此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

- i! p& Q  K  k3 m# i其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
8 u# U7 L" K  ^) E! Hhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

: \( A: `7 P% |* f$ V8 R+ Q$ T按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
3 B/ i  H0 |# Q- c. W. }
0 G' ^2 n' t" I1 Q, b$ _" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

% M, K7 D" F% R5 y; M
3 _9 {% C% i3 R/ {; x您对答案的理解似乎有误。
$ b* h! a1 d7 `4 a随机变量X是测试过的元素的数目
9 w3 d0 M! ~0 {0 ]4 v  a而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
8 d2 E, h. C( H1 j' v所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
6 `. o4 R9 V* Z. ]  Y而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
, x' {5 h; T9 S- Z% g& G* t1 A. |
# A, [. j  Y6 E! ZE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
4 C$ n5 k6 C# M3 \1 |& QE(k|k)=1
- f2 \' }0 b9 q) nE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
$ W& D% c: Z4 N4 Q4 |' c% M# L6 NE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
9 w; d# ?% ~' z7 h2 bFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
) V9 T. C; S" w
2 s3 u- {+ Y. i1 @) Z2 `) `原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
% k; N- N. F) L! \9 z而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

5 r. O% v8 _- H; x* D  J) x明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
' f; `9 x4 l$ v多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

- l" o3 j& T6 W+ q- FE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

, b, p* j  f' D  U3 k递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
% H) m" t" S* Y. v: c) F  b( S递归法也是可以的。

# N. \+ d5 }+ a- s1 y: b$ u. |其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

3 t* c  T+ A; G- ?% a1 t

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

, B6 }4 }( {3 x5 J. i' k9 ^我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
  j4 N1 v# o+ |) z否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
) z/ C( X  B: ^* N; B! E% [; I
+ d' L0 H2 q4 z3 [% r而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
/ Q7 f6 T# E0 Z# U6 ~所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

$ p" S# f" P- TFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
8 A# F/ w9 g" Q" z. _$ T
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

: z5 B+ O' n3 R0 E5 i理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。