此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
$ k  p/ J. M8 q7 P& Y( G# v问题就是这个人的表述
; f4 I* i; N3 K" h! {3 Yhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

# Q9 E& |- H4 l* G按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

; R* P: r: G2 m# ]" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
& z& Z1 y" Z" O8 g) L5 ]4 X* {
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

0 a& ^# L( C) L: l' I/ S老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
% Y2 D. C5 C) C! _& ~0 Z7 c' m7 A而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
  ]1 |9 n* j4 G9 o$ d. }4 @$ j/ Y所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
9 X5 ]+ u( S% R. a, j而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
) L$ `% @. t! u4 U5 D$ X
* x1 J  I+ X4 P* Z, ?E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
8 K) X2 \  {, E" Y
然后从头开始：
+ G& o; n6 j' z+ Q& P0 M  r# h3 D  uE(k|k)=1
. V0 _1 P0 I+ C: H5 l+ _3 G# ZE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
6 V' G+ f  A, t4 \5 r% V5 gE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
. \3 _/ |; [9 G$ cFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

/ I" ]; W( \$ s原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
  m3 k* [/ Z, Z9 U( W您对答案的理解似乎有误。
9 j! t; `; j, L* _1 D5 v随机变量X是测试过的元素的数目
' ^7 c/ f/ w; @7 Q4 h5 [5 y0 l/ Z而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

- |, c( X6 H7 d8 P% k明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
9 A( w. Z4 K6 ]( J* {
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

. O; f& e' }1 O- r
& i. \$ x2 F. e0 O+ [) C, Q递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
: X  R  \+ e# s: r6 t1 g  f其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

6 O! c+ G4 p5 O9 g! C1 c
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
8 e4 j, L$ W' i' w- I+ \9 I; f% x5 ]否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

( P6 C$ U: B6 W6 ^3 D$ L而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
6 o, H1 M, z5 Z) A/ N# q2 D所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
( f7 Q5 q6 N7 A- i+ U
# t3 O3 y# t$ kLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
# J+ z# [. V+ y- r% K/ D+ F! {1 A* D; w
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
6 N0 o6 v( f( ~5 G
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。