爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 % ~' L) d. W' l; m$ Q% v
  k4 u6 c) ?" _# j" D' m# Y
经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
' z& @4 z; x" Z7 Y- `7 g4 u+ P大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。& ?! B8 C, f( z8 E6 @
1 e2 X4 _: u# _$ C/ m
不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。9 m; n& H! p  p
! I1 t9 [9 F7 s7 h* ~
一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
( A6 _  z, Y. G; m, G* U
, p, w2 t/ f, n5 X+ B6 @& B这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）
; J/ a+ a, `4 t3 Z  D$ z) U/ n# N: q  f8 n4 @
所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。6 @( o' ?6 F) T# U. Y& M/ B( L

9 C, ~7 j3 A! R' ?8 ~3 h5 f- ^那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？8 b5 R/ [. x" g! o

9 P/ c& V3 G9 R0 x, d6 S' K# Y问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。$ q4 B9 v1 @) ?6 W. b+ [

( x( X8 N: c/ w6 }: J2 v' z& |# d5 ~2 [3 Z
量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 / s7 N3 t4 |. I$ N1 P* k
0 U- F1 I6 N8 R
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱# U% m5 a; f& z/ I2 i
8 s# \' `( @4 d) N1 O; ]6 o+ D
经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵# J2 l: R# E: _0 P3 J6 X

0 L" Y3 [, M' R2 @5 l& _理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
. t  Q% q1 H' D9 Y
3 C6 j/ u3 _& _0 K, s外行人瞎说的，别当真) ~1 \  o# `# b$ S" J

$ v2 k+ t6 L- w. A+ `+ y0 P: t- i- q7 b0 \2 @# ]9 s
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 " F/ @" D; P# R+ }$ g% U
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

7 }7 E' W& T, B) @4 `2 E收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。# h/ y$ w- N9 Z& B9 h; B- e3 @+ A. h
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~* D/ N# b1 `0 R2 r: h
你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
9 q) a) J% V0 R5 m/ t. }% w& B# T只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
8 `# h4 E5 W/ Q, f) w$ ~收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。/ A$ ]9 t2 v5 E5 z6 ?& p2 |
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
* {3 C+ v! G5 [3 Q3 c你的意思是marginal ...

6 L4 G2 f: q' z% Y% P+ a就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。: ]$ ]2 |) h8 Z9 `, X. `, Q  z

7 a+ Q( R5 Z' R( I  l, b这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09 9 A' X. r' q) ~! {
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱0 q, H( Y, \% M+ s5 P' s% b
1 o; v& q( {$ }8 d( x! j# s
经济学又有点像理论物理 ...

6 W+ p' S3 W" ~3 @嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
1 c. {) }6 f( t  V不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46 & X$ q7 [, P' D
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
9 W/ S0 |* E9 I- \5 S/ R4 o2 L/ D) k  y9 ^# b- r0 ], ^
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
! H3 u0 L* ?/ l; h  s& r( V0 G
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。  g4 p+ ?2 L6 j  |0 I6 B5 W, g
因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 / M" W# t& I& @" \% _
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
- o. A# ]3 d" M2 h: d6 T
$ w- g0 l" @9 i
所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
3 }" ]3 e3 K6 j6 x9 C  F就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
8 _3 Q, ~. R& d$ J
7 q0 {/ o' z: v$ m9 l- W; P这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

( c6 x1 f4 k; D你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
9 L3 y) L  A* X- H+ Q9 @: c  p, I0 b* F
$ P: @: @* r* g% r$ y7 ?http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory" e* F5 y- ], h& v& X1 S( _5 y
6 y7 P$ N3 ^) Z$ G: J
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。/ _- g1 b$ h6 j; V8 y
2 q" a" W0 T/ L+ y, d) G
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09
& ?# e- K# ~/ m. o) M4 h( o经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
- [4 p' Y# l7 d6 D1 U
% i8 f$ p2 ]$ u+ ?  x9 x  o经济学又有点像理论物理 ...
2 `. a1 H0 g0 n1 p+ J1 ?% z
经济学还能挣钱的。
& D7 I3 U( H% Z; b- l
$ C+ \( \) N2 d; c8 i
# U- W' @! l! ^  W理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
  Q+ v. ?9 A5 r$ O0 Z+ l+ Q对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。+ ]/ d3 ~2 C; X$ L4 V
术语上来讲，叫calibration。: U" z, X" I- P( Q/ P0 I6 O: U9 X( {
怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
4 E% x% U+ v/ @9 G8 i8 E  f/ R8 b& W
上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
6 L% l8 \, Q; F+ a7 y  i8 x那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。" A2 ?8 _! B1 S% o& N" ^0 |7 b
——计量的方法。
3 m. O( V# ?& A4 u/ y. O) ~$ O
# y4 [$ V9 j( I' m计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。
' u% i3 h3 v7 R* y3 G
* [* L) B. F; g2 Q8 O下面我提几个问题，
9 o$ E: [2 m# @( S4 N. o比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？$ t7 |7 w2 P1 p% r; l: L, {
再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响" R- f4 K  r) d( U/ _8 h
再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？: X6 I" g* G& X% H/ ?. W
这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
0 _: y" F+ |; Z% T& R& s术语上叫做regression。$ P6 t6 M. e* b1 Q/ e4 S- V
而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
$ m% w6 W& t; g6 b6 e5 }2 m9 C9 j$ A! m4 G5 T/ g/ d5 V+ ]/ x/ a: R& H
最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。3 A' Q5 K. e8 p5 L# s1 l; t
每个观测到的数据之间是否是独立的。
. w0 t0 u" d8 u) f比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
  y& [2 m4 e3 F这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
" ]) k* ^: O  w. g7 t$ J  A  T这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。
9 U) t! Y5 S* h( T3 q1 Y/ S# W0 q, |6 N3 V# w3 Z
于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
1 i/ k# {8 y: E4 t这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
' O" P; u0 r/ i6 h  I2 m! w3 ~至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。
/ e9 N: G( }! Z
/ t! d1 ~! W( a1 V( A# Q经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 ' H5 e$ f4 C% |0 y8 \& U7 N4 V" w8 ~
下面就要来说说“量化”了~~
' ?' ]0 t4 v' N3 o  {# s对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
) [1 S9 z6 W9 y4 m; q$ [$ |
所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
! S' e. ]$ n: z1 ~效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

+ r! F- u, [, S; X这个我有个模模糊糊想到的问题。
7 i! S4 R4 g0 {+ z9 I
6 e2 [7 l; l) ]( o. m9 e' h6 N比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。
5 s# f8 g8 n) V1 {6 ]# c3 a! D7 M& ?5 e3 T9 P  t
这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
5 k) H3 ~7 P$ E! F( ^这个我有个模模糊糊想到的问题。
/ h  M/ B4 e' b- g! [* u& {0 ~6 Y8 {$ W* \) e6 x* N1 X) ~
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
0 p6 B8 |0 r5 t4 @0 m0 O! \+ d
万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。; S( N7 N  o( k- r) ^3 j
( m" p4 v* Z2 a0 Y1 p
多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32   J. g& ^* T" c  i1 {5 L# w3 R( f6 R
下面就要来说说“量化”了~~
2 z4 b6 i  W+ d& N0 y. Z. F+ J3 p9 l9 g对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

4 I% T& t' d* c( _Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
4 F$ U6 c7 ?' d# S# c
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
! g4 {$ P5 P+ T  I' g这个我有个模模糊糊想到的问题。; Y4 I4 N$ |+ k

3 V2 k$ t" T+ ]: c+ G" T9 U比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

5 V! w1 B4 Z$ `/ {5 n7 M+ W# T$ z0 e/ L
, V' l+ _) N8 X- H由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。+ L, n8 @, ?& T3 d9 N, z
( J+ A" \6 I9 |7 u; k! j9 C/ r
金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。/ _) O$ q) d1 x2 k# S8 \7 F  L

1 A( F5 w4 O/ S" [% M金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
) c9 n$ j& ~( S" \8 u% V0 H/ i3 J% D1 @% l0 t




欢迎光临 爱吱声 (http://129.226.69.186/bbs/) Powered by Discuz! X3.2