此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

3 [# L; D2 T5 x* G
7 g% I% e' ^+ n$ \- c. E- p其实是个概率问题。
5 H  |7 D5 V, P1 M那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
6 _$ k+ v$ E: n) D+ z1 P; Z在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
- l3 j4 x8 ^9 h. R' [$ S6 w; O0 Z问题就是这个人的表述
% |( g0 T9 Y8 Lhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

( w$ k8 D1 C& h' J' V按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

# K: y; G& I2 A9 M) K/ H1 j+ g" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
/ S$ g! o0 s& R9 x. _( q! k
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
$ o" G2 x6 d  `: x$ a
5 X; O3 t, \7 b6 E- ]老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
1 z* }( V* g; H. z; x$ P# j随机变量X是测试过的元素的数目
+ V1 `" T  \7 w/ m而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
2 i6 l7 t- J" ?所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
: e2 X, @' [( e# W7 d$ [7 v而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
4 [6 r$ e3 d6 r5 R
) c, _2 V) |% X3 FE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

, n9 z( H& ~, }然后从头开始：
E(k|k)=1
' T5 g! L+ M5 WE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
9 ^# E. s/ ?; B, G6 d: U& H: ~, w; dFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
4 ]; w0 E1 P+ L' O4 F
: f2 Q/ N& ~- T: _* E( b. D原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
; g, c% T2 d6 j0 }而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

* G7 ~* W! r2 p6 d! L. Q% m, \! M明白了。
' u1 {( W1 t9 O8 t+ W# a: b3 n是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
) K& t4 @0 A% E! x) C多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
8 w" `6 J& [, ^0 S
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

* l' O# c: `0 I! Z: C' s3 R$ e
9 N. b* G! E9 w; |3 L( F$ m递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
3 w2 g1 P) [; \& C' c( ~. D5 ~; s& [& w4 Y递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

+ l  L& |$ \/ F# G: v
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
& P& B0 H: d+ j4 g" ]* ~: C+ o6 W否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
) `& s" E1 W8 [# X3 Q3 E- B3 x
; C' X/ O1 R) x' o: {而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
! j7 V) u0 D% K  a  K! G; \所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

7 `1 ^. Z7 j# _For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

, z/ V! ]* A" Y& j! f8 x/ [For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
- \. U, {: A$ k/ t
$ y: K/ ?1 V1 Y/ L  {理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。