此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

! o9 ]& ?) c: H) I  @其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
6 ]/ |6 q8 v, \在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
/ m/ ?* B2 M, m$ P8 x4 C
: g; U( n% j. {  L" L$ e# t按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
' g! S/ |2 L) w$ w* B# P$ t
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
# q# y. e0 |/ B
8 B7 ^: [9 `  u4 |9 l3 ]老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

% a; u. M6 `  K# x
# }+ c+ A( u8 X3 |$ H! ^* v/ G您对答案的理解似乎有误。
* R$ V/ L% t: r: D  T随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
/ p- K3 {! r* R( {" {3 Q所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
  R: R' G' B$ _  P' }1 I. ^8 C而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
2 h/ T; O. f0 A5 l- j0 o+ v: C+ @您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

' Y5 Q$ I: ^" SE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
# Z- ]. I* r6 F
然后从头开始：
E(k|k)=1
0 n5 ~( i/ i% S8 X; J" }E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

: o( C9 e6 X6 V/ r  n: J原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
/ `3 ~% E: p( g  l; F您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
' D$ g8 [( \$ Z1 Z而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
! s- t  s4 g  X) o3 x是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
1 x" s' ^7 e& p6 Q6 e3 F" S多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
/ H0 \0 ~( T' J% t  q: {- s: C这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

2 p+ i  G3 M8 M4 Q! F' f递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

. O0 S: W6 s0 |2 o7 t7 f3 }

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

' N) m3 G  q  O' c: R) E
8 m; [, A! g$ T" Y$ l我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
* c, T% @0 `9 ^6 u7 q
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

8 v  N$ D7 \0 s/ E# o6 F( O$ `; x7 o* V% xFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

6 p: x* f& J) \) ?- |! P4 \For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
- j3 H3 a; P- a- b* j
7 A6 x8 q' A4 s; a, mThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。