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[信息技术] 此间大牛多,请教算法高手一个问题

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2024-12-25 23:22
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    [LV.10]大乘

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    楼主
     楼主| 发表于 2022-3-26 08:43:59 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 雷达 于 2022-3-26 08:54 编辑
    9 N2 l' U; _, @+ s. J! W" c' o  _9 v- |6 \
    其实是个概率问题。- @$ }2 m4 b& U/ {0 E& N
    那本CLRS算法导论中,第 5-2 练习题。# e; g5 G" Y2 c4 E( I" S, l
    在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值,用顺序算法搜第一个 x 。/ ~* ^+ d' F8 N9 _% j
    问题就是这个人的表述* x0 X0 |8 X7 F" n8 V4 [3 ^
    https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time) |6 K5 {8 V2 Y& K1 w

    ) d+ c' [* b5 f# L3 P% n  }按照答案,从头开始,之前没有出现过 x 的前提下,每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)# Z: `$ K" g, T- e
    2 H* Q8 L/ w" K  U4 {9 {
    " If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
    3 E' e+ x0 N3 ]6 E( j; E
    ( u& }0 c9 X6 y+ r. C没看懂,这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的? 按直觉,这个概率应该和 n 有关,假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较,概率应该不一样才对吧。6 @7 e8 n0 R$ _* B
    3 C9 s' m/ k. H& X% v% d
    老了,脑子水掉了,希望有高手解释清楚一点。多谢。

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  • TA的每日心情

    2025-7-28 23:17
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    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2022-3-26 10:32:30 | 只看该作者
    本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 10:56 编辑 * A( ]  O, x% |5 s4 g2 I7 U# i

    0 Y- q0 ^# _# P: N! t" v% J9 Q6 l您对答案的理解似乎有误。" P% k6 x2 D0 m. W
    随机变量X是测试过的元素的数目) l, o% d& _) x" {! [, s
    而随机变量Xi是另一组随机变量,每一个都是个indicator,取值是0或者1,含义为第i个元素是否被测试过,而不是该元素是否等于欲查找的值。
    # O- s* S6 d$ [- w" P所以才有E(x)=sum(E(Xi))。: z- j8 ?: f3 J) y7 |* _# I
    而如果 A[ i ]!= x,那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间,而我们检查了这个元素,所以这个元素必须位于第一个区间,所以概率是1/(k+1)  `& d8 d6 j7 }
    您再想想?

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    板凳
    发表于 2022-3-26 10:44:05 | 只看该作者
    这个题目可以用递归的方法解决:
    : U' M0 }8 ]( Y5 i/ q$ U+ f* j5 b: r0 r/ x9 E
    E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)4 e/ W+ {3 a4 y; S4 ]- F" T1 g

    " W( `. w! g, J1 X然后从头开始:
    ! @. J3 f: o' Z( LE(k|k)=1
    1 O5 J1 P4 C$ k$ X) qE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)  M. `6 X2 v5 }7 m; u# p. K
    E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)" `, A, l$ F/ V. A) v9 U
    Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
    & T( u" _' ]' w0 P. E8 v1 w9 @- S. Z; i
    - ]* S. _6 E; ~% ]原文的解法有点绕,还没想明白。
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  • TA的每日心情
    擦汗
    2024-12-25 23:22
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    地板
     楼主| 发表于 2022-3-26 11:00:35 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2022-3-26 10:32: l, [# T' r! m  A
    您对答案的理解似乎有误。
    / t7 t8 a/ V# B4 h3 ~随机变量X是测试过的元素的数目
    " W& }* `& l) z而随机变量Xi是另一组随机变量,每一个都是个ind ...
    4 M' F8 ]+ I7 y0 v
    明白了。
    / b1 _" h) z' B( n# f是指的某非x元素在所有x之前的概率,实际上有 k+1 种可能的位置关系,所以在所有x之前就是 1/(k+1)
    2 h% |  `" y9 A8 t; B9 r- j, s9 B. R多谢
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    擦汗
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    [LV.10]大乘

    5#
     楼主| 发表于 2022-3-26 11:07:00 | 只看该作者
    老福 发表于 2022-3-26 10:44
    ; O/ D. l$ H6 w4 T# [1 I这个题目可以用递归的方法解决:; H3 l' d9 f) I4 k

    4 K: j- h4 l& f5 I) u: rE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

    ! \) J, {3 o8 R, e5 }9 A2 y+ j
    3 M+ o3 k' X9 w* k; ^' i递归法也是可以的。
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    6#
    发表于 2022-3-26 12:01:27 | 只看该作者
    雷达 发表于 2022-3-26 11:07$ U$ a1 R7 l0 a2 T
    递归法也是可以的。

    ( U. Y# U# P6 m" _6 U其实原文的解释似是而非,试想i=1的情形,对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/(k+1)。
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    7#
    发表于 2022-3-26 14:46:17 | 只看该作者
    本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 14:51 编辑 ( w! ~) j- B" I5 z
    老福 发表于 2022-3-26 12:018 m0 B# M' E+ F/ {. R# v$ w, b
    其实原文的解释似是而非,试想i=1的情形,对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/( ...
    4 E$ k; S% ^4 {6 ]/ p/ a

    / Z' h: y/ n: B3 r1 J我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号,而不是位置。8 h: w7 o) q/ b* x
    否则没法按元素是否等于x来分类,因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
    4 X! G7 ?4 @3 h6 C1 Z6 |3 y9 \  N: F% o/ V+ V2 t0 I1 l
    而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号,然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素,其是否等于x是个确定的事件,所以元素可以分为两类讨论,等于x的和不等于x的。% T6 O8 _! q$ k7 i; {- g$ q3 H7 d0 `
    所以A[ i ]这个写法有点误导,这里这个A并不是要做搜索的那个数组,而是所有元素的列表。

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      发表于 2022-3-26 20:40
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    8#
    发表于 2022-3-27 00:32:22 | 只看该作者
    一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒,终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下,作为总结。1 k- j+ k( Z, J) ?, s
    1 I6 n( t% Y5 I8 f) I
    Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}. * Z) I; I; p) @! a

    3 i* I# W* I* AFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.- F, f; ?# A# _
    ( ?8 H- a0 F* F: i3 f' e5 I! H4 a
    For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).  B+ J. _5 p% y4 e
    . k' V. K# I, j. ?; E
    There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).6 H. n- d. m8 Y0 g
    % S: Q! X6 a% f4 u; J9 _2 {- }. N
    理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element,它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。

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      发表于 2022-3-27 02:46

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