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[信息技术] 此间大牛多,请教算法高手一个问题

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  • TA的每日心情
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    2024-12-25 23:22
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    [LV.10]大乘

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    楼主
     楼主| 发表于 2022-3-26 08:43:59 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 雷达 于 2022-3-26 08:54 编辑 6 _% H$ X% l& R! G( f% z% }2 H* n
    2 i. R& r+ t2 u& A
    其实是个概率问题。
    . H# n- _" M7 C3 p1 J' `" i. T+ R8 {那本CLRS算法导论中,第 5-2 练习题。! {( Z, b; |$ L3 V. g" Z5 h
    在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值,用顺序算法搜第一个 x 。$ z3 x- t9 U+ Z
    问题就是这个人的表述( [; Y8 N8 u+ _3 h
    https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
    ! B$ T; D* w! c/ F) b% a; }' v0 S- Z- ]: A5 {8 l" w9 ^
    按照答案,从头开始,之前没有出现过 x 的前提下,每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)/ Q1 R7 W: y" s6 r" b' J

    " m( `6 e: c% V3 ^2 b7 h# s8 j" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
    + l/ W% D9 u- ]' W4 P) P/ ^% U% o/ D% J: A. `# F
    没看懂,这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的? 按直觉,这个概率应该和 n 有关,假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较,概率应该不一样才对吧。6 o; Y* X7 l) a% P' M* b. G( |
    + V! Y9 x1 v. {4 |* M1 ]
    老了,脑子水掉了,希望有高手解释清楚一点。多谢。

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  • TA的每日心情
    开心
    7 小时前
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    沙发
    发表于 2022-3-26 10:32:30 | 只看该作者
    本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 10:56 编辑
    9 c: d# \" ?1 ?5 ?+ H2 D: H9 C& _! h7 D5 H; S8 t9 _5 N
    您对答案的理解似乎有误。  k7 H, K8 T) d3 |$ d
    随机变量X是测试过的元素的数目8 \; i7 ]+ G# Y7 K2 y+ N
    而随机变量Xi是另一组随机变量,每一个都是个indicator,取值是0或者1,含义为第i个元素是否被测试过,而不是该元素是否等于欲查找的值。
    0 E! F: b  T  C1 S( U6 r所以才有E(x)=sum(E(Xi))。. m' b2 H- U% s9 N+ W2 V
    而如果 A[ i ]!= x,那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间,而我们检查了这个元素,所以这个元素必须位于第一个区间,所以概率是1/(k+1)
    % M3 T* \# j1 d: a2 P+ G6 b# Q1 |* F" L9 I您再想想?

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    板凳
    发表于 2022-3-26 10:44:05 | 只看该作者
    这个题目可以用递归的方法解决:
    * q; p- p* ]' M( B* ?: ^7 Y* B( ]2 a, _# g6 t9 N
    E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
    6 I3 \  a: B  w' ~! c! ]3 T+ F( {/ o- n' t
    然后从头开始:
    6 a3 l. [) d/ j. K9 S, i$ XE(k|k)=11 E& `2 f# X# D/ l4 s, T  [, f
    E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
    6 [4 H; ?% @' `( Q& YE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)7 X; ?& Z$ ~6 e  [) K) U) j
    Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1). w# ]$ E" q# e; \
    3 l7 B1 @* x- z4 ?& i
    原文的解法有点绕,还没想明白。
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  • TA的每日心情
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    2024-12-25 23:22
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    地板
     楼主| 发表于 2022-3-26 11:00:35 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2022-3-26 10:325 Y: l& b, l' D
    您对答案的理解似乎有误。) K  k. O6 i' k+ m5 C
    随机变量X是测试过的元素的数目
    # d5 `; N7 J( O& ]3 S0 t而随机变量Xi是另一组随机变量,每一个都是个ind ...
    ; k( d9 w8 k# [% H3 t) j, L
    明白了。
    $ L1 ~$ u6 F0 A# A) m9 }+ x是指的某非x元素在所有x之前的概率,实际上有 k+1 种可能的位置关系,所以在所有x之前就是 1/(k+1)% ~/ S  B8 N3 g. Z6 }
    多谢
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    5#
     楼主| 发表于 2022-3-26 11:07:00 | 只看该作者
    老福 发表于 2022-3-26 10:44' O  D0 I/ y+ i. x2 b8 {4 `
    这个题目可以用递归的方法解决:4 s' K- T' ]5 w" f' m$ ^
    # G% s- R7 ?8 l( Q* i- W+ x/ Y
    E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

    1 r: f% [3 F2 _/ Z- |7 u% B: v
    7 N$ S' L& e. O% h5 g  m递归法也是可以的。
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    6#
    发表于 2022-3-26 12:01:27 | 只看该作者
    雷达 发表于 2022-3-26 11:07' a4 T( ^+ u' H* C% E
    递归法也是可以的。
    ( o7 R7 z8 W& m" Y
    其实原文的解释似是而非,试想i=1的情形,对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/(k+1)。
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    7#
    发表于 2022-3-26 14:46:17 | 只看该作者
    本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 14:51 编辑
    % U6 G* j# J* @- j. G' G2 E5 S
    老福 发表于 2022-3-26 12:014 M0 f1 Y9 C: n- Y2 ^2 a
    其实原文的解释似是而非,试想i=1的情形,对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/( ...
    9 w/ q  M6 `1 N" W* Q5 @% T

    & Q; D% @* K1 u我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号,而不是位置。# D3 d+ E' y/ _5 u) W1 O
    否则没法按元素是否等于x来分类,因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。2 X3 {2 P, l" [6 X! Q$ J
    ; Y& P& B& W% X9 V5 A' {
    而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号,然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素,其是否等于x是个确定的事件,所以元素可以分为两类讨论,等于x的和不等于x的。
    4 L2 K4 f  }& A: p所以A[ i ]这个写法有点误导,这里这个A并不是要做搜索的那个数组,而是所有元素的列表。

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      发表于 2022-3-26 20:40
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    8#
    发表于 2022-3-27 00:32:22 | 只看该作者
    一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒,终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下,作为总结。- W! p. f& h) i' B5 l
    - ?/ Q7 Z' v% Z! w3 S1 G9 |$ v& D. N, p
    Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
    & h) R+ d% \0 q
    1 b- j0 |+ ?' IFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
    ' H2 Y3 P2 Y5 p4 k3 M' t. S& @0 o" _5 n; n! _- g  C) m: h4 J
    For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).. {& f6 T5 a6 t9 V

    4 [2 }; v( Q1 ^There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).0 }. F. d$ K2 }2 N
    7 o0 |0 ^. _6 R" P0 [8 R; P
    理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element,它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。

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      发表于 2022-3-27 02:46

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