此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

) C5 b4 a& X9 R8 f& q
' c6 B; s, r$ ^* q其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
$ _" K* H  z6 g3 S0 [* i问题就是这个人的表述
# u0 S' |4 t( ^" ?( shttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

$ i  t; t0 ?! I# A& o
- K9 h" u2 w  y# {. c: o, b% d您对答案的理解似乎有误。
: T. [$ y- D4 g" ~3 X4 P0 u随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
* j* V% w7 l( v9 `2 l4 r- g1 ]而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
, R# ?) p& h1 {, w6 |
然后从头开始：
( a$ c* ?$ K7 R5 y/ |! `+ qE(k|k)=1
, I1 p: i, M( m6 XE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
" y' I9 N2 A! I" @E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
+ T; d& i; _! a$ y5 t
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
8 Z# q7 w% N% \9 k: \您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
: E6 W! n( V! \/ g而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

# ~. l4 n3 v' C) M% G  I2 ]' g明白了。
: D& R6 e3 m: x$ v& F, f是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
7 s- [) F: T0 e2 v( i& T多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
: l! u5 s& Q' }
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

' B. r5 N. R; O! Z. i' Y

老福 发表于 2022-3-26 12:01
$ q5 I. S1 Y* k; f1 {其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

7 n& H: I, i, L3 I# B
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
! B, k4 X8 g  F4 C% s7 z否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

! [$ u2 I4 a1 R# z# q( v: q. Y+ s而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
# q9 [6 T6 ^" v' Y所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

% L0 {) Q! R" p: `) {; n7 a. `$ p: oLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
% O! J8 n+ \0 V' d( u$ h: c
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
0 K0 x6 f6 M9 \" f( E) K
/ p  y" O* ?5 \% X9 _4 V! cFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

, i( s$ f1 a) x2 x1 iThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
; b! [6 \1 N$ X3 N
' Z6 M  q9 b  v1 H' f2 J; |  [  V理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。