此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

7 A$ s  e, H/ R- u- g
1 u' v4 b! G* p2 z5 ], R6 D) p! r其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
: |& t! y8 k" h3 }& f7 k在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
; ]: f/ Z2 y# M* `4 xhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
% T/ |- o6 p& w9 K' x
* O4 x# @# z7 S  R按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
4 P+ D  @( D- k1 @* V$ I
  ]3 D% E8 y9 m3 l9 ]" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
" h9 T+ U; D. ?* I; B+ t2 N# a( A
* S, I" J/ n7 a  D+ e没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

) |4 Q( a" H* z+ A0 ?8 Z9 y您对答案的理解似乎有误。
5 d6 v( o, s; p. E/ C; B随机变量X是测试过的元素的数目
) I8 q' B' ~4 w1 V$ y9 f而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
2 G( m0 ~) a2 m# K4 ^3 ~" m而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
5 T! d' k- q+ J6 E您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
# v% Z8 {- b7 P1 U9 U- x% y
  T; C& P6 v9 p' b7 ^6 {E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
& l- v0 k  d2 l; S+ Z( sFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
2 m* a5 e: n* P
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
0 X4 c0 s4 a/ }* r& J您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

" g* s! t% w( q( R$ N明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
8 I: @8 r6 D2 P- ~# ^% j多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
: F0 [2 n" n% R, N( X这个题目可以用递归的方法解决：
6 N# b) r* z) O$ X2 f( O
/ b/ o: L0 b/ `1 ~( \( Y9 SE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

9 P8 Q5 h5 d! N  c0 ~" z
2 H. S: G! E9 _2 d递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
4 b/ R) R; z" f7 }" v递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

# k! C  i2 V+ Q; n) H

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

' k) x; f' |: W8 y' U8 q我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
2 v, O$ R9 D) D: }5 u% }! P& H+ j
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
  T9 k  _) \& m7 T) i# \所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
) _. Y$ d; T  |- {4 V  f& j- W/ ~
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
1 ?! o! R  Z2 S
- K4 O6 X, [8 |, d2 CFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
5 L- Z; h+ |, h. P, [$ ~
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。