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[信息技术] 此间大牛多,请教算法高手一个问题

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    2024-12-25 23:22
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    [LV.10]大乘

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    楼主
     楼主| 发表于 2022-3-26 08:43:59 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 雷达 于 2022-3-26 08:54 编辑 ; `8 d' N1 L" k' s  q+ Z  Y' m

    2 i' J. h9 G# i+ \. x0 ]0 P其实是个概率问题。/ ~8 `5 |9 d  q$ N% [
    那本CLRS算法导论中,第 5-2 练习题。3 I( B+ N9 j; b, o3 A* [" C' O9 o
    在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值,用顺序算法搜第一个 x 。
    % j$ ?& |4 T6 h, i2 v3 [! v. e问题就是这个人的表述
    4 O' y2 F& m2 i" jhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
    % c3 K; X. G3 e7 [
    & Z6 @% n  G, ^* K' n: N2 t: P0 U7 J按照答案,从头开始,之前没有出现过 x 的前提下,每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
    0 R; P, Y9 A$ {0 S% P  A! N0 q( C# g! Y1 Q6 K
    " If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x". ) g. M( G. T( s  u: R& S

    # X$ ]  W& ^; Z) A& x5 f没看懂,这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的? 按直觉,这个概率应该和 n 有关,假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较,概率应该不一样才对吧。
    2 r, [. a6 r+ I3 n( `+ n% ~( c6 b5 R; p+ f1 J6 U7 o# V2 m: L) m
    老了,脑子水掉了,希望有高手解释清楚一点。多谢。

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  • TA的每日心情
    开心
    3 天前
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    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2022-3-26 10:32:30 | 只看该作者
    本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 10:56 编辑
    + d7 h7 O" }: y! Z% G0 H4 x% g- Z# l! a- Y1 e& y5 y$ l
    您对答案的理解似乎有误。: Z3 W0 b! V5 N% g( e3 _. l
    随机变量X是测试过的元素的数目+ p. F* ]/ a' u1 m. v
    而随机变量Xi是另一组随机变量,每一个都是个indicator,取值是0或者1,含义为第i个元素是否被测试过,而不是该元素是否等于欲查找的值。3 R/ M$ I7 z7 @" d
    所以才有E(x)=sum(E(Xi))。$ B4 @9 }) Z) Q- [( ]4 e, K" O  A
    而如果 A[ i ]!= x,那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间,而我们检查了这个元素,所以这个元素必须位于第一个区间,所以概率是1/(k+1)1 D( W$ ?" e, X9 v: X! m' e5 j
    您再想想?

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    板凳
    发表于 2022-3-26 10:44:05 | 只看该作者
    这个题目可以用递归的方法解决:3 k) P1 I5 p0 {/ R/ v/ o% B+ o/ N

    4 B# ]0 u" t0 q7 D2 M/ x( qE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
    ) ]# Z: Y  \4 d2 K$ \
    - L! F% n. h$ D! \: {然后从头开始:
    ! q  t8 \8 W( |0 ^! ]/ I- O0 S* K) `E(k|k)=1& P1 E6 F  W7 \9 Q6 \
    E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
    + a- D) q/ O9 ME(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)& z& F5 V, N& A3 b% c* Z" Q- q; {
    Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)$ F& o' i" Y, }, w

    ' H. u8 ^3 t3 F8 j4 V* o原文的解法有点绕,还没想明白。
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    2024-12-25 23:22
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     楼主| 发表于 2022-3-26 11:00:35 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2022-3-26 10:32* [/ u% j& \/ a4 Z( v5 y* W
    您对答案的理解似乎有误。
    : o: w" D  G; r1 h( R& l随机变量X是测试过的元素的数目
    0 _& n$ ~6 ?6 s而随机变量Xi是另一组随机变量,每一个都是个ind ...
    & v- i8 u& Y  x5 C+ L& e
    明白了。6 B. J, H1 y5 p/ d  I  d% w3 [
    是指的某非x元素在所有x之前的概率,实际上有 k+1 种可能的位置关系,所以在所有x之前就是 1/(k+1)
    6 N2 F0 C: i+ d# r  q2 ?多谢
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    5#
     楼主| 发表于 2022-3-26 11:07:00 | 只看该作者
    老福 发表于 2022-3-26 10:44
    * a. w* y, t" Y1 Y1 ~6 r这个题目可以用递归的方法解决:# s5 _4 p4 G. M/ z
    * S. D$ H2 _% q$ V* r0 C. ]
    E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
    & O0 I% F% e( ?9 c2 L1 C

    1 M9 M+ u: a+ M% Y4 g$ ]递归法也是可以的。
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    6#
    发表于 2022-3-26 12:01:27 | 只看该作者
    雷达 发表于 2022-3-26 11:07
    & L" o# J! E) `( r" Q递归法也是可以的。

    ' i1 z/ l' C; t: k" l其实原文的解释似是而非,试想i=1的情形,对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/(k+1)。
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    7#
    发表于 2022-3-26 14:46:17 | 只看该作者
    本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 14:51 编辑
    / j- b2 e' q( y
    老福 发表于 2022-3-26 12:01
    3 @- {8 g8 N0 y( t其实原文的解释似是而非,试想i=1的情形,对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/( ...
    ; i" e3 B- t9 K' z+ u: L5 l; a

      g  u: R* _3 J8 Y2 Y, A1 {" r- ~+ c我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号,而不是位置。
    ! h6 Z& T) c' [3 c( I1 `. r) V否则没法按元素是否等于x来分类,因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
    ) ~! T8 |/ E5 o' C  t, x  w' @6 x9 _: W, B, Y' r! a, r( }$ N) m7 C
    而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号,然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素,其是否等于x是个确定的事件,所以元素可以分为两类讨论,等于x的和不等于x的。
    ; G0 P- C2 `8 j; b/ ~) z8 ]6 h所以A[ i ]这个写法有点误导,这里这个A并不是要做搜索的那个数组,而是所有元素的列表。

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      发表于 2022-3-26 20:40
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    8#
    发表于 2022-3-27 00:32:22 | 只看该作者
    一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒,终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下,作为总结。; m9 A, P$ a/ o* i5 u
    1 ]- k' A& u" m3 j, x
    Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
    % W* g# U# `( V" w8 N% M, m1 X* P  u* R$ W) R) B
    For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.8 w+ d) I0 M# \; I6 ?7 i

      o: D- [" s/ P4 IFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
    % H# a! X1 w) d8 G1 C- [5 M4 \7 A( h
    There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).4 f: S; h# y* K8 B
    , v; x7 C* E0 V
    理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element,它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。

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      发表于 2022-3-27 02:46

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