此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

3 ]/ z2 B8 x5 B0 o/ J
+ d7 \& J: J& |其实是个概率问题。
/ Q& m& x; g5 z2 S0 _8 N) e那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
9 a( X# Z# h& }; P$ Y# Y0 p% c/ z% a/ qhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
9 C( r: ^6 U1 i% @. d
6 `/ B( ~: P1 V& o$ \+ c  p" K; p& H按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
" m4 l3 E/ y' o# u
) K" [8 M& f" K) I0 T/ g没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

2 l. L4 Y/ K$ V* [* I) a# U老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

. m) M& m( o8 @9 I% @
/ n* D, b" M- P: L! q3 I3 ^您对答案的理解似乎有误。
/ I( J2 U, g/ P: p! }& ^随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
- f( w5 Y) U; y; j! D3 d, G" Y您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
& s  U; F# ]. d- r5 jE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
* k, _; V7 Q7 {- bE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
/ J/ P8 C& \* N4 B& O+ fFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

4 y9 k  ~% u- F- N原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
, @) W1 a; j9 {1 q) f您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
4 [" m/ M' C7 M2 M而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

! ]  a: Q6 X. w, O7 T6 |! o3 \2 D+ W明白了。
3 o  X7 P/ r" H2 B4 E0 ~是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
) M2 K( y% t& @/ G这个题目可以用递归的方法解决：
/ M" Y( T) k0 C
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

9 i( O1 ^/ \9 U1 L8 E; L& [! F
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

$ a3 y. q  Y. n( `! ~4 }

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
! Y+ G+ N, N) w& w5 I否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

+ a! l. f1 Q! D  s+ _' D而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
/ I# H5 v. F8 T6 Q/ N
4 h/ A2 [1 t( O* j6 s; z' f) u/ GLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

* u: Z; F# R* s- {, VFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
, P  b9 D* S; b/ n4 R
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

9 P; T" f  |) O理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。