求（心理）阴影面积

老财迷 · 发表于 2018-12-5 19:14:22

本帖最后由老财迷于 2018-12-5 19:14 编辑

喜欢GG放了一个阴影面积，大家很是踊跃啊。
这是今天我收到的题目，大家可以再踊跃一把。我是2题都不会，第1题网上找了个答案，解题过程很是巧妙；第2题网上没找到解法。
晚一些我们在（奥数）APP里提交个答案，APP会下发正确答案，明天我可以放正解上来。

一些感想：
今天我真的是受到了暴击，心理全是阴影啊

前面11天的题目有很多不是求阴影面积的，多数我都还能应付，有些也只能上网找答案。
估计丫丫能做对60%吧，20%提示下能做，剩下的20%只能讲给她听了。
说实话，太难的题目，给孩子做，真心觉得意义不大。

dynthia · 发表于 2018-12-5 19:58:03

试一下第一题：

假设AD=BC=x, AB=CD=y. 过O作AD与BC的平行线，交AB于H，交CD于I。按图的画法，假设H在AF之间，I在CG之间。显然OH = 1/2 BE = x/4, OI = 3/4 x. 又显然OHF与OIG相似，因此HF= 1/3 GI. 假设HF=z。于是有 (y/2+z)*(x/4)/2 = 2，同时有 5/8 x* y/2 + 3z * (3/4x)/2 = 11。展开，xy+2xz = 32, 5xy + 18 xz = 176。由此得xy = 28.

（如果H在BF之间，则I也相应在DG之间，上面方程里的z都变成-z，结果相同）。

这个对吗？

dynthia · 发表于 2018-12-5 20:45:30

再试第二题：假设AB到CD的距离为h。

很容易得到AB到O的高度为1/3 h，AB到Q的距离为2/3 h, AB 到P的距离为2/5 h。

于是

ABC=10h, ABO=10h/3, ABQ=20h/3, ABP=4h。

从P作平行线把APQ分成两半，这个平行线从P到它与AC交点的长度是2/5*30=12，上一半的高度是2/5h，下一半的高度是（2/3-2/5)h，所以APQ的总面积是2/3h*12/2=4h。

所以AOQ=ABQ-AOB=10h/3, OPQ=APQ-AOQ=2h/3。

所以 OPQ = 1/15 ABC。

这个对吗？

关中农民 · 发表于 2018-12-5 21:30:48

把初三的内容给5年纪的娃，这会打击娃的学习积极性啊，就跟把爱因斯坦想的问题让额们想，额们肯定说，去你老母地，老子不玩了

。不明白目前这种拔苗助长的趋势怎样才能减缓下来啊

smileREGENT · 发表于 2018-12-5 21:47:47

本帖最后由 smileREGENT 于 2018-12-5 23:12 编辑

第二题是1/15

设三角形ABC面积为S;

易证，三角形AQB和三角形CQE相似，相似比为2:1，则AQ=2QC，S三角形BQC=1/3S，BQ=2/3BE；

易证，三角形AOB和三角形DOE相似，相似比为1:2，则BO=1/3 BE，联立上式 BQ = 2/3BE 得，BO=1/2 BQ

三角形APB和三角形DPC相似，相似比为2:3，BP : PC=2:3，即BP= 2/5 BC，S三角形BQP=2/5 S三角形BQC=2/15S

由BO=1/2 BQ , S 三角形OPQ= 1/2 S 三角形BQC = 1/15 S

即占1/15

smileREGENT · 发表于 2018-12-5 21:55:35

本帖最后由 smileREGENT 于 2018-12-5 22:06 编辑

关中农民发表于 2018-12-5 21:30
把初三的内容给5年纪的娃，这会打击娃的学习积极性啊，就跟把爱因斯坦想的问题让额们想，额们肯定说，去你 ...

俺也这么觉得；数学不该这么学，这样只会让人越学越讨厌它。

好的数学应该是帮孩子理解新的数学思想，理解新的数学方法，而不是把这种麻烦透顶，其实十分简单的题拿来折磨人。

等以后孩子们掌握了新的数学工具，比如函数、方程、微积分，解析几何后，这些问题都不是问题了，甚至可以说，那时掌握的将是通法，不知道比这些高妙到哪里去了，哪里像那些题目答案，其实还停留在几千年前蹩脚的古希腊猴子时期：）

活生生把美丽的数学糟蹋成玩人游戏，好的数学应该是一目了然、澄澈通透的，而这种题完全是反数学。

当然，拿来当筛子倒是挺好用的= =

清凉山 · 发表于 2018-12-5 22:20:11

我是连题目都没看，看了肯定受打击。

smileREGENT · 发表于 2018-12-5 22:27:18

本帖最后由 smileREGENT 于 2018-12-5 22:32 编辑

第一题，孩子可以理解的方法可以这样：

如图，延长AE，交DC延长线于N

易证，三角形AOF相似于三角形NOG（AAA）
易证，三角形ABE全等于三角形ECN， AE=EN ，又AO=OE，得ON= 3OA #求出相似比
则 S三角形OGN = 2 * 3^2 =18 ,则三角形ECN面积为7

易证，三角形ECN相似于三角形 AND，相似比为2 ，则三角形 NAD 面积为28

又三角形ABE全等于三角形ECN ，则矩形面积等于三角形 NAD 面积为28

不过俺还是喜欢dynthia兄的解法：p

东海后学 · 发表于 2018-12-5 22:28:42

这其实只是智力游戏，不是数学

马鹿 · 发表于 2018-12-5 22:34:36

过去初三的几何, 但是觉得没必要出这样的题目. 许纯舫初等几何四种那本书就很好了.

视觉错误 · 发表于 2018-12-5 23:12:20

本帖最后由视觉错误于 2018-12-6 23:08 编辑

以E为中心，旋转长方形。
三角形AG'O'的面积为 2*3^2=18
所以三角形ABE的面积为18-11=7
所以长方形面积是4*7=28

这个应该5年级可以理解。

计算四边形啰嗦了，参考标准答案，直接算ABE面积。

victorlee1999 · 发表于 2018-12-6 01:01:27

本帖最后由 victorlee1999 于 2018-12-6 01:03 编辑

把辅助线画在长方形内，可能对小学生更容易理解，图片贴重了一次

victorlee1999 · 发表于 2018-12-6 02:24:59

第二题仔细做，也能做出来，佩服以下自己这个数学渣

老财迷 · 发表于 2018-12-6 15:21:08

感谢楼上各位，各位的机智解答，让我十分佩服

这是APP发的答案：

作为一个理科生，以为自己能简单对付小学生奥数，结果阴影面积真不好弄啊，心理阴影剧增。
为了给孩子讲解，我仔细学习了楼上各位的解法、APP的答案，又去看了小学奥数的五大模型，基本上弄明白了这些题目了。
主要就是：小学生不知道“相似三角形”，但奥数教了“金字塔模型”、“沙漏模型”，再加上“共边模型”、“鸟头模型”......

真是太难了，也就给丫丫讲解一下，知道个大概就行了。

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