此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

; X( m1 j1 S3 {
其实是个概率问题。
3 r2 A) L' U) d那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
$ y: [2 J1 b- C: k" w) W问题就是这个人的表述
) \" A$ r5 r: S3 Ohttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

7 L9 x" ~7 ]/ \/ ?按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

2 q  @: `2 _+ K+ C$ U# F2 g" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
  @  L& ~4 g7 F7 e' Z
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
2 D8 d( u3 U9 t. P9 ]4 f& h$ X
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

9 o# l! [' A1 D3 z9 t6 p您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
. Y* _: n) E6 q+ _$ @+ K  U而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
4 i3 m3 @6 b/ E% ?! V- f所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
# x. a! D( C0 u8 q  q: T( t而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
1 j3 u8 L$ O' S( g" G, }% x
然后从头开始：
  d: V* @0 K+ h: ~" OE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
# L' t) r% T3 C7 r( S8 e# ]# h/ Y  TE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
+ C. k. h% k2 k3 p- d8 _  K
( I, ~7 m3 u* }* h% E原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
. z: ^3 |1 k) g4 l4 b您对答案的理解似乎有误。
% L, P' f& ?9 R3 X4 s% A( R% D随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

3 W) @5 V8 G% B; @% i明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
+ U+ n' n% E( J3 _7 K
8 z- Y7 m% a+ M' R- p0 g0 b- |& zE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

) Q5 L( ]9 s0 d8 A
' h! H, {( b6 k9 _4 X+ I3 N递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

: r. i5 O) }3 K2 n7 U其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

9 u& v. ^1 M$ [. b9 t/ C- O7 U

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

& Q  d1 e5 Q# q9 d* K0 B6 E( N
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
2 m) f6 U: L0 g1 H否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
0 U0 N) @3 y8 e- E3 y% [# h
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
6 |5 i9 G3 U7 C' X所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
! l, Z2 P% J* f/ J$ {+ j4 X
0 c4 X! h6 d5 J# m  V1 @Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

$ k+ \1 e0 ]. ^) R2 o2 V' nThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。