本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 # `/ a% P4 a. k0 C* Y+ O3 t: F. a3 c J3 `3 U( t) a# {
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。4 _! \; @7 F! a& Z; q9 I1 e
# {( |3 A9 d W众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。 + G3 P8 V4 k1 S5 `8 V$ k/ ~5 v5 G' P$ L- S1 x
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？ 7 S2 s2 R# J' e: G% D# ]6 N3 ^: Z4 L2 c7 Y 1 h' Q1 G c: |/ S! c4 Q6 C$ y
9 q+ s% y$ O& g* X: I+ L7 ]6 Y
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：4 i* o) B% E" G( B1 r
6 ], J' J3 o" V; e# w0 A X8 Y9 f0 o0 H
. f4 o2 }/ ]/ f1 a9 t& d
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法( s/ |" X) z5 D- a
, W3 g2 p# g5 X. K4 s2 u 3 [; f0 T3 x3 N+ j2 f% S3 s- U 7 q; c' a' V+ c( Z数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。8 N' x) p+ J. \& p6 O2 L6 N' O
' }2 O! A, i, B z7 N7 O1 |: ^ 0 x+ a' N- s: Z/ w9 r* Y' W ; y) g6 [4 Z: B' {4 W; B% u傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？$ K' t) ^& `8 w% U
3 T4 e4 q7 \1 ^8 }" J拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。. A3 j3 e& y f& f7 ~& O1 d5 q$ k. }
3 E( }( d/ z m; M* l9 R + u3 l5 H8 i: s2 L% H T % n6 }: ?5 K% R" e& j+ w指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。4 }: R. c1 }8 i% H5 N
9 w& W4 j$ p) R1 g
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
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发表于 2023-9-27 12:05:26
