此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

, Y  l9 d! o3 T' H5 K* J+ z6 T其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
2 s0 Z! Z. {+ Y) J
0 {; l: ^' g  Y/ q) x& s没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
" u9 r! A* ^, M' ]0 L
0 C* Q. ]' R) V) @. v老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
& t, X( Z! T& {$ @0 |. p而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
9 W9 h# B4 T& g所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
% D. T. c" E. M4 a+ O) @  ~$ N9 D而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
* k5 I" W- ^8 M9 ~2 |( D2 E您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

  r3 b. B% W. \8 _然后从头开始：
/ F; k/ X& }. P) j/ Q6 uE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
: k! m2 g" m% \( N+ b6 J; UE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
" A3 F; S( Q- Y$ w" d" zFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
7 R7 V' ?8 V" D! ], v! K! z3 v您对答案的理解似乎有误。
) K& N# R) x* R  S7 w  C- E$ f随机变量X是测试过的元素的数目
& [. y# `4 y; o: h; a而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
. I$ W) l% J  M  S$ a是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
  o5 K+ A1 [: ~( I+ L0 f多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
  n4 N4 o7 M: J: `这个题目可以用递归的方法解决：
/ G3 J7 \0 W4 Y  K! K+ [! u
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

9 G7 Z1 v) ~0 O; o& ~2 @- p$ ?8 q8 a4 Y) ~
1 R: E* \9 E. m- B递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
2 v' q; X# I# N0 V递归法也是可以的。

4 W5 \( y8 E; A- f其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

: s: k: |2 d8 G' ?) e
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
8 J1 `+ m/ E8 W5 z( `2 I0 k5 t% Z* l所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
$ [4 o4 R9 X, j. i/ [
' \: w" u& o. g! yLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
; G: G  l8 {5 \0 `: i
8 C6 R& s' Y, Q' p$ C! q! Y! z( y- PFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

. p8 J& i- m' V' S: qFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
1 R* F6 J1 o8 \( c7 I4 U
/ k3 V/ [8 f/ P) R( u; \There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
2 G% ~3 N  }( _$ k7 ]
, X& X  |5 b5 F6 G/ G理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。