爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
: e: B2 x) W9 V" f: c* r* }# b* F& K& w' o/ [; Z: P
经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。6 f* n, l8 u8 ?; Y$ H: S
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。  g. d2 k- K  L' S* ~
/ L- x' g1 C9 _
不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。, f& I% N4 m* ^' L6 n# i, Q4 I
$ C% M* a4 n( ?4 w3 m) |+ [
一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
( P+ J( }) o- U; V5 n) Y4 d
, d# c& [+ A6 m& ?/ W4 y这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）' V6 K$ r, z: v+ z' B7 N; _

: E4 ~! J7 |$ y  N所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
0 P# D  f( k& B+ ^5 {" l0 r  y* ~$ Z% e: I. N* `
那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？) S$ T- L, o' x: |8 z  a
0 d& U6 k+ D- A* o
问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。1 T9 O5 P8 M! F$ C' O. b# b: e

: g  d( V% W; m( P8 _# _, k1 |! x: I+ Y. k* w
量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 8 \+ D0 {  D& |! G, C* ^

' {2 A' _2 m  M5 @( C经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱6 j! T5 o2 J  C3 t1 C0 l( y

/ V$ b5 k7 A2 I2 |0 L8 O经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
. w/ |" f" L& K" W( T- X* d  [0 F! V" Z/ L
理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系. q1 O9 f1 |, F+ t
  h# u" J& u4 P
外行人瞎说的，别当真
' D  }0 _0 V8 t  n* M; _$ F
9 K: b) @/ M+ {* m  {+ f; a$ X8 j6 O  ^7 `6 \* E
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 2 C! E7 ~& m# L
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

& H8 ~) o9 f! Z3 T收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
5 W/ L1 A2 L9 j4 I0 }0 f! P; `6 A效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~/ \, J6 [  A/ Q7 P
你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？. O5 X; Z) I1 f+ i+ W/ w- H8 ?
只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
1 B5 h, G4 g- w/ M9 u收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
3 A: D  F1 @1 w0 U) K& \" R效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
! J5 R+ y2 K6 [) n# }4 c你的意思是marginal ...

% a9 g& L, s' _; q0 f3 K/ t" g就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
/ `8 V% Q6 Z% J& y, K3 b1 H
- {6 n. s0 x8 U  d" T0 t这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09
1 {7 ?" z5 e, l3 Y; U/ C9 S) ?经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
9 ]* @( g. y1 D( n, X0 P& o* j6 b4 `0 n
经济学又有点像理论物理 ...

9 S( [1 B( V: a嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
2 _6 O# q. ~$ H' W% p8 M2 T不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
- L( r6 F  a7 z+ }% g. L8 |就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。8 ~8 w  c! p8 R# D2 Y4 T
# [( H$ \6 f7 e& K2 Y
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
% s( x: k" ~5 s# b) v) W
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
5 c; k7 `, r" F因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
0 S' k) z) p% D0 q+ ]几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

3 F' H! l4 v! g
6 h' R* Y/ j, n( u8 P3 O所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
; ~; j! ]0 g7 O' z3 q- M, t就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
# f6 {9 q- }6 N- w4 [: R6 e7 U: n, M# f8 {
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

: \2 k' @; P0 g0 a8 k$ q你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。! B! v6 B( c- G/ H0 |* B

/ V/ t. _, s+ f5 e2 [http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
  ^) B5 v" \2 L9 Z. ]! y( _8 |$ W5 E( D& Y
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
3 q  w8 O4 k. w, m, M! [; y$ {
- {& y9 d0 d. J, e' n- b
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09 . }" s- F1 u" r% X* J6 }
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱% s- q* A) ~. ~- l. R- l$ F

$ \1 \1 _& B' |4 x" s0 @经济学又有点像理论物理 ...

! d% _1 o6 _$ c* I' A- n0 C6 |8 Z, N经济学还能挣钱的。1 h) Z; U3 ]8 f4 ~5 X1 n: r" r% n
4 p6 `/ C- e* E% ^
! ^2 f, [; E1 Y
理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
) D+ c' f# d9 [: S3 A1 m4 Y对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。) K. V% F, W" v
术语上来讲，叫calibration。
% Q9 t7 u2 Z1 m  Q. H( [6 L# E怎么找呢？基本上就是来match empirical data。- D3 F, s: D9 S# o# p7 E7 Z

5 }" ?, r' g/ y3 ?; }上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。; y3 P1 |; ~+ k+ F# d$ w1 E, k# S
那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。
- ^/ ]0 A( T9 E4 I——计量的方法。
4 m* J" v/ }( ~! H: ?+ s) V9 m  k; R
计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。
7 N; x8 g! l5 l4 I, i* i; z, {2 H- p: a4 |6 U# l. J( G0 }" a& |
下面我提几个问题，" W" ^* C) B5 P+ o# g8 E& ^
比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
' \& t" R* z: r% M9 T6 ]3 _再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
- r+ ?8 Z4 Z, }0 A* U1 ]再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
9 [9 Q; L+ _; a% b这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。+ E; N; X. `4 Y. L& p- F
术语上叫做regression。# P# T$ p. X9 H" ]& {7 X5 a4 I* @
而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
0 s' @0 G* X- {* p8 H
0 ^, B8 {% v! x" }; `' Y3 k! ]最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
' v+ m/ {. j: ]; m/ ?  j每个观测到的数据之间是否是独立的。9 x& B+ R9 m# g" J* s* m2 D
比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
% }# |1 [5 N0 X4 J6 L3 N这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
; V9 G. _! v3 f$ R" D+ [# N- ^这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。) a4 o+ |) S$ W" O! ^$ r
" j, ^0 k2 W* j+ j
于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。; P0 y0 e2 n. ]2 Y6 T
这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，% X. o5 G) r3 L% K1 s+ P# E
至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。0 u; e( L8 h" T  ^% g
! f; M4 Z3 b* r% L' E. o$ t
经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
, H: U- {+ t. b* O% ?! J$ {. W+ r下面就要来说说“量化”了~~2 q" L% @1 b! j% E
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

4 m% f1 E9 r9 r所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06 2 t% O: z3 ?; k/ l+ o
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
; W# U" o  r& V* H8 b
这个我有个模模糊糊想到的问题。
. x- X+ f  R, N& M. z6 {
$ V2 ~0 z5 a$ o比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。2 s3 p* h+ r& v' ~2 L, S' D% e+ ]5 d

! L/ f- y8 c% v1 J8 Q! `/ r这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
8 Y9 F) ^/ `. M& i/ k这个我有个模模糊糊想到的问题。( c" V2 {0 e0 t1 G

8 J# V$ j# U* _" y1 [0 m5 q' u4 H比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

; i: v6 W) C. B8 R5 @万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。
: I8 ^. S: H) l; y. Y
1 n6 x8 [1 f1 X. V多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 - h2 @8 Z  r" ]
下面就要来说说“量化”了~~, R2 T  U: ^6 e$ R& }2 n3 D5 T
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
. k; M* [$ G& `
Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
! ?# h# @4 n4 c. v$ t
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
9 w3 J' p8 D' L3 Z. k' f, ^0 K这个我有个模模糊糊想到的问题。5 K$ ?4 o! w) T( a: p8 e# O
- X0 z# H; W+ B" S4 G$ y& y
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
/ r6 J# t8 R8 N% b$ C& c# a
3 `* E5 P( {9 l/ k/ M2 L  R2 F
由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
; O. Y, U# `) o% p* x3 K( t& z6 d9 p8 m1 v
金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。0 j9 d% B8 N+ Y7 z. }6 w/ ?$ @, `
, K' Y7 z* o# n6 m/ }
金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。% [; i( X# D- l

5 R) W  |# [/ `; v* N$ e, h3 `



欢迎光临 爱吱声 (http://129.226.69.186/bbs/) Powered by Discuz! X3.2