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[信息技术] 此间大牛多,请教算法高手一个问题

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    [LV.10]大乘

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    楼主
     楼主| 发表于 2022-3-26 08:43:59 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 雷达 于 2022-3-26 08:54 编辑
    2 d/ t. E/ G, F6 |
    * @! J3 ~3 \$ Y/ J6 f3 d5 B其实是个概率问题。5 k3 f& q  t! l( @8 A2 i* G
    那本CLRS算法导论中,第 5-2 练习题。
    ' J7 x' G5 m9 y在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值,用顺序算法搜第一个 x 。
    6 `4 O" N, J5 r问题就是这个人的表述
    0 l& z4 Y' C) o" o1 }https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
    1 G/ a; K6 m, Z
    7 W. r$ D$ M- d按照答案,从头开始,之前没有出现过 x 的前提下,每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
    . [# U: [0 J, {  l
    ' d4 J- b% w1 Y5 H2 D7 O$ H" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x". : g* p; @* X: N; Y5 r5 I

    , s. F, V+ t: ]9 [  x0 e* U. {没看懂,这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的? 按直觉,这个概率应该和 n 有关,假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较,概率应该不一样才对吧。. C  `7 [2 b6 q

    ' g  n. {0 i. U1 @0 S# J老了,脑子水掉了,希望有高手解释清楚一点。多谢。

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    2025-7-28 23:17
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    沙发
    发表于 2022-3-26 10:32:30 | 只看该作者
    本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 10:56 编辑 / K/ b( A$ F- E* d  x7 F6 N9 t
    ! J, K1 G) w/ f* d  B: o
    您对答案的理解似乎有误。+ C" u  h( y( F+ a1 C5 `7 E
    随机变量X是测试过的元素的数目; f5 c% I% x4 P! a( R  u3 D( e
    而随机变量Xi是另一组随机变量,每一个都是个indicator,取值是0或者1,含义为第i个元素是否被测试过,而不是该元素是否等于欲查找的值。
    ) |( D& ~: f- _9 H- A所以才有E(x)=sum(E(Xi))。; v; K- F# u$ J& T9 M. u
    而如果 A[ i ]!= x,那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间,而我们检查了这个元素,所以这个元素必须位于第一个区间,所以概率是1/(k+1)1 Z; {& \1 ^2 b: Q6 m$ ~6 X
    您再想想?

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    发表于 2022-3-26 10:44:05 | 只看该作者
    这个题目可以用递归的方法解决:7 }8 m' W) T: }

    : Z' B2 f" _* w8 K# {+ T4 yE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1), E* `8 Q/ Y/ _$ Z
    8 `2 Z: T3 E$ o# b8 `, v1 E
    然后从头开始:
    , A" y) x4 O( _: h- u) yE(k|k)=1
    # Y, t$ h& Y/ y7 fE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
    8 Z% @3 b, e+ V5 {, N$ a4 F9 Z* OE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
    5 H4 U$ O2 i# G* L! nFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
    0 u3 b- [, }+ f' l/ b1 ?  E2 Y/ f0 {. r
    原文的解法有点绕,还没想明白。
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  • TA的每日心情
    擦汗
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     楼主| 发表于 2022-3-26 11:00:35 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
    * u, j+ r0 N! d, r6 ~8 o您对答案的理解似乎有误。9 D+ \+ V& q8 o: B* g
    随机变量X是测试过的元素的数目2 O% D4 N7 q6 |) k
    而随机变量Xi是另一组随机变量,每一个都是个ind ...
    + u& x3 s! O" m  K+ @5 ]
    明白了。
    * K" e5 [& ]' W% q是指的某非x元素在所有x之前的概率,实际上有 k+1 种可能的位置关系,所以在所有x之前就是 1/(k+1)
    + V9 ^- S$ o6 M' l* w8 B多谢
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    5#
     楼主| 发表于 2022-3-26 11:07:00 | 只看该作者
    老福 发表于 2022-3-26 10:44& f# C9 A( r) W; @8 }& f
    这个题目可以用递归的方法解决:
    9 a: l6 G$ s9 |
    : R/ D. |# f) V2 _9 u1 y% f* T* }E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
    / x8 z, o8 _( _9 c  e1 q+ S4 t
    8 _+ m. b7 w, y: W% X
    递归法也是可以的。
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    6#
    发表于 2022-3-26 12:01:27 | 只看该作者
    雷达 发表于 2022-3-26 11:07
    5 k$ s. t1 Q7 x) O1 \递归法也是可以的。

    8 B5 ]9 N" @- }, L5 I* m6 ]! U8 ?其实原文的解释似是而非,试想i=1的情形,对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/(k+1)。
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    7#
    发表于 2022-3-26 14:46:17 | 只看该作者
    本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 14:51 编辑 . _$ x& t, q& ]  V
    老福 发表于 2022-3-26 12:01  Z" e- b$ M$ E2 M- U
    其实原文的解释似是而非,试想i=1的情形,对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/( ...
    ( y6 l1 m6 P$ Q. v7 C: y8 Z7 F
    , d, r( ?* q' ?8 U6 Z# G6 L& F: E: @
    我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号,而不是位置。" p  l' F( _9 O! [+ g3 Y
    否则没法按元素是否等于x来分类,因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。/ l& X9 a6 \9 n, R3 e

    ( s* c* ^0 ~6 F9 b6 V4 @而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号,然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素,其是否等于x是个确定的事件,所以元素可以分为两类讨论,等于x的和不等于x的。1 e" ?( F, b# k; Y, g" ?  [( ~0 H
    所以A[ i ]这个写法有点误导,这里这个A并不是要做搜索的那个数组,而是所有元素的列表。

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      发表于 2022-3-26 20:40
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    8#
    发表于 2022-3-27 00:32:22 | 只看该作者
    一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒,终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下,作为总结。
    + y. O8 s0 w: h7 C) n! {# m
    ' |6 V3 \, t1 K7 d: ELet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
    & V6 \0 {/ d6 Y7 W3 ?( l% X% M+ s. l
    For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
    + a3 n, q1 g# i% O+ X4 ^
    ( ]) {0 U; a& T, m' `+ b4 w( ]For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
    7 \! L5 [. P7 h; a  T* [3 U$ |
    4 u( g  Q7 w, T  W6 v, xThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).  v) w1 l2 G) T
    # b; F; m2 c; j! g; Y6 Q
    理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element,它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。

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      发表于 2022-3-27 02:46

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