此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

1 p' {+ r9 c" W. I其实是个概率问题。
+ Z. t: i# H# s( t. C/ }* I* ]那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
. y* |6 {$ T% O- q4 G在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
- m% V. i, _. J, z9 s问题就是这个人的表述
3 y) @2 Y# c# N) [' M: thttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
2 ]$ z5 I$ w9 a7 _9 ~; O
4 `. X! j& B" a; b6 R9 A按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
7 g$ Y7 ~/ C# g& p' G- j
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
8 ^& K* L5 [! M/ P+ L4 B9 `
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

5 r. H1 Q9 ~% E1 z9 h3 Q
* d7 ^4 y. I  `& s( Z, I" J- {您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
5 r. x% l- ?' E5 i: v9 K3 o$ s而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
7 p. a" e' d6 n, n0 u1 z  |1 N
- H) {7 H0 m" H0 j+ e然后从头开始：
E(k|k)=1
+ G0 H3 _0 D; _8 U, c; F3 x7 n3 pE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
$ q, {  y7 W8 j6 X& @0 h, r" h' ^+ EE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

6 @  h  w/ J; H1 _原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
- i- P! `; s! O; e- h' O5 T您对答案的理解似乎有误。
! M5 Z' {8 |; S! k9 E) ^' G" N随机变量X是测试过的元素的数目
' ?9 x4 D' G3 g# z5 L而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
+ @9 i2 ~9 K$ d$ N, {" O多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
- ]! @: K$ ^" [1 t) X这个题目可以用递归的方法解决：
/ Z/ ^7 k" u* l& g' @
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

" k) f9 Y' i! A7 J$ |" {/ U( {3 |9 f递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

4 h# @* s3 @. X' G% c1 f/ K$ j其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

( C; @& X. C) u4 S9 h. N' I2 u

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

  s$ f4 s  l# q' D) O$ v# C: [
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
9 ]( B- b/ ]4 l8 R否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
2 S9 u/ X( Y8 ?3 V! j$ Z" R) O
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
2 D* [( y1 J) {) V7 Q所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

% }! j) K- i6 z" v, A) nLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
3 x$ p2 {3 D9 x
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
$ I4 S+ c* M  k" S
0 w0 X% m  q. m" ^0 E5 H( @There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。