此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

" d  g; g: g6 W, q其实是个概率问题。
7 I) Z) Z2 h* b: {7 F. E3 o7 a那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
% [/ \! @" s9 G0 Z问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

& [0 o3 Q8 B$ n2 n0 R5 m* `按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

: i3 G9 P! E% d" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
+ @0 H; y+ E9 @$ h3 b& {
  l4 w1 f( p# ]. {7 E6 j' r没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
5 W  a7 Z# ^' H( S" B) R
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

& v$ o6 O: J2 Z+ O) `  R' P您对答案的理解似乎有误。
0 Y7 }8 e9 b% J, o# P随机变量X是测试过的元素的数目
( S5 G% p$ f4 G4 G而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
& a6 n7 v/ N# O; ?6 t+ w0 D2 `所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
* p8 i, N. S8 {! b您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
! H5 f; S3 n/ c8 _
6 h7 Q2 T6 _0 G( e- A; A5 uE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
$ e: \* c6 {5 @E(k|k)=1
, R4 H: G: ~! o# H4 E; ME(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
1 M4 C$ @3 k* ^: a# I# ~: b: F6 WE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

- J$ v4 T" Z  \; }8 Y原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
% F; E8 H7 w* t" ?随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
3 ~) y: d1 R5 C$ v/ Z' W, z5 J/ _是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
6 W: ~; N2 r. m$ r1 `多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
7 k. A& Y9 K- t) ?  I  S; [0 X- A3 [这个题目可以用递归的方法解决：
3 u1 p1 |0 C' I4 T9 s' p% w1 |
$ x; ?& ]. e" \' w# {E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

4 u" f8 t( P. J) o  b- Z2 }; m
) E$ d1 ~# _8 b- x3 z6 p递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
; V/ d% s) t) Z) x5 \* p8 }递归法也是可以的。

( [. n3 [" S7 g1 r' N其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
6 n3 o+ @; \: Q: C, V# O其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

8 _7 S$ p' ~; P, W我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
; l" ^6 [1 `2 A9 _# T' s
4 a% Q# Q- w9 l; X' c% oLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
" C# n: f/ D; U1 a
# S8 b; i7 ]% Z& F) M$ ^( wFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
. K1 d0 v7 Y, y- Y: J& p/ r
; D1 t+ k* G3 b1 U1 ^6 f理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。