爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
8 {4 S- ^/ s# V
" T# _9 l1 r& D6 }经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
5 l& o. I! A& c# P, P" Z) E* z大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。$ w; z0 C! T6 {) t1 w
6 p+ J7 @! u# t1 b9 P+ H2 N- ~/ U
不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
' n/ z, v# W6 `) P/ V! x
4 N" `+ d  `# L' A% b9 k  _一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
" g9 r5 P& v$ l8 _+ Y$ O/ `* A! Q! ~! [' {" p( F5 d  Q3 b. q2 T
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）
9 _0 F2 c% U# t5 k% x7 g0 R  N! o
所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
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. g7 o& u, b9 q- j9 J那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
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问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。
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量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
4 A# |$ j3 }' w4 O$ k% ]- K6 E  o5 A6 g& o) H
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱" e, X% o+ S: U  G; W3 V

6 O7 s+ W6 @& M; X" u" c: U7 ]经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
1 Q/ }1 |, Q, W# ]$ t2 E
) a) L' |2 [+ C; }4 f理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
0 e/ P8 P4 J* h
9 e- A7 K4 l  N% I外行人瞎说的，别当真
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作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 4 M/ O1 B; h/ `# p
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

7 [' `; a# A  R+ n. |/ A+ P. n收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
1 s( u" Q" r4 c6 p4 w+ e效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
9 G  m; y) D& r* H2 [, k3 v( ~- R你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
& g% ~- k( U8 W' `只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 0 c! V- b. L5 f/ K! n
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
, r/ w: b$ v+ P9 E6 u效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
2 b- x) R9 H( |# k$ S  Z+ y7 h3 i你的意思是marginal ...
5 }, @) d& D2 V  t
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
8 p# u3 _+ q& @$ k6 |5 A1 q  z7 t# a$ u- E& p/ M1 ?
这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09 ) K5 Z  s6 I& Y9 M& T, v; `9 Y
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱$ ~/ {  w; q% Y; b* c' b
2 h2 ^( U% R* `$ B$ B
经济学又有点像理论物理 ...
0 o2 E1 b& t! K$ n4 Z; V
嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
% W4 o  L% Z6 y, f& H不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
# p0 G; k$ B4 N$ P) P就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
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5 E" x' c+ ?! s8 [2 g; Z这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

* k+ e9 b6 n" ?8 j; y几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。& j( r& @9 Y4 l% I
因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
7 a" ~' h: d" R! o几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

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所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
7 Y1 Y1 P1 ]+ v! ~  E就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
: q) b2 j2 v/ Q3 m# S6 m& D8 f5 u. |3 F+ ]# Q
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

; P: J6 T+ [3 m* c) B你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
: I& |- ?& x( i% Y" t# B+ c* q0 D4 K% d  w
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
& q, M& x" ]* R& N  P' Q* I2 q7 P- ^' i* a1 t$ A
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
; h, b, U  V3 v% q
* A* r1 ^5 K. f' i, H/ f" a: d% i
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09
; g+ N; B6 m$ s6 }) y经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱- B. J4 q8 }1 @8 Y

/ N+ V2 |7 H3 q' ^6 g! c经济学又有点像理论物理 ...
' F& t: }# Z+ C- e
经济学还能挣钱的。2 Q4 Q7 K+ M  s- O! f) u

! d7 z, E8 {. P8 ^7 L4 f- |6 }
$ j# }4 }3 p6 d& L+ Q: S理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~0 @0 J* T4 X0 a2 o: ~  f/ X4 `# s
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
  K0 W, k: O  x7 A7 J! K! w6 k3 @术语上来讲，叫calibration。0 S$ ^" ]+ _$ r; ~9 |  a* T
怎么找呢？基本上就是来match empirical data。+ d/ x7 z# B. e0 s( v# v  G

( m. B" I' w4 ~/ Z- g上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。- F/ Y: a& q. B. F
那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。" c: Z, I6 Q8 I- F7 z0 y
——计量的方法。# X3 `5 u: x5 v% E. _

# a8 X* W5 l- k) f3 l+ l计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。3 m, f; {: _9 l

; B/ R+ i) o. b3 v+ k% Z下面我提几个问题，
3 C/ I- p% y) O1 m( a比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？5 o! L- J; M* d2 d
再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响- P( [1 G& X# t" n# O- d
再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
4 N: ?" @  }, S. p$ F这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。0 ?  S4 d. H7 V1 k  ~: c9 n
术语上叫做regression。
+ o0 J! K! [2 k1 P2 O/ I  b( `6 G+ r/ ^而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。, L  J) h$ k) v" ]3 k0 T

: I9 T' r- z, `, E最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
5 T  `0 e; l- ]! ?" `每个观测到的数据之间是否是独立的。3 g+ @# x0 i2 g$ ~* x# a, L
比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
$ ^/ J" F) W) c/ C" \这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）4 @" }- ]7 r" n1 I4 B0 a7 {
这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。7 w1 v$ p5 B* c8 g
, V, x( X: [8 p4 f
于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
1 f4 i2 J, X6 c4 M0 u* l0 c这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
/ A+ I3 b6 ?- O5 K至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。
. t' o) e8 _' b0 v
7 R) X4 c: w, l& X经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
+ P' W8 u! ~7 a" u4 q下面就要来说说“量化”了~~
3 }" W$ o* }8 F/ }2 ~# n对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
9 U( @' J' R6 v$ U7 F. b: U
所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
4 k2 Z$ v  _9 t; U效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
% N+ O* E3 l% ?2 J9 a2 B: |+ |
这个我有个模模糊糊想到的问题。
" i3 t- ~' g' [6 X" d
( ^7 K$ {; r! J比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。) b. ^* S7 ~% K& c& y' \
" }2 ?2 ]5 o& G2 S* c; O8 k- v; V# C
这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 9 s8 V8 [% w5 y) S, X
这个我有个模模糊糊想到的问题。0 d- W5 H5 J% z0 S* F- \
- N  w4 i* O  _0 q9 y! Q5 M" _  A
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
3 }9 H' N6 a; N6 a
万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。
" b& v: {. L1 ^* ~
3 ^- M8 p6 c/ X/ u多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 $ r8 ?/ z, Z! P* @7 x, v# A) Z
下面就要来说说“量化”了~~
1 D+ ?8 t; x4 ^( c" e( O4 \: n+ G5 H对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
9 @4 m% B  q1 w) {
Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 ) Z. {# P: f; E: f  M
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 9 u8 }! L( q$ L7 `/ G7 \! O
这个我有个模模糊糊想到的问题。
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) w0 p% S4 Y- S/ \5 ~比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
6 W* N% n4 }) [. u) _7 a& @

) \' f" D/ J) n4 B# ~6 O由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
  ~0 X7 ~$ u' U0 z% a3 ?! p3 n9 ?4 G5 w, ?2 t/ P
金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。7 R1 G' \  I7 K0 P5 q) H$ f

  G8 m+ T" X/ W: }9 x金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。! p6 T: T( s0 g6 T5 ?/ V

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