此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

/ p9 o4 X3 a$ {4 R- P: Y
' m$ D0 r; p9 @  i" m) b其实是个概率问题。
! [. j% n) P" i0 d' Z那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
2 ]- C6 |% V8 Y问题就是这个人的表述
$ x' y' O2 v9 [/ s4 D# j4 a. a/ @+ Bhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

" v3 [4 S: t  e- ]! u( I0 {按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
6 ?$ K) K! M* A( t2 f  a: w2 S% a0 \
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

3 H% S/ e6 s7 _2 g" b* j3 p. U没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
4 F" ]$ I6 l( k/ m
8 k# \+ g" o# c: `+ e1 k( B% \1 G8 F; ]老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
9 n: X4 @1 q- k8 s/ x4 j1 ?4 A7 V7 H* D! {随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
; K6 o  H  `& T# u5 S( `" |3 |. n而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

/ Z" Q! {2 \4 g9 t' G( S; [1 |E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

: C# W& e$ {* [# r, k9 _7 B然后从头开始：
E(k|k)=1
& F. W  P4 j9 B1 f* `" ^# oE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
4 g- B/ `5 n8 FE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
: c+ Y1 L: W3 r' L$ O. n9 l9 h
7 k6 O0 ^8 A4 `原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
3 [$ E" [  O2 l: `4 Z& W! z8 f您对答案的理解似乎有误。
0 ]' k. z. o7 J7 ?随机变量X是测试过的元素的数目
; F7 c! Y2 Q- r7 K而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
. n* b# ?' M. v& E这个题目可以用递归的方法解决：
# A7 t7 E3 F, X2 T% a
% Z: w# Z% J1 U& D$ KE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

$ X. m0 X& X2 U. t: z: b( h% `, ^, d8 Z递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
: p8 W( j4 X- O* K5 ?递归法也是可以的。

) v( \, E8 k" `- @4 A% `% p其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

, O4 C3 {1 `9 Y0 ?% p- G6 ~$ a

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

; i5 y, `8 c7 H: `7 x8 i9 Q6 M& Q4 P& V7 y而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
/ I+ P5 v/ V7 D  `5 z所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

4 i! L- U4 V% F% o& ^7 x  UFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
/ n, b, w$ T2 a0 U5 v
1 b  ?' U: u: \; U3 z  vThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
! L& m$ c! m3 b9 {' u
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。