此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

0 v5 J. }0 A2 x# \其实是个概率问题。
- i, E6 Y/ G7 q7 X+ Y2 h那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
" v1 n/ _; R# S- _0 \在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
& o- C0 w" ~" L: o$ i5 v5 z问题就是这个人的表述
! M  @/ i. V* I. J* x0 Ihttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

5 {8 R' G7 U* Y( v/ g按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
1 [& v' k2 S: U3 S/ |
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
; E7 d& Q4 u+ {$ O
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
* j& l- s+ h) n- t1 S+ L# g而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
, X# b) U# I! |2 l0 l9 V而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
+ {* b* y+ ]* c3 u/ t6 v9 ]+ O2 F您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
0 n0 {/ O: ~3 h0 j. h/ l3 jE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
4 u) j: F8 N5 A5 Z/ P/ u! t( o5 S8 VFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
0 X% W2 {$ ^# R6 x# |! C6 z0 i
) l6 H6 k# L8 K) K) J原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
: u) i# V: `1 b! i0 b" v. K而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

$ \% Q3 ^" _2 A明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
  @5 ^4 `. [* R( R) w: R多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
( }) q0 p: p+ `0 c: _$ H2 [1 {这个题目可以用递归的方法解决：

, A% o2 {# n# Q- V& KE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

+ Q* L2 u4 H4 s; f$ A
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

) p8 e( W+ f6 ^9 y

老福 发表于 2022-3-26 12:01
3 L7 i$ s+ D+ b' `: V/ W其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

" j; u" I0 u$ |
8 |' x- s+ g) X) p3 s6 `我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

1 Z% [! s& W" X% z6 n0 H8 ~而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
5 _& r1 S+ @2 l7 ~7 j所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
  I/ K3 Q4 o7 M# I
  m, h, A1 f4 |1 O8 H8 S4 LLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

  F, Y1 V0 g% y! L6 o& }For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
& \  P( ^% ?( B: F2 U/ K
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
  s' Q: e7 U5 }7 ?; X
% D9 z+ m5 L( W6 C9 _& BThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
" w6 @7 {2 k9 d
$ e; O6 b) L' H* D( N理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。