爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 9 ?$ p5 A2 N# b) y
! ^- E; [: x0 h& W6 U- }9 A
经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。0 G6 f& e( y! d/ J. U! E
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
: _# V! d9 ^3 P8 }3 F3 F" B
. a% B* y8 `& i不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。8 p6 z' e" W) z; L& a

+ H9 K1 P, a" w  x一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。+ e$ Y& q' U8 [( t: R2 U5 x4 N
3 _2 W8 K0 D, \9 j: s, l
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）9 m8 g+ h/ C3 t4 i2 t1 l

, R$ J1 `  b5 w所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。8 h7 m" k. G/ G4 @' O& B: `
: P/ f8 r" m! @% z
那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
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1 R" Z; m$ c+ j1 ~- G6 {问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。% n3 J  w( ?. R+ w# H

9 \1 U% @- H, S5 M: |2 Z
+ j! d+ c$ U: p: ]% m0 q量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
+ b. \/ S8 A/ \1 x8 p
0 h) v1 [1 ], v2 m. c经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
, t6 }! `5 a$ `  _7 t, r! W& a! _+ F
& a9 \0 W9 j/ G2 G: g4 y经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
- ~# @3 u9 b! c1 x$ R( s7 B: s" F. v6 p" `3 p  X2 a1 }3 o
理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
$ C6 I; P. a2 y/ a: q, Z$ |, S5 e
外行人瞎说的，别当真
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1 u+ U2 o/ X/ ]: ~5 F" Y
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
" E+ J5 m/ T$ a8 x+ U. X* T! ?: n3 N这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

+ N$ v1 r$ F6 J4 P收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
4 T  h/ b, Y% [1 ~5 O效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~0 k/ F: s+ ?7 [# t, u" o* ^
你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
! n' I7 B0 K7 T) r" }只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 6 e* I+ Y, g4 \, p4 [$ `. q
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
* E: m' `: x/ ?9 r% ?6 N效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
; V. P* g% F$ \: G你的意思是marginal ...

; o9 c2 W! ?' K( U& F2 E% y就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。$ w2 U, d% L' k1 _& H! J  P
4 s# ^8 z8 h* W
这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09
2 h: H- R! G! S! T$ L% r$ ~. Z经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
. h1 X* m; ?- N' Z3 G+ d. q; c
经济学又有点像理论物理 ...

- j4 g+ K: y% z$ t. q0 M5 q& ^6 X嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
, ]- V& R& I* P( x& ~: \不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46 & M1 w0 }. l+ m2 L0 H, u1 d
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。9 K1 e. q+ }* A+ z( x9 L
# B  _, X, S* S* c4 t! K; `. x9 A
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

4 D  U! Z$ F7 e/ n3 @1 `几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。  c8 R( t: ~, }( `; B
因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
& Q6 `& s! @$ y) n$ Y几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
1 r( k% [9 M6 i& c

- Z% C* Z5 ]4 ^$ i所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
7 V- \  A6 \* \2 c2 r, p6 x就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
( A' E$ E- G' u& a- b% F, o: P% _' f8 z& Q
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
7 o% `1 b7 t. n% b; N, t
你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。' q' y$ Q1 ?% n$ I0 Z0 s. G' ]) g
' R1 G* H" k! W) B" s& j: o; I6 d( j
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
& ^9 J0 J% t" d% W  V5 _# `  I! d$ D' j
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。1 B! W/ w2 k& D/ U( C

. }; g" h9 s% G: o
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09 5 t. n0 V+ d, W
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
3 B6 p4 D. g: W& V
) V' F- h$ `3 X& ^" P经济学又有点像理论物理 ...

1 a% n9 r- ]; [+ ^9 w9 S) ?经济学还能挣钱的。
# \! q& Y; Y  ^) g- A9 D+ q, z, x& v6 Y
- v- t1 J$ x. D5 m6 C# ]
理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
6 a3 C  F4 W' W" H7 a. f, _  V7 E对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
2 u) b% y( ]( k5 d/ B术语上来讲，叫calibration。; ^5 E, E5 F8 Y
怎么找呢？基本上就是来match empirical data。' y" U3 f; C( S1 H+ R) t+ r# A! Q0 }

- O+ u; X. i  q3 i& }3 X  J上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
0 w) g( I3 f. d5 |; f那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。9 h9 v! u& K3 c& P) B4 T4 D
——计量的方法。
* u! V  L+ O, u) ~3 ^$ M3 [
3 _* F2 a; g! e  p7 k6 N计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。8 o( l7 Z8 S' x! _( K# M

( @! z3 _2 Z" J2 U! n) \5 J下面我提几个问题，
+ |% ], E, \0 X5 d. j' w比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？! T4 |; d$ `3 ?$ Q* m
再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响1 b! P; n" B/ N, U
再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？( O  @" \, T* W" ?, q
这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。, |! b0 S( e: m/ \
术语上叫做regression。6 R8 h6 ~9 E+ A! a, m4 m) R
而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。! B, p4 W6 {9 j, x

7 v6 x; }# s/ e% Y最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。1 e# \) x9 s9 J! {8 @  S. Y
每个观测到的数据之间是否是独立的。: H( N& X$ l* i& u/ p, t) W- d9 q
比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。5 i" j( D+ a9 f- }7 @, ~3 E6 J
这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
  Q# `  O; v4 S4 M1 W, p这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。5 p: {6 E& i& b- v- x4 Q
( R; S. o1 Z- c3 @) s
于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
' b. m* J5 U: y$ U! o这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，1 p' C/ Y  p* K/ `( N" s% V
至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。- s( L$ `( ~. `+ @

4 F1 E) C3 z7 Q8 c$ `经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
' k' V) O; l0 y, ~下面就要来说说“量化”了~~0 c6 L6 N' v# b( r8 h
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
6 D1 m# `, _. K& C3 h' R3 g
所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
9 w; K9 j) G7 O- u: c9 z! Q1 I效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

* z$ O; d6 z4 L这个我有个模模糊糊想到的问题。* p. r- ~5 U& D  K
' `" d1 G: B" F
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。
/ N- K3 r$ z  l0 G
, ]! _# {* [5 u* ~这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 5 j/ B  @7 e- X
这个我有个模模糊糊想到的问题。* j! T& _' t& R% C7 z2 L

" t/ ^. H7 V4 ], a7 }* o比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
8 M0 p) |! v2 z  M7 ]
万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。
  B2 I1 {$ i9 a! E' l6 s1 c3 p$ d- \
多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 # B2 h2 K: g8 x( [8 m$ {% N  j! J" d- d
下面就要来说说“量化”了~~. @) k  k: {& n0 b
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
  |- K5 T  n9 |; k% z7 W$ n6 \
Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
! U8 K2 _* J* Q7 [! G
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
7 A6 o! Y) T: C, t% K* @0 i这个我有个模模糊糊想到的问题。
; w- t7 {- U6 X( _' N' L
% q4 `. ?: d$ o) s比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

) F. J. |/ U2 ]3 L* B8 i; J! l+ E
由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
' c- g/ s: `2 c  @$ \) d7 a: I3 C. I# b. Z( n3 o2 G! C
金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。# i+ o+ h+ Q+ g) N6 g

" j3 M/ ]! L2 L: j( W' I, p: m金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。3 o/ B, h3 L8 F" V* t

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