此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

0 x8 k3 s- x; O1 Z
+ v/ W. D3 Y4 ~4 d; t: s其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
- D- N. h/ I8 u, o7 |' R- ]2 [
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
5 p0 z- Q. b' c
; e& s2 R! h; z) T. w1 I" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
* R# U2 ]) S  a2 e  P: _
9 [+ C7 `! m. H3 Q1 f/ `% g) }没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

; G( L! ^7 j2 x5 t9 h老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

+ ~( e6 V: a& y0 s7 J8 U* H您对答案的理解似乎有误。
* a5 K, A3 M6 M2 x! T随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
+ F" l6 D% j- m( R而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
, ~$ G/ K) s& Q' S+ U" z
( o( M7 L# T- I* T0 i: YE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
* D, w# Q- |) `) t
然后从头开始：
E(k|k)=1
* H) l! f4 P" PE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
) w+ y8 q8 b$ I8 U" [E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
  t  L0 P; Q: a* b7 t3 wFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
6 x, D0 W# s% B( p7 K1 Y您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
4 s- c$ \5 T; N( r% _2 p而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

, B; C$ T; d3 ^9 i( t明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
% p7 T/ l' c+ h% w( Y多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
" M1 C. r3 e2 H" o这个题目可以用递归的方法解决：
% K4 h- u" x: a( S
6 W! H) X* L1 c' ^8 Q3 q3 @E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

: C* t7 W, h' h+ o2 N3 v; h+ q递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

& o% _: u. u4 Q. \1 j. L其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

1 J8 @5 r$ K% q, X. Y1 ?
& j" r; d% H1 y4 h& J0 D我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
7 _6 a4 t- o! ?% P' s所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

2 _- e' Y0 K! F# @2 mLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

3 z, P3 E+ b! }- j  G. ]6 T5 ^/ f: ^3 {For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
. t: [6 ?3 O% C7 G2 [1 ~( r8 o* M) {- I
# k, J. N0 @- Y$ sThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

6 \0 `; H- R: A& t; j; i6 X理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。