爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 0 O& k! m9 d, S
9 m, g$ o: }+ H. k7 X
经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。- p4 P6 n' ?) Q$ H. X, x0 |& Y: c
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。! r: r$ Y& \5 K2 q: l% T
. v- Z( X4 q  e% T
不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
8 t& v3 E- o  v2 |
" ]3 l6 m* k3 W; J4 Y一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。: |" C9 l! Q- _* d4 A# H

1 w8 P9 a. }' x" C; |/ s, o# X这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）( D! f( a0 K* \& l3 _! k

2 P/ W( y* T) r所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。1 J! g; J- Q+ N7 T, U

4 A1 ]8 ^: X# v+ |3 D那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？% f9 E; q/ \6 }% G8 t# h

  }: p1 A6 u0 ?2 [1 e问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。
* m, C6 i3 d* j9 q* o% i5 H
2 |. l" U$ H  S1 y8 n6 T0 H7 b- N# W- I+ J* s
量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
& J' k9 j0 {7 q% j" I( I* K) v6 `% k! u2 z2 E
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
% L% T7 b! H  N6 U# {( F  |3 o3 V
5 m0 b& G, |; |4 U9 r) n$ D经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵7 M# Y7 m% U' i! d2 o1 k
* Z* ^+ K* s" k3 L% h5 F
理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
$ N/ R+ o1 Q3 x! B' m; Z4 b, A& K+ k) n" U. ?% e0 j& v
外行人瞎说的，别当真6 B  B" a# {: [$ Y9 O
( F$ g7 `0 B6 ?. M0 w
# T# q  O6 X% a0 W
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
0 b, q5 X! b$ x( G1 P这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...
* g# k( I7 q9 x. C$ ]" [/ l
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。+ J1 S7 d6 O; Y
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~7 {. L$ [9 U3 E  g: t$ h' F
你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？4 l( A) R+ k5 j. C7 e
只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 2 |% }" I/ U. E; Q- x4 K: p8 u
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
/ G3 w# V1 k. q7 _; e3 F7 f" W1 k效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~0 ~9 q5 }- f% ^! ?, g
你的意思是marginal ...

4 a3 J- N5 S, z; C$ T! y, Q就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。0 u/ h$ |/ Q) U8 r, M# Q

% Z& S! Q5 F& ]. c; q) M$ ?1 A这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09
" V( ~/ ^5 ~9 n) k) v- R; F; D经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
8 z( [4 H6 G# _6 u! p
$ @# n! @2 Q- j- G0 f& z  b3 ?% q' Z, {经济学又有点像理论物理 ...

" c1 ]  }0 y- D' Z( I, \嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
: l9 I  V5 @/ K3 b8 B. Y不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46 . Z  O1 z5 f0 @
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
, n% ?# ?, R. ^2 S
! M" T. O+ S; v8 H& U这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

! H2 t& I6 s' ]! e4 y' Y7 L8 {+ _几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
5 L/ O# }# F) W/ J2 T& A6 ^' Y因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 3 ~% X2 {8 L! p
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
* e2 R1 p7 U& N# `5 P/ N6 f' L  V
/ y4 z3 X  s: Y2 w
所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46 3 F% `1 N5 X/ }: v) j( u
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。8 Q/ o8 E  i( I7 i: S& n/ K. K
: O3 n  A0 e6 v. X* U
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

. [8 n4 \# A$ h3 I, v3 A" j# \你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。3 y8 H4 x, T$ Y0 e8 D
6 S: W1 y) h  n/ P) m
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory  z7 K# T" V/ A: I4 n7 [6 y

  _6 _3 x1 R% A) Y; _经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。! q* x' t6 e- h- X: [( @1 ~) I
0 {' ~# O) \+ I2 R1 I, P
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09 # ]7 |. P  Y  `" k, O! B
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
/ Q0 L3 u; T8 ?$ v8 X+ f* u3 K/ e9 f8 D/ g; i$ C4 ^; g
经济学又有点像理论物理 ...
% {9 _. O; s; w  i9 f5 I3 D
经济学还能挣钱的。
8 }5 i5 l  _& H) T8 B  a4 n% Q9 ^# Y1 x) c( G/ y% `6 r. O  X

4 e: \* T) }9 f; a理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
4 f2 u* q% [+ W/ C对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
' F. b7 S+ S8 S术语上来讲，叫calibration。
6 p' P# |% ~& n$ x( |怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
) Q' z8 T! l# w7 ?; `$ w% `9 a$ }" O( c- v5 t
上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
0 U" C9 I" n: n% k那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。
6 N& ~+ Q/ E( U" T7 a$ t——计量的方法。2 R3 s3 p0 N. z# \! N) r# U( E
) X2 q9 K9 P+ ?5 E+ @# T1 ~9 B& ~
计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。
5 p) n% N) S4 E. y( b; n" k( x3 w" @/ g$ z5 n1 ^, c! ?+ i* T' f
下面我提几个问题，
! X- T8 B8 ~  p% q7 Q比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？$ M9 U; }/ Y) Y+ i; r
再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
4 q4 {& k) M- ~/ ]8 M再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
' M% \. t" z  w) T* f这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
& m9 l$ ]1 Y" `0 J. S术语上叫做regression。! E4 Z" r1 o* @
而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。; q; F0 {# R( ~6 L2 Y6 q* P
) P% J% q0 p% ]1 Y# E1 v
最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。9 a7 T+ Z9 F. o+ k+ T
每个观测到的数据之间是否是独立的。  m, `3 ^# R  Y5 @4 Z* ]
比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
. r. D0 |  c5 k) Q这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
- W  \4 t' t- k这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。& B6 x9 R6 G% ^

9 P$ ~, W" n- s: b9 C$ Y于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。- _2 m; N# N; ]$ a* U. I/ p3 b
这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
+ M( O; B; ~, `3 T0 \7 e2 {7 t至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。
0 q2 v! f/ x0 l: Q7 S  q
' N  L4 Y/ `% s1 e0 ~经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 7 {+ y8 P; C/ Y
下面就要来说说“量化”了~~1 @3 B, s3 w! g1 Y* ?3 Z" p8 I" o
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
* a& ^+ h4 E, h. J9 A
所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06   \! W# w5 v% Q2 U
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

; R0 I, {3 R) X- V6 W* j这个我有个模模糊糊想到的问题。$ V2 G: N! A% P* ?; M

7 }' P1 m( x! @# J& |- D2 y( t比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。0 R3 R7 k3 S+ s3 q5 D
2 |7 {/ {" s) N% g# X: R- ]5 T
这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
! d& W2 ?+ p& f. U( z这个我有个模模糊糊想到的问题。
' @! |% Y, `$ G( `
* [9 x1 K2 C5 Z比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

! d- }6 u5 }8 _2 T+ H  K  s) L1 W万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。/ V* H! l, v0 I0 u/ T6 }
# f: E% L/ ]4 X2 ?* f! [4 X
多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 0 w4 j8 [6 l0 J/ [; K
下面就要来说说“量化”了~~% {+ N. M/ u  p. g, V  z
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
" T7 t; a- e$ m, d5 `  N
Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
- x: ?/ K7 Z$ `" W* n
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
0 K$ ]. u8 x) x7 S% E* @, q2 i# [这个我有个模模糊糊想到的问题。+ p( r* @$ ]1 y7 @
/ F7 ]+ O8 w- M4 _& ?
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

) `2 p, H$ |; {; b! D1 _& {8 h3 \6 d# S& e9 J* c/ W/ U+ }
由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。+ J6 j/ [: a$ K; a4 X' X

! \3 Z4 L8 ~* D$ s4 o) K金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。
1 R" @" W: `: g; R& h3 _4 y8 S/ b* e0 v
金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
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6 r! S8 R* T$ M( R; P



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