爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 ! }4 f: V; {+ [5 {4 n* }0 \
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经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
8 E2 I) `- l2 J! j, _) p$ @$ o大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。+ u# U( ?$ K( d; h

" F, ]+ T" z4 }. w! v不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
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/ t/ J0 L% }2 Y6 i" F7 W一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
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这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）, z. A; O8 x% f3 B

0 B5 L; t  a" s8 j7 R9 y所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
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那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
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问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。$ x6 N2 P# b1 R6 Y5 H. @4 n9 ]
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量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 % ], W' L5 t+ W) U

; A. b' h  N' C- r3 t) Z$ y; j% s% _经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
  O0 Q) z; g! e) }6 ?$ w! t0 r% |* k& v- u# m
经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵" Y1 c: D% G! Y% U6 x4 ]
0 Q1 @; T7 l$ [: k7 J9 ?! ~5 Q
理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
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外行人瞎说的，别当真1 l5 n1 s/ J  C
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作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 8 x! U% D- r0 Q2 e7 q2 {/ h: o
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

1 R, X: M$ Z  k" A" X( v收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
7 `7 N. l9 _% _& P$ ]效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
! p$ G+ `0 X& Q( o1 F, s你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？$ y' C1 I, H  \, V  I
只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
) b5 S; D* s( s/ q: z收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。$ E9 w* Y" H1 `
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~, b* k7 O; s. u) G: N
你的意思是marginal ...

4 v; o. l/ l1 E, P就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。* y  w- [  B* [4 A

/ l6 M8 \+ n- L; x9 g这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09 * s6 G  ^# Z( y. V2 F
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱3 b5 m7 G$ c0 b- ?5 }9 y% m" w1 G

. O# n0 v: G2 C经济学又有点像理论物理 ...

. W: i9 d5 L1 M+ s8 y# q8 A$ p! [嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
7 Q" l! Q' l0 O3 l不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
& k& }' f+ C- T& N" m' F就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。  E% B) j0 e0 `- j! k$ x# O  G

5 ?( x% t9 x  t" O7 ^) E% F. M0 k这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

; K) x& O; ?' a0 Z# K  V" H几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
7 M# t( `9 X( K& Y2 O9 e因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 6 A$ n/ C0 L4 r' Q7 v1 _( m
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

0 [4 f& L+ F. s" y6 k% n, u7 [
# e7 c! _8 D3 c, A) g$ N" M所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
/ C) l/ D: {* L) c; B5 t就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
1 `5 B1 _6 s+ ~8 ~
9 r3 U5 J1 [3 {. S5 u这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

) S2 v3 C( n: g, \. F9 }3 m你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。/ o% l' X! F9 M+ e" y3 M* `

6 f' S% V8 s, m2 Z. U. Jhttp://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
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0 l! m  T/ V/ G$ l' ?  M经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
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作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09 * r2 B' ~, [: z/ d$ A& l, F9 y9 ^# G. x8 [
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
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* B8 U1 b5 s  B9 [7 U经济学又有点像理论物理 ...

6 u. e# v, K% ~" s! x* T- c经济学还能挣钱的。% }9 }% h! m! U( C4 j; w. p
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理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~" Y1 a0 q0 P1 ~# V, {( r/ K
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。: r3 e! V1 q0 N, b$ g; D2 [
术语上来讲，叫calibration。
. y3 C& ?) U6 @怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
5 n: W0 `0 u! ~4 {
- N, R* k  y2 u) W上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
7 ^0 ]' l' D1 u  u. P那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。; m3 p* Q3 F* b1 a0 T& n1 ]6 M
——计量的方法。
( j9 G2 }9 o" r8 u
" x' J6 z! W" @/ i* U: m2 Y计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。
. b3 L1 B0 t* D* p
! B+ [1 I0 i- Y! ]* }: t  P; w8 {/ n2 R下面我提几个问题，2 ?" W& `- Q: n" D5 O2 @* r
比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？0 {0 _' y2 u8 y: f
再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响- k1 f$ m+ P! J( q: N
再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？% {( T) v% d* w: n3 v: P
这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
2 q  O$ f5 D  h' N/ c* t1 ^+ w3 w) I术语上叫做regression。1 J- x+ d+ D! `6 r
而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
$ ^7 @6 m6 h. F/ `& Z- H9 {# ?. v0 b' G9 u- U: V; ]8 B0 F9 S* N
最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
3 j% }. W: z! N  n每个观测到的数据之间是否是独立的。
: N- {0 H/ q: c' G; W$ k比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。- r- G  d( B3 G
这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
! C1 f/ W' u: L4 q% i; b( s3 d这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。. n9 o' e6 Z2 @1 z1 v

' E; D) I) E7 v% Y4 }% Z/ O: r  e于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
/ ^; o- s4 u$ \# m这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
: p  n% ^$ w# y至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。% [7 w& @4 l# K' a2 d
6 H  _  t3 D& q
经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 $ i: h1 U5 Q, p# H# B) m
下面就要来说说“量化”了~~2 b2 F( T# Z2 Y! Q+ q  @* |
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

. k+ t6 k% }0 V) G所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
# q" `% i4 W; k  Y2 a  l# |  B; p效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
' `4 a# r8 m7 c' k2 [& |
这个我有个模模糊糊想到的问题。
0 _; O0 ?  V$ }2 h: ^  d. I( T0 _. B( L/ r' A% v
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。
- w: u; g& v9 H$ D1 @3 o* }
+ u1 D3 w9 C0 \8 O这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 ' D6 U8 f- t- z2 k8 J
这个我有个模模糊糊想到的问题。
) i' d3 O8 F  b5 J* k* @: k: }! G" d3 @4 Y- [9 u
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

. g6 F) X' a& l万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。& W3 O& ~5 o) ~, u! S& f# K7 z
# F. d) A# s' o. ~, Q
多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
* M3 ]2 E) i- K8 S; ?0 c下面就要来说说“量化”了~~
" Q+ F; j, \% D对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
0 |: P2 T% M- X, X& i( i1 V' \/ W' l
Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 / h; }; |7 ]! g
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 ; ^$ _* w& d+ j, J
这个我有个模模糊糊想到的问题。
. K( g; S* ?, j. w) o( g8 T1 C" S! Z9 M2 c
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

# x. [, Y  L/ z" e% S0 g! j
/ U, `; |+ [. q由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。0 e- \0 ]$ ?' n2 w' Y
9 Z9 Y2 z. r! `& v8 g( N
金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。  P+ c( u: h3 J

0 M1 C( d# T8 P; z! s7 z# X) p金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。. A! X0 w; X% o$ j% ^3 Y

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