此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

' Q; x6 X1 O. f% t! a' x, B( }+ z3 S
其实是个概率问题。
; |( W; x4 i  |; F1 H+ Y# B. S" Y那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
: K8 i% y, V) _8 q0 L在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
+ d+ _3 P' ~0 C3 |' y1 r0 M( E$ z
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

$ U/ Y. R: t% |* ]" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
: B1 W; \, G0 P) D+ d. \, N- p/ E
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

$ m+ x4 F: ^  v, I您对答案的理解似乎有误。
, P1 S: R. a9 H0 M& A$ q; }随机变量X是测试过的元素的数目
, ~$ V/ e  m2 H7 z7 I$ R4 \而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
0 z4 m# a4 [' u" f( F2 n: r3 X所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
# c; J- m7 c. }而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
: ?- H5 J! E8 |7 n& _
' }8 Z5 G# e8 W( b# j; qE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
2 p7 `- T+ o6 Z8 C# B8 D
然后从头开始：
E(k|k)=1
/ y+ z  T$ \  p- K* vE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
9 |  k! E3 j; G/ f# ]+ J* c2 m$ s
: t, t: B; R; J* w! c/ Q原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
) R0 [$ H9 L0 H: J您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

3 t( M( h$ J4 L- M5 Z  Q明白了。
& m$ T% |0 O( m, X$ V# f9 t# g3 U是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
8 L2 z( E- B' G3 s( T; F6 y多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
; ]! D! X- i8 q) J/ r1 z这个题目可以用递归的方法解决：
' q7 X$ D! m& T  W8 a" R6 Y
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

) y* S" P; L5 {递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

+ H5 g( n' m# v( E% q/ ^/ \9 e其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
# n* R8 t6 {! Y" _7 y: A3 z4 A其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

, c. O* E/ I; f
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
( G  @% F) n% q$ c
* q, |% Y/ [/ Y  O2 E而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
. U2 o  i, [; B0 J3 Z7 ^' h+ t" E所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
3 K7 C& c* Z- i& j
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

7 C8 n( Q. N2 e$ `There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
; C- `  J3 `9 x% n3 \
: j6 v: k* Y7 z# F' x/ C! T. G理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。