爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
( \3 q6 l# E- w* w) }: M) t7 R5 f
经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
6 T: w- x7 Q% F5 H" f3 F  j( w大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
5 K! @' i. B7 v# a! ^7 l2 m, R5 C* c' L* }$ h- h3 [; i+ s: h% n3 l/ m
不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。% L/ m3 I) y& A" I$ f
/ V! \4 R) ]" R7 r9 {
一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
& W) s7 L" l' W6 }4 L( Q' T0 ~' X6 X% A; i) `- u0 W
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）( T& i# h+ m! P5 p. a# p: w2 ~$ c

( e* z8 M6 L" X2 m* e5 _9 U所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
$ u2 {% k$ D3 D5 M" `
7 \" |# T+ L' b/ L那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
% [2 V( G5 s" b# R0 U
$ D" c, K. k: W9 [问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。  O- e, b, V8 @2 z: s$ B
* w9 ]/ ]' V; N) U* B3 d# K

6 t( I/ A+ q0 f' @0 n3 x量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 4 z2 b) ?0 W( e; L& u
! r3 ~8 Y& M' N7 u  ]/ Z. S
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
$ p9 W$ ~5 T4 l; U% f" a
" G& r4 J! b: n. X5 l: I经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵: x. [+ N5 n" J: E

' g+ Q$ G% q# I3 D5 o! i4 m" p0 a理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
, q$ L7 \3 \7 v, e  g( m! y" N' A7 M5 v. u, |' P( ]8 c& k" a. v
外行人瞎说的，别当真! \1 a5 [, F1 K$ V5 m( @2 r
! I* G# }: p, `' g+ h8 t

* e; |: p. p8 m; o0 Z. e
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 # d3 X. J- o7 P' q9 F3 |3 x7 t
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

. s: S& ~. n* g5 h/ @4 ?收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。6 s9 l( Y) f! b  {" I
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
- K& {  l( K0 [& h+ m7 n你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？+ d5 e! F( c) t7 ~$ B
只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
; z5 @) s9 S* C$ V! s4 `收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
6 Z( q2 T5 d0 ]# a) I效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~: R1 h3 d! D/ u7 Y% N4 I& _( N
你的意思是marginal ...

1 y8 S. O) f. @( p就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。3 B: o1 o+ W' H
5 h% `" \% g2 T  h; ?7 Y4 |/ q
这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09
  R! L+ i# C8 w1 t2 i$ ^- e经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱& h  O2 w5 `- e; h
" w0 D2 g9 b7 A0 r: a
经济学又有点像理论物理 ...

" _; f5 Q( c0 j5 o  ]嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。+ O2 l" _: v. H- y$ `2 v
不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
5 Q& q( u- r. t- `/ @就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。5 l1 F& N' V6 Q+ [; d6 Y
% c8 _" h' M8 z8 J. E  i: `2 n. i
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

& c* X" x* G" z( j; J. j$ b+ f1 w几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
0 a9 Z* b7 @" S2 H* i/ v% @3 V因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 ; G. `/ I$ R1 [1 X0 e' p9 m
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
2 Q& O9 w, d1 W6 i: z6 q/ Y3 w  T

2 I+ u# A3 y; Y9 s1 `所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46 ) {8 m" @4 [3 x2 f* j/ Y' o, W
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
8 W; A( g  [, x; I3 }  d0 A4 d( n( d0 V4 @; R
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

) B& ^7 f' X9 g8 x" T. u/ D0 T- l你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。2 M& x1 G9 G  y( i- P* |
9 A# M/ Q* H# o& a5 S6 D8 G
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory3 J% _* M( P6 j
! [& [" g& m' D+ I- R4 z( |: u
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。: I) W0 _2 [: c* h

* a/ G6 I/ i# a. Z; Q
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09 + I( K9 b9 }+ l- A9 u- ~
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
6 F0 o! E/ u4 i" d. t$ g/ V
' ^. U0 w$ o. T& K& d1 E& w& F经济学又有点像理论物理 ...
2 g0 L9 W" M  |* n: a
经济学还能挣钱的。, G. C$ e+ ~4 q, L5 P, R" f& i

: b5 `+ f! b( U
* x& g6 Y; k2 n. R- ]理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~# L6 ~# v5 p1 {/ r) h. v% S9 }
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
, S- u- H( _3 C: p% M, J术语上来讲，叫calibration。7 s( q& f* `8 Y. Z& a. q7 e* B% o
怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
1 k! E7 l. N9 G, H' N" x2 O+ m. V0 w9 F
上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。5 f2 m" Z4 j7 m
那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。! ]" J0 |, W$ s7 q
——计量的方法。
# d/ z$ L* ?, I3 @/ u
9 y( N7 J+ _5 G, R+ q计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。) ^, L8 a1 x; h4 H# v

6 {. O& q8 }- U% I9 r下面我提几个问题，  P7 ^  v! V$ i" {% P' V
比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
4 J5 |" _' s4 k6 K+ s* t+ M再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
* ]& r" k0 X! x0 ^) G# s再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？. v- O! W: [' ?7 l
这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。- z$ h( E7 z/ Y0 W1 h
术语上叫做regression。
) ^) u4 f1 ]8 L4 g而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
: T2 Q! K0 R  d  F' d
% f- m) D  S; p# Q1 ~, m4 s2 j: L# D最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
- @" I5 H! R, q7 a& ~每个观测到的数据之间是否是独立的。9 }' ]" _! I+ I  a$ x
比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。9 K& m' c" x0 {, i: ^, [9 ?
这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）0 g5 B4 p3 E, {& p, X" H- k  A- R
这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。
8 P3 v2 f2 T6 c. D1 X3 ?4 U
0 F: i$ X: J' Y) X3 F于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
( Y# Q# }, \7 a; ?% c% T这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，# K" i4 M' d( O$ C. `: N
至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。2 j8 |' a) P" W7 P% K! Z! m
: S2 q8 l- Y, t2 s! |
经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
7 U# J2 U6 d9 P) k% @+ X下面就要来说说“量化”了~~" w6 Z8 _  b5 B" M% b1 |
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
7 v6 U5 W2 m2 ?+ Y  v3 W
所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
; M% i* ]0 b; `# F0 [; Z, ]: j6 U# O效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
; I$ N6 i9 C1 E, _3 W
这个我有个模模糊糊想到的问题。
, X; S% ~/ ]/ I, R5 w- v+ ~" y5 U* D2 C! v( u
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。( G$ A. N  q( F6 S5 e
9 i& q9 U% y+ r/ q$ m2 \5 h
这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
# i. |8 C" E) q2 @( k* |. U这个我有个模模糊糊想到的问题。
* d: c2 s  t* _
8 F. l5 D) b) y. l- I2 V/ K比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

- ^: y- e& R6 ]+ l" q1 g5 U) J万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。
" A: z) X" r: x6 v* k$ I5 H* h
3 s- T) b# R8 N4 f1 |$ B多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32   T* q$ v4 v/ s0 i6 M: S
下面就要来说说“量化”了~~( q1 W6 U3 x& Q1 O
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

" s- C7 b+ A: \: s7 J$ ^9 |2 OCabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
3 w3 Y6 u+ d7 o; D$ H0 ?
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
( S5 r5 `% `1 o+ t4 C$ o- R3 g这个我有个模模糊糊想到的问题。6 H/ C* R4 Z- a. R  A6 `
6 F+ _2 S* }. o% Q: O  V$ m
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
! b, }: r* C7 Z7 X
1 C# L; t: J, X
由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。" C* Y# }  R) {5 T1 N
3 C% g7 d3 H6 b& w: a! e; y1 X7 ^
金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。' T+ }& u7 O2 N) H+ \1 o3 X# B
# N' X2 ~' `4 h+ M4 w4 s4 C
金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。, P) L  ]0 h& r0 F/ i, O( U

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