此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
3 a# E& R; z6 f& U* H9 _9 Z# s在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
) ]3 I4 r/ Q0 K
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

- E5 N/ F" E- y6 O5 J  g, ~4 y; j" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
) u% ^  b& C9 G3 W& ~7 I, r
% |0 O* C) n  {0 w% v+ r没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

0 R- i% ?; ?: M8 E1 l5 Z; ?7 l. p
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
& Q5 V; ~2 Q" m! J而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

7 K& R, }) d& X/ HE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
( u& R; N2 N3 |# C. y' K2 p" YFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

* P8 M  J6 _8 h# Y) Z4 C原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
5 t5 R. h7 Z6 h* k. M: K/ N您对答案的理解似乎有误。
4 E4 C" F" d# {  _/ }9 |随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

( }& r+ k3 j. N$ ?明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
7 V! B. ^' `2 s) r9 }& G! A, G, u
4 u1 q- l5 z8 W$ s; x7 q1 zE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

9 s1 Y% q' ^* n# v$ Y# Q$ K4 @8 t9 C0 d
& D& Y7 s& ~* T; S7 o递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

& y7 Y4 P4 k% ]. L! B/ ]( I其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
: x* w9 {4 `. C7 g; O. J: V; ^8 O其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

% x( T6 J, L6 l  m1 r' p' }
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
$ P0 n/ a/ G7 x1 y
# F# v) V6 c8 Y  `$ O2 X  {5 Z/ r而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
3 l! }: J' X8 d& y$ E所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
; U  o2 Z0 ]  B4 C; _9 P# D. N. J
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
5 B9 |. u$ v5 W- L. `; \3 Q2 L+ I
3 T1 r" ^' Q( e5 I* x4 ]For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
( D8 B+ c# X% o0 y2 `
, _+ c3 Q0 m" L" }: p. O. E* ^There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。