此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

) V/ O2 ]" v) p; M) t$ n' D& C其实是个概率问题。
3 Y. I0 f8 r. K; I8 K那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
2 z: g# E1 d" Y% j3 U5 H6 u" r问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

6 w9 V$ K& h+ K+ r, j9 l# \按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
$ T; \1 _. U4 T% W- D' y
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

/ J* w, Y+ n. W5 ?- k/ h; B
( s# \: B! G2 L0 r您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
* ]3 C& n9 N" f& i' g" T$ F: G而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
$ G; ^* z! H# Q  C$ y# e  w5 B您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
; y. Y5 H6 @9 q9 ]5 e. K0 y0 Y
然后从头开始：
E(k|k)=1
: t: G1 L9 u, V  l; C- oE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
9 b, G4 E$ z% N& r: S; eFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
0 f7 P" u8 T  p: J* b; t9 s
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
! o6 }/ C3 l9 g- w8 [/ n您对答案的理解似乎有误。
4 g0 Z- d& P+ [' V" A随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

4 k1 ~4 [* d3 W明白了。
4 i' `8 B5 f. ~5 p2 |  h# u% _4 m2 @% }0 j是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
" l: L9 H# r: @9 M
3 C# i0 l0 a  Y. R! kE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

7 c+ W* R; w# t7 n递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

6 S# J% B$ F+ N) g5 Q) g其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

$ Z# v* f" n2 ^

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
& O. y- Z$ L- ?" D9 r1 ]8 \4 M4 S否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
" A9 R$ E- y4 N9 L7 o
6 L( K  q) G& ~9 Y% G而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
% U- ?- u0 Z: A7 L
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
! a+ x. [  z! X1 y2 e& s9 X: V) ^/ L; C
3 d1 y' R9 L( O( o2 QFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
& l# E# v0 V( Z/ N. a  v( Q! ^
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

" u8 i5 F0 |0 r" G# u6 l  j7 \+ xThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
$ p- H3 ^: a7 g
7 {& n, p2 E, \5 H! a! s理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。