此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
, W+ t- u, v- \3 K在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
( q7 N% r% h& A# J  R" {1 @问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

, v6 k- e. z/ @6 \: J: z: y按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
. E, u5 }9 z# R; p: ]
; \  N4 c) `5 I* B: J( t" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
- X' w3 Q9 |% X8 f4 g8 `
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
; k7 {& ]. Y! @8 ~' w# X& k7 E
4 ?" N5 a" e, I9 o, _老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

2 g( z3 [3 L+ S3 c. N4 f  ^+ H, c您对答案的理解似乎有误。
- Y+ S+ E* r) Q" v随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
, g' x2 J0 d/ U3 ~( U& \  l) \您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

4 E# P. N. e3 cE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
  z8 u$ u5 d3 c9 ^6 C6 [E(k|k)=1
! d) [. b+ i( C; y- a- AE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
; H! r9 z' r# c/ G7 zE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
6 x. z+ Y+ P! H0 T; h  C* d7 ~Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
* a: e5 U# `$ Y$ c
' x5 @$ ]7 b( y, j原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
' \( r5 J8 b+ D- y随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
1 l6 V$ x% v' I1 l- k4 N多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

7 s2 Q( N/ I2 W- z- H递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

3 Q' W5 B+ I$ w  E* L) I" e6 ?# L

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

; V5 G# X) D( W) A, T+ i8 N9 e我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
# Y  A: ~$ h8 V' W4 X否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

' X/ i) e; R- z: Y) @. }7 [而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
) f9 P( T' |( Q( f/ G% m
9 d+ [- y: P3 T; YLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
  I* }+ r% i2 c6 Q0 ^. O2 w, O5 C: q
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

  u6 d2 v  O" t6 D- C% Z& uFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
  w* ^; l/ Y: }; u3 g9 M9 U. ^
& x' k) ]+ c. b( W$ C1 ~& |There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
4 K- c' L0 c1 q4 b% f4 v% @
  ^# L! M" n) {  t/ \9 o理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。