爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 & v4 P: B; x2 p, }, ?3 p

# S# w; Y# o3 j, D3 R+ q! F经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。, n( e$ E/ j( L; F  I" ]/ Z4 x
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
7 H7 e2 J% X  Y8 w& ^5 B0 [9 E$ `
不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
( e: `3 }- a% A+ `7 k* V3 X& K0 m* P) v/ Q0 j, B1 @. `
一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。) U+ e  ^0 g/ X1 M# B! h; `) i
8 X7 }# _2 @+ N# I1 C# `  f! y
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）
$ J# W% Y' F, [* k- J: Q9 s  j, @. }7 c7 \& x, c8 B+ R: K
所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
- n5 b1 j( \: i) u% q/ y9 u& y0 h& `
: z/ ?. D1 ?. ~那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
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4 \$ X% ]5 f' m) N/ X  P" e问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。
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量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 " n' \# @% a( H. f

! z' Y  T2 z, a. U5 X) g/ y0 `经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱. M0 g$ L# W$ p; _5 I6 F" N

) B4 w( p- c) i+ E经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵. O! d5 S3 F# ]$ C) n, e

) j5 l* L8 |4 b6 l; C% V. t理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
( z7 p- f3 {2 V0 C1 u( w: ~: q1 p
" g" F  a1 j$ W, }外行人瞎说的，别当真
9 u' B% Y3 d* A" f5 X9 b
' ~/ f% q6 ]% z! Z- Z# l0 b: T! E4 t" v
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
8 S5 Y2 W, U7 ^6 u7 \& A. I% _6 z这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...
/ w4 }" \$ x0 p2 ^
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
2 e8 ~  X: r- K! C; ~效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
7 S7 m: a, H. Y4 w- ^你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？7 \- c# f0 O4 S' ?! ^
只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 ; j7 r- N) e  [- A! Q
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。  n2 j$ Y' n4 w, q; W  O. R
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~9 i7 V: S8 T9 |2 D7 a% X0 g; F
你的意思是marginal ...

7 ?/ _4 Y2 s" [就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。1 s) @, i. w8 M2 N( M( y
. H, W# k2 Y& R) E6 p7 l! ]
这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09
6 D* E+ D: ^  x! G9 ]8 d经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
" L5 E: f$ J' @- \$ d$ \. H4 M4 o  t  `1 h/ s  b
经济学又有点像理论物理 ...
- n$ K5 J4 x' i: J
嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
" }7 z* T, [# ?1 f0 ?: R7 J2 p0 i, k不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
8 i" _7 B0 i$ r就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。9 T$ y7 R7 O& {9 E

+ S; {. x+ y' l* h% |5 v# z这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
8 h' f! y6 ~7 U5 |: g& w3 w# x
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。  D2 e  j! J3 S$ l, T5 m" e
因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 + I" x3 F- h1 w, y0 f' E3 u
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

; E9 W% z0 K0 L# v) T' Q4 W4 t4 A5 z. Q( I! }' e) d- ^4 C
所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
- x9 s; e* H. p& t' K6 H就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。6 g% z' p; Q$ R3 H

* B$ C& N; x" `  [" q% l这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
) B( P5 y) r2 w
你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
9 _: R+ E9 ]; ~' g* c& m3 R. t/ J0 X5 H7 X; E9 C6 k
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory8 R0 I+ ]4 V" _( I" C
# ^( d- F8 _5 e! M' n& T
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
: P7 _; y! e8 z' Q1 `7 Y7 u+ a3 ~6 _" R8 H" s& z
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09 ( Q. m* ?# l, ?
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱* ~5 k( p( j$ P9 B/ O
& W  \0 b$ ^: i3 J
经济学又有点像理论物理 ...

! T6 G9 Q* g% s' q- U经济学还能挣钱的。. N8 m# m& j9 G3 b: O: ~! G
" M, |7 `5 V) j

+ ^8 ?: N; Y0 @) R; i7 w6 F- s理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
/ M7 I! u% f, c- g* U$ Z0 I对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。% @) `5 f/ Q$ ?
术语上来讲，叫calibration。
+ W1 g! C. q; }怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
" X* V* O5 N- f% M6 H0 C: L" |
% y7 u% g) v( S( |  p9 C2 a( g上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。1 j' e, j$ d# e& ~; \
那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。3 b/ r, S! `& K/ w. H( N  r& ]
——计量的方法。
: g; @( l' N9 U2 h# g8 G- |/ ?5 ~' _8 f. L$ a
计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。6 _, b% ~4 a" U* M- R

  q% e; F$ n4 b. B4 k' ^下面我提几个问题，/ t$ w; ~; ]& y: Y) L( y  N6 M2 a
比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
: I+ z# n' N& W5 s再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响8 w4 ?1 t6 w  q6 N
再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
  R: m; H2 w' }) r( ^" A4 o1 H  Z这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
" b; j3 h7 h  g) {% A术语上叫做regression。
3 N  d' g' t. ~* E& v# p而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。3 r: t/ J1 Y8 i# J

' H) {; M3 s' r5 \最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
" g" {8 r7 w7 @每个观测到的数据之间是否是独立的。
( i. q& [1 l0 }% s. k比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。* N4 F' m" c4 K$ m
这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）* O9 J5 S6 H$ f, P
这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。2 c2 T' A' S7 n$ [2 ]) ^1 h, l

6 O8 T; w( \4 R" @  @! }于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。: l; I8 E. l' V+ x& ^
这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
5 y9 A' q: z, o$ J( @! ]0 J# Y至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。6 u: C4 f( o. E$ a. D) }

( d4 a7 c4 `- w经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 ( ]8 i9 m* ~8 F7 F
下面就要来说说“量化”了~~
7 E: E6 U( A6 b5 u) i/ j4 ?8 x对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
0 M& V. L( [% @' W" O, q
所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
4 u* d+ r' g, m1 k; X& f3 f效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
) }/ X+ }( G3 |. V+ S
这个我有个模模糊糊想到的问题。9 G+ J4 n- @# c7 x4 B4 C
$ c" \5 w" q* v% J5 ~8 B
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。
0 g/ x6 G' _9 S; x) I. ?0 x, ], S
) Q8 U0 o2 ~$ O# I这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
' D4 `$ X& l9 t" G9 M# c9 F这个我有个模模糊糊想到的问题。8 [; j& x0 W8 h$ i/ a

  q# m) j" `+ n4 L5 R0 t比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
0 d! `9 c: a3 o, {1 Z* }% b
万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。/ t5 O3 Z' k' `% A/ R  M# k$ D
3 f7 q! }0 q( ]2 A! c
多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
7 H3 Z0 u* [( {2 X! T% l下面就要来说说“量化”了~~
5 w# S# u. @$ b1 e4 w. U( z, T; K对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
0 b, l8 k* g, p' J+ H
Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
3 g- F9 c+ Z+ S3 K- L" T
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 6 z; o' \& Y6 K) d. }
这个我有个模模糊糊想到的问题。
" t4 w, q# y$ i! g
" s/ ?, Z5 p3 c8 q9 L比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
6 w$ \! N0 i5 Z% O2 I
; L" P3 C8 m; a: R
由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。; j" Q0 D9 r, s; w  |( u3 q2 J

* \8 d! D, T9 w  ?1 C金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。
9 l* P0 M& X# ?/ B; v% A  @. [. Q% l
3 S2 a  ]# G2 z4 |1 O5 T! L金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。; c- u: i' W! f2 U

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