此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

$ d3 i4 r3 N4 Z9 g其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
& X8 j- a# r. n, w8 W: J在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
/ k, n3 f, b3 X- m
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
. x- H* {) \) @9 e) B- F9 n/ b
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

3 \; {$ E% _8 g* u! ], d- {9 @没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

( `2 p8 P7 K) I- X; H老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

! y" N5 a8 g$ @7 u; l3 h您对答案的理解似乎有误。
$ F7 k) Q+ V3 \" j. T5 F5 z随机变量X是测试过的元素的数目
: g6 u% d, M; f' l% s# K而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
5 K2 R* J4 N1 K所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
8 X9 r# Z4 x  q3 S您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
/ S9 Z4 V1 G5 y3 b# |
1 F5 m; l/ W3 v" R- D3 {1 pE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
* A; P8 X9 V+ r- k
( ]# u% z# }$ V+ B0 Z3 W6 ]然后从头开始：
5 z! V& J6 W+ |6 fE(k|k)=1
3 m+ L% w- v, G0 c3 dE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
% x2 }7 a& o+ X4 F( k9 _E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
  u" S. C; ^4 t; [/ ]: P& ^Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
* C+ U4 u) ^& C# Y随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

$ {& n/ b5 n' }明白了。
% F& m7 V  ~0 I3 B是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

' p9 \2 V: V3 j# r1 |- M  ~E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

# p& ]' w( p0 W. p" o
2 A! r5 U3 A2 H( \+ j! p* ]递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
4 E2 {/ O  Y7 [. q' P$ a递归法也是可以的。

# o0 b" w% d1 v0 j7 |" ]  q其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
' D$ \  P# s$ Q; W其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

' `7 `: E& x3 _
# B- M- K7 D- a3 u我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
* ~# {" Y& K5 w否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
* S4 q+ v3 [6 d0 g0 w: A
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
/ y( w* ~0 B( N所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
( I' M) \$ t: p! K
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
% }- q7 f: ~  r; W  R7 v/ L
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
0 h( S) q6 m  i( l1 p4 f
% M* @+ {+ R" j& ]. D# v7 K8 CThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
  n( W8 T! |, N
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。