此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
( U5 a9 m" A4 ?, i9 p/ }  c+ }那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
$ t& f  @  H! I$ u" d! \6 m问题就是这个人的表述
$ |7 ^0 E& o- A8 Q6 `https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

8 ~" N8 N3 U5 ^+ ^1 x1 j  j按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
+ _# A: B7 V5 ^# ~5 D5 r
1 D2 A5 t( Q! @( J/ L" o( I* {没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
. Y( q5 ~7 F4 t1 z2 Q, Z
1 [9 z0 G0 Y9 z- o; W+ z老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

/ `' ~$ Y; q0 l0 u4 C
. D9 h5 R" b5 a: f& Y0 b您对答案的理解似乎有误。
  s+ G! H* }" `6 M0 n4 q" W1 Q2 U+ a随机变量X是测试过的元素的数目
* m7 z3 q& C2 X2 f( E' N% |而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
- f  e5 H8 ?1 u! J; v" R# B+ D, e而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
5 }( Z& O1 y4 j9 Z/ a/ \1 g& B您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
/ e$ D4 M- e( n. W5 a4 L$ A/ L3 L* o
6 P2 W. o5 z0 `) @2 |, w) q7 V( NE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

; z. T% @( f6 Q2 i$ t1 W1 F: D然后从头开始：
E(k|k)=1
. @" G, e6 v$ @1 l% NE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
* N. ^% z5 p: _4 T0 I2 N, U7 QE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
2 a8 Q* T! v% o是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
% R2 M5 m* `% y$ x( Z多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

* c$ p$ D3 r9 t( O/ r5 Q+ [E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

, |7 e, Z/ \3 J/ c" Z- v递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
/ s( h0 P& `6 p7 |$ m: G! T4 V其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

4 |& T# i* m4 A" R我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
- m$ }: x8 n" ]1 q8 {3 U
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
8 _8 |+ ?5 j1 f/ w( |所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

) {8 X+ A# k1 l( p0 t8 cLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
" p( p1 d$ Z+ C7 G
" L2 v1 R# B9 H+ ]; J/ bFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
( c  G( d8 k2 ^# |' K4 a9 s7 ^
0 Y" I" o& o  ]  ~1 ]% Z4 v3 hFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
4 R! f! Z% [8 r1 k$ C( Z, t
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

2 _7 J. m- C! D7 ?  Z理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。