此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

9 G! I' H0 c3 n其实是个概率问题。
) u  f# P" P2 F) p: P! E- d4 ~8 v那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
0 j* k% X$ h9 B问题就是这个人的表述
; _% u4 \. J% M+ o& Y; X, ehttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

  x1 X8 W0 u. \6 {9 T7 F' S. R按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

& _( s' D0 |+ |( ]/ E: V" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
! _" T$ f. q; `1 c% s3 b  P1 x  ?
- y" Z, z. N, o' o1 F8 J1 W# b没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

# ?, v; R( W; N( B4 {
$ i% _  n4 j5 J" a( n& D您对答案的理解似乎有误。
) n* j, n4 \. `* p1 S随机变量X是测试过的元素的数目
( V; Y' B& x" k! x- K7 z' A) x而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
% h+ x# u& {7 k! V" L所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
8 I9 H; p7 b3 y
- F3 f3 v! o0 A( |E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
% `7 ?! M/ F# k+ `1 r
然后从头开始：
7 z- k8 x6 u- C  K8 \' v8 OE(k|k)=1
- m, I3 w' M$ v) tE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
% U7 F9 y/ a0 G4 aE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
- \7 ?, c# K6 uFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
! O  k. y7 q9 y" Y! R7 m5 H
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

" [% V8 |' T5 z4 B明白了。
0 Y! M* N8 e: a: E) {是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
5 x- X/ G! a. q+ {9 m多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
. e$ O2 g5 L* ^! E/ T
! d2 K+ F# a" e; k& k! a9 `% Z# tE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

+ @' l8 U! ]3 A9 m- K: h! w
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
' f3 [2 [) F. [) V递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

! N/ V* V; f9 e2 I6 U我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
/ v! `) U% |8 b$ {否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
% B8 i- x7 w. Y: i, i6 Z3 T/ T' [1 L' O
) a. J3 _# I5 R+ v6 {- `% q& s- B# ^而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

2 k; D% w' C/ G2 O2 dLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
& K5 {0 r# a8 f! |
1 R' _' E- m5 w) U+ R( a7 {1 r6 yFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
, j4 a, P+ t- O, N5 f
3 T9 }( v1 G7 c( QFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

/ Q9 P1 G' b, jThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
2 y. ~& E' `( V) ?/ H$ W
: }% A5 @7 r" N; C理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。