此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
6 E  _" ]; ?3 Z) z, L; M那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
$ i7 L! f$ \# V/ f3 d在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

2 g0 B' w  R( t  F/ A# ]7 w按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
/ j9 N& P# p  a
6 c3 Q4 ^* z. n7 P" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

$ P+ C! x2 @! r9 |9 [+ s老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
8 `: I) C' z. Z/ ]3 _所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
  A7 f( a2 j; F而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
( M2 H; M5 j, u8 _# q! d您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
2 F2 Y/ L0 Z# I" y% h
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
! h' M* _1 [% M* B8 x# o
然后从头开始：
E(k|k)=1
. q2 n' X- e( B' v$ `( ~2 }E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
& ~! y" K5 Y% M% t2 f- QE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
7 @2 _1 V4 L" G* W2 d9 Z6 @) V
- `4 c+ Z9 i/ v  [! U0 ~原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

! f! {6 c. S# J% J$ b+ N6 i明白了。
+ x5 A9 b+ c  w5 b( T2 L, b是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
; O6 Y( l" p5 e3 ~/ c( A这个题目可以用递归的方法解决：
9 `/ z$ }5 c% v( H+ F6 K3 l& j
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

3 y$ E1 F9 f# o0 x
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

6 p  ?6 p2 X& h4 u! D! e其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

+ U9 }# r' U' Q0 r

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

8 q0 E5 t& c5 r  q6 Q
! K/ K! H; s: ]4 @( ^1 ~, D我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
# ~- Z5 m, h) j' g/ ?  k5 ~* d
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
. X* I. w! O  c- T, o所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
1 y% w( u, l& q5 j' Z7 r/ M% H0 X
& I) J: L" U8 S: f( ZLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
0 O# R! E2 d# m  s, |
/ z% q7 a' \0 E" w5 IFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

& n. o+ g" f1 i, U# YFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

  B0 Z1 c! |6 p+ ?& JThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

* q$ c$ G& x1 O) D理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。