此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

: t* W/ Q# v. O. S2 f9 O
. _: {$ x7 t1 _% n3 R其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
6 \0 x  v& A) B3 R8 w8 _: n( C在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
* Q* b/ r& j% m; [https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

  D& }: X# `& t按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
# G0 p3 ^. M# q$ k( Z
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
& `7 L' m5 K: S/ r+ Y
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

2 F- ?& g+ N2 `7 {老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
. k) m0 p4 p/ t! K而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
4 O. R# P/ w' b# n, s您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
& D% a, w* [% Z# Q9 O8 B: u. Y7 I+ h) ^
0 ~+ f0 |( K( }' g! h" I/ {E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
, b; d( X( X" ~9 s9 U7 WE(k|k)=1
, A2 {+ h; y0 Z& K+ e- aE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
5 i2 t, o2 U& w" A) {5 OFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
, t) W4 j7 }' }2 C  I
6 v7 Y& i$ {% F4 g- r原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
- F; `% \; |0 J2 i- r' P. C随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

9 l. p/ V4 Z/ p7 N明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
! w( C* B, Y# r2 V: e8 F  P* P% I多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
% Q- ^* C- q1 a7 ]
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

% \4 ?# Y) s* p2 o/ b, K& v
5 [3 P9 ^4 _8 c递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

9 z6 c! e- D2 r+ a其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

3 @+ T0 Q* b1 H4 |& ^% Z

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

8 P$ B" `1 C/ n" V, W
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
, e0 m+ O  u3 b1 j  M/ t7 f0 X否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

( m7 l3 ]  C' f( k  Y而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
, U; V/ R# f' M4 T# i
9 O* _* T' j) E4 c0 g: w0 A. Y# gLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
. W: z  k0 f7 y# v% A1 a2 H
. \% k1 h; e, p+ {For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
4 a- A2 R8 L' }6 @1 {" G% a) J
2 I7 k6 V, i7 h- ?1 \' k9 cFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。