此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

/ f2 @9 |! I' \" f4 T
其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
. x* P* M- p2 C8 e
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
0 ^# ?6 n" C% n3 G7 \  _3 ^
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

; i2 ^  d6 ]5 u' g, K老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
" F* }5 D: n5 B8 C3 h3 l而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
; S+ S' q# h; W; {而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
7 T8 e5 b9 m/ C: G$ r' S您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

) X/ Y2 ?5 e6 t- a7 H( z. FE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

4 b( [  J: Y- _7 F) e7 {. t: a% {然后从头开始：
E(k|k)=1
& d( X8 N! n6 |6 ^E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
! R& y) J( ?4 c' p1 u/ F0 R4 T* KE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
1 R) t. H) E4 U+ n, ?2 o3 M
: ]% n5 q3 k" L/ e, B7 \原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
- f+ ?; |& X2 K; G% J& \多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
6 k1 ]  Z* w2 i- U: A1 p这个题目可以用递归的方法解决：

) T, Q) S+ B4 U6 n9 Y- ~0 D- TE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

' _$ c: a$ p5 x4 }7 q# A  Y3 b
* Z4 n4 v( ]# b7 j9 Z8 ?# r递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
, T9 K6 |1 Q$ j; E递归法也是可以的。

: i0 G9 N5 l2 j$ ^* Z* v& t: A其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

. _  N! @; H, K

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

6 O. [8 x- @4 M5 l$ v+ t
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
% \) c: v. e2 J! \否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

" s% e3 ^: f5 V8 g$ @- }而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
& \3 Q2 h' y8 X1 }- l' N9 p所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

( B9 {& U/ b- m% S% h3 OLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
6 o- o3 n& L5 F
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
- p- ?* n5 ~$ @1 `( i) q0 I1 B5 f
4 |% f( p' I, n+ UFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
" L( o1 @" y% f. S# ~: G# N+ X" N
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。