此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

8 f5 y/ A7 s; Y* }" K2 [. h其实是个概率问题。
6 N" ^% H: [2 N5 i1 m6 E2 `- O& K# _那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
4 E; [2 j! m" ^" l0 Q, v在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

8 z+ p" t4 `( m8 g6 e" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

+ o# U9 ^7 U2 n1 D: Z) y没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

0 V  V* _% l) r( ]0 W  @老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

) ?! U  ?4 o$ i  ]您对答案的理解似乎有误。
/ x* u8 [  M" c: X6 p3 u3 @- E随机变量X是测试过的元素的数目
8 Z' T; H9 v8 U- ?- K1 ^7 W9 G+ j3 U而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
2 n7 a0 N& c9 Y2 R  z* l而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
# n$ _& ]) M1 |9 C% Q- j您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
, A& s2 r- K1 W& @- U6 E+ z0 Z
# s# V! u" x9 N! X2 B7 t$ x0 BE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

7 L1 z( z& z* z. j) f/ S然后从头开始：
E(k|k)=1
. ]$ }% b+ H! {7 W  P2 V0 LE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

6 g8 ~5 m  u* {5 z& ?3 M; U" l原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
& Y* T4 F( k% q您对答案的理解似乎有误。
; P4 r& n+ T7 d% o. _/ [1 r: G随机变量X是测试过的元素的数目
' a% ^9 p+ X' Y% D而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

7 z* ~' q; W7 j: P, Q明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
8 p% D9 a  @8 T. T- J* D3 M多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

: V8 T% s' d3 K, F7 @E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

5 S% Z4 j7 M. J! G递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

& m* j5 N  C' D# l2 X4 r其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

; h8 @+ W! T( }! r$ T+ j/ Z" ?4 }

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

8 q. [, b5 i) N5 o
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
/ ?9 Y* }- b6 d3 B$ M否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
" V, [7 k2 R7 \" N; N" k
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
+ r+ q* \, S. N7 {7 v; h所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

) K$ a9 [' ]4 C* L+ cLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
5 Q6 t6 Z, ?% c6 ^) P2 G0 u9 p
, l& C( a, C4 H" i- b' a- AFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
$ t7 R. q$ x: ?: m9 U9 V1 s7 |
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
, V% F: q- i" J2 f0 X
5 i9 F- r$ ?7 ^  u理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。