此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

1 }5 {# i! [1 g3 q) A5 ~7 \0 K
其实是个概率问题。
3 W1 C4 @1 P5 x% t* O那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
: k& I! L+ u8 q  m问题就是这个人的表述
$ s0 r/ ]) X+ uhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
6 l" j" t3 R4 Q1 E* b
) @  ?5 y6 ]% o1 }9 z% I; F2 y按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

( |0 K+ i6 i/ S; R, [. Q# e& I" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
# p( d$ M; t5 O
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
! Q% `3 t- `( `. J随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
7 ~0 M) A1 B7 N, `而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
; X: g  G. v1 Q) k* U9 f5 S" M) s
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

- A2 n3 z% B& C$ o( ?( J然后从头开始：
  |- V" {8 o) `7 f/ YE(k|k)=1
& ~: f/ ^1 z! i7 p/ @) bE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
, X3 n7 l, {2 T4 y1 \( D% q( k& ZFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

0 d& g2 V6 R7 \. X2 t  h" v( [原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
6 c0 ]& V( H6 c: p您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
! i0 G4 D; r1 u0 V0 u/ d- V而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
7 z7 o0 N/ ?9 O. b$ v2 m6 N5 f这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

+ P  j, ^* _5 f: L% v5 a
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
3 n- v5 T0 {4 w递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

: B) D0 o2 k" Z' O/ R
2 U. ?& M* i/ o6 A! D% n9 e. d; z我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
* y+ H2 g$ j* ?+ H  [7 ?2 b否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
% y& K+ c$ ^7 i+ }, O所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
# d$ L- L! U0 z; f7 l
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
# s6 ~0 g- i$ \6 G
+ }+ z' ], ]% T2 K' ?2 ]For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
) K! l# I1 {( N) c9 l6 h, L
; T& F1 D: q/ N. n1 _理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。