爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
% H/ ~# ]3 y" }6 W& G0 A3 N' K2 P: q: Q1 C9 }! @( k. C: {+ H
经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。0 L4 K4 M& c: u- b6 M5 q! p; q
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
. h& N* n9 P4 \* A
% y2 s/ V5 E- Y- g不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。& y7 o% o6 b7 A, G. Q. d

, ?# m2 G) B1 ~* G$ i9 S一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
' ?" _* K6 Y  n' A4 H: f. f  D4 t6 o/ U! @( `
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）8 p; w: i( _% k# E3 N; [' Z

1 Z7 l& m' G3 b6 v# M1 p% Z所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。) U  ~0 p7 `: |- ?- S( D6 u# D2 N7 _

9 k8 K! F: y6 n+ Q0 Q8 F; ~那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
( X4 Z5 `0 A) E8 Z2 I8 \" z
5 I0 O# g$ l. P* |. v问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。. e' C: J/ J2 R( Z0 X6 T2 W

9 Y! [: \) n6 t. ~) x6 w
' o; G7 q6 O, }/ Q6 J量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 ; y# F& i  p( S9 o8 K

; G3 A8 q4 ]1 x8 l* O经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
1 V1 `. L# E; P2 J: X& T  D: W3 v4 o
经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
7 x6 o5 @2 y& K: m1 @. c9 l# C* o: ]( Z  I* _
理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系; Y0 Y' \8 P/ l% J4 i
* O+ t% \7 L& x8 T6 R$ B9 ]
外行人瞎说的，别当真9 V7 l4 F6 q2 g3 ^& s

/ }; u/ d, n3 ?) ?* C% h! X5 b. j" U6 X8 N) f4 @; p0 k( ]8 l
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
2 p1 b( }2 y$ L! A8 ~: h0 T这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

3 [. c- u+ S$ g2 \收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。) a7 o/ t; Z+ l9 v$ |: r$ K8 X
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~1 l( \$ K1 u. v- ^+ j1 J' e/ ~0 R8 z
你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
4 g) [) B2 y  S) @, e! r% g; E$ P8 B只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 * k+ ~/ n1 h# P. X( G
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。- R1 s: l* h/ n9 G2 i2 q
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~2 |$ k& `5 j! j, T8 H
你的意思是marginal ...
& h& `9 R' d, W6 c9 Z7 e
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。) G+ C! z8 v  j
+ N9 U3 E% O0 J6 m
这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09 ; o/ g$ ]0 F( z6 u# I0 s4 N& `1 ~* r
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱1 k5 K9 D( H9 n6 {( R
+ s  z6 j8 k5 ~+ W- x
经济学又有点像理论物理 ...

8 N1 C, k) X* k嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。' b( q$ G3 x* h
不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46 ( u7 w' A( {+ f: s
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。4 d" q* b5 d) }. h% X
; e+ D. S2 ?" H4 r
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

8 W+ I" S! H0 Y6 Z$ }+ A几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。2 a3 y, E: m0 b6 W
因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 1 g2 p& o& G  Z) |) D
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

* H; `/ J+ B' ^7 W; |/ H. B9 W4 y* J% W$ O* t
所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
2 Q9 ?# x+ i" T+ y; v1 ^0 M2 V就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。% M* D* n( T- F

5 ~9 L4 P3 G" w: F4 m% b' m" c这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

0 T9 \5 h* O6 ~8 K- ~" M4 h你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
4 H- R7 @2 P3 N7 \1 x8 A3 m7 O& i, b6 O4 ^& e) j2 f5 I
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory6 I2 ]( g% A" O% s3 g% i
& l, v: w7 F  _# }) q) q
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
+ U$ p  k) H* v8 J5 K
1 D" b. Z  x9 d9 P/ d! r$ ]
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09
- N) X5 \$ G0 `7 y" P经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
$ K: s& K& m6 d& W: z; q1 v0 d: b
: m0 g" \# y6 ^* T经济学又有点像理论物理 ...

2 ~% m- H! V$ S" G$ T. ~经济学还能挣钱的。
& v" q: v, @- ?* _% I9 f( }, r$ B$ e# N

5 ^- {. I+ C$ y" l. C+ a理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
. n" O( S6 S% Q- w对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
4 K& r% w$ `$ a5 ~0 _术语上来讲，叫calibration。7 v  }2 z# u7 ^: w: c0 Z, p
怎么找呢？基本上就是来match empirical data。( U" ~- x" K. b" ]% k! ^! G

" Y& o1 y  C( [% X' g7 Z1 @2 x$ V上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
! X4 X; p* V: O, z' k那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。2 Z1 ?; n- X! f2 @2 k' m
——计量的方法。
; \9 [# c+ o& t3 D- {; Y$ B6 K* M% Q5 G: B2 \
计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。
7 ?, {; T7 J. L4 h! K4 L6 }9 ]* v1 w' m) V% }8 i& @
下面我提几个问题，/ }6 j5 ]; A2 Q9 g
比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？$ E2 F! I+ ?0 q4 m
再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响1 n" N- [* i/ g
再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
, U$ K- q% d, f5 N这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。( I2 ^# U8 W% }# T  I
术语上叫做regression。/ c" i$ o( R  G  l! p! ^1 _2 M
而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。8 F4 T2 h# N. a& i

  a, _+ y# p3 |7 y最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。2 a7 e+ r+ k4 M! x
每个观测到的数据之间是否是独立的。/ {( a4 ]* F: O4 W: D
比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
& S9 R2 h+ {: p# [; X5 e这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）+ E6 [4 t" J% L$ B" ?
这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。2 W2 V: s, r5 a3 q

! ?" m6 _/ N/ ~: p0 a9 n于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。. R, d% }, F* m) V
这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
4 `/ [9 J- O4 B" y9 O& L至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。
  P; S  [" N0 J3 v, V3 R2 T4 U* ]$ S8 Y
经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32   V# i9 K; P2 E9 K6 [
下面就要来说说“量化”了~~: N/ Q; K, {- f- T, e* Y. ^
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

  @2 r8 M! Q" s5 M. ^# }所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06 ; q4 m  u0 s% P1 N; P) w. n
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

# H/ |1 b) r  G5 {) P2 i这个我有个模模糊糊想到的问题。
, W. x7 w' b( @" i% g5 ]7 ^6 a1 Z6 X
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。& H1 B0 n6 ]7 J" ^: r/ I/ O

5 L, l( B: A1 i/ i1 i' w这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
8 J6 p( G4 I; `3 t" f( S- v) X这个我有个模模糊糊想到的问题。$ T0 B. @( j; R7 e

- K" e/ h9 C& J* B9 f比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
9 [8 ?1 v/ d5 {  w+ j$ i. }9 x
万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。4 B% Z; H1 ]0 ~9 ~( K

7 E- R* i( E& d& D( {" w! L2 B多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 ' L# n; _) m1 N
下面就要来说说“量化”了~~  |/ A' L) W/ ^
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

8 b7 G* ~# [3 w  u; w$ n9 TCabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 6 {# X: {9 C! }" X+ l% {: _, P
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
7 D- h5 Y2 d# b) \这个我有个模模糊糊想到的问题。) ?$ w2 m! S: n7 ?7 V. k
# r- m3 I, W7 m
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
8 a; C6 y( d" j7 s

: S( `" F/ E! M# z由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
4 |+ d4 C* j. j. O) G/ n" U" S  |% ?, w2 a2 ~- w! {8 c9 k
金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。
# a3 [5 U: k% A( Y" F" K! d- M
( A* K9 F- ~1 M4 \  [金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。0 k' j$ V$ h  o
) b( M* t+ I" i# C+ |4 e




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