此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

5 K# G& ?8 C# J. {5 _# N( ~
其实是个概率问题。
5 a, Z1 \0 a( e& M" u2 N那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
- g# ~) s+ P( t5 v9 O/ Z问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
6 ?; C. x. @4 ?! \) K& {+ V. a
( e+ z, _' W! Z5 a* h没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

* N% [% h) V* A. ~# B
; z9 M0 c5 H0 P3 U$ I7 S您对答案的理解似乎有误。
  @0 {1 G4 ]$ s% l# f' Q5 A3 W随机变量X是测试过的元素的数目
. `* e6 W& n4 i/ R; J而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
9 P" ^5 R+ C5 z" Q9 _, [# K而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
, o+ V5 t7 t" F2 n. m您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
% U) b; O+ k/ o( r+ ?$ i$ E+ [
0 o: }1 v9 E+ w% a, {0 r: PE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
. H! R( S; y  z5 Q
然后从头开始：
! w  z7 L- m! bE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
0 X0 r- j5 W, _. z+ Z$ @: ME(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
! A; I- V, _) Q. v4 ?Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
) {; y- k% M4 O4 J
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
! S& K) J: \4 Z7 W2 V( A随机变量X是测试过的元素的数目
3 k) x! t8 A) @而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
& C* e0 l3 j& \% r多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
; w& B# w1 h1 T9 x这个题目可以用递归的方法解决：
7 H8 I, O# O- D6 B! s2 S) K
9 ^, ~0 E, Y5 u+ n) x# v  UE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

) a. a2 `$ `( J1 t4 ?" q" Q! {
2 K; k" h# b4 ~4 Q% I4 ?递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

8 g+ K  ]6 X- g# F; F% k) ^

老福 发表于 2022-3-26 12:01
- R9 e; V, c) G( L8 q其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

/ R- }/ L. }) z5 e
; R+ `; a: P. w$ a) M4 h2 z" n我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
; c% i+ S2 P  ~( z9 d  Q. G否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
6 V9 S) Z6 F7 t/ ?+ x
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
! v! R( Q1 ^5 @1 n所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

. f4 I1 L5 y$ z5 s% a6 bLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
# {: C; H0 h9 O! f6 b  S8 O9 U5 Y7 S
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
6 e- b9 n" p" W' R) U" Y
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

% g  z9 P* p1 f/ j  wThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
$ e3 T) ?' t4 B6 s
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。