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标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 5 K, |" L; g- L& B" b/ e/ W) T+ ]" A
( y. j. M- @7 Q
经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
6 g) V4 i: Y- c* j4 P" s大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。7 o" Y  Z, N% l
  Y* ~* S5 H" W# F3 D% ]
不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
; Y' B5 ?' Z, m" N, A/ e/ F5 n- g8 q; r; J2 d
一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。: Q$ w8 k3 Z1 o6 r
" e% m" I. x4 B& x) n, ?
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）
) t& c/ s" \( N, I9 Q; R, m" o' I4 T/ O( m2 T4 p0 z2 o
所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
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/ n6 r. v4 y. u8 m# k那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？/ b# G% S$ C' r' T% _3 N6 [8 n9 L" L

& ?3 l+ ]1 P0 I4 F4 `! U0 _: K" `问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。1 c$ m" i9 r$ P* h2 W1 B) z4 h, ]  P
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量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 0 H0 l, C# ]( _8 P4 H& c

' W: @- D4 \% h  o经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
( U, P. {7 p+ F( J8 M" [* ~0 Y# O9 W9 W4 ^& U, h
经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
9 U" }8 W* c! ]2 f& ~3 p6 c7 G6 Y; Z4 ?1 P1 J
理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系* K1 M5 E# S9 t% D0 z6 g+ f
+ g& F/ i1 W' U7 Y) D9 _  Y# J
外行人瞎说的，别当真
* A/ F2 B! {- ~! K4 r9 q) t. c/ _) L; O, @; \
3 Z: U# _4 G$ N! ^/ R
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
/ q9 l/ \1 o7 ]9 U- J这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...
; s% d+ f( D+ A
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。7 Z0 k  H1 ]/ u- H! |: v
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
! M8 O9 J3 Q  Z你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？+ e1 r: w3 O+ l0 M0 {. a3 p& R! o+ @4 y
只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 . I  u1 D# @% ], C$ ~3 C1 g! P7 b
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
, S- s' k' Q( i4 T+ y/ d. x! f效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
/ r9 ^8 @- R4 E$ ^  n你的意思是marginal ...

$ U- z$ \+ h2 f) y1 f) @就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。9 `7 |0 {2 L9 r, J) U

1 _, |5 O+ {7 r! }$ ~这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09
+ \7 z. `2 z- [! _1 [2 k0 ]9 ]经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
, ]) Q3 T: H/ h( s. @; `9 s/ U. c& p/ M# J5 d0 z
经济学又有点像理论物理 ...

( ]' f' h; H" a+ s嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
" t. ?- F" e, |- C不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
5 b1 F2 I( s: U. i就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。6 B7 a" O* ?2 E/ w. K" D: ~% \. G

2 }" D- u) U/ S这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
5 x: ?1 p$ ]5 t* I3 w! w3 p
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
/ H1 Z/ f- e2 S7 M因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
; q# Y4 @/ S" d: K0 _8 p9 z+ n$ c3 Q! p! S几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

6 h! `) S$ z. n6 q
4 p/ j5 r$ H% j, @3 b9 S所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46 1 }+ M, C( s! ~
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
  b) n: }, S7 t! V. e
; s  t% E* d3 c  Q) e% ^这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

2 y1 J, s0 x  u你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。! x- G$ @1 ~# O8 p2 G

! b5 s( n& [1 f( T  |http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory; q! d( G& }* J

1 w: P6 J. ]$ @2 Y经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
& T& y  Q# ]6 G& @( X$ A7 J* h
# O, f7 Q" J; y; w* B+ I6 s
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09 . G" P  c2 Z8 I9 z$ d
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱& |! p2 y6 Q, s8 f1 ]8 M# P0 U
" s& c$ l1 r, R
经济学又有点像理论物理 ...

1 t& r# e* C3 Y" X经济学还能挣钱的。( S1 S' |5 z& T0 Y% f" z

1 G% V0 `6 p% M8 M% w1 J7 E, [) ^5 P8 I: e# ^) F* l7 _5 E
理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~& p$ N$ G+ M' C$ h
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。9 ?+ `) ?, p% ~0 Z! {2 E
术语上来讲，叫calibration。
0 l0 ~6 F( ~# E- _怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
: r: ~5 y- \& y) T) ?8 ]- e* l/ D/ s  Q
上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
: [4 e0 W, L! M- J6 G6 L! G. h" p那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。. f* ]) X, U! J  N9 M  v* E
——计量的方法。! Q, b) S4 f0 w% F' D# J
2 w7 A' P& `$ D7 p0 m- U6 @! `' e
计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。
$ O5 H& d/ l5 A3 P" u+ n1 R$ ~) ]+ d+ \/ X# ~
下面我提几个问题，
+ [9 ]# t) C+ C9 {+ q  x比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？7 D! L& M! z( m4 X5 j1 @
再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
4 A, Z, `$ D5 P  o- W8 A再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？) q& C( w" N8 `# q# Q. O( r
这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
' G# J  I- R5 f% c术语上叫做regression。7 B  ^) B6 S  E$ x& T0 t
而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。4 Y/ j( [  L, N  M/ |2 U

7 l8 F( J) }. N最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
, [# O# k2 S5 R0 ~1 X每个观测到的数据之间是否是独立的。4 c; E/ ^3 g- h
比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
, r7 ]& k) D/ m, D. d0 X- Y' r! x这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）9 z8 S6 p( q0 Q. c
这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。
# Y; K7 \! q* n: `+ g8 N( `7 h( B; C" N2 c7 X6 L
于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
5 N: d, q$ z/ J: B7 C5 u这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，; j' q7 Z$ t( [
至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。! q2 k) D8 A$ k$ Y6 V' v

& k: B, T1 h" J$ a% y- G: X经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 ; ]' t1 ?- i9 b
下面就要来说说“量化”了~~1 A* \5 L1 x9 F: V% {
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
5 N8 z- p( t7 U4 r% s  o9 V) {
所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
" }* W6 b+ U, M3 s3 s效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

& _, v7 k& @% J这个我有个模模糊糊想到的问题。, ^2 j2 I6 n$ F5 {# A
. O- s3 R7 Y7 y7 _( M4 M5 v* k
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。
) {9 |) |, ^- L" {3 e, q; c+ k/ x( U
这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 * o- i/ c2 n2 Z
这个我有个模模糊糊想到的问题。6 L7 ?, ]/ Q; O) V! R; R$ p: b

! a( I0 M- p: v, Y( `) n. {" @比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
: S( x- t" O( l+ W6 w/ q) L
万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。
6 E  d9 m6 B) e3 z: p9 b' H) j; d. K1 `( t
多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 , M/ _- _' {& y! Y
下面就要来说说“量化”了~~: C" Q4 K$ k1 ~2 A& h+ [
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
- a% U, Z* I$ S! i: m$ q
Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 " Z( F! b$ e, c" P, n
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
9 O5 L% |2 Z9 c这个我有个模模糊糊想到的问题。
' {! l0 x( o8 P  _& H4 [+ L# J0 X- Y" I* h
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

9 _4 L" r) w; c3 u4 U( c' q  P: P2 Z# N
由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。0 I/ [4 a$ r7 x/ ~: K2 X3 C' F
+ a9 I# ^  n& c# p) |$ C
金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。- q5 h/ G7 G% g- U7 ~! q; s
+ c: p: b* j. c8 ^: \) |/ b
金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
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