此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

. |4 }! y8 n( G) W0 b8 B0 Q其实是个概率问题。
! T) C: v& ]9 e那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
/ S5 A+ ^1 W  T2 U  ghttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
% v+ N2 B8 j' F! z8 D
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
8 r: ~0 }- s# ~2 Q
* t* W" c' ?  B( ?) {" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

' _" J3 Q/ V' T1 }# R' {! V5 y4 ?. l老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

7 q) m4 W8 n; S+ N) R6 [9 O5 @: Q3 A您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

3 |# o9 I$ Q. p9 `$ F% X; I+ N; {然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
" B- Z. _& U+ b: G- E" GE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
! j: ~6 W* h+ I0 h. M4 v/ i: cFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
( Y- s! W" \" D# ~, m
- u/ c0 o" {! ^6 b- |  E原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
; \: M, _# u5 Y3 g) t您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

* C. K! P: D, x5 [' d明白了。
# J/ K# S4 O1 g' i, u2 @是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
) V' L7 `# c' d; U. s
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

0 R' K( G* L0 Y9 C! V+ t其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
& @: C" F" b( G, X6 Q其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

! q* E, m3 Z0 _7 x
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
$ d2 _/ M. |* u( |1 x8 z4 t3 a. x否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
# _6 X6 f& s, Z3 h* ^0 k6 h' X
& l7 R6 z! I; n+ D$ ~) L4 ?而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
0 }8 R1 Q- b! i8 u. a
9 E& z, U( Q! s% y& X9 CLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

; K7 M. W0 S. t1 e  kFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
8 e. m# J8 g2 e: J6 A, W/ z; I- x
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
. D# n7 k2 H9 U1 ]& ^7 P  N! ?$ `4 i/ L
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

, K7 k& E, I# i# v$ ]- l( f理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。