爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 9 q  ~  t7 S  {/ v2 `0 ~

( t5 K, \3 ?% c( c6 v3 s: A2 Y0 n( K经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
0 N0 ~+ {( R% n9 ]! J- f# T大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。& b6 ]5 O$ Y+ n! M6 G

' d/ _1 F, N' m不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
( S3 z, U) c7 @& C/ `: _* d7 f7 ~+ {
一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。# j- u& M+ r: z8 P9 i8 k3 c

& D/ n: m. x- A这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）6 V3 u; Q3 I; x7 M, L2 Y

" m  d. k" G, g' O+ w所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。# ?+ P2 f& u, J7 i7 U3 `3 [

: g2 J; W# D& B4 `: Q7 {; P* I那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
( i- Y% Z2 C+ V/ u/ A: d
6 _  |5 ~  T* A& S- |) U/ ]  E8 P问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。
' r8 ^& m+ p9 @! [+ B. q6 `- L' J
' m$ ?, m+ d, x8 n0 p, P0 M0 _; d: ~& B% n
量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
9 z# D8 a' p- v# P9 Y: Y# _9 j* X3 ~+ x; n: p# r
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
( s& Z, e$ R# h$ N5 @) t
7 d" `& R1 a; O. N( S0 L经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵3 c8 ]0 n9 l/ k0 h& A* a/ ^

- e% z( j; }" y& c理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
$ @9 ]0 A& Y& ~8 B( E0 k) |; ]2 f/ l1 h
外行人瞎说的，别当真; n/ E: I  j: P7 B* K. a

, ~( H4 I0 D. `& g* @2 Q
+ k: D7 e, s$ j2 q
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
5 @/ K7 V- [6 n6 |; E% A# r& C这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...
. ?8 I$ K( ]: P) A. w' K: [6 ~
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。' z0 i$ Y: m8 E7 j) m& b, p, F
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~% R/ ]: B. B: ]# ^1 B& V5 \
你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
2 d* b# ~" x5 G只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 3 b, Y+ R: F, o! X9 d/ q* t# L& B* @
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
$ n) D% c& G) H" R% G& I效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
" b# O" J. _0 @( w) G你的意思是marginal ...

' q4 S' r. d. z* J就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
5 t4 y3 C! \$ W8 Q9 u" p, |& k/ @
# [2 [$ M( d. j. C' z+ h3 R! }2 j这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09 ! P! |6 k; Z9 T) e. N# Z. }- e
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
' `4 A! o: f0 z2 a' K7 |) A0 r( h7 G7 }3 Y& E$ o9 B5 ^
经济学又有点像理论物理 ...
- S, d/ ~5 e4 a3 E  l
嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。1 [* p5 B' b4 u
不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
0 I- }) L# h) X, b/ j6 a就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
# a+ }) C! [7 z5 G& R8 i$ @( u% k+ h$ m; K8 S: r
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
- A2 L6 ^. g' F$ m# D
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
2 @- w8 Q  v, k# Y  \- w因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
, P0 Z  o' t) h2 L+ e& R4 e几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

6 t; X+ c4 m( }/ p# ~  r7 c4 N- x) N+ p4 P$ V* ]
所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46 3 A  O$ [6 E( h  |" O  M* z' t  v
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
# v6 h3 I3 U0 p9 @( A) }) A2 h6 I$ d- O* N( \$ C  V" V
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

( O& C% c9 m0 r' N+ O你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。  z) Q5 B% P" `0 }/ n% R. I1 V5 C
$ t/ o( I, R4 C2 s/ \# W" m: M5 ^
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory/ b7 u) h4 i" h: ]: e; G. K0 s

) M: E+ n, E; ^; T7 k, Z1 t2 |经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
, a3 M, \/ h( R& b7 }( U$ |% B6 S
9 b$ e' `. y1 h) q7 C! g1 k
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09
) E( b, v/ \$ N; U经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
; s4 T- n# N! T/ ~9 Q# ^
% T) |# ]+ w3 t" r经济学又有点像理论物理 ...
- h% W4 V' O/ H( i5 H9 q" W, ~
经济学还能挣钱的。" R% h( W5 o; p# ^  q) @" R! R

! c$ _- B8 L& x; g; X
7 S- u; M* P  Y3 m3 s6 H8 m$ E% ]理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
) A" O) o. [1 l5 b! ?# p对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
( _9 _5 A, x/ |术语上来讲，叫calibration。
9 n' v# d8 n# Z" ?$ L6 N  Q; H怎么找呢？基本上就是来match empirical data。) \" o% R7 _+ U$ ^( Y9 Q" r; C( O6 O

$ U6 U$ o- _7 x+ ~. K上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
: y( u- {2 h7 k, V/ {; M那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。3 I4 p) d# C. O1 L6 `
——计量的方法。
, S0 I7 i7 L# k, r7 }, V+ H
( S$ I$ j' G0 m5 J+ e计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。
3 j. Y+ U6 f: P1 W3 `8 Z9 x3 g4 c+ r3 Z- i
下面我提几个问题，8 U( }" k; ]  q
比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？7 e. F  V, @+ Q8 X+ Q9 ^* Q2 z
再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响% Y4 V: q! y1 E2 h: H
再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
5 G3 e" v9 \/ `, M这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。" A/ o: e* E+ B
术语上叫做regression。
: Q- p7 D3 g7 B. q, J/ V( Z3 S* b而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。' I6 e  q' J3 U, j

/ w- \# \2 J, _最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
' G2 i$ b$ [4 b& u- ^5 F! K每个观测到的数据之间是否是独立的。4 ?# d) o6 l* V: k5 T  l
比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
& _/ y4 F* r% Q, c9 r8 e这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
! Y; A, {, t# I$ j$ f- b' t% [这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。
2 F5 j! C( `1 K* f( v) Z8 L( X2 l' n. {* O" a
于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。7 X! V$ \' o8 m2 |& R# J4 ]! r
这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，* o6 q" }8 L1 y$ i. n
至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。
8 v: n8 w" @' I$ m, D0 n! f9 W/ m2 R  o- o# g5 ?
经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 & `8 Y' q/ E4 X* d' ?/ o# B
下面就要来说说“量化”了~~
% r2 f0 a) E8 a% P/ d# ^/ s5 U' b对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

% A/ }* B" a& Y所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
% u/ s4 ~4 a9 b% W0 F/ M7 E效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
  [6 _- N3 v( Z2 e
这个我有个模模糊糊想到的问题。; t. k6 I3 G0 E/ u: `7 }

  h# M1 B1 [1 r7 R3 T- ~; t比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。4 `- w5 ?4 k  H( L) M
! H- W0 T( a5 m6 S' ?& I
这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 * @& h  o4 H7 `0 R6 `" J8 i* j
这个我有个模模糊糊想到的问题。
  k0 i! u# l+ c2 J& b
2 T( F/ b! E/ \& U- _2 D3 P比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
9 ^) o: y- y$ y8 h; C! h1 X
万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。3 d+ v4 x7 D: j/ s! m* m

( Y/ _( X" n' I多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
0 n/ r. E) C2 E  x0 S% a' o下面就要来说说“量化”了~~# P+ `) g9 C- r  s+ j3 v  Q
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
/ @- i+ j: h2 {! \) {, Y6 Z, N
Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 ; k: p- E- n% E2 f0 @* C
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 + l$ ^3 w+ ]8 \  Q: `2 `
这个我有个模模糊糊想到的问题。& u/ h' x1 P6 |! B# r1 B
8 S0 K( J1 b3 M! D* S+ ]
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
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6 X8 n! P4 l# J/ S6 t  w
由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
* l" @, L2 m4 A. A: Q& }
1 g4 A* ?1 I# J+ y/ ^金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。0 Y7 w; j' Z* S* X! u% C
4 }/ E; k1 M1 \& }+ w
金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。# J, @, s. x5 v/ L; x2 ]& v3 h
3 B/ n3 h  ?, [




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