此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
2 j, ~7 b, K+ v9 v9 E) c' f' |https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
. I+ e0 E- ^9 Q9 y
( Z8 N* `8 ]9 H/ A3 F& J  p$ h" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
7 ?/ f7 z8 G$ m0 w" b1 f
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
: w% d; Q' m* I% M5 G随机变量X是测试过的元素的数目
7 p: O: Q! F) d$ z* c. k而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
$ k; l' d! C' `% Y4 u7 T$ ?而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
# L9 [3 q: V) Q% V) M9 W$ t" E您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
4 f) g! z) m* u, S0 J1 A
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

1 _9 ]. u! ^2 R6 z$ _' S然后从头开始：
" E: U9 q3 u" q- j1 f) \* I1 }3 Q4 @/ KE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
  m/ }2 E* k7 H- v+ x, U9 eE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
7 E5 y# V3 `4 gFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
5 O; {, p) E1 L7 Q1 X3 Q/ P
2 g+ X  L. U- Z% D2 t原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
0 H; q! ?  a+ Q& X" x+ M您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
* H3 m9 M7 P+ j% B+ ?8 m3 r- j" s" I而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
7 J! r; Q, F4 g( U# U是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
% t3 D/ h& _! \+ f/ N+ G多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
% p! n2 ~8 \" B$ [7 d4 [这个题目可以用递归的方法解决：

  O% \6 x- R, a6 AE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

& S; f8 W  `1 R: l1 o1 I

老福 发表于 2022-3-26 12:01
  p6 J! c; |) V其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

* a3 p( y& u* H) h
( C6 X0 L$ I% Z/ ], P: H我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
% s6 p8 ]7 I4 j2 h" r& R; o- D否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

- q& \' e: I& v  m6 `* R) D' U' j; ^而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
# n; J* @9 K0 y
+ n/ B& _+ \0 _Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

5 v5 c' f5 v& d+ i/ z! lFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
( p/ f5 v! D( l( R. [3 V
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

5 O2 D+ \# p" i理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。