爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 0 \+ W( d" Z, {! ^0 D$ I
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经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
$ N4 X; ?6 t8 Y- L+ [大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
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不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
1 U4 x3 y- s1 I8 F8 @( W8 M1 i* x7 B  J, {3 W- c6 j
一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
' k* P* L* h$ r0 }- U! i- x: B. o$ S; ?2 r
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）5 Y5 w/ J% q7 h0 ]) P: s  m% H
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所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
6 C4 B  u% D) U) l0 ?7 c0 S- k: E; J0 i. x+ X& A
那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？" U/ K  o7 m# r8 P4 s" q2 v

9 {- O/ g/ R- b6 t0 b! w问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。
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5 ^7 [0 h  }" o" p) `3 V) x, i) ]: v9 p5 {* u5 ^0 P
量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 # ]$ o# B" K6 ~' B' w' {
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经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱1 i. {$ ^" b! v& z

2 R4 X! X9 b( }0 M0 o. y' ^& T经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
0 A( @1 t$ Z8 Q+ _+ X+ `" q& Z, y+ B& J; i5 [' g' A; O
理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系# _. V* D" Y. b) y' A
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外行人瞎说的，别当真7 E# f0 X2 S; p% {
6 O2 B1 n+ F- w7 X
7 s  o! }( {" }
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 7 o. s% Q7 H  J
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...
  g$ w0 Y/ U8 s1 @% ]' h+ O' B
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
+ {7 ^3 ^, G2 R" t2 }: y/ N效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
, Z" K/ g/ ?2 o; o) W, `0 G你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
" n* r' E* H+ F$ d& h% j只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 " W# z3 D4 |& C5 R+ g9 j: H- E
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
  n3 t! U% J( [1 B+ o+ w0 d# L效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~) z3 `7 |$ h9 [
你的意思是marginal ...

: X: e6 S0 S- t; T3 k2 g( J就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
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$ R1 u/ j) M( n9 I这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09
7 X# D* k. `+ q4 o5 q经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱9 e; O% ~. k5 Z; B# `
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经济学又有点像理论物理 ...

' r6 J9 S" [" R嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
1 J! Y9 v  Q0 W3 ~不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
0 d1 e" j/ ^& |, ?2 T8 u就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。: @: Q  ~: p; \6 K

+ N) {/ P. S& A3 r/ a这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
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几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
9 r( a4 {. s$ ?0 J& Q; z因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 2 T* g. U6 K5 Z7 c
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

+ @+ `* U9 Z- G7 j- ?. \$ T  }7 d! h7 c3 b( y% I/ F
所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46 $ {5 B* {9 V5 [7 e2 B6 ]6 o" u
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。2 ~, Q1 _. f; z$ ?6 f# S
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这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
4 y3 U+ W* s/ S- w) S4 i9 a8 Q
你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。# h2 \2 V$ {$ x
, G" \& T) u! ~
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
9 ^5 R) T* o/ B0 t1 I% d) y. ?
& \( o0 z% \0 C经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
" X. }1 f1 \1 _7 n% e! ~! F& o
' m% u+ |; U9 M# r
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09
' c" H$ e! P2 d经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱7 W+ Z( `5 ?) A) j

) A8 u8 F% F/ p0 w经济学又有点像理论物理 ...
% @4 {: |8 @( E" l& L+ T
经济学还能挣钱的。1 m; ]! F- [" [

' z& q6 c4 W" k; g& `. k/ m4 z& X. ]8 {; `% j  M; G5 B" p
理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~" V: p3 ^( _/ [, K5 j' m  ]
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
; K& |3 `- s0 f, `( e8 U术语上来讲，叫calibration。
& k) \  Q) [3 q- ~怎么找呢？基本上就是来match empirical data。* z, o( b$ y7 u. u3 T2 w

8 A- l" a* x( K9 F. j& B9 q  }上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。: ^# l6 y4 |. u
那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。3 Y$ l+ F; Q1 L2 l9 B# |( d; R/ t
——计量的方法。
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计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。8 u9 e1 L( a4 q* q! @" D

2 P4 L; g3 D; V* o5 N+ o下面我提几个问题，
( }6 V/ j: O9 K0 w4 N比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？" k0 `$ g9 ~: \; b
再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响; b9 r+ e" M2 S
再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？+ E( z0 f8 M; _: Q  {: G
这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。+ g6 B& k" b9 _0 E; n% a2 @7 s
术语上叫做regression。
( e' a& ?) A% H1 W而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
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最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。8 X. p! L& A4 u8 b- V
每个观测到的数据之间是否是独立的。
; m0 `! |$ P5 w比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。# o- J8 N/ W; q4 K( A! m
这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
+ ^+ x8 M1 _" p5 e+ Q这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。3 Z9 v$ U6 r  \0 c$ `
) q! B' ]; }( Y+ [/ C; o" W& T) Q
于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
* N& d- p8 K* \- I) A这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，7 x/ \. Z( E& }$ b0 r2 n
至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。7 l# ~7 S2 p, W' ~- a
7 v! ^% I9 e- T: D" J. I7 h
经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
6 b) j' C, O. D下面就要来说说“量化”了~~: W' @" q( Y4 e, m. M- n
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
3 i6 \% A$ p5 _+ z+ s3 v; Y* S
所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06 ( F7 R% `- Q6 {! e
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

: U9 L5 k$ y: F4 U1 B这个我有个模模糊糊想到的问题。9 J1 p  ^6 M& k$ _! @7 t: S
; y1 G3 |0 a3 ]5 T; d- e
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。0 ^$ S; V  l  L' g# O
' |. v8 N& f+ k' R* v
这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 8 ~; P$ ]3 P" b: ^
这个我有个模模糊糊想到的问题。5 c1 ^! h( i5 ~# m" {/ p7 O

% r' t& T; ^4 H! e( d比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
; z* E1 i% _- i4 V  X: \2 U& e' n2 @
万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。! G5 J7 x4 e$ h; O0 i# k" n- O& c
$ ]& o( i$ ~0 m9 N- f. I/ y) h
多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
4 c% H, F/ u% W% p3 t0 i6 i. ^下面就要来说说“量化”了~~
# q! r. o2 f9 L对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

6 p$ H) s! R5 ?4 JCabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 ! D- `5 d9 X" G2 x9 ^0 o
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
. r9 |+ w6 T, e7 ~5 q+ d7 t" W: U这个我有个模模糊糊想到的问题。0 [1 ~2 s- K3 e' B: f/ C$ C5 D
5 m4 Q( m4 m1 d; D# e( @! R
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

8 e( O) R7 E( x) n( Y& {; w! ]3 p0 I  e) ~
由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
& q) I4 X* ]. S- C- F
0 L3 b5 S9 x) Y4 _" F$ P2 R2 U金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。! B# h# B; W6 r1 M# v. i0 C& G: `

! Q, V3 Z4 b9 F4 @金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。5 U& Q3 v) C5 V

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