爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 / S- M5 Q7 G* ?3 o' Z  l

! \  @' G- p% S6 g$ Z) D& Y3 W经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
3 F5 N0 B' s" S. Q% y大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
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. ~- |9 D7 d1 ~+ R8 u! V不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。2 P0 v6 y1 S: _" C
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一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。# @6 j/ c8 I) u. N' t4 @
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这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）  s2 p+ Q9 W' G+ }( S! n: v

8 ~# ]% [7 f6 ^7 y4 L5 _所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。& V8 p8 {$ R. c, l
7 n+ B5 l8 R+ C. H4 K
那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
( d$ I# t/ o2 P) t
' E1 B3 e8 s$ w) G9 p6 `. f2 ]8 U问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。% @6 l0 i4 E# p, |/ _9 [, ]
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$ u& v6 t! o. X: g+ a量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 - ^( _; c! G) o) H

) }% j  ]. H% M4 E; o经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱! O& ^% [% V. Z" S6 C# A3 {

. b; P0 ]) u) b经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵  X/ C* S  U# B) ]& N* a/ s
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理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
' C- r4 \7 z7 y- z2 }! `, h! f  [; U6 x5 z, W' ], T+ z2 B, i/ e: y( M" j& o0 M
外行人瞎说的，别当真
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作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 ( o' x0 G+ b3 @  q, K
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

0 Q$ f$ E0 A) q# N# L% ~  k: J收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。, P% P) _2 m; v/ I# Z3 X6 E3 ~
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
5 d- J' |# U) H& U7 y5 v7 a你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？5 f; z- M3 W6 Z: y- b+ P2 F
只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 ' p" V" @% |  h3 a- @' a/ H
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
- C2 A  u, y6 u+ t& R# ~效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
! f8 s' W- W2 O0 w3 H# b你的意思是marginal ...

2 T' }! L8 R3 U就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
! z' U) Q$ M  v7 n% O+ d! `7 s2 {6 a, f; v4 m+ J/ i
这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09 2 L" d+ c5 Q( [& N2 `; M8 x' A
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
' E+ W+ h" J  e# b+ p* B! B
" x8 e$ G& e; e4 Z经济学又有点像理论物理 ...
5 c3 x2 a* P* k* G  }- w
嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
. g: b% H5 c6 u# F不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
. y% f& X4 c: n' V: N; r* @就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。+ T9 d. W6 p! _( N. _' x. P5 G

/ W7 h- T& s# |5 J2 r8 W这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

; y9 P" B' z1 R- i: g8 I5 F几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
) K/ j) }7 W  u因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
( ~- {8 O3 e6 b$ q" H几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

  @) y6 D! I$ b4 S, J
8 M- c2 h% a- x% n. R! E6 D所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46 0 R- z' g# c- ]* O  p; \+ y
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
; u2 B6 a2 j8 B; R7 y& v: }( U" v" j9 w
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
0 J9 R& a. o! s# P$ ^+ \) ^; k, l
你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。! {8 D8 t1 ]5 B! S
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http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
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经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。" Q  i0 z2 k3 c' ^) p; e' W1 Q# e
- V1 K' t+ [$ q# W
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09
; b+ _! T; {  T/ p3 v+ ?8 g9 [经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱) {; A1 v5 d1 `( l  [
. h2 m; q2 b: J# n! q
经济学又有点像理论物理 ...
( p0 L7 {* o; Q* P/ Q
经济学还能挣钱的。
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# ~" W1 d1 J- O& L, }3 A6 x
) f( s7 j  z/ h  Q& S理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~: }5 c6 h* l# A1 d' ^) a
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。/ O8 `0 n& Z& p) q2 H! H( x
术语上来讲，叫calibration。4 i, T0 e; ]4 |  c+ s& W
怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
- Y- B7 R4 [7 y2 u+ @3 j/ A$ |1 S8 _( l" v; t
上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。, j, Y; Z1 ~) ~1 F( r6 E
那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。$ ?& B9 {, A" T3 s7 G8 T, d
——计量的方法。+ q& Z/ l0 c. ~
! j% x& M7 J7 k! K, T& M& c
计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。
7 t9 x& K% F+ N" D
9 u& n/ x$ w, t下面我提几个问题，
' g! {6 f  b9 h* [& R$ \& H; c比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？' C# k* T* t: T
再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
, A! g% y  E/ r. F: |7 |5 [" I再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
, P1 ?/ _. m( _# A' F* x$ _这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
7 Y- `& M. m3 |# A+ K9 x1 L: T5 U2 @术语上叫做regression。
# s& D& _/ ]3 C而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
( E0 k% O3 c5 _
* B+ K7 s3 }( w! ]# u; ^最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
3 R5 @/ N6 g/ J# U每个观测到的数据之间是否是独立的。
; f  f1 v) B3 c2 a1 _比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。2 b8 @5 D  r6 U) ?( c
这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）% h* [4 D" D% a& }: L) c' r
这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。) H( t7 b! q% h  B7 y

/ j& ^$ d/ T5 s" l0 f% H于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
3 b6 |; D& B9 ^' \$ U# t/ E这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
- U/ L; k& P* Q& c+ F5 Q至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。7 h, a4 I# f. r

. `6 n& I, M- ~; `% E! t经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 8 z/ D  }1 N+ ]7 x! J6 S1 c
下面就要来说说“量化”了~~9 W# Y& R1 f! K
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

' S' e: }9 `, ^5 I* J0 Y所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
) h* ^) _+ P* l# l1 d效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
/ B8 l$ B+ o9 ~
这个我有个模模糊糊想到的问题。% M" ^% W$ v/ W; b. I" e/ @
# L8 n/ l( q6 Z6 j3 N
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。
/ {) p) n+ b0 i6 t) ^% A
/ ^, z) E( r# b: D( s2 N4 Q, O这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
3 O4 A1 L3 a$ P$ c" ^这个我有个模模糊糊想到的问题。9 U. f" D  A, z) g0 c; P

7 S1 ^: m7 c! ~4 g比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

7 ~7 J% ^, H% E4 ]( ~万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。
. k, _( f! V0 t  l4 t  }  @+ G9 N, c8 D0 ~" ?" t3 L4 ^3 ]
多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
; r( A, T- }1 m0 x0 c7 U) p下面就要来说说“量化”了~~
( i1 b1 H) b4 I对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

  l: Q2 i+ ?/ `, ~5 sCabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 ) Y3 C% {1 F4 ^  Q# I9 W
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
4 ]' f7 I8 e! P5 I1 c这个我有个模模糊糊想到的问题。
6 G8 k8 G1 M6 P8 m2 D& C3 I( }: f" \9 L2 x/ o' y' u" }' V
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
. Z, c2 H4 Z8 j7 [

1 v8 @# p9 E& d$ E由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
  _# o8 O8 `9 |5 {' l, c1 P2 l) Z6 C
金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。
+ X3 l$ S1 L- N5 i, G" I4 Z! _. r, F" d; \
金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
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