此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

, t. n) E. I5 C) ]  `4 B& c" S2 O
- k, K8 r2 d2 z. s. u# u其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
: |2 L+ Z& R/ N* M2 a1 z问题就是这个人的表述
. Q3 [3 \  Z/ _, s8 Y; Z1 c" I- ^https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
% f/ {2 _' @( C# H1 y8 W! B# i
/ ]6 x; N% u1 l0 e1 M$ g按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
: P2 f% U5 g2 k( g% {  ^
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

% c' N8 E5 a" g5 p: F没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
7 G/ ~8 q; t$ T+ E. ~& P9 K而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
! j9 a- x) D" o- j' T7 {4 ]您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
& i. t6 n( }9 ?' F- @; [
% s2 e" V5 i+ B- T( HE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
4 i7 g" V5 x4 [7 @9 R! ?
1 e, m% \! T& I/ y然后从头开始：
E(k|k)=1
+ ^: ]' W6 \8 {. w( J$ \E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
* m- p# |6 @) o: TE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
' C! H1 j4 l- m1 CFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
% J! p. k& [5 q% ^3 z  k# J; R+ n- A
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
: [2 n' U" Z" c随机变量X是测试过的元素的数目
/ h' D3 \. o- x: {+ t8 I# F而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

& w+ ]; E6 V; O9 Z8 V& d; D" `明白了。
0 n. O- ?. F' _3 w是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
) ^! `+ F3 L3 s0 L多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
9 d- w6 K/ u. k2 [* a这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
5 ]# V" e9 Y2 y  r递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
1 G* _. [" b# p) ?5 z& \3 [其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

! ?3 a8 e, _4 P我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
0 |& [0 a% ?5 K否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
- I' _+ |7 [6 P9 g0 E' L所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
3 d+ ]3 Y) Z4 y& r& m1 a& d
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

9 }: y* i! l6 l+ J$ p0 J' J7 y理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。