此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

% T& O/ c% P; b* [8 e其实是个概率问题。
0 q/ P# U; V. N  p那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
! M! k! L4 ?) ~: M& H在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

/ G" J3 n, b& i" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

9 @+ j" r0 r' ~+ X% l2 @( u  n没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
9 R, x+ u) ^) D% b* O
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

% r; A$ S  Q9 M. r1 W. R
1 N4 J' |. h: A/ ^8 K您对答案的理解似乎有误。
5 b; k6 J: I& M随机变量X是测试过的元素的数目
' }% ]: m3 B, I而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
) S, w, {7 j: [. \5 W  B4 U所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
8 a/ n6 t# j- `) `而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
3 N! e2 j$ m) }4 {* t: l; W, g! C1 [您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
, {2 z$ z- W! W% F/ L- O
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
7 f- O4 P, V, c/ UE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
: V0 z0 T- j& Q% ?3 t# c" h) i" OE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

$ K. Z% M' ^( L原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
. W5 D! N+ f  M您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
1 \7 n4 F2 O- `/ B/ y+ O而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
) C# ^: |& N1 I# A& K是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
" C7 k+ y0 D" I/ u" w7 I多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
, i+ @0 m; R8 ~
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

" D- n6 a( D; U9 g其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

7 r  I' G  L8 T+ y6 D: g2 K7 I6 G4 X) a

老福 发表于 2022-3-26 12:01
5 [2 k. X4 R& x其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

/ i- \& k- r0 I2 R5 b) j我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
& `; e# D$ J0 O6 f否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
8 C5 b8 J: y+ k) ?6 C; H) q" M! r9 |
, U; K1 t/ g+ q0 M而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
. H7 Y/ `, I7 M所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

, @- ^) ^: e( uLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
  U, R( T7 w1 m" [" ?8 r' _2 R
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

* f0 b0 k# l. O9 d$ ^0 @There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

: h4 H. I+ A! V- ~  ^2 q5 q" N理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。