此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

: @: k+ |' V' M7 @" |; x3 u$ o
" B6 K2 b# \8 L8 m. m其实是个概率问题。
. E- z! q4 e5 b3 `' g那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
$ V( K# p9 o4 W' s在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
' p# m7 l1 d! N问题就是这个人的表述
/ t: d2 o" {6 v. p! ?# t: e; \https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
) Y  l3 x5 C  B: _6 ?
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
- ^" p  A( ~! z, }
- r9 U( m5 ?$ ?& ^4 _/ C: i没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
0 S) U# V. f. _& u; v+ z" y
( b/ m* ^% ^' W& `  ]$ {老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

: ]6 G% a) s. s1 V7 F0 V
  r/ F2 p3 m& @4 u" }; g您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
4 J1 f5 J: n. h# D; g而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

. N3 {& M8 I" b5 `; O3 [) jE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

& i9 F" p6 e8 L然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
$ ^! S$ b8 J2 |6 X
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
2 m3 C. C9 Y+ B- P随机变量X是测试过的元素的数目
) {5 Y+ V7 ]6 c$ E/ B而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

$ r! t$ z% r) s! t明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
3 X' j5 b. x+ V! P多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
2 A) {. D6 ^6 s0 }这个题目可以用递归的方法解决：
# L  M* x/ C& m6 d
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

% [% X4 x$ {6 I' W
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

) X7 [# c' d6 {0 _1 ~其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

5 l. O2 u3 J' X/ U

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

3 D% U. l% i5 q0 u8 h5 b/ {我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
' k6 D* J( v2 X- b; u. h- Y' [否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
$ t  f3 g5 G5 _3 P
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
$ s* D" G# V$ c* n0 k* M2 P所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
+ q: Y6 |" O5 B$ p4 ]- C: R, d
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

5 c; Z/ u1 v8 S4 E: f& v* D+ }For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
$ Q9 q& a# |( i6 }" i' G
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

! I; k# E1 ?2 ^9 k: s6 v  ~5 [There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
( `9 j; @7 d4 a: g
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。