爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 , @+ ?8 f% g8 M. D" f

7 x) F6 l( t3 g- E经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
5 F* t) [% ~( @$ M: z$ a5 v大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
7 ~: ]/ m, L( d' p  n3 D$ F$ u% ]7 W* K% s
不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。; M# N% M0 [8 q# d/ L$ u2 y, ^

( e0 W% K6 f  l一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
' \- j/ @3 v" c/ \6 b5 J- j$ v
; A* B6 G/ X. {7 G& Y4 E4 z" v这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）
4 w/ X: k- w) r! F) ~' `0 O! Q+ m5 ?( u# P% A+ Y! r' B$ J7 p
所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。3 V. V* p5 R2 G8 g  V8 s

/ D: r0 w) W6 G6 F% X+ x那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？1 Z9 I8 q+ M; g. ~

4 D( p. ]! A: o( u, g/ c+ Y# A问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。  y; |4 \% W4 n& r, P; z% q

& G5 E0 O4 H! F! {3 r9 K: V! n' J/ w/ d  Z
量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
6 z* t) q& c) G  G5 P5 ?
& }/ y! n: V* j经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱1 G( C. R4 G. r& U. p

' O, K; l- l: B* J5 ]1 H4 V经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵  @) }0 j* ~$ w0 \! k( }% ^5 i

# m2 L6 s& k, e$ y- c2 Q5 A理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系% d! {3 _0 b/ d4 L
2 i+ R0 K; U( L- a
外行人瞎说的，别当真
+ N2 v8 D4 u& K* P7 q7 E" v' ~9 v" w& m$ \& }$ E9 p

; t; J( r6 Y6 a8 ^0 H4 [
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
( G0 O# b  _0 `" ?# d这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...
% J# p# O" C$ X, _: r
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
8 ~: W$ O& u. I) [- {  c" a8 o效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~1 ]4 O2 b' Q& M( D% p" k3 i) {# a$ c
你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？* Z8 P; }* J4 X/ \6 d8 P
只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 ' ?0 Q" e6 C: T# O2 F; K! b* u; E
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
1 A& ~! e) j, o# y/ L效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~" A3 E* L! E' ~& @5 `
你的意思是marginal ...

5 y6 C1 K( b- e0 i6 v! a' ]- g- m就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。# k. w: E; k+ o4 P0 g% ]; E
* D5 {, \1 e) R# s
这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09 6 e( |+ j8 z- F$ V* Q
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
2 }& y/ \6 I! o" P0 R( r1 n' W2 l' F+ ^5 ]7 ]; ^; r% j2 ]
经济学又有点像理论物理 ...
+ }( |5 Q" h/ I9 J* x
嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
# O+ L6 q+ Q) j4 Q+ x不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46 6 Q  v/ J: _. c) [) M0 R
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。8 `+ U* ~: x( @1 `$ P

4 f5 ~9 O& w' T! V! x' U8 O. X这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
7 f8 j% J; `+ |& l' C2 W, y. K4 S
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
+ O9 @; l" [# j6 J- C) E% V- q因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 7 _+ z0 m% W$ _4 g  l- j. ^
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

" r# [8 Z/ {0 }4 O+ F( o8 k5 g3 e' K. j3 ]. q
所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
' v9 t- r# `7 S就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。$ f! e+ ~: \2 w  Z

( E2 S* A+ J. K8 U这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

: M0 z2 j, p" |你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
/ ^" B% W3 O( R9 {- K4 f( U0 X4 v0 }" B; |6 K7 Z
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
( z* X8 l5 B0 e0 R4 f1 e9 }+ p1 n$ B: }
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。* t: U! v1 W! }) H8 ?% @
6 A  @8 u* c9 W: G% Q; o
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09 2 ]8 i  F2 g& v" N6 ^: T
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
7 |- J( V9 S# r* V! c9 \4 o9 B' r5 Y' H, L" J
经济学又有点像理论物理 ...
# \# d: P/ f. w' I# z0 q
经济学还能挣钱的。( Q4 N/ j2 B5 `+ P3 R) p7 l6 M

: d- T& D* e9 v, l9 p" U) j2 M
- |$ ?# v# i3 j理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
2 N$ v* g! u4 x9 z对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
3 u4 Y: ]1 v2 o术语上来讲，叫calibration。( ~% w8 }" s+ O) R. i/ s
怎么找呢？基本上就是来match empirical data。4 Q- Y* R$ `9 P" n" B& u

% L# u# g  _2 ^. G+ i5 m上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
, ^) }! |" c! N9 n3 _那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。
0 {  Y4 F& P' z7 `+ A——计量的方法。9 j  i$ N$ \3 d  B' g; J

% m+ Z* D& C4 ^: c, w计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。: z8 W8 y% q* O% i

+ W. ]; |& f3 S; N5 r; t8 z2 d下面我提几个问题，
) y# _2 w5 b) I比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
2 ]( e* T2 l- I0 I' J: w再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响' Q3 g% A9 M  Z" i/ _9 {/ r
再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
- F$ @3 B: s  l& s9 C) m这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。( E1 y' w: x# a% M8 s' {4 R; {7 K8 [
术语上叫做regression。' \8 Z" C6 L8 t2 h5 j
而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。" h& Z# C: y# M% H; E
0 U% Y/ \3 ?/ `6 c+ y
最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
& W8 Y+ t* K" u' V3 l# X每个观测到的数据之间是否是独立的。
1 a0 d1 N( M+ {3 p7 Q比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。; |8 A% S# l  q8 t2 J8 s) T5 u
这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
- v8 t- h- x% A6 c这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。. `# N& C: t7 Z) U7 [, T6 X

' m3 M: f+ V( y$ V3 b* O7 q于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。+ o9 {( ]2 G/ S% p  r
这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
6 M( y; a' [1 m1 }  K至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。% o* |9 x* t3 m! b' _

3 h, c9 P$ _' `' f2 R6 L! }; ^经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 + t2 t" x4 Z7 |
下面就要来说说“量化”了~~
% L( D  g# {% q% h% X6 ?6 R  i对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

. ~% n4 e+ |9 ^0 S# A7 ~所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
7 N/ D! f9 m' z& o! Y" f效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
3 R+ N  M9 g: l" Z# h8 p# t) H
这个我有个模模糊糊想到的问题。
$ [  Z& d! P! h5 T  K7 a3 W4 Y( y. a# x" B$ L, U
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。( @/ i5 t( ]1 c6 I

3 E6 ~, \2 [( t9 U. F  E/ R这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 & P3 F# B2 ]2 ?/ b3 ^$ {
这个我有个模模糊糊想到的问题。
2 }0 C$ E5 ?0 ^3 N9 c+ t; M5 p$ k# v( ~! A$ l$ |9 O' w
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
* K8 a' y' P) {/ R& o: I
万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。
, J- X! n& C$ y: O, s. r/ F( @' |% z( ^; X# s  g
多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
, i0 R' t! Q. V5 C3 P下面就要来说说“量化”了~~- {9 @8 U' Y/ e0 H( U. r
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
1 Q7 F9 Q4 T( J4 @# }+ N
Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
8 t( w3 A2 i; I% k2 `" y' B
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 7 v" T8 o1 k6 k  j8 a
这个我有个模模糊糊想到的问题。) r* o. {" {- D( ^0 A/ N
  A9 ]/ i" L. q; Y" y% ?, c& r1 m
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
- C& L" }0 ?. ~4 J/ e' z! e* s

1 O: g% `( P4 A3 [' t- S由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。, c9 B/ `1 x7 S+ u8 N

. z$ R7 o1 D4 l# w6 H) V金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。7 ~+ f# v! ~. T0 o2 k  k

: a' c1 W6 _- `. }, a/ J; G7 Q金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
+ k8 y( \5 o4 |3 p' k5 [5 Z1 z$ D8 m6 B6 F/ f




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