此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

# w% W3 \1 J& _1 S0 x# m
其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
% ]( t/ u) h* zhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
  K7 {7 V# E7 z) Y9 u  [
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
4 m6 \8 r. }6 z$ s/ e
0 L, m, W# U/ B" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

1 h- r! Z' S, ]6 l% O) s, L没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

( u0 O1 D# G, q& q, J- ~# {老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

; F$ o( V1 e3 O
您对答案的理解似乎有误。
- r; }+ L# t6 p0 {  Q) t" [' y2 f随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
+ y/ [: V7 {3 k: d% h6 y1 F2 W7 q所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
1 T- u/ c  b3 \+ w: ?; J1 x) s5 j而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
! @6 V' V7 l% ^/ U- }0 K您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
( a7 f7 _$ h# s5 a7 d
8 B; }$ U9 w1 B' zE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

, e7 R4 v6 V% c' T然后从头开始：
E(k|k)=1
) p  Q, [  D; s4 tE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
4 J5 D' @2 l. \. L" g; C" w$ tE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
! O! o# T& o& R1 {+ o/ S$ f8 a/ g
: _: d6 u0 x8 n" Q% k2 ?+ g; A原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
$ Z" v2 f4 y) o, M% k8 a您对答案的理解似乎有误。
& ~1 ~+ R1 ?4 _  _$ \随机变量X是测试过的元素的数目
  A% N9 u, R. Z. e6 r( r3 x- ]$ k* Y而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

: d: J. D& M9 h7 ^" w明白了。
, l( @2 K9 B( p" Y) O9 [7 G7 C( w是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
: m) f1 x8 _2 u( U# q. l这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

2 P- l, k7 b, A2 Q4 K9 e, H( Z3 }! E
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
2 e" T$ E) d+ z, w. x递归法也是可以的。

+ q0 Y: d& _7 U其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

. h/ N3 W+ G; d9 B9 y

老福 发表于 2022-3-26 12:01
8 `/ |( R' n" f7 z其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

( W  W% r+ P4 P: e
. E" v6 t( a+ l  G$ @7 s. x: ~我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

- H: R% O4 P2 A而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
& v: f: o8 G3 b0 u2 [所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
" R, d% g& x$ x
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
; t; S2 ^, s9 a+ t' w
/ `7 r9 ~: _# m& H; `: iFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
% [$ t8 B$ D2 ]% o  C. n" Z  P
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
( [9 T8 ~% @4 U) B) ^3 e" w
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
) s( d7 m# p( Q1 T  J
/ w3 b# T! j7 y1 T2 c理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。