此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

, l+ e5 m4 r1 f+ i4 x
6 d3 n+ L, S' u$ I( k) n其实是个概率问题。
* B( M; t2 R% X3 Q/ W那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
9 h: \* f1 {7 X. h  Z  A4 ]问题就是这个人的表述
8 V$ J- w0 i2 M) Bhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
2 n7 s2 w+ n! h. x0 t1 E
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
" I, n/ x( v4 h" c' E
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

0 z, J) n5 C3 X9 S) W没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

4 ?1 }9 J8 A8 I# _. O# m! [老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

& ]( {% w* i2 |& ?" m$ y
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
1 z$ L3 w# w! Z- K/ Z而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
+ v: U: \5 z" |1 x. T% z8 a您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

6 P: t- W( K  d8 f# x# oE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
6 F* C) G% v  y
然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
! s7 b+ \: B4 `" H# G2 ZFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

  r- S9 N5 s; i2 P0 P2 Q原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
; x* d* _; `0 |3 \7 `" `# Z! |您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
/ B$ ~) ~) {" A; k, u# O8 F是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
4 C  }0 L. D+ }6 g) S多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
3 M( Z1 p, v) u$ J) Z' D  g' r
; l+ w3 u" t$ Z2 ZE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
* Y8 Z# V8 t- c5 w# `9 P7 y$ f0 ?4 N递归法也是可以的。

, e" W+ |- ]1 d6 Z3 {0 L; j其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

0 c. _5 t3 Q/ w# i! K

老福 发表于 2022-3-26 12:01
' v& T9 j9 ?7 w9 i其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
& A+ G) Q- @# |) s* S" S8 |否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

" ~8 f' l( h; E$ T, f而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
3 c- {0 R' r3 T$ m9 _1 \2 \
8 O( J% p  h9 {! p% v& v4 |For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
3 n2 e$ y" N* v* M- q
5 ~1 A: Q6 M5 C: R2 GThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
0 c8 h) v" o! R9 z
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。