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[信息技术] 此间大牛多,请教算法高手一个问题

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  • TA的每日心情

    2025-9-22 22:19
  • 签到天数: 1183 天

    [LV.10]大乘

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    楼主
     楼主| 发表于 2022-3-26 08:43:59 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 雷达 于 2022-3-26 08:54 编辑 ! f- C3 u- `$ [  o$ K6 I9 _
    ! x% e; n7 _' j& w
    其实是个概率问题。. [  g- s( {, P
    那本CLRS算法导论中,第 5-2 练习题。
    / n6 c$ j* H2 \, `! `在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值,用顺序算法搜第一个 x 。& c" {3 p" \; d$ @0 ~' V7 Q/ }
    问题就是这个人的表述
    / {0 x/ \0 @3 x$ C1 x% F- |https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
    / D$ `# s  P1 V6 L( r
    & C" m2 M" C! x+ {& u按照答案,从头开始,之前没有出现过 x 的前提下,每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)% ~- p' i/ V1 q$ }7 a" A/ i' K) ^; S
    7 r$ p* F* J* m
    " If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
    9 Z) {  s2 o) [# ^5 z# q. w0 l, W( C. ^  z5 s% C$ J+ @
    没看懂,这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的? 按直觉,这个概率应该和 n 有关,假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较,概率应该不一样才对吧。3 ]* l& b3 g# _* a) y4 ?/ T! L
    , M5 A% L; `6 f8 Q8 f6 k
    老了,脑子水掉了,希望有高手解释清楚一点。多谢。

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  • TA的每日心情
    开心
    3 天前
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    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2022-3-26 10:32:30 | 只看该作者
    本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 10:56 编辑
    # [, U4 \3 Z6 Z3 j) n' m
    1 c7 ^& K% w% K1 K+ L2 ^2 f您对答案的理解似乎有误。0 ~' Q- J% i9 d+ e/ V' B
    随机变量X是测试过的元素的数目
      Y; M/ r3 _9 H1 \* r! h而随机变量Xi是另一组随机变量,每一个都是个indicator,取值是0或者1,含义为第i个元素是否被测试过,而不是该元素是否等于欲查找的值。2 v7 a) n! v. n' t* t
    所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
    8 F" C0 y8 s8 k8 ~- @7 J而如果 A[ i ]!= x,那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间,而我们检查了这个元素,所以这个元素必须位于第一个区间,所以概率是1/(k+1)
    ; }" X1 ^$ b; r" ?) c: }, J4 C8 ?您再想想?

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    板凳
    发表于 2022-3-26 10:44:05 | 只看该作者
    这个题目可以用递归的方法解决:
    ; `( k9 M* t% A8 w8 i9 P" _$ d
    E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)4 k- F# o$ H1 g. d

    / M7 i+ I5 d0 W: {- z9 r8 @然后从头开始:
    ) F2 M8 h. ~" H8 U/ xE(k|k)=1/ \1 K0 T5 N( [3 m$ u% q
    E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
    # @- t/ l0 x! N. @8 D" j0 uE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
    ( n& d- _: E( e5 ~) z" DFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
    $ k) d3 P) V9 \, R$ n" S+ v! m8 H
    原文的解法有点绕,还没想明白。
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  • TA的每日心情

    2025-9-22 22:19
  • 签到天数: 1183 天

    [LV.10]大乘

    地板
     楼主| 发表于 2022-3-26 11:00:35 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2022-3-26 10:32/ p) ]0 Q. s! {/ G
    您对答案的理解似乎有误。
    ! ?& X0 j" ?  p3 R: x随机变量X是测试过的元素的数目$ p3 n& j+ a" x: \& B
    而随机变量Xi是另一组随机变量,每一个都是个ind ...
    5 l* b6 x) F8 j0 s9 i; s1 l
    明白了。
    ( c. U6 W% w# h# p  H是指的某非x元素在所有x之前的概率,实际上有 k+1 种可能的位置关系,所以在所有x之前就是 1/(k+1)' r4 r4 \9 m, A8 H! V
    多谢
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  • TA的每日心情

    2025-9-22 22:19
  • 签到天数: 1183 天

    [LV.10]大乘

    5#
     楼主| 发表于 2022-3-26 11:07:00 | 只看该作者
    老福 发表于 2022-3-26 10:443 g% D2 L8 _, B  ?
    这个题目可以用递归的方法解决:
    $ A" Q/ F. W2 Z' f6 V) A. R  z6 o1 p6 x
    E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

      C' `+ m5 A+ i2 J& F4 m! I+ `  {8 W8 k% T
    递归法也是可以的。
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    6#
    发表于 2022-3-26 12:01:27 | 只看该作者
    雷达 发表于 2022-3-26 11:07* d1 X6 _* p& ?, F$ @8 {* \
    递归法也是可以的。
    6 v2 K4 x; {0 c7 E, ?3 ?
    其实原文的解释似是而非,试想i=1的情形,对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/(k+1)。
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  • TA的每日心情
    开心
    3 天前
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    [LV.Master]无

    7#
    发表于 2022-3-26 14:46:17 | 只看该作者
    本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 14:51 编辑 ' y9 a0 ~* n; j& J) I. D
    老福 发表于 2022-3-26 12:01# e- }$ O  X4 M2 {9 [
    其实原文的解释似是而非,试想i=1的情形,对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/( ...
    ; V, D$ V4 S6 b1 h1 ~; X# x

    . T: M/ K2 i8 Q3 h$ V我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号,而不是位置。8 n$ O3 K* [8 c" ?" U
    否则没法按元素是否等于x来分类,因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
    4 Y7 S3 T0 N" Y/ B# ?) i8 |8 ?; S! I5 k6 P" B
    而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号,然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素,其是否等于x是个确定的事件,所以元素可以分为两类讨论,等于x的和不等于x的。
    6 }' \2 @/ @3 M) n7 ^  L2 `所以A[ i ]这个写法有点误导,这里这个A并不是要做搜索的那个数组,而是所有元素的列表。

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      发表于 2022-3-26 20:40
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    8#
    发表于 2022-3-27 00:32:22 | 只看该作者
    一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒,终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下,作为总结。$ g9 D  r8 p7 @- o. A2 i5 R
    / W9 N* J+ P/ W: Z4 A
    Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
    & z1 S& a8 s+ ~, W4 t! {# y9 G
    ' D5 c) M- h# Z/ z% M) @For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
    % R$ G$ d: \. f7 y; j: ?: }! |' m0 N$ J( X- f; {% u
    For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).2 o3 L& s4 w; A7 X

    . v3 C4 Z$ Q, ]; O2 |There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
    : O4 k. z9 z7 H9 G3 ^3 ~9 C. e9 |- Q+ ?* [5 H4 v2 s1 j  s
    理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element,它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。

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      发表于 2022-3-27 02:46

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