 _2 e" Z' l0 p这个事说起来很复杂，必须从科学史开始讲起，近代科学的开端是从批判 “经院哲学” 开始，衍生出经验主义和理性主义，后来到高斯时期又把神学给捡回来了。
$ X; m4 M% ?3 Y! A; `
2 [# n9 e8 m2 v  x! s. i' ~9 l$ X% t近现代数学，数学由研究现实世界的一般抽象形式和关系，进入到研究更抽象、更一般的形式和关系。
( c% a8 r0 |9 d8 \( r# E( c
# C9 S. K! m' u9 d0 E. z. p% b数学的本质是什么，其实就是关系，描述各式各样的关系；但是这个定义不准确，更准确的定义参考 “集合论” 的定义。
& I" j. }+ f8 Q8 p$ m8 {
丹麦物理学家尼尔斯 波尔的认为，

“对于我们的主题来说，重要的在于意识到这一事实，数学符号和数学运算的定义，是以普通语言的简单应用为基础的。
. o1 E8 X( ~: X( N$ _* Q
* d# p  X& ^9 P- ?; U" C  E因此，数学不应被看作以经验的积累为基础的一个特殊的知识分支，而应该看成是普通语言的一种精确化，它用表示关系的适当工具补充普通的语言，对于这些关系来说，通常的字句表达是不准确的或太纠缠的。”

gordon

2 \2 \& ~5 k" C7 R2 g* R$ H老外讲这个玩意讲的非常绕，老外主要就是讲这么几个东东，“存在、 meta（存在的存在）、符号逻辑（语义分析、语法分析）” ，

分析哲学包括两个基本派别：一指逻辑分析，如弗雷格、罗素、维特根斯坦早期、石里克、卡尔纳普所代表的逻辑经验主义或逻辑实证主义；二指语言分析，如摩尔、维特根斯坦晚期、奥斯汀、塞尔所代表的日常语言哲学或语言分析哲学。
/ r: {# A4 y* B0 B: C: R: D
这个事比较清楚的要问“假如十八”，但是十八说的太倾向于哲学了，和自然科学有点不搭界，天天抱着“维根斯坦”在哪生啃。

, ~) i  S1 g  g$ E这个东西涉及面很广，三言两语也讲不清楚，其实是我自己不确切知道，但是我知道大概就是这么个意思。

gordon

) M* O  A: v  m1 _" q: Z- b( X; H/ J  r
北航的陆士嘉在普朗克的《流体力学概论》写的序里也提到一点，就是解决问题的办法是重视在实际中遇到的矛盾问题，通过实验寻求了解其物理本质，再导出数学方程，用以总结提高所得的物理概念，从而得出定量结果，并对照实验结果找出答案（就是理论计算结果和实验结果进行比对，其实就是科学的三种形态）。

反对在没有了解现象的物理本质以前，单纯搞烦琐的数学推演。

gordon

反正还是老生常谈的这几样，基础课+专业课，基础课包括：统计、科学哲学（语言学和分析哲学）、纯数学。
& ]5 q# S8 c$ A1 e0 o' r1 q' B- c
. W$ u  E8 j6 q7 K9 z5 ^6 S* h; D3 q统计的应用包括对自然现象数据的收集，和自己做实验的结果的收集。
4 c8 O* t( }( {, e- r. \
文哲理工测（量），或者是科学三形态之类的。
, k8 t% m2 \9 P9 E+ o" T9 U; W
# m9 K. m7 p0 |& \关于测量多说一点，测量是理科和工科的基础，记住简单的一句话即可，没有测量就没有反馈。

8 Z& x' C8 N8 t4 u7 h
& n7 c+ V5 a5 U2 z. J其实，乱七八糟讲这么多，差不多已经知道自然科学是怎么诞生的，自然科学从科学哲学和数学中获取依托。

gordon

$ U2 _0 c1 B: n  v7 m
: L- x9 A9 E( O( @8 F2 }# j; f数学的主要内容是计算和证明。在十七世纪，算术因符号化促使了代数学的产生，代数使计算变得精确和方便，也使计算方法系统化。费尔马和笛卡儿的解析几何把几何学代数化，大大扩展了几何的领域，而且使得少数天才的推理变成机械化的步骤。这反映了代数学作为普遍科学方法的效力，于是笛卡儿尝试也把逻辑代数化。与笛卡儿同时代的英国哲学家霍布斯也认为推理带有计算性质，不过他并没有系统地发展这种思想。
: r+ d3 t: f4 X3 e$ I& [2 G2 {
现在公认的数理逻辑创始人是莱布尼兹。他的目的是选出一种“通用代数”，其中把一切推理都化归为计算。实际上这正是数理逻辑的总纲领。他希望建立一套普遍的符号语言，其中的符号是表义的，这样就可以象数字一样进行演算，他的确将某些命题形式表达为符号形式，但他的工作只是一个开头，大部分没有发表，因此影响不大。

数学经历了几个阶段的变化，开始是建立在几何的基础上，后来随着时代的发展建立在代数的基础上，现代数学建立在逻辑的基础上，说白了就是仿照代数建立了一套更一般化的系统。

3 B  M' G, ~! w& R) O3 ?  s# `; G/ D算术的一般化、几何的代数化、代数的符号化、逻辑的符号化，逻辑的代数化（推理也是一种运算），最后演变成逻辑的代数化、符号化；现在回到我们的问题，那自然科学为什么要用到数学，因为数学是一种推理，是一种严密的推理。

就爱抬杠

数学是抽象的，而抽象的能力是进化出来的，教育小孩子的时候，能有比较明显的感觉

gordon

; \3 H! b9 a% ~- i; w
5 o, L. E3 U* p$ F7 ?基于数学形成理论(theory) ，包含以下四个步骤：
) e- W& r; }4 r% V
    (1)特征化研究对象(定义)；
3 j5 B3 V* E. y% C! `$ n
    (2)假设它们之间可能的关系(定理)；
* a* r; \5 K% v" x* y0 Y" A
    (3)确定这些关系是否正确(证明)；

' v# w' Q) K6 m. k" {% S2 d    (4)解释结果。

基于实验科学方法。按客观现象的研究过程，包含以下四步：
8 Q' F; L% b' `8 s0 u
    (1)形成假设；
1 C% q/ L: @" ]6 h
    (2)构造模型并做出预言；
3 {+ r8 ?% U" v+ I" n" x
    (3)设计实验并收集数据；

2 R- @* P. W* H5 [; o2 q6 ~    (4)分析结果。
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    科学家们希望，当模型的预言与实验结果不符时，这些步骤应该反复进行。
1 C, B0 n' F8 s7 I* b( O: u7 B5 ^$ u
% g" Z! V6 V, L. Z- D6 v& y! W作为一门实验科学，自然科学的预言或者叫做推论，和数学息息相关。说白了，其实也是逻辑，就是我“先验的认为”或者假设，或者叫做“抽象成这样一个模型”，我推论这个模型还适用于其他自然现象，然后用实验验证。

辛常诚

数学确实不是自然科学，记得网上还有人为此批驳过不爱，好笑

辛常诚

张声语 发表于 2012-3-27 18:58
咕~~(╯﹏╰)b，现代数学超前自然科学太多了，我们工科现在用的数学都是17XX年的旧货。。。
( z4 `" D( v0 n: S  e- s, F
不过我老板和 ...

' ?# P+ U* y: R" H; y6 T这个显然不可能啊，概率统计那时候都还是婴幼儿呢，你们不是需要用统计吗

张声语

辛常诚 发表于 2012-3-29 19:25
这个显然不可能啊，概率统计那时候都还是婴幼儿呢，你们不是需要用统计吗 ...

; V, i, T8 ^$ A. [- f1 n统计不算在内，比如振动声学的基本公式推动基本都是用大学那点高等数学就可以，振动里面的Statistic Energy Analysis是近现代针对random vibration开发出来的，也要基于这个高等数学公式推导之上再加概率密度函数这些东西。。。

gordon

( l' P  a% X% c: u& }# S
( B8 W& S* R, U) j# L神学为什么会被引入现代科学研究？这是因为神学在研究“上帝的存在性问题”上有大量的积累，
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6 Y  {6 M& L8 q$ S所以就把“存在性问题”的研究成果引入了现代科学研究。
6 A% w  T/ h' Q
6 z9 O% ^9 H8 b2 K' k) E不爱说的，“理论更简洁”这个就是神学中的奥卡姆原则，“如无必要，勿增实体”。
) E* m! h' t9 Y( X- f- b7 ^/ @  L
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