此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

, j* f8 h& l. {5 s7 A7 I4 r6 r$ |
5 v0 ?- g2 ?  s& D7 m# L* i其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
7 u7 L  g( x! W6 c! f! L
2 g' D! ]# c, T: ?2 M按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

6 x6 `1 L+ i$ [2 k1 X0 ?$ w7 \: b* S" T" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
9 ?! [, ]# b* p+ M* z; {) r  p% \
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
* W7 h- P0 ?3 {+ r而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
, a' u  H6 q6 m  J, J您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

. {- D* a8 A3 ]1 L! tE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
& a& W) U2 u3 E$ eE(k|k)=1
* b0 X8 z3 S1 x9 I* z& z1 sE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
$ E  w! }) N$ y0 z' T5 n. ~9 W9 o8 \E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
3 ]3 J) w; l; x/ }- f( {, _随机变量X是测试过的元素的数目
% Y* U# a* N1 A$ D, S* [而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

! Z6 z& E" g' I% U明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
$ L0 D) _, I7 G% B. m3 h0 i这个题目可以用递归的方法解决：
$ a$ ]% b3 K9 w5 q3 ~
( R, O' n/ w& O* ~# }9 CE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

5 p1 Z# \7 N6 o" `* S& `  Z递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

5 D  Q& ]7 H' @$ b1 y

老福 发表于 2022-3-26 12:01
2 f! h0 d' E# m# H$ P8 r7 w其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

7 L7 B! J/ [" ?: H: B
- U. M/ C2 `# B& d: {+ b5 ~; i2 p我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
6 X$ o: L+ @5 `否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
) f& n+ ^+ n6 _# w) }1 q. g
$ Z: i8 Z/ s' `+ n' X/ n: m& B- W( C而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
# |, V; P/ X- O3 Y) E- d( e0 Q所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
, P" P) Y, z5 C! F" U8 K- T- J- x
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
" H1 D8 R/ H4 ~" N0 N
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
$ N& c# X- s2 l9 i2 p& E5 r
. K! x. Y+ g( Q* Q理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。