爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 3 h2 c8 {7 ]  Y" q8 R  P
! s( A6 t* U; b7 e4 P
经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
. b& E# K' W; H, u% W大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。, _5 r4 o/ E$ \" ?' X' H4 O

3 P# |* J0 W) j8 w5 W3 e+ W不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
" z5 G& s- j8 I/ A+ X' N+ y# f* [6 }5 F# c2 @3 _6 s) {
一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。" y6 Q- G4 c) s$ [1 f' s7 K' K. {: p0 q
4 w! y1 q- K0 W* V
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）2 O& m( @2 R- x9 _+ E& {
. Q4 w8 Y7 K) p% Z
所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。9 q3 y( v$ {/ L' X; ^1 J

. @. `2 i0 }6 S# m5 l5 G0 t那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？4 D8 M& s: [' u1 @! E$ {7 h$ i
$ o# b! ?3 X. O" `9 C7 T
问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。1 q  N' g) Q, Q2 f2 G% B$ Y1 r3 ~3 s
" b3 L' f* [' z( d1 W  W

  D# _, {* `. W, E5 F' K量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 9 J: Z9 H& I1 }  {1 I  W
0 z5 f. G/ P1 {9 V  K+ C: ?2 X' M
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱2 G# C1 i5 {& ^, a' [
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经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
6 A4 l0 t  l8 x' w9 r% E! E7 y# B( N- P
理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
* }- _* t) a! t7 G+ C
+ e- |$ _& r) I- a. `, Q外行人瞎说的，别当真
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作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 * R2 }1 i! F3 \
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

7 N3 g3 p" @8 C6 m9 |" a6 s) q收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。% u/ K  I# I' g/ p1 |7 p
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
; Z' L3 E1 A" n( T你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
, _8 b* c$ P: h; x& `  @$ k只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
: ]/ G& r5 @( \8 j8 n! l. R2 A收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
8 S# V- u/ J- @6 B效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~& u4 c1 V& P+ {8 I& L
你的意思是marginal ...

- R5 l' U; I& p! }7 I就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
: L3 V" Q, a& F+ [) C5 F
" U7 {% G& R' ~  O0 n& _这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09 9 L, C$ I0 U+ t% d+ ^  p* l7 G# C. y
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
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经济学又有点像理论物理 ...

' m0 E; y/ k1 f  t, Z嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。5 f2 S4 O0 \' }8 t5 i0 M
不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
6 n  z& O4 U+ c! H% A0 L就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
5 I  G& w3 M4 Y3 W7 H8 t' g& j) R0 W
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

4 P3 q& K# [5 o3 l7 m% g$ ~' O! k: `几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。4 F/ M3 E. ?( e0 }' z- i, K
因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
# L& h4 c5 X# X. D/ R几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
# l8 e  T/ m7 i$ T/ k

( b8 W/ l6 Q, p5 y) v! L( l: P所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46 $ t" o7 |/ `( ~* p% ]
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
$ h, M* ~% k, G0 S4 Q* g  F# W$ h5 W/ B3 I
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

  P1 h# J; S; u# M8 l你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
/ t1 G" ]' O& P3 n& M- _" d. G) u
+ |. R4 Y( Y1 v; Y) \4 M+ D, w  dhttp://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory4 E/ x" r' E* I
- A- t# r7 v# l
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。" ~$ t0 v" q3 ?, D

9 C9 w: ^8 ^3 W( _
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09 0 B  y6 `1 ~3 f- ]
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
0 v% {# i. g) {5 I2 p$ d6 X3 C. m$ E% L. |
经济学又有点像理论物理 ...
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经济学还能挣钱的。
% u0 o$ T9 b( U, x, g3 V7 `" Y( @) Z/ }0 E

: E9 q" x6 n# D9 U& f+ K理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
- q" m; Y5 U: p& [* ?8 w' x1 A对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。' X* ]% V8 ^4 L* z/ t3 _' |$ B6 Z
术语上来讲，叫calibration。
1 w, y, b" a" V% B5 r# h怎么找呢？基本上就是来match empirical data。& J+ W. Z7 w% d  u& M
- E, T4 e- A3 w  t5 X5 U2 g5 h( {# @3 ]
上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
2 w( F. F/ t% c# Y* P6 R: `, p那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。  a; B7 g. W/ j  H% |
——计量的方法。# j) U0 K  h  \' F: e1 q
/ w/ q5 @, s7 y2 s
计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。
) d0 [* z1 j! e, k% Y9 i. r
6 l2 Z! {, D6 J! W* {下面我提几个问题，& \% q# B9 @" y$ o- U9 T$ i9 v' b
比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？; H! _# u1 ^" ~5 S! U. Q2 D& B5 `/ h. G
再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响9 i3 A8 i& x" q* a3 p" q
再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？4 R" ]5 f+ {# t
这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。4 p, L' {% d9 `# @
术语上叫做regression。
) o' a7 t6 l* X: y- O( m而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。8 t1 [2 V' F8 h- v
; E# D9 y, r8 w8 O# @  I
最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。6 i6 ]+ G9 l1 X9 j3 B6 |5 K) Y
每个观测到的数据之间是否是独立的。
3 b7 G1 R- i9 @4 k+ n: ~, M3 f比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
6 Q% G; T+ M7 d这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
7 D: ~& R! h. y2 d$ f- V这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。
2 b5 q! L. F! B0 v6 E  n" s3 g1 R& [1 `- ?2 R+ x4 C" \) |" \
于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
8 X# M" K# ]/ x, s" [, J% F这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，3 i! _% W! k$ W/ M8 K0 U1 L: J$ H
至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。
4 s3 S% n9 S4 r* N. U4 @" ^/ Q! g7 Z& C9 z* h1 d. L/ F$ l
经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
! r6 L  {4 ~0 q2 V2 d下面就要来说说“量化”了~~
# ?' X! X% [4 q0 j: Z, E8 y对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

9 i# Q* A; ~9 H" i所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
% v" \0 ]2 W7 E. B7 w7 C3 L效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

  f  J; {# S# a这个我有个模模糊糊想到的问题。' b0 a/ V$ W- L/ T% O# V
' |+ Y1 }8 Q9 b0 ~* i* N0 c
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。
# t; D8 w! l, J; A3 K7 b9 C, x' J: M9 ~3 V7 M1 `- L" Z' G+ i: C  n
这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
6 M# i6 x5 Y' p( [( V: y# }# i这个我有个模模糊糊想到的问题。9 Z, W- {9 z5 S4 [# {: }
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比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

$ Y# h* f7 D4 y: E8 E: X万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。) D% ^8 P/ E% @; P
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多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
2 }# F6 b$ K6 F1 q8 O( I  X下面就要来说说“量化”了~~
7 H1 t7 N) `, {6 R* d, i对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

8 x, f$ Z7 |2 X7 B; E. `  Z  xCabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
5 Z) |+ I3 i* R2 P6 Y
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
$ ~' Z5 ^  p* h% ~$ s* m, W9 z! Y这个我有个模模糊糊想到的问题。7 d( C( f/ {' M- ^" H5 t" G
' h8 ~/ {* j$ D, B) Y$ Z% F0 ^
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
) [5 R' f7 {+ O

& L0 y7 o$ s1 q' m. W! c由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
( O/ L# D, T" t, }# ], x$ B& J2 O" }- ^& V0 T! O: A! V
金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。
8 N# d$ V( x4 T( r6 q; K/ j+ q2 a" |: |# i+ C" @
金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
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