(搬帖子）从零不是自然数谈起

code_abc

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    最近意外发现国内教材把零纳入自然数范畴。在我印象中零并不是“自然”出现的，我隐约记得小学时老师说自然数就是自然界存在的数，因为没有不存在的东西，所以零不算自然数。事实上在数学史中“零”比无理数出现还要晚。查了一下资料，发现一些有趣的事情和大家分享一下：
    首先谈谈“零”的来历。
5 m  c7 e: ?9 ?0 R; m    如果我们按字面意思，把自然数理解为自然界存在的数的话，那么我们可以扯上毕达哥拉斯，早在公元前500年左右他就基于一个朴素的原子论的观点提出了万物皆数的思想，他们认为万物都是由一个个微小不可分割的原子组成，这些原子是可数的，也就是万物都可以用数字描述。当时没有用于表示数码的符号，所以他们用小点直接点出数值。很明显这时的“自然”是不存在“零”这个数值的。而在其后的数学发展史中几何几乎就是数学的全部，这里甚至不存在“零”的概念。当无理数都被发现了的时候，对于表示不存在的“零”，数学家们一直视而不见。再往后由于数学应用的需求，人们发展出代数学，作为一种运算技术“零”才开始进入人们的视野。把“零”引入数学作为一个数值参与运算应该是公元9世纪的印度人完成的。可见“零”是一个很特殊的数值。它事实上是一个思维的产物，而不能算一个自然的东西。因此传统上“零”不算自然数。
    再来看看零又是什么时候被列入自然数的。
    这个问题和19世纪逐渐发展起来的集合论有关。简单地说，集合论用集合的语言来重新定义自然数。因此自然数从此有了一个清晰、明确的数学定义，这样我们就不再需要纠缠于自然语言中什么叫“自然”的麻烦。而在定义中出于方便（与空集对应的需要）把“零”作为第一个自然数，纳入了自然数的范畴。选择哪个数值作为第一个自然数从定义来说没有什么区别，但这样就需要用非零数值和空集对应，这样就很不“自然”了。和集合论密切关联的逻辑也是如此，另外，现代计算机科学中也倾向于零作为自然数使用，对于ＣＰＵ来说０才是打交道最多的数，没有之一。
    数学本来就是思维的产物，不严格地说这是一门规定出来的学科（不是科学）。这些规定并不是一成不变的。所以教材上改变自然数的定义并不是什么大问题。我觉得考试按教材的规定作答，但是能够了解事情的来龙去脉远比一时的对错更重要，不是吗？

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橡树村

自然数至今也没有统一定义。传统上自然数指的是正整数，也有的定义把零也包括在内，看教材采用的是哪套系统了。无所谓对错。
+ Z% n2 U) y9 z, A) G1 h
* u3 X4 ^5 j3 i8 ^0 c. N, o南非的教材里面采用的概念，仍然是自然数是正整数，加上零的集合叫做whole number，后者也是一个没有统一定义的概念。
7 Z3 x9 V6 c4 a5 M# }5 o

机器猫

我怎么觉得小时候学的是0不是自然数啊？

老兵帅客

嗯，好好学习一下数学

老兵帅客

橡树村 发表于 2012-3-16 14:37
7 E! Q9 v# ]8 N" H/ [' r* _- h自然数至今也没有统一定义。传统上自然数指的是正整数，也有的定义把零也包括在内，看教材采用的是哪套系统 ...

虽然当年学过，具体细节早忘了

code_abc

机器猫 发表于 2012-3-17 04:30
/ }, W& l: I8 J/ T# ]) M  g我怎么觉得小时候学的是0不是自然数啊？

) _/ M7 x* S$ _6 ]4 |! x$ r我读小学的时候也是这样，据说已经改了十年了。前段时间听一个同学谈她孩子的功课才知道的。

code_abc

橡树村 发表于 2012-3-17 03:37
3 b: ^  E/ G0 C( \自然数至今也没有统一定义。传统上自然数指的是正整数，也有的定义把零也包括在内，看教材采用的是哪套系统 ...

; V" w1 N8 y  S8 R的确是没统一。不过我从高中起就不怎么喜欢自然数这个词，一般用非负整数取而代之。看来是有先见之明的。

gordon

! L0 m+ e; H; X) O* H! @' q柯西和当时的其他数学家在阐明极限概念的过程中遇到了一些困难时，实数才成了认真考虑的对象。
/ l2 ?! k& L8 q2 q; b" @- w% p2 l, b
' m/ a5 q. e, M' r+ ]当时大家都认识到，实数理论实际上可以用不同方式通过对分数的归纳来建立，反之，分数又可以归纳为自然数。
' K0 y( ?- S+ v- `. i
0 G% N# v0 n& l- u+ w# v在自然数领域中，自然数的所有性质都可以归纳为少数几条十分显然的基本事实，即皮亚诺公理。
$ A' V* W) f, T8 ?( m
对自然数的这种归纳，为实数和复数理论提供了依据，也为整个实数和复数的解析理论，乃至几何学提供了依据。

知道这个东西是公理化的需要就行了，要想深入研究找《实分析》看就行了。

gordon

& j; N6 {1 L: o% e: L2 u+ e
人民教育出版社的回答是这样的：
% e1 [. F: W6 w% x0 m
8 s8 G7 {1 U. C随着义务教材（试用修订版）的使用，现在许多教师和同学询问关于0是不是自然数的问题。现予以解答如下：
从历史上看，国内和国外对于0是不是自然数历来有两种规定：一种规定0是自然数，另一种规定0不是自然数。建国以来，我们国家的中小学教材一直规定自然数集合不包括0。
& {1 m# [, i8 u现在，国外的数学界，大部分都是规定0是自然数，为了国际交流的方便，《国家标准》中规定，自然数集包括0。因此，在我们新出版的教材中，按照《国家标准》进行了这样的处理，原来的自然数集合现在称为正整数集。同时，我们也按照国家标准的规定规范使用了一些数学符号的表示方法。
$ r% n9 L  B' m1 K' {6 j4 g从使用上看，规定自然数集合是否包括0并无太大影响。作为序数，从0开始和从1开始是一样的；以前我们所说的n∈N，现在只要说n是正整数就可以了。

) Y3 W$ W! ~; k# r7 p. E可参考国家技术监督局发布的《中华人民共和国国家标准——量和单位》（GB3100-3102-93，1993/12/27发布，1994/07/01实施）
! r) m, k/ v$ p/ Y) C5 u# \1 i' ^
由于教材修改要逐步完成，所以现在造成有的课本0是自然数，有的不是的情况。这个问题也不可能马上解决，考试时这个问题是可以回避的，用正整数之类的换一下就行了
" p9 ^- s" S! Q5 a: a8 u% ^

komicjack

gordon 发表于 2012-4-2 19:28
柯西和当时的其他数学家在阐明极限概念的过程中遇到了一些困难时，实数才成了认真考虑的对象。
" O0 v$ x3 v$ X. [+ o
当时大家都 ...

嗯，实分析中逼近法是非常重要的方法，一个证明中经常是先对正整数讨论，让后推广到全体整数，在推广到分数，最后用极限的概念推广到全体实数。记得当年上大学时做过很多这种题

晨池

gordon 发表于 2012-4-2 20:53
6 S0 s* v5 Q. a: k& a: F人民教育出版社的回答是这样的：

) |9 p3 M& z& P随着义务教材（试用修订版）的使用，现在许多教师和同学询问关于0是不是 ...

作为序数，那是必须从0开始的阿，哈哈