此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

/ x9 `6 f: l, L1 \' z) }* B6 v
+ X. h4 O! @$ M+ y3 D6 g其实是个概率问题。
6 v1 w+ K+ g6 T) R& e: t' \% }: K那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
2 G( ~+ y: K9 e% G& k在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
8 S4 M) W5 Y3 ~+ f- h) P问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
1 x' j" V3 C0 `9 [. c0 s5 `' R
3 K) W# c- C! Z3 g% M没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
  n! s. C: [! i0 f  @
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
- w  l1 F1 R7 g0 n' ^. k而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
7 k' _4 T& k* Q3 O! e* b而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
+ O$ P! n6 b8 |' N3 `
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
- R4 A8 _* l3 LE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
! Y, S0 O  f/ B2 m& P1 J1 d5 nE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
+ U1 S* {( N) F9 V2 G. SFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

( r. [6 r+ F7 H) W% t$ {; Q原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
( L) w8 `6 R* M4 Z7 i4 ?您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
* e7 g8 w% W# C+ q/ L  z. W而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

$ N" `5 C& X/ p9 P0 _4 i' m明白了。
" y2 K5 L, j5 c  |9 C* P0 l1 }是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
# s6 ~% V. }9 ?% p4 H  ?3 p多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
5 ^, @. g( ]( x, ~这个题目可以用递归的方法解决：

3 K: b4 d( u# I" AE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
' s" L% `1 O4 |0 h2 V3 ^递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

8 y! b* p  i2 e; R- Z# Z* I9 c

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

- |1 H" g" O7 h: T; M' z% U我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
5 F6 g; g$ q, ?, K1 {! D% f3 @7 Z否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

. i6 X( k& k% i" DLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
6 Q# i% ^" s1 E( _8 d
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
$ ?4 A9 F" O3 X
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
% R" s7 \6 K1 q3 L
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
5 G' }' L5 v2 a! ]" y. s* y/ \, D
# R4 k: i- T+ J+ C  b7 G" R理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。