此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

' S- B+ q8 o0 p3 i
8 M, k$ y: `3 R/ M$ C4 X其实是个概率问题。
( t6 m) M  N! P" E3 R8 q# E那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
9 l8 Y+ P* T& q; E! h8 `: l) @! y在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
/ x7 e; l6 f+ l3 M- z; C2 V  W
, `$ k4 x$ G# B/ [; E1 W4 H) ^按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

3 \6 h- M" P/ q( f" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
, U/ }& {0 e2 [: L
! f! Q5 d- x1 y0 ~) W没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

" X) W' S  z, M7 @% R, c
您对答案的理解似乎有误。
* B* x' J% l8 ]0 U随机变量X是测试过的元素的数目
. @2 a5 Y2 P% e) [) }* `* t3 h而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
5 V  z" O4 u' h0 R: ?/ V5 q; a您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
, [; Q0 A( {/ t: b" B% p
8 i# l8 u' J* k3 d, o* o8 }, @E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

& I, B0 ^  a4 n# d& C4 N2 j然后从头开始：
: m8 V' K! s* u) bE(k|k)=1
7 v6 d+ c3 d1 N, ~E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
% p' x9 O- K* C+ |6 h: T3 S* h6 RE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
0 Y' ^0 Q- \3 X/ TFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

  g2 j! X' y  x2 B; c原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
0 P: F! N7 R# c+ q9 R& N; p而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

; y, |- Q+ R  ^, E8 L: t明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

9 j1 Z5 x5 r' r7 K% Z递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

& b: s3 l+ {- z其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
' B3 H# U& e' \9 Z/ B* z2 Z其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
4 V* A! S6 r( [否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
& G0 D3 C( Z6 W
* E" U& S( g1 Q3 x而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
, M: p. y$ X! {3 W3 E. W! q所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
1 Z* ~1 O; e( e5 _
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
2 w1 V! W" J) T% p. u3 N, D  c
. G1 I' ?. n+ \, _$ a理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。