此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

% T. f! P- X: D5 J# ?. n; U其实是个概率问题。
# V' M, N: ]) `/ x7 y+ b: z那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
9 s: R: a, B) U* l/ |% Rhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
9 P2 W% \6 ?! v: z  `3 G$ h& A
' g* {4 R- H5 R3 R老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

# R# O, B$ J5 u$ G6 V% L! {
您对答案的理解似乎有误。
" y4 z* v9 u4 O3 f( m随机变量X是测试过的元素的数目
2 N, F- M* w9 ?而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
1 `5 v$ g' i& g2 t" w( r/ g) P所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
% F% Y0 M/ e/ u8 M% K您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
$ [+ A3 c# U1 e; A" G0 @) |
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

5 O" T9 a& h, \) r: q( v然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
7 S4 U9 G! k2 h4 R$ Y6 j. p/ k- BFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

) y" a$ ~. E7 S0 t# W原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
: X( E+ W2 w# O, b8 j& F' m1 u9 b随机变量X是测试过的元素的数目
/ \/ y9 a* o* v- R5 e# j而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
1 z. w3 K, j3 B多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
; v6 p% B4 d" u; a
+ e# }9 ?6 {3 O* k( ]E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

2 n! ?( [3 v5 H2 Y* h0 n6 l
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
" g7 o/ X. {4 f8 R递归法也是可以的。

1 I; w) z* ]. c其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
" \* Y0 U+ ^9 L- P; U! O% d
: P! V4 @3 F6 T0 I" c- JLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
2 K% |9 }" r) W1 v, \9 }% l
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
" d% |  R/ r0 B& Q/ a( n4 T
. ^1 R% t, x" k2 PFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
; o' b2 C  w9 f0 _2 M+ @' R1 ~
9 m; I1 Z: U$ @% D- e  ~8 jThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
  g2 r3 `2 Y6 [0 Q
, R0 x) e2 [" @; g8 I! {0 K0 {理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。