此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
* @: H* p" S$ L: W5 @那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
. ~6 q) l" O  c( L& R" N1 y  X0 |在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
8 a5 M3 B5 {; C6 }  Chttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
: }5 R8 C! L: D  \+ m
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

1 X  O7 A0 A$ ]3 p: p没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
5 g% o4 x8 G0 [) Z3 a: f
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

" R- {. J  l& R: O8 H
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
; \; A; S/ I- ?2 I4 U9 B所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
; T7 k0 p6 E8 r% q而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
  P3 j& X9 F* w" _8 j& L6 j您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
  N( ]9 `( a3 ?
' W+ o7 t% m1 T. G( Z. i6 H7 ^然后从头开始：
E(k|k)=1
0 P7 [0 M0 {; w  G5 pE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
; s7 q9 e: e' L* E' M6 E
" @4 Y% H& m- f8 n/ U$ d' y  A! D原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
0 P+ k6 }6 I' Y9 Z% P; P2 q( x而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
4 d* F7 F8 U, [7 _$ U0 G; _是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

' N2 n" f! Q& e" {. ]' F
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
# _) D$ f; _$ ]/ k递归法也是可以的。

  c# C0 f+ V8 X. X( Y! Q$ n( D8 H4 R其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

( |1 r" J! W1 a# h/ a5 s, [
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
, N- t! X) L, |: c
  K! ]" F2 C8 n4 j而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
2 d: Q  w! r) L& Q; D& q5 q所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

" \. B/ q1 r- q- @+ \1 m1 MLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

* g- P7 |8 j# F9 s7 S0 f) L1 OFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
% Q- o8 W" f3 x6 @5 V& R
! a& @) b0 p1 Z+ f# W6 E5 VFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
6 O7 |0 [3 c/ b# @' S& v' v1 B, R
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
4 n  X5 i; b# S! K/ w& v
( E1 A8 u0 A' `2 e7 G9 [0 [理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。