爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
, V/ ?* y$ A3 H+ X9 G# q! e( D" H5 B
经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。: R7 t+ G  d4 p
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
, ?4 y% d7 \/ b4 p+ {/ H' B5 B$ j3 R& {* L* u9 T4 s* S: B$ ?
不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。: V- K" ]3 r2 \, b8 ^+ t" i
, h6 Z% V. Y+ U) m7 n3 F
一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。& d0 g$ u5 x" b

: ?  h8 ~* z+ @2 u% _2 N这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）) \: l7 V' X: f8 \2 Y

/ s1 n( h: O% `所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
- r2 p4 M/ V/ w& A; u; m8 j5 j" {
* q3 I. r/ Z& z8 u7 r那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
. A6 X5 q  t* b# f. [& J- Q$ H
6 o9 u" @; o2 `0 }$ b/ m' h7 ]问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。* ?5 @- u3 m: P' e- x
2 B  r" a- `* Z3 Y! |' G
* w. y8 I% H' s( L
量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
) q& k) v, S' n/ }& Y  e3 R/ C) p: M4 A9 B2 I. j. X8 h
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱* P+ M, a, r3 m* N/ F) M

* N' _8 a. X$ k经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
- N0 L' H" X# ]8 V6 c( @; w: a
, ?% I% H8 P" u! `& J9 p0 M7 n. j* S9 C理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
4 `- e" f* C/ y: l1 {
( c; V; n% Z6 @外行人瞎说的，别当真
+ |* j# Z1 u0 q+ ^0 t" z2 Y) ~) Y/ Y6 ~

4 f9 X% e4 R) s. r0 {% f. h. e+ r
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 3 o& F2 E6 M! U% C7 o3 j
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...
( H! _! w* o2 R7 m- O! I( \
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
  S1 ^6 ^7 j3 }% ?$ Y效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~* C5 v. P! b+ ?8 G3 k
你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
8 k+ Q7 H0 F7 b$ N4 r7 y- J9 y只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 * N6 v4 F' n4 J
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
4 O0 \! i  c4 X; H  M效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~1 S2 s! F8 i. _/ m2 V) p
你的意思是marginal ...

# y" i- l5 Q( l2 C- \4 Y就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
0 g, {) u: H: m4 x) \# [6 r; k$ f. r0 w2 \% Q
这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09
+ D6 l$ L2 w# F经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱; E/ j4 V% C1 P+ Q: A- J
" I$ m$ A; q' }: p3 O
经济学又有点像理论物理 ...
. w( t4 U4 j) ^5 K! n
嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。3 p* q) H; c( Q: O
不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
; D; M9 g/ b" W' [/ x就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。1 G& _3 ~! N9 i9 {  i

. ^8 H  K1 q+ d* f5 P. \6 g这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

3 \3 p0 ~* [4 m" Y$ r几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。- }! k( E  F5 h
因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 0 F8 c5 ^5 B2 V# h3 l$ k, O+ B/ y
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

( [5 y+ C: N( i7 P, H5 k6 ?  Z& C9 q% k' ~
所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
/ Z/ D7 j0 M) \* L就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。6 n6 D6 Z, g' x
8 S, t  z4 U6 ]& ]2 z
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
2 C4 C( E4 S! m7 e/ R
你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
3 e9 Y1 Q/ X8 j8 [8 P$ t: R3 i% w' X+ d* ]+ C% f- \
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory# x' V+ H; H- ^  Y! U& f
  |* l4 d7 T  T% y; I/ O4 z4 r2 N
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。: ~2 N6 J  `6 k9 k- [9 I

2 R8 q7 h# Y1 g5 N# @( A: Y3 {* d4 W
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09
$ p0 |- [6 Q  Y7 Y- f经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
% Y8 S5 i$ C" `" u4 G. a4 T& Y) h' A/ ?, v0 v/ Z
经济学又有点像理论物理 ...

5 q2 _& s$ ^$ y- R: w/ V$ P经济学还能挣钱的。! ?7 z0 O5 d  A+ b
. k9 F+ i7 D  @* ^7 Z; V! N
6 W' t" L' [; ]' i% `# f5 k
理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
, c' `+ Z4 O+ r$ Y6 G- ~  ]3 V6 C对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。& E% {% V0 a. y' j, A
术语上来讲，叫calibration。( e5 g: z3 \; @- B
怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
- r3 H4 F! m, \' z' y" z+ y+ W' B  K! o2 I( ~, H7 t/ @
上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。5 v5 L4 p; T  H7 o1 d
那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。; n: [$ |- _& F& r, y/ J
——计量的方法。: t! ~8 S( ^$ G, G( o" ?
4 P- u+ X" e- L. {; O* ?
计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。
+ x% K- Y% U7 ~0 [9 ^% z1 T
& |: {% @5 a1 u下面我提几个问题，
* B* }* ^5 Y: t& F比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
# X$ w& }; G! ]; O7 f# G! ?再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
% t8 l( [' N& P0 n再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
8 a7 _) V$ l- \. \8 U这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。0 E2 L- P/ t, `" @2 q' T
术语上叫做regression。! ?- [4 z  ^  {1 }
而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
7 M: N! W" m0 j: d1 ^7 `, G0 _2 g& L6 o' u1 R+ q" C
最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。- g! L1 {3 x% W
每个观测到的数据之间是否是独立的。
1 \/ j# c1 Q5 M1 h比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。' V0 S! B$ D5 G1 j* ]3 V
这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
/ k( h8 e, ?& U) f2 L5 A这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。# ~% u' D. [- \; q4 T

2 e1 x  U& j' S& ]9 T于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
. g3 K& g5 m1 f6 n7 e9 g这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，0 }* D" ?& K  q; g% H  \) L: X6 b
至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。' K$ U, v; P' q! L

! b6 m+ v) d6 G. w; W3 e经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
3 F% u" }  x, j  {6 V/ u" v+ c" N下面就要来说说“量化”了~~
5 `) m# z3 T; w+ \6 Y7 |, Z. u, Z对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

# ]7 @- J! E* V: o8 C所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06 + \: [8 l, g; c
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
# V3 w4 O4 @) c, b/ n* _9 y
这个我有个模模糊糊想到的问题。
* i+ c% q$ \8 X
" ^, y7 F, K, d, J+ J比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。0 T" [+ d3 o$ u3 H: G  K; k" t: E
3 M: v: g! D6 X2 d9 _
这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 6 e9 L" ?/ i  p7 I: m7 `
这个我有个模模糊糊想到的问题。
1 k0 [# z1 w2 L
/ n6 e, i, R: ]  B比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

9 _- I; B4 A% J2 t万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。
+ o5 w& t5 r' H; D5 P' N. k* U/ K3 r" W9 z! y
多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 1 c0 `4 p1 T, d& B$ C! }6 I3 A
下面就要来说说“量化”了~~  A1 F. r" u- R" N5 X
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

9 ], o: D$ I/ C  R3 OCabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 : v- B, \  w/ v0 s- W6 `
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
9 q( X0 E$ y% Q, g* @这个我有个模模糊糊想到的问题。7 s: N2 A9 P: b6 S, O# w( W/ Y
) v* j8 x- j9 ]1 N
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
  N  v0 I! U9 _3 Y( t% B2 Q3 G# U5 p- W

  G3 F5 `& `4 U: P由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。1 k9 l3 H" A) ]% g& f$ `
9 r+ }$ l( U! W' ^0 [
金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。
* K# {( T+ _6 G, k, v0 `- e, e
) H2 [- k6 j  Y# M. \4 E金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
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