爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
2 K% u; ^7 p" v
0 D& G! Z- X! b* j8 C经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。: M; E: Y6 g- [
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。9 j. N0 F! F, f' {1 |

7 @  C# U6 O$ C7 [0 q* ~, v& `不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。* N. H/ n) ]( o0 f* [3 R

4 f2 b0 i7 W) F一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
' S; K9 E: l. C+ e) R! @) w2 o) z, c' {0 f9 g5 \7 ~$ C5 P
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）
* l+ O1 D2 _& B0 z
" i. d/ D* N! u0 m. L( i1 Q" Y所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
, l  N! V5 Y: q. g/ A6 @' l- N! r8 `* D; {" [4 z$ h: K
那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
' E% o& l9 l5 ~, H9 S1 i) b- u
! U' N  N; h& B问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。) h$ A" e( ]% @5 D

2 T  h& J! f% L+ n! p
1 u# }3 H2 V1 ?( \( }. k# `+ }量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
3 `2 j  X' V4 R; o
+ i$ R( D1 ~& g8 Z) o/ F8 Y( c% g经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱/ [" O+ _2 d; L* J; L0 C/ G
$ c6 t" ?1 g4 Z9 V$ s
经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵$ c. H/ |7 q4 U
4 r+ }! z3 {7 a3 `1 c
理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系3 j# U- i* D' x

# n' H1 Y0 O# O外行人瞎说的，别当真! s# d# D0 o* z; O6 \' k( D
4 B9 X$ ^. w, h+ O5 D9 V8 d
0 Z7 z' `2 k7 Q
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 ; P% ~9 f' p7 T! b; W8 [  F
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...
4 m: S9 p! U2 Q
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。& R- K; l; c/ |" L, f; ]9 ^& T
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~1 I1 T* z6 G5 A
你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？: H% D8 T  G5 [5 J; S
只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 3 K9 e+ h9 L; z7 o
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
7 J2 S% E: |$ v3 @! E效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~' y, v- G7 {" i' v
你的意思是marginal ...

9 S! _) o& f3 ^5 b7 U就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。1 @) h, m* K* p. ]
  P" D/ O6 S' n( q" s. q( e: S
这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09
; S! K& R. W# `经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
9 p* d; y$ V- y5 S6 U: m0 U8 f2 f
$ K6 C1 p/ q7 s* }3 I经济学又有点像理论物理 ...
  V/ h' @1 F- B, B8 Z$ v  R) y# t' r
嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。9 L7 K3 }( v! q$ I! Z
不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46 * k6 V5 t9 Y6 V2 u6 H
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
. {, b0 ?/ ~7 O# c
0 T9 Q- d  ]* u" G1 w这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

% l) R! h2 K! q8 _4 f几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
0 F& k; I2 h: U& x6 M因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 5 t  N& B0 M" `9 |# n' R
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
  P; ?/ N% n) c
  J; |6 ?! r3 g" c: U9 t$ a
所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
  C' d$ r: a  A) g就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。7 w; w' v4 Z6 R& a
: N9 E  l9 U9 `4 h; w
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

! b! Y: N( q. |0 v+ ]: Y你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
4 T5 q. u0 D% {" Z% N' ~; M( V& I, t+ X$ D" {1 y; R! V# X6 ~
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
! t6 n1 I) f; K3 [: Z, T
8 I" f& k$ E8 U& g/ m经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。0 Y" C) f! v# H/ s& j/ y

4 T# f8 B8 F4 O
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09
1 J, p( v6 A' U  D8 ?% Y经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱4 B; K8 h0 X+ c5 U

$ ~9 q# Z& P: _; _% u* o经济学又有点像理论物理 ...
& b' w' e# h* t5 ]) J( v
经济学还能挣钱的。
7 X5 y; F( H3 |/ c  h9 G% K& h* l
. h8 N6 H% X* h& Q) B. @& ^+ R9 ?: _4 t
理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~$ V* R; B: T9 E, R8 Y( {
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
7 T  P5 v! d, V! k& w术语上来讲，叫calibration。
/ X" }; c$ p. `" ]$ O  F+ y' i怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
( w' {* I1 m/ e: H3 f3 _5 q# _: V6 B! r. L9 L
上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
0 d, k! A8 ~" c' B+ M. l- J那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。
$ i4 J' [* Q( Y/ f' g——计量的方法。8 P# M7 V& I" C

6 m) c; w7 X4 E! ?9 ^, n- B计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。3 {! f6 K- }, J3 Z. H
  \4 }: B8 J+ t$ D1 V# G+ b# O( }
下面我提几个问题，0 D6 N5 X9 V* _( O' @5 |. `
比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？% |. R5 e& |: X% Y2 n6 A/ [# m
再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响  S, m+ m+ C* W
再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
8 ^: a( j2 r0 ^% l2 b5 ^8 D这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
# k% {$ O6 A: K% p术语上叫做regression。
4 D5 r* W1 @3 _0 `: v2 y而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。2 K& Y' y& h. [& M

, l+ q! ?0 c0 ?最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。, [4 D) J2 T7 a$ j- F
每个观测到的数据之间是否是独立的。( t+ ?6 R) I* U2 [1 z
比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
( u) k" @5 G5 y这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）. d& P8 I" d/ [  v
这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。
2 j) ~! y, O; _5 Y7 f# j& U5 k- ^7 R* o6 _# F1 u
于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
) u9 n6 Z9 B6 }! G" ]2 f这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
" S9 c' c0 H' j3 h6 e* s至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。6 H' l/ E1 w# N& `+ C5 ^

/ s+ R! z- L1 i; t% j经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 3 h" E2 i4 h. t& X) f
下面就要来说说“量化”了~~( a- A/ ^1 }3 |' b: i+ n4 }9 B
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

% ]- K5 J# P7 i5 j2 @  A所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06 3 k) H1 b* j; C2 a* W8 S1 x4 t
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

$ y4 z7 O/ e- b9 }( @3 g% o这个我有个模模糊糊想到的问题。  V  Y/ Z" j$ f
/ t( U1 q5 V2 N
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。
( D, X5 t/ f6 n
$ q6 Z5 ^6 |+ g这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 2 m9 h2 ~* K$ {0 r7 H2 h/ j
这个我有个模模糊糊想到的问题。) s  x8 }3 v  n; z' w& o! S1 g1 i

5 Z4 o2 D: L% B* M比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
' w7 m; j3 O6 ^4 q) T9 U0 j
万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。
3 m2 o8 l  t$ i$ Q# j+ N2 s. }, K  N& t  W! u
多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 9 e# }4 a5 t$ I/ h
下面就要来说说“量化”了~~6 R" X( f0 e' N5 R5 O" \& o
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
% Q$ M/ ~4 D9 f
Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
* S8 @2 K& i& a3 s. ~
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 2 X5 x' i. _/ U- f6 ?3 n8 V8 F5 X
这个我有个模模糊糊想到的问题。
; }1 [! F, V4 f1 ?9 X( ~$ Q+ f  O+ J$ Z( f3 j( t
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

4 k; \" a3 J! n% }' W, S6 c5 o! Y3 B! _% C
由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
* A' X4 [) W' i) u7 h
2 T! a& h! C; A( Q2 t6 e6 ]金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。
- I# u7 \4 Q- F9 T7 D) k, k1 O5 a8 W/ M
金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。- j. s  L$ N$ j  a9 j
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