TA的每日心情 | 奋斗
2021-4-20 05:43 |
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本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 3 o* K R7 N! ~3 R% _- L m
9 c" @8 x3 k" ?( ^5 x9 {最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
5 T+ e3 v# A% x% Q
; D2 E7 g" l3 @- w& h9 ~6 E众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。& X; C: p7 h( R5 j8 X! `* X
; u- s# @8 o6 y3 F4 |# o电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？- H- N( B) f! T3 l6 A3 o' J
( C f# g& l( H( j
# J7 W- l" `4 u, M! s. p+ V5 n! t1 |' A
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
, R \/ y/ m9 i% P, v2 x, B: ^: j/ E2 [9 t# Y1 G/ C$ [ y
3 k" y, V" _( s5 a/ r7 _+ ~ H( w7 h8 v& G- E" F
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法5 t) o3 L# x. ?) \, a
3 z1 p3 f! e: U9 V+ R4 g% a2 T2 S / p, d8 J0 V9 v
; Y7 u) D0 V2 f! M+ D数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。+ h% o, @ A" v3 [; z
' n" }. o5 b! J/ ]1 W1 N2 R% n3 X+ |) v
# c0 ? O5 P1 \ b K; V4 |0 M& ^: }, ~5 y V# C
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？* {% c+ q! Z4 n2 Q; F5 o$ w
\! j. Z( v! ^4 o拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。: `8 d* }8 ^) C
4 C; ]. t2 W" a/ |) D
9 R& j( K! @/ n' k* [7 C% Z
9 s/ O: s- u9 M8 |9 R指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。+ r9 l/ s6 X! U# ]% s
. F( B! b- Q- I( {有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。 |
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发表于 2023-9-27 12:05:26
