此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

+ X- Y% e/ o, A4 ]  v( c- o; P1 E
4 q% J/ T6 V8 E) ~& {其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
4 [3 W' Y; h# l' M3 `在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
4 |2 E1 B$ g. b) x4 }8 F问题就是这个人的表述
1 a! S1 R* s3 p" p3 E; ihttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

0 C+ F6 m7 [1 @3 ?* r& Q6 v按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
4 Y4 m2 u- a2 j6 S3 N; g
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

1 y2 L# e: i+ p/ H8 X9 z+ @! M没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
9 [- o* P) z9 i- `1 \
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
' c1 f5 t& c/ I; N  \/ H* K, `随机变量X是测试过的元素的数目
$ g+ {- v4 o0 K; n7 m2 h5 o而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
, w9 u0 p  y3 l1 p) [! \所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
7 {5 [" |/ X$ D) c# A4 d& w您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
" ~! _6 {/ `: o/ T8 a/ L
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
$ P! D, s$ i9 x4 |
' Y& {* S0 ~5 V' A2 \$ e/ p" U9 n然后从头开始：
) S* m- M0 S% g' f4 L! ZE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
' I/ b4 s; Q* z
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
9 j* @, w7 E+ K而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

& i/ R+ ~; R8 {6 |$ V) ^2 U* S) S明白了。
9 j7 z& B0 r7 F. V, g是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
5 @" J; ^1 g3 l8 \  ?2 ~; q多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
/ A( X# M6 g$ N5 V. w; E& @6 m. W
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

9 `2 a  G2 g' P/ N$ x递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
9 f8 U! f: P6 t8 h* A7 s递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

6 k9 R1 I! Q- Y, f  o5 Q

老福 发表于 2022-3-26 12:01
# H3 I3 e: B) X4 R& }其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
& P0 g4 g8 _, J  f: [否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
! T+ C) }; T8 ~
# x* @; `  [5 I4 d而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
# @, }+ c1 F8 k/ |1 m
3 h  Y, C9 T' RFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
. f6 S2 R9 a! r. S: e$ Y# k. o9 O0 y' T
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。