此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

6 q, q+ c# D" @" O& Y/ _1 L
其实是个概率问题。
2 i) A2 W# ], u8 ]- Y那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
9 A2 x+ Z2 G# a: {% J$ P. R) S) V# e问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
) l; l- @; ^; M3 }: W1 s# e* [
) {: D9 P! a; X' s* Q; n: p8 S按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

( N/ K, o0 p! \6 B' y4 `& m# @" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
: W& j+ Q" K5 }! H" q
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

+ r; l$ k& Q+ S
您对答案的理解似乎有误。
% ?/ O- w$ Z  [, e随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
7 k. w4 N5 L( v0 W7 S% I) B, Y所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
' U5 y0 s* o( W7 O6 k3 [' {而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
8 Y! d: [" T) r1 Y& b( T1 L
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
3 P! I: [. ~$ f' P2 nE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
5 V+ p1 a, k6 H+ e3 Z( d0 i$ A$ z8 vFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
' J4 G/ a7 f3 l. ?4 x$ e. L
# f% s1 t$ ?" r1 v0 I原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
! u1 |$ z# k" ~2 `3 I' s. c随机变量X是测试过的元素的数目
" j+ A- s) Y5 @% Q8 s4 G7 g而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
5 O' x1 j- G$ |' H" X- l0 ~多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

5 b' x" M. [" z$ W6 ]" H; _
/ N# ^8 \" r1 Q( i) q递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

4 }# \! l+ Y: w, Z0 u( o& N其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

: J, B% D: o1 d* @' b3 [" f

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
+ d5 A$ @5 v3 C( J; [4 `7 l否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

" C9 p- [; M5 W- c+ _9 O而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
: S3 i# Q* _- f. J所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

" ?; m4 R1 Q. o) Z0 \* U/ k4 S" ]Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
  _  Y* v- t# d$ U/ l
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
1 A  O9 }+ P) n. H% E
9 r2 }5 i( `. m5 |: D' DThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

) A& X+ B1 I" `# d, W" \. j# e理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。