此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

$ a' W, Y- ]% O# D
: ]# _* d5 H1 f) y) ~1 _7 Y" v其实是个概率问题。
/ x( Q) q/ Y: `7 G那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
( d( m$ m$ U4 k# x- `在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
8 l8 c; R5 T1 I* c; a
* n8 w( N3 ]/ g6 p+ E按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
$ G# E) t4 y% w2 k' O+ g
* z4 d% L$ P, S( o3 D没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
& q6 D8 \# b: {8 e! l
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

# w+ Z# S: M" H3 M  i8 z8 |
您对答案的理解似乎有误。
- o$ c0 f# U) w/ K  {. E" N随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
; g+ R) o  g, M1 J* x( O: ]0 E$ l所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
  p" |# l6 K' ^) _您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
/ a5 g* `4 H& I8 t
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

5 [4 C5 U+ U5 E" d! ~然后从头开始：
% r! M1 d8 Y1 a, }E(k|k)=1
% L4 z& i% Y" C, u. KE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
  A( c7 m2 i! M! c# N多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
- x9 r8 d2 j" z: g6 c
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

" |7 T' o# @$ r4 c
) X9 H% X9 A+ J5 u' u3 G- D递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
7 A7 k' u, o- \/ v递归法也是可以的。

: t9 p* P% E" J其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

' x) @. l+ E3 Q

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

8 D- {+ M% Y$ [% D* \0 ?! P
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

% |/ Z. H3 g' x8 Q6 K" g而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

( U, _( F  b* z" E# p2 }% PLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

2 [/ H5 q: t) f/ S2 fFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
0 n' ?: G9 R$ X8 ^$ u+ D0 Z
: E; ~0 n3 R4 Y) t. }1 VFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
" J7 j7 d2 b$ H9 G0 w" r: W
) X& ]' ^  ]' o  ~# }There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
5 y; L' D# M. C. `5 M
' I4 F' o/ p$ J) \& a: f, _理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。