此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

) d! k  J! D; a) `. P
% f5 {9 z* Y/ \# E7 O/ |: u其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
" y0 s9 x4 Z6 H: h0 o8 A; j* i问题就是这个人的表述
! f( [$ T1 C% V( mhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
, e# t5 Q) Y# ]
1 O" I: q0 m) G6 N' A* _+ I1 Q按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
# ~( O( V$ w- ^; I
# `( e6 K# k* |" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

/ T& s. u3 I* Y" t8 Q2 }# a( V老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

; r+ {" i0 k# O8 _( C
' y# Z# L; Y; F" u1 `1 U, U您对答案的理解似乎有误。
/ O/ w5 m( n& c: E( s, S6 ]随机变量X是测试过的元素的数目
2 \7 g9 E! D5 h1 ?# V而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
( l5 J" U' n$ g所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
. N- h7 [' V: Q8 }7 c而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
" T. h- ?! I" f9 L您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
& v/ b0 ]! p; `! ME(k|k)=1
$ k7 Z' k& G  i9 cE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
2 @6 h5 ^/ X5 d  ~E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
* H, a  M; T) [0 }Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

& G3 R9 C% r' x1 }0 S4 h原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
; n# t* r% k6 F( D而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

2 q3 t* f0 j3 z. M, [明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
6 Y8 e8 }' l/ h; T( u/ a3 {这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

8 ]. X' W; o4 [) q  j6 I& o, F; J/ m
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
8 `) p9 d4 y+ l; E; K. u- U递归法也是可以的。

* O, {' a. B& D# M其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

5 \6 o) ?4 ^  E+ r* ?我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
2 m, a3 R5 E9 ?! w5 I所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
; M8 O2 E1 q5 z+ r: ?1 j
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

4 g: p0 A* o" D* J7 ]* jThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
4 a, Q( {" f1 @& U9 D
: \- ^. L; R( n; Y9 V" ~理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。