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标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 9 M0 p* i1 T+ \" t( ^

$ N7 I! ^4 L  S经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。( I! Z" h) d- V
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。1 ^2 [, c( L# |4 W

4 U& a4 c. W% Q" b% i+ d5 J7 h# @  F$ ^4 R不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
9 p+ d% b  ]% n+ ~6 E$ R* n" z6 b) Y7 \
一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
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5 w# U" d0 N! K% u- {0 J这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）- h, w* X+ @9 d: Y/ {4 ]$ ^
% T5 e, g# H2 w$ @1 S0 G
所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
4 f2 W) g! I: D% E8 A+ ?9 d3 k% v! b( C. ~# Y3 Y% g
那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？$ p% o' l0 b6 a- k8 ^! o0 i
* D) O% h9 t7 C) {
问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。
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* v; Y0 K- S5 a0 d) ^8 q量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
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/ \$ a$ j6 C) u9 o经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
% I) D1 N7 h; {5 L% ?' q; P8 D0 D/ s6 ~1 L! l8 {7 N  _
经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵" _. g  o0 L* V. ~( X% o" S4 t
+ r) {( Z/ Z" j& O6 @
理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
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外行人瞎说的，别当真
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作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
, O1 A4 h( `5 }: r0 d* n这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...
4 n1 C6 K& S9 H7 Q  I
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
) U1 d% A$ x+ `6 M: c效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~+ h' q; v  X. N( a
你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
# y; N5 h1 S2 J8 _) |, _9 L& z3 S$ @只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
, ]+ l4 n1 j8 b8 j- S收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。2 O" x3 y6 w4 _8 V0 Z: q9 s% F6 L
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
  j  \2 }- T8 b2 b$ u0 Y9 T你的意思是marginal ...
* k, v$ O, ~2 l+ F; `: M" a
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。1 E8 T# t0 v2 U. c& C- @- y

. y' O$ P3 K9 h3 p3 P7 I' w( j  L这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09 / t  v: `, F/ Z
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
3 ^2 X1 G" c6 K9 Q8 h
; S6 u9 R; l' h% n* u经济学又有点像理论物理 ...

: a% N# t) Y0 d: K4 O% b: Y# |嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
5 b% V% W2 ^8 M+ D/ F! j不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
: c8 l9 ?) g3 L; O2 d. w8 c4 e就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。. B+ x/ k( U: \8 m- M  h
/ f  H* ^& }5 G
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
, M; g, ?. o8 d) W$ k( Z; h
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
9 J) |9 {8 x6 Z因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
8 A- W  h3 f8 h$ m# O! r/ M几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

$ ?/ n1 c, q: x; \! i' P4 K! E" b$ N5 ?% X" ]* U% K
所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
5 \$ y7 r7 v; Q/ a' R就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
1 ?5 n, d7 \8 F# g# f5 z6 {/ ?6 H! ~# u
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

/ I( z# Z# L, ]1 Y7 i* p你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。4 j; z" K- e* h$ V

9 A4 L! C$ m! B3 s3 Dhttp://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory. Y3 _5 w3 a, M+ k
. P0 x1 F# A- H# B% D4 w
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
7 _, k' |/ a0 j. h2 E
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作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09 - r; N1 I2 [" ]/ c9 y7 @" L2 h" X" G
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱. X! e" |& E1 z1 }' G
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经济学又有点像理论物理 ...

) W: f, E3 k% e3 c: `7 X0 h4 ^经济学还能挣钱的。
* U5 V2 Z0 y, l# ]- Q' o- K
, U! n' n2 Y2 q6 n$ {2 k7 K# [, |+ }2 j' N* T
理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
# ?5 _, h8 P! v  M, g  W对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。$ G1 k) g6 o, O& `/ I% Q
术语上来讲，叫calibration。2 J& m; Z3 D0 L7 ~0 Q% g
怎么找呢？基本上就是来match empirical data。  x# G7 ]5 x6 l9 S8 m+ \
5 d0 m& d) C/ m) ^, v, I
上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。. A5 w0 G( O- y1 X. o  V1 p
那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。( Q. i2 K! {1 f2 S- I7 n* k; z
——计量的方法。
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5 D7 K* ^  p4 C2 Z# p2 p; l计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。* [' C7 i0 l6 v% x0 n3 X6 ?

9 E% l  S& D2 o! j下面我提几个问题，% d! j% o' J, p1 p( [9 |/ g6 |
比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
% ?: z# [3 T) l' x* _+ A/ V, ]$ V% V再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
+ s/ m: N$ J$ t再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？. ?4 z3 y5 M  K) z$ L
这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。" Y% P5 @! V4 [0 \2 s
术语上叫做regression。
( e) d: W1 v4 E$ w& b6 x# ]而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。0 H9 ?- O4 K# k3 k

7 t6 y2 q" ]6 L$ q% P) p最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
) e7 `2 _% d/ e6 E, _* H每个观测到的数据之间是否是独立的。
7 S0 j* B) P/ x比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。% E+ J" r  F3 _1 ?0 w
这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
- [+ `% f  i+ E: z3 I$ D' v, \这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。( a1 Z" h% C8 Q# W% r3 k
4 o* ]% c! \% }* N) x* k) m8 G
于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
- M* V8 U4 A3 {. n+ T( N' M3 I6 t这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
- @% K. [  m9 I( M7 i1 C6 T至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。; X8 m' b; P4 j% C8 g: O; l5 E
3 |3 F" F$ l: ^
经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 ! z" C5 `: ~& z+ A" M# T5 \5 n
下面就要来说说“量化”了~~( `' h) ~. v1 g+ v
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

8 ^" k2 w2 M0 B% y) v所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
7 X  p/ X; }" c# u( P效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
7 I8 N0 {* n( c  G5 l% J
这个我有个模模糊糊想到的问题。( d+ ]# h7 z3 ]! v1 G/ X; T# s

' l0 B( F' e" j" g' I比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。# l; a) ]8 M6 k' y

& S  p3 ]9 [; x. d4 Z" |: @这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
1 b2 W: x" z1 }5 N: h2 N这个我有个模模糊糊想到的问题。
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8 B2 ]. p# U! K: f# y  [. q比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
  F, C4 \  P1 v( b
万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。
7 r" N! Z7 J: q$ j/ x& t8 H7 `! K  n8 u4 E. k. Y* ]+ v; e
多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
/ g" L+ ]' l+ H. `5 A$ N下面就要来说说“量化”了~~3 J% k* \, I; g* @  m
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
# T" q7 ]) V- I, V, h/ x- p
Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
3 a5 F/ y$ F! m
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
) n) A2 m/ V, I这个我有个模模糊糊想到的问题。
; f/ y$ q- k/ ^! W) P  l% w
. T! G/ ^5 p, N6 F; I$ L比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

. E8 R0 M% l$ P4 \& b! e% y- z# ?2 [* n8 r1 r
由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。" s! O9 O# A5 `" H: Q: f3 _
* i2 u8 G1 P- n0 ?' i0 L
金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。; y6 Q: m2 s( J3 @2 }0 {6 {) _/ \
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金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。( G. V4 B: ^/ k& j, f6 y# c6 Q3 @
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