我理解的拉普拉斯变换

可梦之

最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。

: u+ L$ b' W8 ^3 r. M% K2 l2 @众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
; |9 b3 E: D5 j9 G9 q
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？

+ j& J/ S  q, U7 B

+ g8 @4 t' l8 R# t2 F( Q$ ?+ h翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：

0 y* Z) N, X; v% X8 j

不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
4 h; k  E/ i  f0 ^6 M
' O, L6 }- X" |( A* R1 {1 E
" K8 M. z9 P) \
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
3 \* P% p5 o6 n1 D. @; w4 m

- _' U% F# T2 B# L# B8 O9 G: O/ X
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？

4 F  S/ O+ i- A* i) r" P拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。

. k0 |3 K4 P' Z7 }9 }. |+ N2 ~
9 V* _9 _) O* c3 q1 |" U
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。

8 j' s, V1 f8 ?" b* j有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
8 l5 j; `' P9 p. m高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

4 d$ z& R. ^/ f/ _- N: Z对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
4 X# R2 o+ Q4 [- y5 _, R又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

3 |+ a* r; `, L/ c# W# G对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积