TA的每日心情 | 开心 2024-7-10 00:43 |
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本帖最后由 数值分析 于 2020-11-5 17:56 编辑 & n E! T; ~- w8 R) l- R% I/ P5 C
) {, c5 f7 I- n% X
下面继续.
7 n3 U% R5 z" \# r2 J
0 V5 |. q2 A( }* s; h( o说到哪里了,哦,公平赌局.在一个公平赌局里,所有输家的赌资都由赢家按比例瓜分.我们这里简化一下模型,假设一个公平赌局中只有两个选项,当前押在选项1的独资为a元,押在选项2上的赌资为b元,按照赌场的切口,赔率为1赔(a+b)/a和1赔(a+b)/b.然后我们现在要下注了.不失一般性,我们假设我们押一块钱.设我们下在1选项上的赌资是x,则押在2选项上的赌资为(1-x).那么我们怎么评估我们的得失损益呢,这就回到了决策效用函数上了.9 n5 A) P' K, i2 _- j ~( ]5 B: J
h: A% h$ w- D7 j( l( z3 b
通常在概率论里我们优化的对象是数学期望.计算数学期望需要关于赌局的信息:1赢的概率,p,(或者2赢的概率1-p).如果我们知道p,或者对其有一个估计,则我们获利的数学期望是
8 O% X8 S! ?2 Ox*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p).7 Z, I2 t6 M( F U
+ l& j- h4 y% F+ S5 }% T现在我们来看一个有意思的情况,假设这个赌局是一个信息充分透明,而赌客绝对理性的赌局,既每个赌客都知道p,而且都用一致的决策策略(极大化数学期望),则p应该等于a/(a+b).' h F6 c& G6 Z1 j; I
' T. Z0 U: O6 p" A
在这种情况下,有意思的结论来了,
! t+ T/ M2 L* d$ i9 |x*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p)=1,7 _2 _: a* E) X( ]
x在式中完全消掉了,也即无论我们怎么下注,我们都将得到本金返还1,no more no less$ c0 D# E7 \2 S1 L
5 s/ l o! S. z% m, d$ V我们立刻得出两条推论:
( c' `0 r" U, G( v2 b1.完全透明的赌局是boring的,没有风险,也没有收益,因而是没有意义的(或者数学上说是平凡的)." A! H9 g! _, R1 {. f$ z
2.公平的赌局中收益与风险相伴,没有风险的策略收益也是1,没赚头.) f% y. @4 X) H, Y, F
3 ]& L9 b) e$ e7 k继续待续中.... |
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