此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

2 D* k1 j; Z* S, t" ^+ A其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
" P! b/ Y4 I. R: c在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
+ T. H8 o# h9 khttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

) \* h- E- R8 J1 f( d7 e" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
3 b  P3 l. X% C8 O7 G, u' s1 e) t
1 W9 J" y$ U* q7 n3 C5 v  \没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
& V! m' R, `. \* D3 Q
) a, s. j$ [  I2 [  ~( i* u老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
1 W. G$ i, _* j# y随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
/ T3 W* {& P! ]/ |所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
: T  G* v8 s! |' t1 k% [8 s& ~: A0 ~$ t您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
( D( |& X5 @+ Y% }1 p
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
/ a- S" {& J: L3 A1 P$ w; R: N  V
然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
) P: u6 u" y, p4 g4 X% l( p# VE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
! t* M* E) W0 u7 }5 _; q. k$ NFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
# S% Q: P) ~( T3 t# C您对答案的理解似乎有误。
* O% W9 I& z! u) h' a: Q* |0 |/ V随机变量X是测试过的元素的数目
0 M, D) k  [' c而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
2 [  z+ N! j4 t: h  o是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
$ a9 \5 {) U( ^" p* @这个题目可以用递归的方法解决：
* d, i2 B" v. P3 _( I; \
) k+ Y) Z9 R2 x8 E: K7 Y" a5 ME(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

) K, E3 A; m8 i: l$ y% z3 Q! y
. T5 o, z# b8 C4 r4 t) H递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
  y, O1 w3 v# C3 N递归法也是可以的。

8 D" R, R- X( N- X( j4 ?# s其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

2 _' M! n( j# W. z* Z  e& |

老福 发表于 2022-3-26 12:01
) d8 G: }+ ]1 K- G  l其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

# T- i  [% J1 J; _
. L! [/ b9 l% e3 R  }2 V' I; Y6 d我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
$ P) E( H3 ], V7 r5 f" E1 W
0 z! w- P0 }8 u/ ^5 l$ r7 z2 k3 f6 E而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
. n% n& ~$ P: \1 j5 \$ N& N
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
9 d6 F6 r; Y$ J
9 N2 G  a3 h& A' gThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
6 V  e  N* Y. [+ q' v% n3 N) l( Z
6 {1 c. P( k1 ~% J: O理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。