此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

: a' g. S3 a( X0 D$ x
其实是个概率问题。
4 y4 f2 q6 n) Z那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
1 @0 O6 @# R# f" V. y& A/ _& z2 O在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
9 l7 U4 U4 ^9 g$ n1 h2 [! K9 W3 h8 E
+ ~  \1 v2 W  K  {按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
# M2 M3 i6 {  y- Q
& O1 E) L8 d) }* A& B  \7 O  }" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
5 e( x/ E& O4 B5 H  ?) X
7 O! a* h8 p5 j) E2 H' c老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
' T. Y- n- d! y随机变量X是测试过的元素的数目
4 z; N9 Z( m5 W; C* O9 a而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
- @! f0 e; t: a0 n% B您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
( [7 y' v* T) k$ k. h6 L- ^% N
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

6 A: `+ p0 [6 B6 d然后从头开始：
E(k|k)=1
* ~' p5 j/ I3 Q( Y* U3 w3 ZE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

: Y# s! \% B  `4 }7 C明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
* N5 e" F$ v7 e1 m, t多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
  d. N* H# V2 s! B这个题目可以用递归的方法解决：
2 z% r* @$ H! r4 O2 f. V1 h
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

9 x7 u) s0 P1 d! L2 F- O
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
6 T6 p* t! e" o, ]8 D8 U. H- B5 s递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

2 D- v% c- ]; i1 Z, a, c) D" {7 o

老福 发表于 2022-3-26 12:01
+ C$ I' s% J: t# t/ @. h其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

" u3 d+ E7 x6 F) p& Q我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
) T- y/ `) z! t' x% N否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
( y1 W" [& V; g+ Q% C& ~
2 V5 \* y  h7 E2 j$ i$ Z- Y, YLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

2 K3 S; A- ~! c: W# E' dFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
  I  E9 w: K! g' K
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
% @. l/ ?2 [: h
- R. {- \: p9 V% V% aThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

0 o8 i* t4 V1 K1 [  b$ b$ c. V理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。