此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

, j& c/ z$ H9 X
其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
9 }5 z. ?- {$ r0 b. k在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
& j* r" }* S6 v/ p; p- c问题就是这个人的表述
5 k" s4 {2 k" o0 Chttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
% c8 F3 {- M$ z
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
/ i9 j* K7 j6 |4 ~
8 S( F3 ?6 d! K' z" S: j0 [没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
/ n- y% s5 Z; r  b* Q
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

% ?0 [8 w2 V4 L/ V( k6 {% [
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
1 g: @+ n. {4 O所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
7 K6 P0 L1 k( w0 G2 K  g6 k7 u您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
: K; \, x0 c- a4 c: HE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
/ y. v7 b- L* [8 S2 RFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

. H' }+ _/ W9 G/ F原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
- b9 r& W  X( U9 W: s% A您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
3 G! E& A5 n) y) A而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

- r- _  I4 }) f: \! |明白了。
# r& S6 m5 }( P# Y是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
3 \5 A. h9 V+ N% h9 U) Z; F多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
# _5 T5 M4 S: c6 R这个题目可以用递归的方法解决：
2 \' J( V4 O2 M& [; z5 B* K$ P" W
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

  i, m2 S; {$ d/ F7 }0 X! t
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

  A- l0 I# s! {, A! w其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
8 }+ v% g  E! \* i* i- |! K4 \( T其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

, }! |, `; S: p5 R, a* d. c; k
4 Y0 Y3 }8 C8 I6 L4 [" s$ F! l我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
( l' G1 J$ E; W% z; {) S+ \; W& m. r否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

) p- H- I! c' G  |8 b" E而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

' E$ ?. f  t+ X# K' P3 m9 HLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

+ G6 |& Y' Z$ K' C: s$ CFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

  C6 j( o  W/ H' B" g* C; f7 a理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。