此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

+ g( F* q7 \/ t- Z3 f1 \5 E
其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
: F& R. O+ }8 }" V3 H+ H% e在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
  W) g$ ?% g3 U; f" Ahttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
( J1 H; G5 D$ M  y* N
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
# P) _, B2 z6 o2 c9 [+ _- |
7 l+ p$ D% [! E5 d4 b. O  p1 y老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

  N8 \; v/ b8 ?* U$ v5 ?' ^+ b您对答案的理解似乎有误。
9 o$ e7 f9 r- a. N9 c! _随机变量X是测试过的元素的数目
: Z7 o0 }+ e9 q; O- U* j而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
; O/ K, V6 K9 x您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
& b8 s" N" m/ B* B
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
1 f  i0 }+ K; F4 l" S
: I; f' g. W, {$ w$ S/ |$ j然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
' @& u2 s; b, Z! }- H/ ~E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

7 K5 g; @; n; E7 x4 a原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
& R& Z& I. n- m您对答案的理解似乎有误。
2 W" \% \' u+ S: q9 q- z随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

! ^! ^0 l* z% C( n, G7 [明白了。
2 d, U# E6 ]  q是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
* p/ P* s1 H4 E6 r3 h1 E" q: j; ?多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
. b8 S' {2 C: b5 p& e1 `" v) j这个题目可以用递归的方法解决：
0 \- e% @! F2 @/ @; P6 g* u
+ \/ t5 I' ?- W  A" B# z; PE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

) {* C+ N1 i& V递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
$ L, k" g* V) P* A递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

" G8 s$ Q' a, B. N$ Z

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

" u- Z5 H4 z9 H5 p/ t; D! K我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
, I' j' `# S$ l; V- n9 ]' n' C1 a否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
4 q- g- H: E9 k
3 |8 H% N' v4 @0 n# p: k- l* i/ L而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
" O- e! x! j0 d
  F6 @+ O* D9 @3 H# F- rLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

; J( V% }0 ?: Q' KFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
  \, F& X' P* u( B+ @1 U: @/ \0 t
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
/ A$ D4 T; w: K6 t! |/ ^% M+ a
( `' J: [0 z1 m/ FThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。