爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
0 O2 ^5 P9 t: v
+ C& S' w1 w! n: i- S2 s% ~; B经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。. `9 a: c3 P! I9 n
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
& {8 ]- J3 K2 \5 X* D0 b) ~# Z; D
9 W- ~7 d) H7 E; I9 B不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
* ?; B$ X0 {3 N, b3 W! E6 {& k/ Q" Y8 n$ [
一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
: l% R4 z; ]: O8 P
) n" f9 |/ x& P( N这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）
4 `: r  L% B4 ^" w/ L2 x* H; P  L" f0 b1 N# c- Y8 r$ k- p3 [4 g
所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
7 d3 d( \( p" d' D* u# D& I
' `2 d: L/ ?9 e8 z9 W那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？' C. O2 D/ i, t( u& I

( u" j" N1 P" k8 K4 y- {问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。
; K/ `7 b- T- \0 h% y6 k! e% x5 \
( k# i; Y# i' B/ x" h+ R( a0 [: W  ?% q* J+ K  d! ~) ^
量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
8 o/ O( u. `4 x. {+ b% @
! G! C8 d& L  |& H$ ^经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
& N' [0 O  U5 ~# l7 M; d3 N
# ]  Z5 ~0 b5 A, p1 D2 I% p4 z经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵- r* a2 l* G! ?
) f. |6 T: k. s! B3 i, w( D
理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系) h# G' N6 |1 p) {# r

; a8 Z6 l) y& I外行人瞎说的，别当真7 b. `( h3 K. I. T
& N6 k7 P: o9 w& v8 t

/ P+ Q" f! M# w1 s9 V& b* z
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 , O" L9 F1 M1 _3 X
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...
' `8 c8 P3 A( g. N- J
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
' H- E, n$ K$ p效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~- Z/ z9 i! _' m: K
你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
3 S( p" ~$ r: H  m! q5 P+ \只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44   |* }& i: @( `* ~9 K! Y
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。" D! J  Q$ ?; ]1 L9 B/ Y
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~; a9 I- U8 l' W5 R* Z7 G
你的意思是marginal ...
* z2 L5 {$ m# |1 D" R# {' i
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
' T  W: w1 F+ b2 y! _! P. j5 l, `& Q
这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09 ( c. t: w/ b+ \( W7 b# |( F9 p" P, f  W
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱$ }' Q1 y6 c; f, X

5 J) R: F6 l+ M% Y4 ]. S经济学又有点像理论物理 ...

5 a' s+ h! S# _$ F6 ~1 e嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。; [- A3 Z3 W( R: q* ^' X' |2 ?
不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
0 K; T1 e; J  h1 `/ O就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。" y5 T" y& W, O
: J* ]# D; y2 o/ O: G9 W
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
( B1 O/ M- O* k, }+ a0 T
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
' S) J* b$ C. x9 k因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 3 Q0 }0 @4 z' r7 m
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

' P& A6 ^5 O) k  Z6 c# D$ D7 U
, l" ]/ w6 i) y. j所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46 ' p3 P* r  \" ?8 f
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。- w& Q% R* Z1 i+ `

- A- f% I0 L: P' A) k这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
" U0 n, Q5 O1 v& @! K# j
你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
6 u$ ?; ?2 Y* `  ~& {2 Y; ?/ o  R  c+ K
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory9 B- ]2 S; R, p7 j( F- S
, `; y4 ^3 T% t3 H- ]
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
/ f- Z5 @& P  S8 @8 N: l
$ F1 W5 {) a0 R( n. \/ S. c9 G; }
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09 2 O5 l* m& o4 a0 C  m4 r
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱6 l1 r2 I& D8 r4 M, }

7 N' L0 s9 Q8 k' t3 R& ]( K经济学又有点像理论物理 ...

" e( X4 Q5 i: ]4 v' ?经济学还能挣钱的。
# z" h6 B& A% J8 }" p, r2 c& a) @8 ^; c% X

2 W7 N$ L' D- c: D; x2 ^2 R+ ?理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
4 d2 N5 Z4 g+ r; R' Z' _对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。5 K& j6 \3 j( a7 k
术语上来讲，叫calibration。/ N3 h3 d* K/ n  B7 o
怎么找呢？基本上就是来match empirical data。% _8 M+ _4 E$ @

% N  ~+ T8 H9 _' M" |- _# q' O6 \上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。: r' g& Q0 L8 \. R0 R" p$ l
那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。, S9 I& f+ M3 u  r. W6 S
——计量的方法。: Q" T5 d' }' z% m! J/ L6 S
. V: u+ w8 \1 z) ~0 s4 z
计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。
. O% _) G2 Z0 k' R- F
7 u: u. |" x+ `1 x下面我提几个问题，# j; [: p; d/ i: y0 @+ j" y
比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
, E4 u2 s+ _( n% E- C# b再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响5 t) v. O* I; B9 `4 @! }5 L
再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
5 n7 R5 l' K6 `  O/ e; N, g7 A" K这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
# u1 d3 b8 {1 n: q. a术语上叫做regression。) W0 y9 \* j' t$ x" f
而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
/ W0 U+ A" ]9 e: ?) Z+ ?; \6 O7 ^  L% L- D% q# E
最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。7 \# F0 S: T2 U3 y/ A/ Q6 ^9 }) D
每个观测到的数据之间是否是独立的。
: W: {& E$ N& d# l) ^比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
2 c2 [# ]  V$ a; T8 |7 v' V7 Y这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）! t1 t: U4 o" r; u( m+ I
这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。
/ K" w( f. }( b8 \8 S( a, _: u( k, D2 h: z4 G# ]/ K
于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
" i% N: l, o, u. Y- t$ d这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
- Y1 m" f) c/ u: O2 i至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。
3 [% d/ T! Q" J1 F% W7 T  m# W9 Y6 m6 w& H0 E
经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 : k) `* }# V' m. t: v2 |% h
下面就要来说说“量化”了~~
3 N1 F' P, ]$ q4 D: w对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

2 G/ W5 G  y3 P2 ?所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
0 ^$ ~/ ~. m! a# B效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

- N) N5 {# q6 D7 c$ p; B* w1 t" U这个我有个模模糊糊想到的问题。
3 t! V* `9 X* `1 l- j6 G0 x) T1 H( f4 X5 v7 E2 L9 r  a6 y5 A
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。) `4 o. P. ~" u

! j" }$ p0 X1 r6 v( g6 s这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 6 Y$ s- N1 X/ f5 e
这个我有个模模糊糊想到的问题。! d/ P, X* ~" ?. k* D
; V1 U1 q' m' Z8 p' q
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
: Q7 P# I. R$ c$ f4 s
万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。' u2 k9 `# v0 F! {9 i' V6 K) e5 q, X

3 [0 i  H. W  }& K# p& z( y多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
: q5 E9 m* X# A4 n* ]下面就要来说说“量化”了~~
' I' V) ]' U- U对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
9 L  x7 r: q+ o: Q* z
Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 % d# l7 {  ?9 Y
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 1 f  |0 A9 Z0 W3 N, }# e
这个我有个模模糊糊想到的问题。
5 ^9 u- A4 @1 \9 S4 r& B: {% ]  z5 o; d1 z' E
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

" J$ t( y. w8 s0 v' Z2 ?% t
) E2 Z$ D$ [% a7 R1 g5 n由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
1 g7 X' i9 F* p( e8 ^' [# C8 N. m1 ^7 R
. G+ t2 G3 e, b8 I; }金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。) t4 H. w1 r. O: H

' G1 v) ]- K& E" K金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
! Q4 [  i4 j* }: i: r: `5 x3 x' I




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