TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
8 \! U2 z5 f. H$ \看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”; b+ h. N: ]) J4 N5 _6 \& Q, B
9 |; \/ ?' X6 F/ [% i7 v
他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。9 b% B7 q8 k" n( Y/ |
" }, a+ y/ H9 Q2 a) m$ [, E. n
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。! A" s; {/ c+ g& L4 l. q. J: ^% i$ z
4 l( q" i' W6 J& R. Z$ ]
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.3 S+ k0 X1 `3 a5 w* E& W
9 U% m8 [, u- z u' P) @幸运数的定义* R2 `; t+ v# v4 x- |
FORMULA
" C. ^; \2 q" L% g. ?Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
6 D- Z! x9 C( T- ]
9 R/ q: X# Q1 f具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)# Y7 I. @; F% T% F% Z# h8 }
7 F C6 }! z( h# K( h3 z初始,从1开始的自然数列:
~ G5 Z* S3 O! L$ gBegin with a list of integers starting with 1:
3 d/ C6 f2 t: w/ S1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……6 A7 }$ @7 |" b; Q$ J
) _" [$ ]: V5 J. ?; s1 R; T7 @开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~, k3 y8 y9 j w0 I0 G% G
剩下的数列如下:6 y8 C3 O- Z8 L; k- j/ ~& o
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:; r6 B5 c4 {6 ?( o; F4 n) ]
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
3 x( i4 S% _" B0 T9 R; B! m+ T" `) K
接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:1 Q& o+ D. d' H8 _! p6 K+ ^: O
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
- g4 R7 a3 o9 v- Z; R1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……: k! |8 D. W# S
& n* V( b6 S e2 u现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:4 C$ b1 c& e3 Z: V Y
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
7 q9 I% j$ {" l3 a: v1 3 7 9 13 15 21 25 ……
8 D7 |! q! X J- x- t4 S- q
& `! Q( r( R$ k5 P0 v接下来是9,……/ M/ }! F8 {& z O, G* W. F: |1 }8 M
这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。. D- }! U F& k6 r# m. p
. W* r& a0 a& f( ]7 Z5 m- A/ [
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
! _7 V/ d+ C# @ ?8 A# b5 H/ `在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers0 _+ l+ e/ r/ J" ]
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
( Y7 @. K- j* K% o3 T. y3 Y8 p4 @1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……* b6 S( R" a2 p6 U8 v. D, Y! v0 ^
/ I- [; s8 d* [; ?1 @& P# s
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?$ r) {2 Y9 g1 I% ]) R
' w% [9 H7 G& t0 W; q) a$ f& h5 `1 w2 k# T
) z6 G6 x3 z" a
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
% D/ e S$ q- Z/ h, B8 c+ F
G( R& M! y/ }4 C; J8 ?1 _数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
. T6 @; F! d9 [: q8 W0 `0 ?& Z2 G幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。9 u* Z6 m- ^4 Z5 N5 h: s& L
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。8 f( p4 H/ c$ N9 \( {& G9 X
9 s1 a& ^1 i: R. D/ h
暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
9 S3 r+ `! S8 [7 x2 N8 Q' m+ ^
- [) c$ L. B3 a**什么叫做Conjecture?6 o5 W* `8 c* @& Y: ~
**约瑟夫斯问题。 |
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