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[信息技术] 此间大牛多,请教算法高手一个问题

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    楼主
     楼主| 发表于 2022-3-26 08:43:59 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 雷达 于 2022-3-26 08:54 编辑 $ e; v8 P" A: H8 ^( E- u
    0 x; r/ U& k  f$ e' R  r' b& ]
    其实是个概率问题。
    ( U5 a9 m" A4 ?, i9 p/ }  c+ }那本CLRS算法导论中,第 5-2 练习题。1 p, u0 G2 l& [" E6 c; s' I  e: d! T& z) `
    在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值,用顺序算法搜第一个 x 。
    $ t& f  @  H! I$ u" d! \6 m问题就是这个人的表述
    $ |7 ^0 E& o- A8 Q6 `https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time6 _' m' x) W9 T

    8 ~" N8 N3 U5 ^+ ^1 x1 j  j按照答案,从头开始,之前没有出现过 x 的前提下,每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)8 r9 f& U2 M! a( D% i9 l
    + {; Y1 n! l! z) B7 E, D4 e
    " If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
    + _# A: B7 V5 ^# ~5 D5 r
    1 D2 A5 t( Q! @( J/ L" o( I* {没看懂,这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的? 按直觉,这个概率应该和 n 有关,假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较,概率应该不一样才对吧。
    . Y( q5 ~7 F4 t1 z2 Q, Z
    1 [9 z0 G0 Y9 z- o; W+ z老了,脑子水掉了,希望有高手解释清楚一点。多谢。

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    沙发
    发表于 2022-3-26 10:32:30 | 只看该作者
    本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 10:56 编辑
    / `' ~$ Y; q0 l0 u4 C
    . D9 h5 R" b5 a: f& Y0 b您对答案的理解似乎有误。
      s+ G! H* }" `6 M0 n4 q" W1 Q2 U+ a随机变量X是测试过的元素的数目
    * m7 z3 q& C2 X2 f( E' N% |而随机变量Xi是另一组随机变量,每一个都是个indicator,取值是0或者1,含义为第i个元素是否被测试过,而不是该元素是否等于欲查找的值。0 G5 ~& e2 x" h
    所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
    - f  e5 H8 ?1 u! J; v" R# B+ D, e而如果 A[ i ]!= x,那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间,而我们检查了这个元素,所以这个元素必须位于第一个区间,所以概率是1/(k+1)
    5 }( Z& O1 y4 j9 Z/ a/ \1 g& B您再想想?

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    板凳
    发表于 2022-3-26 10:44:05 | 只看该作者
    这个题目可以用递归的方法解决:
    / e$ D4 M- e( n. W5 a4 L$ A/ L3 L* o
    6 P2 W. o5 z0 `) @2 |, w) q7 V( NE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)# v; _$ ~: w& h3 D" N+ c+ ]

    ; z. T% @( f6 Q2 i$ t1 W1 F: D然后从头开始:. ]# {* o- v5 X3 a" a
    E(k|k)=1
    . @" G, e6 v$ @1 l% NE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
    * N. ^% z5 p: _4 T0 I2 N, U7 QE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)+ _- X3 v* i2 o$ X
    Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)1 \4 g2 I* l  S+ V/ L
    ! V  {5 q3 L% c* q$ D* j0 _  R7 k% Q
    原文的解法有点绕,还没想明白。
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     楼主| 发表于 2022-3-26 11:00:35 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2022-3-26 10:327 h5 y8 F7 f8 X, F2 @2 u
    您对答案的理解似乎有误。# Q& C8 L2 s+ i; _. i& H- l
    随机变量X是测试过的元素的数目! [+ }$ w+ f4 O/ Y+ O6 B, |
    而随机变量Xi是另一组随机变量,每一个都是个ind ...
    9 Y) R* l! W5 h4 |0 y9 t
    明白了。
    2 a8 Q* T! v% o是指的某非x元素在所有x之前的概率,实际上有 k+1 种可能的位置关系,所以在所有x之前就是 1/(k+1)
    % R2 M5 m* `% y$ x( Z多谢
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     楼主| 发表于 2022-3-26 11:07:00 | 只看该作者
    老福 发表于 2022-3-26 10:44- m1 Y/ }# ]! Z; L0 L
    这个题目可以用递归的方法解决:" f# o7 R1 I: q; t. x& ]8 \

    * c$ p$ D3 r9 t( O/ r5 Q+ [E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
    : f8 D8 ]8 J( ]7 r7 g

    , |7 e, Z/ \3 J/ c" Z- v递归法也是可以的。
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    6#
    发表于 2022-3-26 12:01:27 | 只看该作者
    雷达 发表于 2022-3-26 11:072 W& A8 J1 t& w5 Y! @
    递归法也是可以的。
    # X% ^7 p3 Q) |: \( i$ o: Z1 ?
    其实原文的解释似是而非,试想i=1的情形,对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/(k+1)。
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    7#
    发表于 2022-3-26 14:46:17 | 只看该作者
    本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 14:51 编辑 5 k& C6 l8 G( J, ~5 o. r4 k
    老福 发表于 2022-3-26 12:01
    / s( h0 P& `6 p7 |$ m: G! T4 V其实原文的解释似是而非,试想i=1的情形,对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/( ...
    2 j+ r% L+ N- ^2 ^+ K/ k

    4 |& T# i* m4 A" R我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号,而不是位置。% ~1 a- Y* M" U$ F4 X
    否则没法按元素是否等于x来分类,因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
    - m$ }: x8 n" ]1 q8 {3 U" B6 e# h7 @3 W2 N% y, U( w
    而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号,然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素,其是否等于x是个确定的事件,所以元素可以分为两类讨论,等于x的和不等于x的。
    8 _8 |+ ?5 j1 f/ w( |所以A[ i ]这个写法有点误导,这里这个A并不是要做搜索的那个数组,而是所有元素的列表。

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      发表于 2022-3-26 20:40
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    8#
    发表于 2022-3-27 00:32:22 | 只看该作者
    一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒,终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下,作为总结。2 t/ F; F9 [. I4 x2 u. @  d

    ) {8 X+ A# k1 l( p0 t8 cLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
    " p( p1 d$ Z+ C7 G
    " L2 v1 R# B9 H+ ]; J/ bFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
    ( c  G( d8 k2 ^# |' K4 a9 s7 ^
    0 Y" I" o& o  ]  ~1 ]% Z4 v3 hFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
    4 R! f! Z% [8 r1 k$ C( Z, t9 r+ d" d7 `3 x+ |5 v8 W- e
    There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).9 ?. {! N1 k/ l- m2 X, ^1 h, A. T

    2 _7 J. m- C! D7 ?  Z理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element,它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。

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      发表于 2022-3-27 02:46

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