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标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
* f- w9 u; v' s$ \" y
' x) ]& R( M& t2 ^6 R. O经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。( h$ r. f' D* x
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。7 f2 m* W# G6 W+ E5 s- D

8 Q8 @' {- W$ p% y1 o- y0 n不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。' H% x6 O/ A1 {) n' J
9 I/ U# }' k& _# y% M
一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
$ Z8 J# E3 z  b6 ~4 _6 C+ j- `4 V6 t4 D& \) ^# q
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）
' u& Q% D7 ^0 ~1 p) }. _+ `4 X$ V) O
所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
7 T) D8 u6 }8 b+ w  ?9 f  ]3 p: l, K1 `. R& {, @% s; i  S& `
那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
; T  u! [3 n+ n+ Y+ l
+ O: e* y: ~2 W% i$ @' s问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。8 E, a: o' G5 f3 `6 R
! N) D* {3 Q5 i! h2 P' ~+ T! O

6 n2 k; E! U4 u. [4 _量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
2 }1 l+ Y$ X5 Z/ A; w  l; y8 @7 _2 R- d' I0 m5 ?% Q5 r
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱1 `8 e: @0 j, j4 f; j
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经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵0 ]' d# a+ G: G( @! F

  V  ~! V. C0 f- e( G- ~理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系- f. U9 g6 Z) G8 z% n! \( D
) B8 w1 ^7 }0 C" |
外行人瞎说的，别当真
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5 P: O5 t) T+ e9 o' e6 p( ?
* p% }: N% C* z+ u
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 . V2 D, ~* o1 l; S$ S3 Q% {2 @2 g) \9 S
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

# f  t2 P; S/ J* H收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。4 y' k8 a- k- |% R
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
  C  H. C' _. i2 F8 }, M7 M( c你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？# }8 o  a! f% X0 x/ N2 ~5 d! C+ `
只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 " @! G# v' y+ |4 p' ^
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
# o7 S- C7 u4 I+ {效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
3 H( ?! d3 H( t! n你的意思是marginal ...

- ~( g( e9 i+ D: _就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
; T9 U- {0 {9 M0 s  o$ @# a( u2 f8 u- P/ a! _3 x8 T
这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09 . J$ L. w8 a+ v. L+ n
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
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经济学又有点像理论物理 ...
7 V8 [  ]0 }3 c! f
嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
% E3 a1 H9 r0 h! y, g不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46 : R8 o/ d; H; h1 H$ L1 f5 u
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
4 P8 W6 `  _; q2 J1 x: g
/ M  M, |) X9 {% O8 y0 _+ |这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

5 H! ~! e! A6 I1 Q几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
8 b9 ]6 y" O" _2 k, K* g: K因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 ( V+ ~- J) g& |: Y9 |
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
. \& t; @, p- t

* d- K( A% K/ i" }所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46   S; v$ f: t$ F; f; ~
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。- ?% u& |9 T: B4 J
7 Z: S, ~9 E3 W7 ]. B9 B$ o
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

- _8 G% q2 \/ `" B: _7 P( h9 ~& O你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
' z7 V/ O0 D" b" U* e* H1 U$ y! b' y2 R7 K& D2 ^1 E/ D
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
. w6 }+ R# B- ~  D, b8 P, E! }" _* R' ^2 u( v6 u
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
' B% _, l8 k/ d- {
( H# Y8 }% K# c0 g2 p
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09 " ~8 v- g  D# F: ~
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱) B! f& @0 _" U5 H) y8 X$ C

4 u6 H2 I' J' M0 G经济学又有点像理论物理 ...
+ r' I6 a8 Z/ F5 R% f
经济学还能挣钱的。
7 i2 ~0 x- O( ], \/ H+ z
# k/ Y  h! A# F6 C' z9 B" Y
, e3 J: a; n7 A0 [3 R  o3 x8 T理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~- o3 i8 L5 P. |. M* o0 k/ X9 _
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
: B: P' r( n3 x8 F8 N; Y术语上来讲，叫calibration。. H( J2 k& c8 f/ j
怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
, Y' a5 Y7 p7 L- T4 y8 a+ O2 z. f  D: \$ \# Q3 j
上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
0 J4 {8 u% d" {' h6 T那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。
1 G: K9 S8 L9 d2 k——计量的方法。; j* I6 V, `7 c5 J

1 b9 S/ e9 n- M/ Y$ o计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。
% j  \4 ?# S! K! ]
' T: X! L# h- n$ j- T$ u/ r' k下面我提几个问题，+ o9 N( }4 `# H1 a# }' b
比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？: Y0 Y/ N7 _" v1 `0 z# C6 h( u
再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
4 x1 u. l' n; {4 L( {; N5 i再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？) I; F; h0 b# y6 @8 _" b$ j
这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。) W! ~3 X5 X  E7 K
术语上叫做regression。3 `+ n- N! C  ^
而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
% I& }3 l, \# ~# j0 s* ^( y8 |% A) ?, p# ~8 R. h/ f, U5 A* Z
最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
0 a. Z; \- k7 j$ I3 N每个观测到的数据之间是否是独立的。
1 x( c! R& F; U比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
4 F" v* Y  A; S* R) v7 Y! e这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）  K2 R) y1 K2 _: S2 p- w; J
这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。# u: s" ~* y6 q" p; n

! k- ^) F6 i# ^$ P+ x于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。$ V+ h8 ]2 E- Q
这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
, ^1 o8 A+ u$ f' h4 a至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。
, v% Y6 c. I- {' d+ c" _) m) |
: {/ v% |: X' ]) W- m% F经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
) Q8 l- a% Z* y% y; b2 J: `下面就要来说说“量化”了~~
) y. }& j( Z' C# [3 _7 t对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

: ]! [- D5 ?1 x/ Y4 A所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06 ) {  m9 f+ [& Y& R
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

, b& B- E, _% N" w" L9 C# I( |/ [这个我有个模模糊糊想到的问题。2 m: n1 j+ z* k& o& O7 ]& U
1 U7 s. c2 v( E- C( r
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。: Z4 ~1 _# \4 q9 u
; o" M6 F# }0 }9 c) `
这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 7 d1 [0 t. A5 T- W$ A% Y2 x1 s
这个我有个模模糊糊想到的问题。
4 c5 P+ E; T' s) ~; k: a! m6 T# u( y+ x7 X# v* {' [
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
, G# g. b4 a( o& v: X7 l
万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。
9 K6 U  v3 S. Z" y/ H7 ?
, N+ [( {$ ]! R/ C0 d8 d# ~. u' U多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 0 r' e4 P1 a6 z( ]& w! I% W* _
下面就要来说说“量化”了~~8 A2 Z7 g8 G: r! n' {# O* H
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

8 {% ^1 k+ [0 OCabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
7 ]: w" i4 V  A3 y6 \1 ^
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 8 L* Z. A) B7 h: H6 q
这个我有个模模糊糊想到的问题。$ x4 r3 @  f$ P3 Y2 o
3 N2 F9 D, A& N% K( t
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
! K7 W" p0 G5 R9 a. i0 z
; J8 H2 {3 T  C  E4 ~
由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。7 g6 d& e, j* K) Q0 h+ _# f% h) z

9 k" t, |) M. k金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。
) Y. T" y1 L$ p0 V2 j
: `& f$ X/ B+ ^! x$ @& s金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
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