此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

7 v! q" t; c& [, _* h$ e其实是个概率问题。
  |$ @# Z( o2 F$ E* Y* Z# ^那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
. w) M* F! z! i- U: _5 v  Jhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
; x! ~% Z' g6 [$ @
' y4 d6 j  s7 |7 U& W按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
3 E, j3 b! Z: \- M( K
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
' E, B0 G9 P0 }
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
$ z: E, R3 Z( g5 G; w
3 T, l3 p, H, g0 L' O老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

& T- q, r1 e. u' [您对答案的理解似乎有误。
7 I/ _/ l% u3 D( l6 W随机变量X是测试过的元素的数目
/ K* i! A1 D/ q- O而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
( o+ M3 B1 I- y8 F0 v. @所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
) e! b( p$ r( f6 U; \6 ?. k8 c: h而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
5 r$ ]- v3 n2 y, E4 W# _; Z5 \$ |
" P/ ^& r+ C6 c2 SE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
# T) m. o0 N. E
然后从头开始：
E(k|k)=1
! x6 T! o5 C# T1 ~9 nE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
0 Z8 x: }3 n0 k9 `. oE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
/ b8 B( f0 ]9 a  r
% Q9 K' A. G8 ^原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
1 y! ~3 i5 t- K2 E2 W* n您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
% r  f9 g' z) [6 H0 E这个题目可以用递归的方法解决：
" Z9 N3 \3 H4 d2 e
/ b6 I- u2 v, J$ |, F$ z% zE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

8 Q8 {& M  [* q3 d其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

8 }/ s1 T' H* W5 D

老福 发表于 2022-3-26 12:01
0 P+ x, H5 H8 A' W9 f其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

( O, Z3 i; }4 E. ^我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

% {- i/ `! y, k$ R) a1 J8 p而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
. r: ], T1 R4 @* H; j6 u
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
+ D2 ~# h' r5 h" \% m" }( q
$ h4 Z7 w! P/ bFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
- g! _9 }4 R$ z/ S$ z
; H# @' r! {* O7 m; UThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
5 w' b1 n; n1 n' U$ y0 m0 j+ h
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。