此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
& H& N% U5 l- L) ?在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
4 z+ J7 d1 `  T+ j) G( K  ~https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
$ N) E6 S" ?' N% i; p- P- q
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
- y' d2 v) {  O
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
* w  [. W, i7 t
% G! T% a% ^5 J# v  p老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

+ Z8 {$ ?4 K3 Z4 v' l& M. ^
  A3 @; [+ F: _您对答案的理解似乎有误。
8 K# k3 q( v+ g6 K" B0 Y/ x* g$ D随机变量X是测试过的元素的数目
9 ]3 s& h3 e+ F/ j$ m而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
$ t( J- o- s% W1 p% R9 `& R而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
4 |3 i2 N" q. H- q# o您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

; N5 D. d+ ]% u; `% w. t( ^0 U然后从头开始：
E(k|k)=1
3 ], {: }6 E8 r2 g/ v1 m+ QE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
/ U- ]: d* c7 \0 o6 A# S& _$ LE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
2 z# V8 I% e0 {8 ?7 s
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
# t8 e( ?7 l* U' O8 [& y而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
# i+ {7 L/ r! p; Y是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
5 R. ?- R0 l- p多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

' J, p* }# i$ J/ Y
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
) X) i, I6 i: P1 q* m9 ]7 K+ S递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
0 [% e6 }( b6 W( A" ?( q* z/ a其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

& I7 B& f' B+ \+ \6 a* |
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
7 t% N& u7 j+ E& o9 s6 k8 }  ]否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
# Q  o, c- N* ~
# R! I3 g9 `9 D1 W; f而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
: {4 l. A. v# v' G所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
# Z- G. t0 a& m& ^/ Y& d
4 e+ s+ h3 Q4 p+ ^% GLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
8 d# h" M; c! e7 P  ]
( ]6 J8 A0 q: C5 j" U' DFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
: p) ~: C( `$ i8 _) d9 X* O
' J6 l9 ~- v, D- F' H4 K+ IThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
( L( M; n5 k" c6 ?# ]) L
1 i* ^5 g+ ?3 v! d% U9 @理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。