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[信息技术] 此间大牛多,请教算法高手一个问题

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  • TA的每日心情

    2025-9-22 22:19
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    [LV.10]大乘

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    楼主
     楼主| 发表于 2022-3-26 08:43:59 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 雷达 于 2022-3-26 08:54 编辑
    . p, D% L, j% b/ \( x3 ]" p
    6 ^! Q% }% i- j. R5 ?其实是个概率问题。
    ; c' F0 C! u7 E' ?. J那本CLRS算法导论中,第 5-2 练习题。
    8 A7 {1 T) Z9 F7 a在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值,用顺序算法搜第一个 x 。
    ! Z( A/ V6 H9 v' q! |# q3 Z问题就是这个人的表述
    ! w. z% b$ q$ B; khttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time$ b. ?/ h" Y: A  Y( c8 Z
    8 ^" I( ~" d9 Z( t8 e/ A0 h
    按照答案,从头开始,之前没有出现过 x 的前提下,每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
    % O6 N. z. W9 t3 W( N" A
    " H2 G) C: Y1 t& _7 w" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
    ( i# {3 U' J" v7 a$ w8 z+ G" }1 V& N
    没看懂,这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的? 按直觉,这个概率应该和 n 有关,假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较,概率应该不一样才对吧。0 z' x* k8 w0 _, g$ X, @
    : ]8 F* f7 O$ J8 _* |# P  V
    老了,脑子水掉了,希望有高手解释清楚一点。多谢。

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  • TA的每日心情
    开心
    7 小时前
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    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2022-3-26 10:32:30 | 只看该作者
    本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 10:56 编辑 / v$ R6 F: t2 k8 G3 ?
    $ S2 h4 n6 V* Y
    您对答案的理解似乎有误。
    / |8 J7 q6 B6 W" w; D$ I随机变量X是测试过的元素的数目6 u7 L0 {# f& f$ F+ Q
    而随机变量Xi是另一组随机变量,每一个都是个indicator,取值是0或者1,含义为第i个元素是否被测试过,而不是该元素是否等于欲查找的值。
    , ^2 M7 a3 v' t4 D/ W$ @所以才有E(x)=sum(E(Xi))。$ @. [% w" c# G& o2 x
    而如果 A[ i ]!= x,那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间,而我们检查了这个元素,所以这个元素必须位于第一个区间,所以概率是1/(k+1)
    . }0 Q6 C) S' n1 q; H/ Q3 v, ~您再想想?

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    板凳
    发表于 2022-3-26 10:44:05 | 只看该作者
    这个题目可以用递归的方法解决:+ k3 M: z  |" J4 [& i3 g: {
    4 G; o5 s( k& u* K4 q4 X& F
    E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)+ Z  Z1 \5 p* y# L1 {1 W" f. V

    + ?! V5 N$ j1 @* U6 K; M, U然后从头开始:
    ( W3 r4 L' l! ?: H- PE(k|k)=1
    1 R8 l! A9 y8 m+ G# d. o* _E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
    9 W0 `* y3 ]( r6 D7 DE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
    ! U  b% ~1 K$ z7 pFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)" Q+ H% |  k" ?$ u# h9 h

    ' Z% p& |* m( V8 y原文的解法有点绕,还没想明白。
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  • TA的每日心情

    2025-9-22 22:19
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    [LV.10]大乘

    地板
     楼主| 发表于 2022-3-26 11:00:35 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2022-3-26 10:32+ U; Z3 i! d1 t2 ^; E# W
    您对答案的理解似乎有误。$ y% T; [6 q2 t7 j
    随机变量X是测试过的元素的数目7 Y! ^) \1 U9 e, y8 i5 ^$ L
    而随机变量Xi是另一组随机变量,每一个都是个ind ...

    & y& u$ a1 O% C; Z* W% e明白了。
    / |/ l! f; O$ ^2 u$ `; D是指的某非x元素在所有x之前的概率,实际上有 k+1 种可能的位置关系,所以在所有x之前就是 1/(k+1)/ A( _, r% B' s5 l9 G6 L. p( o) U
    多谢
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  • TA的每日心情

    2025-9-22 22:19
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    [LV.10]大乘

    5#
     楼主| 发表于 2022-3-26 11:07:00 | 只看该作者
    老福 发表于 2022-3-26 10:44
    / \5 U  ]6 ]9 d# K* R% O这个题目可以用递归的方法解决:6 y6 o1 {  N2 t% l
    ) f* ~  X5 @6 a4 G: s+ G: f
    E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
    / A3 c+ R4 x6 l' Z4 s
    ; _8 y% Y/ s. H/ b3 V6 F$ ]3 ]1 R0 Q
    递归法也是可以的。
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    该用户从未签到

    6#
    发表于 2022-3-26 12:01:27 | 只看该作者
    雷达 发表于 2022-3-26 11:07
    ) o, D2 W8 j! q递归法也是可以的。
    * }& @8 w  \  l2 b$ Q+ h5 k+ M
    其实原文的解释似是而非,试想i=1的情形,对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/(k+1)。
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  • TA的每日心情
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    7 小时前
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    [LV.Master]无

    7#
    发表于 2022-3-26 14:46:17 | 只看该作者
    本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 14:51 编辑
    + p# x2 i, f5 ]& [% T& P$ j% r
    老福 发表于 2022-3-26 12:01$ }. @7 R4 B% P' r) f
    其实原文的解释似是而非,试想i=1的情形,对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/( ...
    % ]0 y1 I" u% o

    % A4 S8 x' P5 m# A0 J. n我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号,而不是位置。+ e# L7 y5 Z: x3 k# |
    否则没法按元素是否等于x来分类,因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
    6 ]& D, ]$ a6 I9 x0 `: t& Z& Y+ r  P1 e8 A$ o' v
    而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号,然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素,其是否等于x是个确定的事件,所以元素可以分为两类讨论,等于x的和不等于x的。' V3 h5 C1 G; k8 x2 s
    所以A[ i ]这个写法有点误导,这里这个A并不是要做搜索的那个数组,而是所有元素的列表。

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      发表于 2022-3-26 20:40
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    8#
    发表于 2022-3-27 00:32:22 | 只看该作者
    一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒,终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下,作为总结。+ x. _* I& L$ e; d6 Q# X, x4 H7 A  S

    ' z& i4 b7 m7 ^7 eLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}. $ z& P6 I. l7 I4 G5 b1 h9 t0 Y8 ~
    2 S1 l* W/ e2 p% }
    For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
    1 j6 q" [! B1 l9 I6 i. F
    * e; h) O& A" OFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
    3 b$ R7 b4 I- e% _$ ^' x$ E2 x( E5 [9 Z# r% b/ o
    There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).4 k- p: x4 S. U/ _7 x, q: o' G; G

    5 m; b$ [+ }5 e4 d理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element,它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。

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      发表于 2022-3-27 02:46

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